2. Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης

Σχετικά έγγραφα
1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1.

10. Παραγώγιση διανυσµάτων

Φ Υ Σ Ι Κ Η Ι Σ Ε Μ Φ Ε. Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ. Α. Κινηµατική

Κ. Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής Παράγωγος. x ορίζεται ως

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2019

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 22 Ιανουαρίου, 2019

8. Λύση απλών διαφορικών εξισώσεων και εξισώσεων κίνησης

4. Ορµή και στροφορµή

11. Βαθµίδα, Απόκλιση, Στροβιλισµός

1η Εργασία στο Μάθημα Γενική Φυσική ΙΙΙ - Τμήμα Τ1. Λύσεις Ασκήσεων 1 ου Κεφαλαίου

Προτεινόμενο διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου


ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004

Επαναληπτικό ιαγώνισµα Β Τάξης Λυκείου Κυριακή 7 Μάη 2017 Οριζόντια Βολή-Κυκλική Κίνηση-Ορµή Ηλεκτρικό& Βαρυτικό Πεδίο

dx cos x = ln 1 + sin x 1 sin x.

Κεφάλαιο 6β. Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα

GMR L = m. dx a + bx + cx. arcsin 2cx b b2 4ac. r 3. cos φ = eg. 2 = 1 c

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Σεπτέμβριος 2004

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/2013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

Φυσική για Μηχανικούς

ΠΑΓΚΟΣΜΙΑ ΕΛΞΗ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Τάξης ΓΕΛ 4 ο ΓΕΛ ΚΟΖΑΝΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΣΤΕΦΑΝΟΥ Μ. ΦΥΣΙΚΟΣ

Ηλεκτρομαγνητισμός. Μαγνητικό πεδίο. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

1 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέτασης

ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π Β Λ-Γ Λ ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΑΒΟΚΥΡΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΖΑΓΚΑΡΑΚΗΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ Η δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα προκαλεί μεταβολή της ταχύτητάς του δηλαδή επιτάχυνση.

ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η. Παράδοση Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 20 Σεπτεμβρίου 2007


ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΦΟΡΤΙΩΝ ΣΕ Ο.Μ.Π. 1. Στο σχήμα δίνονται δύο ομογενή μαγνητικά πεδία με εντάσεις μέτρων Β 2 =2Β 1

γ /ω=0.2 γ /ω=1 γ /ω= (ω /g) v. (ω 2 /g)(x-l 0 ) ωt. 2m.

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3/2/2016 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

Μ8 Η µερική παράγωγος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Χημείας Φυσική 1 1 Φεβρουαρίου 2017

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξετάσεις στη ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι 26 Ιανουαρίου 2016


ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ

4. Σειρές Τέηλορ και Μακλώριν

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2004

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2013

ΘΕΜΑ 1. Λύση. V = V x. H θ y O V 1 H/2. (α) Ακίνητος παρατηρητής (Ο) (1) 6 = = (3) 6 (4)

Α. ο σώμα αρχίζει να κινείται όταν η προωστική δύναμη γίνει ίση με τη δύναμη της τριβής. Έχουμε δηλαδή

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΦΥΣ Πριν αρχίσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο και αριθµό ταυτότητας).

ΦΥΣ Πριν αρχίσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο και αριθµό ταυτότητας).

ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΕΡΙΟΔΟΥ : NOEMΒΡΙΟΣ 2016

Διαγώνισμα B Λυκείου Σάββατο 22 Απριλίου 2017

ΕΥΤΕΡΑ 28 ΙΟΥΝΙΟΥ 1999 ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέμβριος 2012

Ηλεκτρομαγνητισμός. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Η επιτάχυνση και ο ρόλος της.

