1. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 2 ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Παράδειγµα 2

1. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 2 ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Παράδειγµα 1 ίνεται η συνάρτηση z = f(x,y)= x 3-3xy 2 +y 4 α) να βρεθούν οι πρώτες µερικές παράγωγοι ως προς x,y β) να βρεθούν οι δεύτερες µερικές παράγωγοι ως προς x,y και y,x z = f(x,y)= x 3-3xy 2 +y 4 θz ή θf = 3x 2-3y 2 θx θx θz ή θf = -6xy+4y 3 θy θy θ 2 z ή θ 2 f = 6x θx 2 θx 2 θ 2 z ή θ 2 f = -6x+12y 2 θy 2 θy 2 θ 2 z ή θ 2 f = -6y θxθy θxθy θ 2 z ή θ 2 f = -6y θyθx θyθx Παράδειγµα 2 ίνεται η συνάρτηση α) να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης z = f(x,y) =x+3y+1 β) να βρεθούν οι µερικές παράγωγοι 1 ης και 2 ης τάξης α) x y z 0 0 1 0 1 4 1 0 2 1

β) θz = 1 θx θz = 3 θy θ 2 z = 0 θx 2 Παρατήρηση: εν υπάρχουν x,y που να µηδενίζουν την πρώτη παράγωγο εν υπάρχει ακρότατο θ 2 z = 0 θy 2 θ 2 z = θ 2 z = 0 θxθy θyθx Παράδειγµα 3 ίνεται η συνάρτηση z = f(x,y) = x 3 + x 2 + -xy + y 2 + 4 α) οι πρώτες µερικές παράγωγοι β) οι δεύτερες µερικές παράγωγοι γ) οι τιµές των x,y που οι πρώτες παράγωγοι γίνονται 0 z = f(x,y) = x 3 + x 2 + -xy + y 2 + 4 α) θz = 3x2+2x-y γ) -x+2y= 0 x=2y θx 3x2+2x-y=0 3(2y)2 + 2(2y)2-y=0 θz = -x+2y 12y2 + 4y y = 0 3y(4y + 1) = 0 θy 2

Άρα β) θ 2 z = 6x+2 y=0 ή 4y + 1 = 0 θx 2 x=2y x=2y (0, 0) (-1/2, -1/4) θ 2 z = 2 θy 2 θ 2 z = -1 θxθy 2. ΜΗΤΡΑ (MATRIX) α 11 α 12.. α 1n Α= α 21 α 22... α 2n.. α m1 α m2... α mn Ανάστροφη : συµβολίζεται Α ή Α Τ στήλες => γραµµές γραµµές => στήλες X1 x = [x1 x 2.. x n ] => x = x 2.. Xn p 1 p= p 2 => p = [p 1 p 2 p n ].. Pn x 1 c = p x = [p 1 p 2 p n ] * x 2 = p1x1 + p 2 x 2 +. + p n x n.. Xn 3

2.1 ΟΡΙΖΟΥΣΑ ΜΗΤΡΑΣ : Συµβολίζεται lαl ή D(A) A = α11 α12 α21 α22 => lαl ή D (A) = α11 α12 = α11 * α22 α12 * α21 α21 α22 π.χ. Β = 5 4 => lβl ή D(Β) = 5 4 = 5 * 8 4 * 3 = 28 3 8 3 8 Παράδειγµα 1 ίνεται η µήτρα Α = 3 1-2 0 4 1 8 2 3 Να βρεθεί η ορίζουσα. Α = 3 1-2 => lαl = 3 1-2 = 0 4 1 0 4 1 8 2 3 8 2 3 = 3 * 4 1-1 * 0 1 + (-2) * 0 4 = 2 3 8 3 8 2 = 3 * (4*3-2*1) - 1 * (0*3-8*1) + (-2) * (0*2-8*4) = 102 Σηµείωση: Ανάπτυξη ορίζουσας Μήτρας 3x3 κατά γραµµή α 11 α 12 α 13 α 21 α 22 α 23 = α 11 * α 22 α 23 - α 12 * α 21 α 23 + α 13 * α 21 α 22 α 31 α 32 α 33 α 32 α 33 α 31 α 33 α 31 α 32 4

