ΕΔΟΥΑΡΔΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Αμπελόκηποι Αθήνα Τηλ.: 0 69 97 985, www.edlag.gr ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Τηλ.: 0 69 97 985, e-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr ΣΜΑΡΑΓΔΑ ΣΑΡΑΝΤΟΠΟΥΛΟΥ, MSC, ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΔΙΔΑΚΤΩΡ ΕΜΠ ΕΔΟΥΑΡΔΟΣ ΛΑΓΑΝΑΣ, Ph.D KENTΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ Τηλ.: 0 69 97 985 e-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr Δεν επιτρέπεται η ολική ή μερική αναδημοσίευση του κειμένου ή των σχημάτων χωρίς την γραπτή άδεια του συγγραφέα.
Τηλ.: 0 69 97 985, e-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr Θεωρείστε την Lagrangian L q q η οποία περιγράφει ένα μονοδιάστατο Δυναμικό Σύστημα με γενικευμένη συντεταγμένη q. Βρείτε το q(t) ολοκληρώνοντας την αντίστοιχη εξίσωση Lagrange. Είναι γνωστό ότι η εξίσωση Lagrange είναι: d L L 0 d t q q Αντικαθιστώντας με την Lagrangian που μας δίνεται, έχουμε: d 4 q q 4 q q 0 q q q q q q q 0 dt qq q q 0 q qq 0 Έχουμε ότι: d q d q d q d q q q d t d q d t d q Επομένως η ανωτέρω εξίσωση Lagrange γίνεται: dq dq q q q 0 q q 0 dq dq Για την επίλυση της παραπάνω διαφορικής εξίσωσης, χρησιμοποιούμε τη μέθοδο των χωριζομένων μεταβλητών. Συνεπώς: d q dq ln q ln q A q q (όπου Α : σταθερά) dq q q C q C dt Ολοκληρώνουμε για να βρούμε το q(t) και προκύπτει ότι: Και συνεπώς: q Ct C q (t) C3t C4 ( C 3, C 4 σταθερές) Έστω ένα σωματίδιο που κινείται σε μία διάσταση υπό την επίδραση της δύναμης Fx F σταθ. (α) Γράψτε τη Hamiltonian του σωματιδίου Ηx, p x και τις εξισώσεις κίνησης αυτού. 3
Τηλ.: 0 69 97 985, e-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr (β) Τώρα αλλάξτε συντεταγμένες ως ακολούθως: Q p x, P x Είναι ο μετασχηματισμός αυτός συντεταγμένων κανονικός; (γ) Κατασκευάστε την καινούρια Hamiltonian KQ, P που προκύπτει από την παλιά εξαιτίας της αλλαγής των συντεταγμένων, και γράψτε τις εξισώσεις Χάμιλτον για τη νέα Hamiltonian. K (δ) Κατασκευάστε τη Lagrangian L από τη Hamiltonian K και δείξτε ότι η διαφορά της από την αρχική Lagrangian (στις αρχικές συντεταγμένες) δεν είναι τίποτε άλλο από μια τέλεια χρονική παράγωγο μιας συνάρτησης των x,t. [Υπόδειξη: Θα χρειαστεί τη διαφορά αυτή να την ξαναγράψετε στις αρχικές συντεταγμένες ως συνάρτηση των x, x, και να επικαλεστείτε και την εξίσωση κίνησης του σωματιδίου]. (α) H Hamiltonian ορίζεται ως εξής: L H qi L q Επίσης η γενικευμένη ορμή ορίζεται ως εξής: Στη μία διάσταση, έστω x, θα ισχύει: Εύρεση της Lagrangian T m x με Fx F σταθ. με H Hq i, p i,t i i L pi q i i, όπου L T V i H p q L L T Vx με: H px x L dv dv F V Fxˆi ˆi Fx dv Fxdx dx dx i, το δυναμικό γίνεται Vx Άρα V x Fx c και ορίζοντας c 0 Fx. Τελικά: L m x F x Αφού βρήκαμε τη Lagrangian, επιστρέφουμε στη Hamiltonian και αντικαθιστούμε: H px x m x Fx Όμως η Hamiltonian πρέπει να περιέχει μόνο τις γενικευμένες θέσεις και γενικευμένες ορμές. 4