Υπό Γεωργίου Κολλίντζα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΗΜ: 1/7/14 ΣΤΕΦ - ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Α ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ -ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ.

v = r r + r θ θ = ur + ωutθ r = r cos θi + r sin θj v = u 1 + ω 2 t 2

Για τις παρακάτω 3 ερωτήσεις, να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΦΥΣ η Πρόοδος: 14-Οκτωβρίου-2017

ΦΥΣ η Πρόοδος: 14-Οκτωβρίου-2017

Κ. Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων

2ο ιαγώνισµα Β Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 30 Νοέµβρη 2014 Φυσική Προσανατολισµού - Μηχανική. Πρόχειρες Λύσεις. Θέµα Α

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π Β Λ Γ Λ ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΑΒΟΚΥΡΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΖΑΓΚΑΡΑΚΗΣ

ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΘΕΡΙΝΑ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

Ενότητα 4: Κεντρικές διατηρητικές δυνάμεις

Λύση Α. Σωστή η επιλογή α. Β.

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ επάνω στην ύλη της Προόδου 1 Δ. ΚΟΥΖΟΥΔΗΣ. Τμήμα Χημικών Μηχανικών, Χειμερινό Εξάμηνο 2015

Κεφάλαιο 5. Ενέργεια συστήματος

3. Σώμα μάζας m αρχικά ακίνητο κινείται σε οριζόντιο επίπεδο με την επίδραση σταθερής

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 24 Σεπτεμβρίου 2018

Πεδία δυνάμεων. Ηλεκτρισμός και μαγνητισμός διαφορετικές όψεις του ίδιου φαινομένου του ηλεκτρομαγνητισμού. Ενοποίηση των δύο πεδίων μετά το 1819.

Φυσική ΙΙ (Ηλεκτρομαγνητισμός Οπτική)

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 B ΦΑΣΗ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΚΑΙ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ Α ΚΑΙ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Από τη Φυσική της Α' Λυκείου

ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΦΟΡΤΙΩΝ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ

Λυμένες ασκήσεις. Ηλεκτρική δυναμική ενέργεια

Εισαγωγή στις Φυσικές Επιστήµες- Κλασική Μηχανική Ιούλιος 2004

Διαγώνισμα Φυσικής Γ Λυκείου Απλή αρμονική ταλάντωση Κρούσεις

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Α ΦΑΣΗ

ΑΣΚΗΣΗ 5.1 Το διάνυσμα θέσης ενός σώματος μάζας m=0,5kgr δίνεται από τη σχέση: 3 j οπότε το μέτρο της ταχύτητας θα είναι:

B 2Tk. Παράδειγμα 1.2.1

ΦΥΣ. 211 ΕΡΓΑΣΙΑ # 8 Επιστροφή την Τετάρτη 30/3/2016 στο τέλος της διάλεξης

1. Κίνηση Υλικού Σημείου

β. Το μέτρο της ταχύτητας u γ. Την οριζόντια απόσταση του σημείου όπου η μπίλια συναντά το έδαφος από την άκρη Ο του τραπεζιού.

ΥΤΙΚΗ ΚΑΣΕΤΘΤΝΗ Μ Α Θ Η Μ Α : Ε Π Ω Ν Τ Μ Ο :... Ο Ν Ο Μ Α :... Σελίδα 1 από 5 Ε Π Ι Μ Ε Λ Ε Ι Α Θ Ε Μ Α Σ Ω Ν : ΜΠΑΡΛΙΚΑ ΩΣΗΡΗ

Φυσική για Μηχανικούς

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική ΙI 11 Ιουνίου 2012

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ 2002 ΣΤΗ ΜΝΗΜΗ ΒΑΣΙΛΗ ΞΑΝΘΟΠΟΥΛΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ (ΠΟΜ 114) ΛΥΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 2015

Κρούσεις. 1 ο ΘΕΜΑ.