κατά στήλη α 11 α 12 α 13 α 21 α 22 α 23 = α 11 * α 22 α 23 - α 21 * α 12 α 13 + α 31 * α 12 α 13 α 31 α 32 α 33 α 32 α 33 α 32 α 23 α 22 α 23 3. ΜΕΘΟ ΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΩΝ Lagrange Έστω ότι δίνεται η συνάρτηση y = f(x 1,x 2 ) / A και υπάρχει ο περιορισµός φ = φ(x 1,x 2 ) = 0 Τότε σχηµατίζουµε την συνάρτηση L = L(x 1, x2, λ) = f(x 1, x2) + λ * φ(x 1, x2) Η συνάρτηση ονοµάζεται συνάρτηση Lagrange και όπου λεr είναι ο πολλαπλασιαστής Lagrange. 1) Αναγκαίες συνθήκες L 1 = θl = θf + λ * θφ = f1 + λ * φ 1 θx 1 θx 1 θx 1 L 2 = θl = θf + λ * θφ = f2 + λ * φ 2 θx 2 θx 2 θx 2 L λ = θl = φ(x 1, x2) = 0 θλ Λύνουµε το σύστηµα των 3 εξισώσεων ως προς x 1,x 2, λ. Η λύση του συστήµατος αποτελεί πιθανό ακρότατο. 2) Ικανές συνθήκες lhφl = L 11 L12 φ1 όπου φ 1 = θφ και φ 2 = θφ L 21 L22 φ2 θx 1 θx 2 φ 1 φ 2 0 5

Έχω µέγιστο όταν lhφl > 0 Έχω ελάχιστο όταν lhφl < 0 4. ΣΥΝΟΛΑ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Παράδειγµα 1 Έστω ότι σε µια οικονοµία υπάρχουν 2 επιχειρήσεις, η επιχείρηση 1 και η επιχείρηση 2 (επιχείρηση 1 = παραγωγή σιδήρου, επιχείρηση 2 = παραγωγή αυτοκινήτων) και 3 αγαθά (αγαθό 1=αυτοκίνητο, αγαθό 2 = σίδηρος και αγαθό 3 = εργασία). Στην οικονοµία υπάρχουν 2 διαδικασίες παραγωγής για κάθε επιχείρηση που εκφράζονται µε τα ακόλουθα διανύσµατα παραγωγής : Επιχείρηση 1 : y 1 = (-2, 4, -8) εr 3 X1 = (1, -3, 12) εr 3 Επιχείρηση 2 : y 2 = (9, -3, 18) εr 3 X2 = (8, -2, 6) εr 3 Ζητούνται: α) Να ευρεθούν τα σχέδια παραγωγής της οικονοµίας β) H συνολική παραγωγή της οικονοµίας για τις δυο διαδικασίες γ) Τα σύνολα παραγωγής των επιχειρήσεων 1 και 2 δ) Το σύνολο ολικής παραγωγής α) Το α σχέδιο παραγωγής της οικονοµίας είναι: Y* = (y 1, y 2 ) = (-2, 4, -8), (9, -3, 18) To β σχέδιο παραγωγής της οικονοµίας είναι: X* = (x 1, x 2 ) = (1, -3, 12), (8, -2, 6) 6