Τηλ.: 0 69 97 985, e-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr L px m x (Νευτώνεια ορμή) x px x m px px H px m F x m m px px H F x m m px H F x m Η παραπάνω είναι η τελική έκφραση της Hamiltonian του σωματιδίου. H εύρεση των εξισώσεων κίνησης θα γίνει μέσω των κανονικών εξισώσεων του Hamilton: H H qi και pi pi qi Στη μία διάσταση γίνονται: H px px x x px m m Καταλήξαμε στην ίδια έκφραση με αυτήν που βρήκαμε από τον ορισμό της γενικευμένης ορμής. H Επίσης έχουμε px F px F. x Τελικά έχουμε: p m Συνεχίζουμε παραγωγίζοντας μια φορά ακόμη: Αντικαθιστούμε το Επομένως: px F και έχουμε x x και px F p x x m F x. Η διαφορική εξίσωση κίνησης είναι m d x F F F F dx dt dx dt x t C dt m m m m F x 0. m dx F F t C dx t Cdt dt m m Ft xt C t C m 5
Τηλ.: 0 69 97 985, e-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr (β) Θέλουμε να αποδείξουμε ότι ο μετασχηματισμός είναι κανονικός. Ένας τρόπος, ίσως ο απλούστερος, είναι χρησιμοποιώντας την αγκύλη Poisson. Θα πρέπει: Q,P δηλαδή Q P P Q p x x x px Q, P x px x px x px x px Όμως: p x x 0 και 0 x px Q, P Και συνεπώς ο μετασχηματισμός είναι κανονικός! (γ) Αφού ο μετασχηματισμός είναι κανονικός θα βρούμε τη νέα Hamiltonian KQ, P κάνοντας μια απλή αντικατάσταση px Q και x P στην αρχική Hamilton. Q K Q, P FP m Οι εξισώσεις Hamilton για την Q K Q, P F P m K Q, P είναι οι εξής: K K Q και P P Q Q Q F, P m K (δ) Κατασκευάζουμε τη νέα χρησιμοποιώντας τον ορισμό που δώσαμε στο ερώτημα. K L PQ K K Q, P. Ισχύει L από τη Hamiltonian K PQ L K Θυμόμαστε όμως ότι K Q L PQ F P m K K L L Q,Q. Πρέπει να εξαφανίσουμε την P. Από τις κανονικές εξισώσεις του Hamilton έχουμε: Q F Άρα : 6
Τηλ.: 0 69 97 985, e-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr K Q L P F F P m Βρίσκουμε την διαφορά Άρα L K L L K m x. Επομένως: K Q L m K. Αρχικά γράφουμε την L στις αρχικές συντεταγμένες x, x : L K Q px m m με p m x x L L m x F x m x K K L L m x F x F Στο (α) ερώτημα έχουμε βρει x t C. Αντικαθιστώντας στην διαφορά m K F L L m t C F x m K L L βρίσκουμε: K F Ft F L L m t C C t FC t FC, m m m 3 F t m 3Ft C m C FC C3 όπου C mc FC 3 dt m 3 d F t 3 FC t C 3 t Δηλαδή: όπου: K dg LL, dt 3 F t 3 G FCt C3t m 7