1ο ιαγώνισµα Β Τάξης Ενιαίου Λυκείου Κυριακή 9 Νοέµβρη 2014 Φυσική Προσανατολισµού - Μηχανική

ΦΥΣ 111 Γενική Φυσική Ι 5 η Εργασία Επιστροφή: Μία φοιτήτρια βρίσκεται σε ένα ασανσέρ το οποίο επιταχύνει συνεχώς προς τα πάνω µε

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2018 Β ΦΑΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΣΥΝΕΙΡΜΟΣ

1. Ποιά από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστή. 2. Στην άκρη ενός τραπεζιού βρίσκονται δύο σφαίρες Σ1 και Σ2. Κάποια

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1.1 (ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ - ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ - ΟΡΜΗ) ΚΥΡΙΑΚΗ 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2015 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ 4

Transcript:

Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης Βιβλιογραφία C Kittel, W D Knight, A Rudeman, A C Helmholz και B J oye, Μηχανική (Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις ΕΜΠ, 1998) Κεφ, 3 R Spiegel, Θεωρητική Μηχανική (Εκδόσεις ΕΣΠΙ, Αθήνα, 1985) Κεφ 1,, 3 Κ Χριστοδουλίδης, Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής (Σηµειώσεις, ΕΜΠ, 3): ιανύσµατα - Το αόριστο ολοκλήρωµα - Το ορισµένο ολοκλήρωµα - Λύση απλών διαφορικών εξισώσεων και εξισώσεων κίνησης 1 Οι νόµοι της κίνησης Οι τρεις νόµοι της κίνησης, του Νεύτωνα: 1 Ένα σώµα κινείται µε σταθερή ταχύτητα (ή ηρεµεί) όταν δεν ασκείται πάνω του καµµιά εξωτερική δύναµη: = a = (1) = δύναµη, a = επιτάχυνση Ο ρυθµός µεταβολής της ορµής p = v ενός σώµατος ως προς τον χρόνο είναι ίσος µε τη δύναµη που ασκείται πάνω στο σώµα: d = ( v) () 3 Όταν δύο σώµατα αλληλεπιδρούν, είναι: 1 = 1, (3) όπου 1 = η δύναµη που ασκείται πάνω στο σώµα 1 από το σώµα, και 1 = η δύναµη που ασκείται πάνω στο σώµα από το σώµα 1 υνάµεις και εξισώσεις κίνησης Εξίσωση κίνησης ενός σώµατος ονοµάζεται η διαφορική εξίσωση που προκύπτει από τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα v d d = ή = (4) όταν αντικατασταθεί σε αυτήν η µαθηµατική έκφραση για τη δύναµη που ασκείται πάνω στο σώµα Η δύναµη µπορεί να είναι συνάρτηση της θέσης του σώµατος, του χρόνου, της ταχύτητας του σώµατος κλπ = (, v, t,) Λύση της εξίσωσης κίνησης ονοµάζεται η λύση της διαφορικής εξίσωσης που ικανοποιεί τις δεδοµένες αρχικές ή άλλες συνθήκες του προβλήµατος Αυτή είναι συνήθως η συνάρτηση = (t) που δίνει τη θέση του σώµατος συναρτήσει του χρόνου Ενδιάµεση λύση µπορεί να είναι η v = v(t) που δίνει την ταχύτητα του σώµατος συναρτήσει του χρόνου Όπου αυτές οι λύσεις δεν είναι εφικτές, είναι µερικές φορές επιθυµητό να βρεθεί η ταχύτητα συναρτήσει της θέσης, v = v() 7