β) H συνολική παραγωγή για τις δυο διαδικασίες παραγωγής είναι: y = y 1 + y 2 = (-2, 4, -8) + (9, -3, 18) = (7, 1, 10) x = x 1 + x 2 = (1, -3, 12) + (8, -2, 6) = (9, -5, 18) γ) Τα σύνολα παραγωγής των επιχειρήσεων 1 και 2 είναι : Επιχείρηση 1 : Y 1 = [y 1, x 1 ] = [(-2, 4, -8), (1, -3, 12)] Επιχείρηση 2 : Y 2 = [y 2, x 2 ] = [(9, -3, 18), (8, -2, 6)] δ) το σύνολο ολικής παραγωγής είναι το : Y = Y 1 + Y 2 = [y 1, x 1 ] + [y 2, x 2 ] = [y 1 + y 2, x 1 + x 2 ] = = [y, x] = [(7, 1, 10), (9, -5, 18)] 5. EΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η ελαστικότητα µιας συνάρτησης δίνεται από τον τύπο: n = dy * x dx y Παράδειγµα 1 Να υπολογιστεί η ελαστικότητα της συνάρτησης : y = 40 5x2 / R όταν x=2. Όταν x=2 τότε y = 40 5 * 22 = 20 dy = -10x Άρα n = dy * x = -10x * x = -10 * 2 *2 = -2 dx dx y y 20 Αρα για κάθε x αυξ. 10% => µείωση y 2% 7

Παράδειγµα 2 Να υπολογισθεί η ελαστικότητα της συνάρτησης: y = -5x -5 στο σηµείο x. dy = 25 x -6 dx n = dy * x = 25x -6 * x = 25x -6 * x = 25 x -5 = -5 dx y y -5x -5-5x -5 Άρα για κάθε x αυξ. 1% => µείωση y 5% 6. ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΙΣΟΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Μας δίνεται η συνάρτηση παραγωγής : q = F(K,L) (1) Εάν θέσουµε στην (1) q = q o = σταθερή τότε: q o = F(K,L) (2) Η συνάρτηση (2) αντιπροσωπεύει µια καµπύλη που αντιστοιχεί σε κάθε επίπεδο παραγωγής q = q o. Έτσι για τα διάφορα απίπεδα παραγωγής θα έχουµε µια οικογένεια καµπυλών. Κάθε καµπύλη ισοπαραγωγής δείχνει όλους τους δυνατούς συνδυασµούς των συντελεστών παραγωγής που παράγουν την ίδια ποσότητα προιόντος. 8

Τα χαρακτηριστικά των καµπύλων ισοπαραγωγής είναι : α) Κάθε σηµείο στον χώρο των συντελεστών παραγωγής ανήκει σε κάποια καµπύλη ισοπαραγωγής β) Οι καµπύλες ισοπαραγωγής έχουν αρνητική κλίση γ) Οι καµπύλες ισοπαραγωγής δεν τέµνονται µεταξύ τους δ) Οι καµπύλες ισοπαραγωγής είναι κυρτές ως προς την αρχή των αξόνων 7. ΟΡΙΑΚΟΣ ΛΟΓΟΣ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Έχω την συνάρτηση παραγωγής: q = F(K,L) dq = F * dk + F * dl K L dq = F K * dk + F L * dl Αν q = σταθερό τότε dq = 0 Συνεπώς 0 = F K dk + F L dl F K dk = - F L dl dk = - F L = ( - MP L ) dl F K MP K 9

το dk µας δείχνει την κλίση της ευθείας σρο σηµείο Α dl MRTSKL = - dk dl ( Οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης) 8. Η ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΠΕΡΙΟΧΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ 10

Στις καµπύλες ισοπαραγωγής ενδιαφέρον από οικονοµική άποψη έχουν τα τµήµατα των καµπυλών που η κλίση τους είναι αρνητική, γιατί εκεί είναι δυνατή η υποκατάσταση των συντελεστών παραγωγής, εδώ συγκεκριµένα το τµήµα της Ι 1 που είναι το ΑΒ. Οι γραµµές ΟΒΧ και ΟΑΥ ονοµάζονται γραµµές οριοθέτησης. Η περιοχή ανάµεσα στις γραµµές οριοθέτησης είναι η οικονοµική περιοχή της παραγωγής. Για την γραµµή οριοθέτησης ΟΑΥ ισχύει ΜP L = 0 και MRTS LK = 0, και αντίστοιχα για την ΟΒΧ. Μέχρι το Α : είναι οικονοµικό Μέχρι το Γ : είναι αντιοικονοµικό Πέρα από τις καµπύλες ΟΒΧ και ΟΑΥ είναι αντιοικονοµικό 9. ΓΡΑΜΜΗ ΙΣΟΥ ΚΟΣΤΟΥΣ Έστω ότι σε µια επιχείρηση χρησιµοποιούµε τους συντελεστες παραγωγής, εργασία L και κεφάλαιο Κ µε τις αντίστοιχες αµοιβές W και r. Συνεπώς το κόστος C µιας επιχείρησης δίνεται από την εξίσωση: C = wl + rk ή K = C - w *L r r 11