Τηλ.: 0 69 97 985, e-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr Σε μια κυκλική στεφάνη ακτίνας R είναι περασμένες 3 σημειακές χάντρες με μάζες,,σ, αντίστοιχα, οι οποίες μπορούν να κινούνται επί της στεφάνης δίχως τριβές. Οι τρεις μάζες συνδέονται μεταξύ τους με τρία όμοια γραμμικά ελατήρια σκληρότητας τα οποία έχουν το καθένα φυσικό μήκος όσο το / 3 της περιμέτρου της στεφάνης δηλαδή ίσο με π/3. Αρχικά οι χάντρες βρίσκονται ακίνητες στις γωνιακές θέσεις 0, π/3 και 4π/3 και το σύστημα ισορροπεί. Το σύστημα τώρα διαταράσσεται και η πρώτη μάζα βρίσκεται στη θέση θ, η δεύτερη στη θέση π/3 θ και η τρίτη στη θέση 4π/3 θ3 (όλες οι γωνίες λαμβάνονται με την ίδια φορά). Χρησιμοποιήστε στα ακόλουθα ερωτήματα τις θέσεις αυτές ως συντεταγμένες. (α) Κατασκευάστε τη Lagrangian του συστήματος και τους πίνακες κινητικής και δυναμικής ενέργειας. (β) Υποθέστε την ακόλουθη κίνηση των τριών χαντρών θi t Ωt, για όλα τα i Επιβεβαιώστε ότι η κίνηση αυτή αποτελεί λύση των εξισώσεων Euler-Lagrange του συστήματος. Ποια η ιδιοσυχνότητα της κατάστασης αυτής; (γ) Υποθέστε την ακόλουθη κίνηση των τριών χαντρών θl t θ t sin ωt, θ3 t 0 Επιβεβαιώστε ότι και αυτή η κίνηση αποτελεί λύση των εξισώσεων Euler-Lagrange του συστήματος για μια συγκεκριμένη τιμή της ω. Προσδιορίστε την τιμή αυτή της ω. Γράψτε της ιδιοκατάσταση (δεν είναι ανάγκη να την κανονικοποιήσετε) που περιγράφεται από την κίνηση αυτή. (δ) Υποθέστε την ακόλουθη κίνηση των τριών χαντρών θl t θ t sin ωt, θ3 t Asin ωt Το ω που εμφανίζεται στις παραπάνω εκφράσεις είναι άγνωστο και δεν έχει σχέση με το ω του προηγούμενου ερωτήματος. Δείξτε ότι η κίνηση αυτή μπορεί να αποτελεί λύση των εξισώσεων Euler- Lagrange του συστήματος αν τα ω και A ικανοποιούν το σύστημα εξισώσεων: ω A, A σω Το σύστημα αυτό με δεδομένη την τιμή του σ έχεις ως λύση δύο τιμές για το ω και αντίστοιχα δύο τιμές για το A. Προσδιορίστε τις δύο αντίστοιχες ιδιοκαταστάσεις. Η μία ιδιοκατάσταση είναι αυτή που βρήκατε στο ερώτημα (). Γράψτε την άλλη ιδιοκατάσταση όταν σ και την αντίστοιχη ιδιοσυχνότητα. Σε αυτή την περίπτωση όλες οι μάζες είναι ίδιες και θα περίμενε κανείς, όπως και στο ερώτημα (3), να είναι ιδιοκατάσταση και η 0,, T με ιδιοσυχνότητα ίδια με εκείνη του ερωτήματος (3). Η ιδιοκατάσταση όμως που έχετε βρει για σ είναι διαφορετική. Φτιάξτε ένα γραμμικό συνδυασμό των δύο ιδιοκαταστάσεων, εκείνης του ερωτήματος (3) και της καινούριας που βρήκατε στο παρόν ερώτημα για σ, ο οποίος να περιγράφει ίδιου τύπου ταλάντωση σαν εκείνη του ερωτήματος (3), δηλαδή δύο από τις μάζες να ταλαντώνονται με ανάποδη φάση και η τρίτη να είναι ακίνητη (για παράδειγμα την 0,, T ). (α) L T V 8