3 Οι θεµελιώδεις δυνάµεις της κλασσικής Μηχανικής Η βαρυτική δύναµη που ασκείται πάνω στη µάζα m = G m m ˆ από τη µάζα είναι όπου είναι η απόσταση των δύο µαζών, και ˆ το µοναδιαίο διάνυσµα από την στην m Το αρνητικό πρόσηµο υπάρχει γιατί η δύναµη είναι ελκτική Ορίζοντας την ένταση του βαρυτικού πεδίου (επιτάχυνση της βαρύτητας), m g G ˆ =, (6) m η δύναµη είναι m = mg (7) Η δύναµη Coulomb που ασκείται πάνω στο φορτίο q από το φορτίο Q είναι qq 1 Qq = ˆ 4π ε (8) όπου είναι η απόσταση των δύο φορτίων, και ˆ το µοναδιαίο διάνυσµα από το Q στο q Η δύναµη είναι αρνητική ή θετική, αν είναι ελκτική ή απωστική, αντίστοιχα Ορίζοντας την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου qq 1 Q E ˆ Q =, (9) q 4π ε η δύναµη είναι qq = qe (1) Q Η βαρυτική δύναµη µεταξύ σηµειακών µαζών και η ηλεκτροστατική δύναµη µεταξύ σηµειακών φορτίων είναι της µορφής = f () ˆ, (11) δηλαδή είναι κεντρικές δυνάµεις Η µαγνητική δύναµη που ασκείται πάνω στο φορτίο µέσα στο µαγνητικό πεδίο B είναι µαγν = q v B (1) Αν υπάρχει και ηλεκτρικό πεδίο E, η ολική δύναµη (δύναµη Loentz) είναι: L = qe + q v B (13) 4 Λύσεις της εξίσωσης κίνησης q όταν αυτό κινείται µε ταχύτητα Σε προβλήµατα κίνησης σε τρεις διαστάσεις, οι εξισώσεις κίνησης σε διανυσµατική µορφή αναλύονται σε τρεις διαφορικές εξισώσεις, µία για κάθε συνιστώσα Έτσι, αν η διανυσµατική εξίσωση κίνησης είναι =, (14) (5) v 8

η λύση βρίσκεται συνήθως αφού αυτή αναλυθεί στις τρεις εξισώσεις: = x y z x, = y, = z (15) 41 Μηδενική δύναµη Εξίσωση κίνησης: = = (16) d Λύση: v = = σταθ = v, = + v t (17) όπου = η αρχική θέση του σώµατος, v = η αρχική ταχύτητα του σώµατος Σε συνιστώσες: x = x + υ xt, y = y + t, z = z + υ zt (18) υ y 4 Σταθερή δύναµη Εξίσωση κίνησης: = = σταθ (19) 1 Λύση: v( t) = v + t, ( t) = + vt + t () όπου = η αρχική θέση του σώµατος, v = η αρχική ταχύτητα του σώµατος Σε συνιστώσες: 1 x x( t) = x + υ x t + t, x y z υ x ( t) = υ x + t, υ y ( t) = υ y + t, υ z ( t) = υ z + t, (1) 1 y y( t) = y + υ y t + t, 1 z z( t) = z + υ z t + t () Ειδική περίπτωση: Βολή σε οµογενές βαρυτικό πεδίο Η αρχική ταχύτητα σχηµατίζει γωνία θ µε την οριζόντια κατεύθυνση Η κίνηση γίνεται στο επίπεδο xy Η εξίσωση κίνησης είναι: Λύση: Εξίσωση της τροχιάς: d x d y d x d y m xˆ yˆ = mg yˆ +, ή =, = g (3) y y x = x + υ cos ) t, ( θ υ sin θ g + = x cos x g υ θ 1 y = y + ( υ sinθ ) t gt (4) υ sinθ cosθ + g (5) 43 Κίνηση φορτίου µέσα σε οµογενές µαγνητικό πεδίο Επιλέγουµε τους άξονες ώστε: µαγνητικό πεδίο: B = Bzˆ και αρχική ταχύτητα: Η αρχική θέση είναι: = x xˆ + yyˆ + zzˆ Εξίσωση κίνησης: d = = q v B (6) Σε συνιστώσες: v =υ 1ˆ y + υ zˆ z 9