Η γραµµή ΑΒ ονοµάζεται «γραµµή ίσου κόστους» ή «γραµµή περιορισµένης δαπάνης». Η κλισή της ΑΒ προσδιορίζεται από τον αρνητικό λόγο των εισροών εργασίας και κεφαλαίου dk = - w dl r 10.ΟΜΟΙΟΓΕΝΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έχω την συνάρτηση : f(x 1, x 2 ) = 3x 1 2-5x 1 x 2 + 9x 2 2 f(tx 1, tx 2 ) = 3(tx 1 ) 2-5(tx 1 )(tx 2 ) + 9(tx 2 ) 2 = t 2 ( 3x 1 2-5x 1 x 2 + 9x 2 2 ) = t 2 f(x 1, x 2 ) Άρα οµοιγενής δευτέρου βαθµού Παράδειγµα 1 Να δειχθεί αν η συνάρτηση Κοπ-Νταγκλας είναι οµογενής q = F(K, L) = A * K a * L b (να εξετασθεί ως προς την οµογένεια). F(tK, tl) = A(tK)a (tl)b = A ta Ka tb Lb = ta+b (AKaLb) = ta+b F(k,L)= =t F(K,L) a+b = 1 αν a+b = 2 το F(K,L) θα διπλασιάζεται αν a+b = 3 το F(K,L) θα τριπλασιάζεται... Παράδειγµα 2 ίνεται η συνάρτηση φ(x,y) = x + 2y να εξετασθεί ως προς την οµογένεια y x 12

f(tx, ty) = tx + 2ty = x + 2y = t o f(x,y) ty tx y x Άρα είναι οµογενής µηδενικού βαθµού 11. ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Τρόποι υπολογισµού τόκου: α) Ι = C * t * i β) I = (C * µ * i) / 12 γ) I = (C * V * ι) / 365 = (C * V) / (365/i) = N / D όπου Ν = C * V D = 365 / i C = κεφάλαιο i = επιτόκιο µ = µήνες V = µέρες Παράδειγµα 1 Να βρεθεί ο τόκος κεφαλαίου 600000 ευρώ µε 0,05 επιτόκιο για 3 έτη. Ι = C * t * i = 600000 * 3 * 0,05 = 90000 ευρώ Παράδειγµα 2 Να υπολογισθεί ο τόκος κεφαλαίου 8000000 ευρώ µε εξαµηναίο επιτόκιο 0,1 για 3 έτη. Ι = C * t * i = 8000000 * 6 * 0,1 = 4800000 ευρώ 13

Παράδειγµα 3 Πόσο τόκο θέλει κεφάλαιο 6900000 ευρώ σε δυο έτη και 8 µήνες µε επιτόκιο 4% ανα τρίµηνο; Ι = C * t * i = 6900000 * 0,04 * (30/3 +2/3) = 2944000 ευρώ C t = C + I = C + C * t * i = C * (1 + t * i) τελική αξία Παράδειγµα 4 Ποιο κεφάλαιο που τοκίστηκε µε 3% κατ ετος επί 6 έτη έγινε µαζι µε τους τόκους του 5900000; Ι = C * t * i => C = I / t * i = 1600000/ (8/12) * 0.05 =. Παράδειγµα 5 Με ποιο ετήσιο επιτόκιο κεφαλαίου 7400000 ευρώ επί 3 έτη παράγει τόκο 1332000 ευρώ; Ι = C * t * i => i = I / C*t = 1332000 / 7400000*3 = 0.06 Παράδειγµα 6 Ποιο κεφάλαιο που τοκίστηκε µε 3% κατ έτος επί 6 έτη έγινε µαζί µε τους τόκους του 5900000; Ι = Co * t * i C t = Co + I = Co + Co * t * i = Co * (1 + t * i) (1) t = 6 i = 0.03 C t = 5900000 14