Τηλ.: 0 69 97 985, e-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr Το σύστημα έχει τρεις βαθμούς ελευθερίας: T mr θ mr θ m3r θ3 T θ θ σθ3 Τη δυναμική συνάρτηση την βρίσκουμε χρησιμοποιώντας γνώσεις από συζευγμένες ταλαντώσεις. Επομένως: V kθ θ k θ θ3 k θ3 θ θ θ θ θ3 θ3 θ διότι k (σταθερά ελατηρίου). Άρα L θ θ σθ 3 θ θ θ θ3 θ3 θ Εύρεση πίνακα κινητικής ενέργειας: Γνωρίζουμε ότι ο πίνακας M της κινητικής ενέργειας είναι ένας διαγώνιος πίνακας. Πάνω στην διαγώνιο τοποθετούνται οι συντελεστές των θ, θ, θ, δηλαδή έχουμε: 3 Εύρεση πίνακα δυναμικής ενέργειας: 0 0 M 0 0 0 0 σ Έχουμε ήδη φτιάξει την δυναμική ενέργεια: V θ θ θ θ3 θ3 θ V θ θ θ θ θ3 θ3 θ θ θ θ θ θ3 θ3 θ θ3 θ θ θ3 Το σκεπτικό για την κατασκευή του πίνακα είναι το εξής: Ο πρώτος όρος θθ μας θυμίζει το στοιχείο πίνακα α. Όμοια και οι όροι θ θ,θ3 θ 3 τα στοιχεία α, α 33 αντίστοιχα. Ο όρος θθ το στοιχείο α. Ομοίως συμπληρώνουμε τον πίνακα διαστάσεων 3x3: K (β) Υποθέτουμε την ακόλουθη κίνηση των τριών χαντρών: θi t Ωt. Υπολογίζουμε τις εξισώσεις Euler-Lagrange του συστήματος, υπό μορφή πινάκων: Mθ Kθ 0 Για να επιβεβαιώσουμε ότι η κίνηση αυτή αποτελεί λύση την δοκιμάζουμε: θ t Ωt, θ t Ωt, θ t Ωt 3 9
Βρίσκουμε το ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ Τηλ.: 0 69 97 985, e-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr θ t,θ t : Ωt θt Ωt Ωt Ωt 0 θt Ω, θt 0 0 0 Αντικαθιστούμε στην Mθ Kθ 0 : 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Ωt 0 0 Ωt 0 0 0 0 0 0 0 Η κίνηση που μας δίνεται επαληθεύει τις εξισώσεις Euler-Lagrange. Παρατηρούμε όμως ότι η λύση που βρήκαμε δεν έχει περιοδική μορφή, δηλαδή δεν είναι ταλαντωτική. Επομένως η ιδιοσυχνότητα της κατάστασης αυτής είναι μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι οι τρεις μάζες κινούνται ελεύθερα πάνω στη στεφάνη, χωρίς τα ελατήρια να συμπιέζονται! (γ) Έστω θ t sin ωt, θ t sin ωt, θ3 t 0. Ακολουθούμε την ίδια διαδικασία με το ερώτημα (β). Δηλαδή: sin ωt θ sin ωt sin ωt 0 0 0 θ ω sin ωt Αντικαθιστούμε στην εξίσωση Euler-Lagrange: Mθ Kθ 0 0 0 0 0 0 σ 0 0 0 3 0 ω sin ωt sin ωt 3 0 0 0 0 ω sin ωt 0 0 sin ωt 0 ω 3 0 sin ωt ω 3 0 0 0 0
Τηλ.: 0 69 97 985, e-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr Πρέπει λοιπόν να ισχύει: Δηλαδή 0 0 ω 3 0 ω 3 0 ω 3 0, ω 3 0. Λύνοντας βρίσκουμε ω 3. Δοκιμάσαμε ταλαντωτική λύση της μορφής θ sin ωt, 0 ιδιοκατάσταση που περιγράφεται από την κίνηση αυτή. (δ) όπου ο πίνακας 0 είναι η θ t θ t sin ωt, θ t Asin ωt l 3 sin ωt θ sin ωt sin ωt Asin ωt A Δοκιμάζουμε πάλι τον παραπάνω πίνακα στις εξισώσεις Euler-Lagrange: θ ω cosωt, θ ω sin ωt A A Αντικαθιστούμε στην Mθ Kθ 0 0 0 0 0 0 σ A A 0 ω sin ωt 0 0 sin ωt 0 A 0 σa A 0 ω sin ωt sin ωt A 0 ω A sin ωt ω sin ωt ω σa 0 A 0 A 0 ω A 0 sin ωt ω A 0 ω σa A 0