Λύση: qb υ = υ qb & x y υ y = υ x x ( 1 & υ& z = (7) υ t) = υ sinωt υ t) = υ cosωt υ = σταθ (8) y ( 1 z όπου ω qb x = x + c (1 cosω ) y = y c sinωt z = z +υ t (9) t + = ω c η κυκλοτρονική συχνότητα, 1 υ 1 c ω c qb υ = = η κυκλοτρονική ακτίνα z 44 Κίνηση µε δύναµη τριβής ανάλογη της ταχύτητας ύναµη τριβής: τρ = β v Αρχική ταχύτητα: v Αρχική θέση: (,, ) d v Εξίσωση κίνησης: = β v (3) Αν v x υ x = υ xˆ, η εξίσωση κίνησης είναι =, όπου τ = σταθερά χρόνου τ β t / τ υ t / τ Λύση: υ x ( t) = υ e, x( t) = (1 e ) (31) β Προβλήµατα Από το βιβλίο Kittel κά "Μηχανική": Κεφ 3 Ασκ 3, 11, 14, 15 1 Ένα σωµατίδιο µε µάζα m κινείται στο επίπεδο xy υπό την επίδραση δύναµης = C, όπου C µια θετική σταθερά και το διάνυσµα θέσης του σωµατιδίου Ζητούνται: (α) Να γραφούν και να λυθούν οι εξισώσεις κίνησης του σωµατιδίου ως προς τους άξονες x και y (β) Ποια είναι η συνθήκη ώστε η τροχιά του σωµατιδίου να είναι περιφέρεια κύκλου και ποια είναι τότε η περιόδος της κίνησης; (γ) Ποια είναι η συνθήκη ώστε η τροχιά του σωµατιδίου να είναι ευθεία µε κλίση 45 ο ως προς τον άξονα x; Ένα σώµα έχει µάζα m, βρίσκεται αρχικά ακίνητο στη θέση y = και αρχίζει να πέφτει κατακόρυφα (κατά µήκος του άξονα y, η θετική κατεύθυνση του οποίου είναι προς τα πάνω) Η δύναµη της τριβής του αέρα είναι ίση µε bυ, όπου υ η ταχύτητα του σώµατος και b µια θετική σταθερά (α) Να βρεθεί η ταχύτητα του σώµατος, υ, ως συνάρτηση του χρόνου (β) είξτε ότι το σώµα τείνει να αποκτήσει µια ορική ταχύτητα και βρείτε την τιµή της (γ) Να βρεθεί η θέση του σώµατος, y, ως συνάρτηση του χρόνου (δ) Αναπτύξτε τις απαντήσεις για τα y (t) και υ (t) σε σειρές δυνάµεων του χρόνου, για να βρείτε σχέσεις που ισχύουν για µικρές τιµές του t 3 Σωµατίδιο µάζας m κινείται στο επίπεδο xy Το επίπεδο xy είναι οριζόντια λεία επιφάνεια Τη χρονική στιγµή t = το σωµατίδιο βρίσκεται στο σηµείο (, ) και έχει ταχύτητα υ η οποία σχηµατίζει γωνία 45 o µε τον άξονα x Η µόνη δύναµη που ασκείται στο σωµατίδιο είναι µία δύναµη τριβής, mkυ y ŷ, ανάλογη της συνιστώσας υ y της ταχύτητάς του, όπου k είναι ένας σταθερός θετικός συντελεστής (α) Ποια είναι η εξίσωση κίνησης του σωµατιδίου; (β) Βρείτε την ταχύτητά του ως συνάρτηση του χρόνου Μετά πόσο χρόνο η κατακόρυφη συνιστώσα της γίνεται υ / ; (γ) Ποια είναι η εξίσωση της τροχιάς που διαγράφει το σωµατίδιο στο επίπεδο xy ; 1