Άρα από (1) έχω C t = Co * (1 + t * i) => Co = C t / (1 + t * i) = = 5900000 / (1 + 6 * 0,03) =.. 11.1 ΠΡΟΕΞΟΦΛΗΣΗ Ονοµαστική αξία = Παρούσα αξία + Προεξόφληµα Εξωτερική προεξόφληση E = C * t * i (2) A + E = C (3) Από (2), (3) έχω Α + C * t * i = C => A = C C * t * i => => A = C * (1-t*i) όπου Ε: εξωτερικό προεξόφληµα Α: πραγµατική αξία της συναλλαγµατικής Παράδειγµα 1 Μια συναλλαγµατική έχει ονοµαστική αξία 4000000 δραχµες και προεξοφλείται 2 έτη πριν από την λήξη της µε επιτόκιο 8%. Ζητείται: α) το εξωτερικό προεξόφληµα β) η πραγµατική αξία της συναλλαγµατικής α) Έχω C = 4000000, i = 0.08, t = 2 και ισχύει E = C * t * i Συνεπώς Ε = 4000000 * 0,08 * 2 = 640000 δραχµές β) Ισχύει Α + Ε = C => A = C E => A = 4000000 640000 = 3360000 15

Εσωτερική προεξόφληση Έχω E = Α * t * i (1) και ισχύει Α + Ε = C Α + Α * t * i = C Α * (1 + t * i ) = C A = C / (1 + t * i ) (2) Από (1), (2) έχω Ε = C * t * i 1 + t * i Παράδειγµα 2 Συναλλαγµατικκή αξίας ονοµαστικής 6000000 ευρώ προεξοφλείται 30 ηµέρες πριν από την λήξη της µε επιτόκιο 2%. Να ευρεθεί το εσωτερικό προεξόφληµα αυτής. Ε = C * t * i (1) µε t = ν / 360 1 + t * i Άρα από (1) => Ε = C * ν * i = 6000000 * 30 * 0.02 = 3600000 360 + ν * i 360 + 30 * 0.02 360.6 16

12. ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ Λογική Παθητικού: ΑΥΞΗΣΗ = ΠΙΣΤΩΣΗ ΜΕΙΩΣΗ = ΧΡΕΩΣΗ Λογική Ενεργητικού: ΑΥΞΗΣΗ = ΧΡΕΩΣΗ ΜΕΊΩΣΗ = ΠΙΣΤΩΣΗ Παράδειγµα 1 Η επιχείρηση Ν. Αλέφαντος ΑΕ κατά το Νοέµβρη 2004 είχε τις ακόλουθες οικονοµικές πράξεις: 1) Στις 21/11/04 αγόρασε εµπορεύµατα µε µετρητά αξίας 120000 ευρώ (Α.Τ. 829) 2) Στις 22/11/04 αγόρασε εµπορεύµατα µε πίστωση αξίας 47000 ευρώ (Α.Τ. 175) 3) Στις 23/11/04 πλήρωσε για ενοίκιο 800 ευρώ (Αρ.Απ. 36) 4) Στις 24/11/04 πούλησε εµπορεύµατα αξίας 8000 ευρώ αντί 11000 ευρώ µε µετρητά (τιµ. 412) Ζητείται να γίνουν οι σχετικές λογιστικές εγγραφές α) στο ηµερολόγιο β) στο γενικό καθολικό Πραγµατοποίηση Εξόδων => Μείωση Καθαρης Περιουσίας => Μείωση παθητικού => ΧΡΕΩΣΗ Πραγµατοποίηση Εσόδων => Αυξηση Καθαρής Περιουσίας => Αύξηση Παθητικού => ΠΙΣΤΩΣΗ α) Ηµερολόγιο σε ευρώ Α/Α ΗΜΕΡΟΜ. ΣΓΚ ΚΩ. - ΛΟΓ. - ΑΙΤ. ΧΡΕΩΣΗ ΠΙΣΤΩΣΗ 1 21/11/2004 10 Εµπορεύµατα 120000 20 Ταµείο (Αρ.Τ. 829) 120000 2 22/11/2004 10 Εµπορεύµατα 47000 30 Προµηθευτές (Α.Τ175) 47000 3 23/11/2004 40 Ενοίκιο 800 20 Ταµείο (Α.Απ. 36) 800 4 24/11/2004 20 Ταµείο 11000 10 Εµπορεύµατα (Α.Τ 412) 8000 50 Κέρδη Εµπορεύµατα 3000 β) Γενικό Καθολικό σελ.10 17