Τηλ.: 0 69 97 985, e-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr Για να ισχύει η παραπάνω σχέση πρέπει: ω A 0 ω A ω σa A 0 AσA A 0 Άρα σa σa A 0 Εύκολα βρίσκουμε τις λύσεις: A, σa σ A 0 σ σ 8σ σ A, σ σ σ σ σ σ Επομένως: A και A σ Επιστρέφουμε στην σχέση ω A Για A το ω. σ σ Για A το ω 0 ω 0. Η ιδιοσυχνότητα ω 0 είναι ίδια με αυτήν που βρήκαμε στο ερώτημα (). Η άλλη ιδιοσυχνότητα για σ γίνεται ω 3 με ιδιοκατάσταση. A Στο ερώτημα (3) βρήκαμε την ιδιοκατάσταση 0 ενώ γι αυτό το ερώτημα βρήκαμε ιδιοκατάσταση. Φτιάχνουμε ένα γραμμικό συνδυασμό των δύο ιδιοκαταστάσεων που να περιγράφει δυο από τις μάζες να ταλαντώνονται με ανάποδη φάση και η τρίτη να είναι ακίνητη. 0 Δηλαδή θέλουμε να φτιάξουμε μια νέα ιδιοκατάσταση λ.χ.. Εύκολα παρατηρούμε ότι αν σχηματίσουμε την υπέρθεση
Τηλ.: 0 69 97 985, e-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr 0 0 0 Ένα σχετικιστικό σωματίδιο με μάζα ηρεμίας m το οποίο κινείται σε κάποιο δυναμικό Vx (θεωρείστε για ευκολία ότι η κίνηση συμβαίνει επί του άξονα x μόνο) περιγράφεται από την ακόλουθη Lagrangian: L x,υ mc υ /c V x όπου υ x και c η ταχύτητα του φωτός. (α) V x (β) Γράψτε την εξίσωση κίνησης του σωματιδίου και λύστε την στην περίπτωση που Fx. Συγκρίνετε το διάστημα που θα διανύσει το σωματίδιο ξεκινώντας από την ηρεμία με το αντίστοιχο ενός μη σχετικιστικού σωματιδίου που υπόκειται σε ίδιο δυναμικό λαμβάνοντας όρους μέχρι τέταρτης τάξης στο ανάπτυγμα του xt για το σχετικιστικό σωματίδιο. Δίδεται το ολοκλήρωμα ε ε / ε /8 Ο ε 4 6. s xdx/ x s καθώς και το ανάπτυγμα του 0 (γ) Ποια είναι η γενικευμένη ορμή του σωματιδίου; Κατασκευάστε την Hamiltonian που αντιστοιχεί στο σωματίδιο αυτό. (δ) Ποια ποσότητα διατηρείται κατά τη διάρκεια της κίνησης του σωματιδίου; (α) Με βάση τη σχετικιστική Lagrangian: L mc υ /c V x βρίσκουμε την εξίσωση κίνησης μέσω των Euler-Lagrange: d L L 0 dt υ x με υ x. Συνεπώς: L mυ υ / c υ / L x dv x dx 3