(δ) Ποια είναι η µέγιστη τιµή ym του y στην τροχιά; 4 Σφαίρα µάζας m εκτοξεύεται από το σηµείο (, ) µε αρχική ταχύτητα υ που σχηµατίζει γωνία θ µε τον άξονα x, ο οποίος είναι οριζόντιος Ο άξονας y είναι κατακόρυφος Η σφαίρα κινείται στο επίπεδο xy Το σηµείο βολής βρίσκεται σε ύψος h από το έδαφος Κατά την κίνησή της η σφαίρα υφίσταται αντίδραση bυ από την ατµόσφαιρα, όπου υ είναι η ταχύτητα της σφαίρας και b µια θετική σταθερά (α) Βρείτε τις συναρτήσεις υ (t) και υ (t) κατά την κίνηση της σφαίρας x y (β) Βρείτε τις συντεταγµένες x (t) και y(t) της σφαίρας (γ) Γράψετε την εξίσωση που προσδιορίζει την τιµή του χρόνου τ όταν η σφαίρα προσκρούει στο έδαφος, χωρίς να επιχειρήσετε να τη λύσετε hb υ (δ) είξτε ότι για τ >> m / b ο χρόνος αυτός είναι τ + sinθ mg g 5 Μια βάρκα κινείται µε ταχύτητα υ = υ xˆ ( υ > ) και βρίσκεται στη θέση x = όταν τη χρονική στιγµή t = σβήνεται η µηχανή της Η αντίσταση του νερού είναι τέτοια ώστε η δύναµη τριβής που ασκείται πάνω στη βάρκα να είναι ίση µε be, όπου υ είναι το µέτρο της ταχύτητας της βάρκας και α και b είναι θετικές σταθερές (α) Να βρεθεί η ταχύτητα της βάρκας, υ, ως συνάρτηση του χρόνου για t > (β) Να βρεθεί η θέση της βάρκας, x, ως συνάρτηση του χρόνου για t > (γ) Πόσος χρόνος, τ, θα απαιτηθεί για να σταµατήσει η βάρκα; Σε ποια τιµή τείνει ο τ για πολύ µεγάλες τιµές της υ ; 1 + = + [ + ] ln(1 ct ) (1 ct) ln(1 ct) 1 c 6 Σώµα µάζας m εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα πάνω µε αρχική ταχύτητα V ŷ ( V > ) κατά µήκος του άξονα των y, η θετική κατεύθυνση του οποίου είναι προς τα πάνω Η αρχική θέση του σώµατος είναι y = Πάνω στο σώµα δρα, εκτός του βάρους του, δύναµη τριβής από τον αέρα ίση µε mkυ, όπου υ η ταχύτητα του σώµατος και k µια θετική σταθερά (α) Να διατυπωθεί η εξίσωση κίνησης του σώµατος dy (β) Χρησιµοποιώντας τη σχέση = = υ δείξτε ότι τα υ και y ικανοποιούν τη dy dy V υ g 1 + kv / g σχέση y = ln k k 1 + kυ / g (γ) Βρείτε το µέγιστο ύψος H στο οποίο θα φθάσει το σώµα (δ) Αν υ = U είναι η ταχύτητα µε την οποία το σώµα επιστρέφει στο y =, δείξτε ότι: ku ku / g kv kv / g 1 e g = 1 + e g 7 Ένα σώµα µάζας m βρίσκεται πάνω σε κεκλιµένο επίπεδο Η γωνία θ που σχηµατίζει το επίπεδο µε την οριζόντια κατεύθυνση είναι αρχικά µηδενική και αυξάνεται πολύ αργά µέχρι τη στιγµή που το σώµα αρχίζει να κινείται Τότε η γωνία διατηρείται σταθερή Αν οι συντελεστές στατικής και κινητικής τριβής µεταξύ σώµατος και επιπέδου είναι µ s και µ k αντίστοιχα (µ s >µ k ), να βρεθούν ως συναρτήσεις του χρόνου: (α) Η ταχύτητα της µάζας, και (β) Η θέση της 8 Ένα σώµα έχει µάζα m, βρίσκεται αρχικά ακίνητο στο σηµείο y =, και τη χρονική στιγµή t = αρχίζει να πέφτει κατακόρυφα (κατά µήκος του άξονα y, η θετική κατεύθυνση του οποίου είναι προς τα κάτω) Κατά την κίνηση του σώµατος στο πεδίο βαρύτητας, το οποίο θεωρούµε οµογενές, η αντίσταση του αέρα είναι ανάλογη του τετραγώνου της ταχύτητας του σώµατος, και ίση µε aυ, όπου υ η ταχύτητα του σώµατος και a µια θετική σταθερά αυ 11

(α) Να βρεθεί η ταχύτητα του σώµατος, υ (t), ως συνάρτηση του χρόνου (β) είξετε ότι το σώµα τείνει να αποκτήσει µια ορική ταχύτητα και βρείτε την τιµή της (γ) Να βρεθεί η θέση του σώµατος, y(t), ως συνάρτηση του χρόνου 1