Δεδομένου ότι: Επομένως: ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ Τηλ.: 0 69 97 985, e-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr d mυ υ /c 0 dt dx / dv x dv x Vx Fx F dx d / / mυ υ /c F 0 d mυ υ /c Fdt dt Ολοκληρώνοντας καταλήγουμε στο επιθυμητό αποτέλεσμα: υt t / / υ d mυ υ / c Fdt mυ Ft υt c 0 0 F t m c Αξίζει να σημειώσουμε ότι αν δεν είχε δοθεί η Lagrangian τότε η πρώτη σκέψη θα ήταν να την υπολογίσουμε μέσω της γνωστής διαδικασίας L T V. Η σχετικιστική κινητική ενέργεια είναι: mc T E mc γ mc mc mc υ / c / T mc υ / c Άρα η L θα ήταν: Χρησιμοποιώντας εν συνεχεία τις εξισώσεις Euler-Lagrange / L mc υ /c V x Ft θα παίρναμε: d L L 0 dt υ x L mυ υ / c υ 3/ L dv x x dx Άρα αντικαθιστώντας θα είχαμε: d 3/ dv x mυ υ /c 0 dt dx Παρατηρούμε ότι δεν καταλήγουμε στην αναμενόμενη σχετικιστική διαφορική εξίσωση κίνησης. H ορθή Lagrangian προκύπτει αν δεχτούμε ότι και για την περίπτωση της σχετικιστικής ορμής ισχύει η γνωστή σχέση που συνδέει τη γενικευμένη ορμή με τη Lagrangian: L m υ L m υ p mυ γ L dυ υ υ υ /c υ /c 4
Θέτοντας Lagrange: ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ Τηλ.: 0 69 97 985, e-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr xυ /c και ολοκληρώνοντας, εύκολα καταλήγουμε στην ορθή συνάρτηση L mc υ /c (β) Αρχικά υπολογίζουμε το διάστημα που θα διανύσει το σωματίδιο ξεκινώντας από την ηρεμία: dx Ft dx F t dt υ dx dt Ft dt m m mc mc Ft Θέτουμε w. mc Δίνεται ότι s 0 x dx x t w x xt / / 0 0 Ft w dw m F F F m c mc xt w w 0 0 s. Επομένως: t w w dw / mc mc F t xt w xt F F m c Με βάση το ανάπτυγμα: 4 w w w 8 (όπου κρατήσαμε όρους μέχρι τέταρτης τάξης) θα έχουμε: 4 4 3 4 mc F t F t Ft F t xt x 4 4 t 3 F m c 8 m c. m 8 m c Συγκρίνοντας τις δύο σχέσεις παρατηρούμε ότι ο δεύτερος όρος είναι αυτός που διαφοροποιεί την διανυθείσα απόσταση για το σχετικιστικό σωματίδιο από τον αντίστοιχο για το νευτώνειο (πρώτος όρος). (γ) Η γενικευμένη ορμή του σωματιδίου είναι: L υ p mυ υ c / Κατασκευάζουμε τη Hamiltonian: H Hx,p pυ L Αντικαθιστούμε την υ από την σχέση της ορμής: pc υ / m c p p p c H c mc V x / m c p c m c p 5
Τηλ.: 0 69 97 985, e-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr Οπότε H c p mc Vx p c m c 4 Vx (δ) Παρατηρώντας προσεκτικά την έκφραση που καταλήξαμε για τη Hamiltonian, είναι σαφές ότι είναι το άθροισμα της κινητικής και δυναμικής ενέργειας. Δηλαδή υπάρχει το ολοκλήρωμα Jacobi και επομένως η ποσότητα που διατηρείται είναι η ενέργεια: E T V γmc Vx Η Lagrangian φορτισμένου σωματιδίου μάζας m και φορτίου e το οποίο κινείται εντός μαγνητικού x x, y,z είναι: πεδίου και βρίσκεται στη θέση L m x ex Ax, όπου το Ax, το ανυσματικό δυναμικό, δεν εξαρτάται άμεσα από το χρόνο και σχετίζεται με το μαγνητικό πεδίο μέσω της σχέσης: B A (α) Από τις εξισώσεις Euler-Lagrange δείξτε κάνοντας με προσοχή τις διανυσματικές πράξεις ότι οι εξισώσεις κίνησης είναι οι εξής: m x e x B (β) Δείξτε τώρα ότι κατά την κίνηση διατηρείται η κινητική ενέργεια K του σωματιδίου. B 0,0,dF/dx όπου (γ) Θεωρείστε τώρα ότι το μαγνητικό πεδίο έχει την ακόλουθη μορφή Fx μια τυχαία συνάρτηση. Αφού επιβεβαιώσετε ότι ένα κατάλληλο ανυσματικό δυναμικό είναι το A 0,Fx,0 εντοπίστε τις κυκλικές μεταβλητές και τις αντίστοιχες διατηρούμενες ορμές. Στη συνέχεια δείξτε ότι θα πρέπει να ισχύει η σχέση: K c ef x x d, m m όπου c,d σταθερές που προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. (α) Με δεδομένη τη Lagrangian οι εξισώσεις Euler-Lagrange θα δώσουν: L m u e u A x d L L 0 dt u x L m u e A x u L Ax e u x x 6
Τηλ.: 0 69 97 985, e-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr du d A x da x A x m u e Ax e u 0 m e e u 0 dt x dt dt x Όμως: da A A dx A dy A dz dt t x dt y dt z dt da A A A A A ux uy uz dt t x y z t u A Επίσης εύκολα βρίσκουμε ότι: A u u A x du A m e u A eu A 0 dt t Θεωρώντας ότι A A Ax (δηλ. 0 ) t και χρησιμοποιώντας την ταυτότητα u A ua u A θα έχουμε: αφού ως γνωστόν B A. du m e u A e ub dt (β) Για να διατηρείται η κινητική ενέργεια του σωματιδίου θα πρέπει dk 0 dt. Δηλαδή: dk d du m u m u 0 dt dt dt Όμως βρήκαμε στο ερώτημα (α): διότι τα διανύσματα (γ) Για να είναι το du m eu B dt dk e u u B 0 dt u και u B είναι ορθογώνια. Επομένως η κινητική ενέργεια διατηρείται. ορθά το μαγνητικό πεδίο μέσω της σχέσης: A 0,F x,0 ένα κατάλληλο ανυσματικό δυναμικό, θα πρέπει να παράγει Δηλαδή: A B 7
Τηλ.: 0 69 97 985, e-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr ˆi ˆj kˆ ˆF x ˆ F x A i k x y z z x 0 F x 0 Όμως: Fx 0 z και επομένως: dfx A k ˆ B dx Επομένως A B οπότε το A είναι κατάλληλο ανυσματικό δυναμικό. Κυκλικές μεταβλητές (ή αγνοήσιμες μεταβλητές) είναι εκείνες για τις οποίες ισχύει: L 0 q i Η L γράφεται: L m u e uy Fx L L Παρατηρούμε ότι 0 y z Οι αντίστοιχες διατηρήσιμες γενικευμένες ορμές θα είναι οι: L py m uy e Fx m y e Fx c y L pz m uz m z d z Από την διατήρηση της κινητικής ενέργειας θα έχουμε λοιπόν: K K K m u m x y z x y z x y z m m Από τις διατηρήσιμες ορμές έχουμε: py e y F x m m, όμως p c y pz pz z, d m m K C e F x x d m m 8
Τηλ.: 0 69 97 985, e-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ι, ΙΙ Φυσική Στερεάς Κατάστασης Ανάλυση Ι, ΙΙ Πυρηνική Φυσική & Στοιχειώδη Σωμάτια ΜΜΦ Ι, ΙΙ Σύγχρονη Φυσική Πιθανότητες - Στατιστική Ειδική Σχετικότητα Φυσική Ι, II, III, IV Χημεία Πρακτικά Χημείας Mηχανική Ι, ΙΙ Ηλεκτρονική Ι, ΙΙ Ηλεκτρομαγνητισμός I, II Πρακτικά Ηλεκτρονικής Κβαντομηχανική Ι, ΙΙ Συστήματα Τηλεπικοινωνιών Στατιστική Φυσική Υπολογιστές Επιλογές H σίγουρη λύση που οδηγεί στο πτυχίο 9