Χ Εµπορεύµατα Π (1) 120000 Ι 8000 (4) (2) 47000 Ι σελ.20 Χ Ταµείο Π (4) 11000 Ι 120000 (1) Ι 800 (3) Χ Προµηθευτές Π Ι 47000 (2) σελ.30 σελ.40 Χ Ενοίκιο Π (3) 800 Ι Χ σελ.50 Κέρδη Εµπορεύµατα Ι 3000 (4) Π Παράδειγµα 2 Η επιχείρηση Α.Αντωνίου Α.Ε. κατά το εκέµβριο 2004 έκανα τις παρακάτω οικονοµικές πράξεις: 1) Στις 3/12/04 αγόρασε από τον Β.Βασιλείου 2500 kg λάδι, προς 4ευρώ/κιλό και 4000 kg ελιές προς 0,5 ευρώ/κιλό (Αρ.τιµ. 452) 2) Στις 17/12/04 πλήρωσε στον Β.Βασιλείου 3600 έναντι οφελής (Αρ.Απ. 270) 3) Στις 18/12/04 αγόρασε 1000 kg λάδι από τον. ηµητρίου προς 4,2 ευρώ/κιλό το µισό µε πίστωση και το υπόλοιπο µισο µε µετρητά (Αρ.τιµ. 163) Ζητείται: α) να συγγραφεί το ηµερολόγιο β) το γενικό καθολικό γ) τα αναλυτικά καθολικά 18

Α/Α ΗΜΕΡΟΜ. ΣΓΚ ΣΑΚ ΚΩ. - ΛΟΓ. - ΑΙΤ. ΑΝ.Κ. ΧΡΕΩΣΗ ΠΙΣΤΩΣΗ 1 3/12/2004 10 Εµπορεύµατα 12000 5 λάδι (2500kg * 4ευρώ /kg) 10000 ελιές(4000kg * 0,5ευρώ /kg) 2000 20 Πιστωτές (Αρ.Τ. 452) 12000 3 Β.Βασιλείου 12000 2 17/12/2004 20 Πιστωτές 3600 3 Β.Βασιλείου 3600 30 Ταµείο (Αρ.Απ. 270) 3600 3 18/12/2004 10 Εµπορεύµατα 4200 5 λάδι (1000kg * 4,2ευρώ /kg) 4200 20 6 Πιστωτές ηµητρίου 2100 2100 30 Ταµείο (Α.Τ. 163) 2100 2100 β) ΓΕΝΙΚΟ ΚΑΘΟΛΙΚΟ σελ.10 Χ Εµπορεύµατα Π (1) 12000 Ι (2) 4200 Ι σελ.20 Χ Πιστωτές Π (2) 3600 Ι 12000 (1) Ι 2100 (3) σελ.30 Χ Ταµείο Π Ι 3600 (2) Ι 2100 (3) γ) ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΚΑΘΟΛΙΚΟ ΕΜΠΟΡΕΥΜΑΤΩΝ σελ.5 Χ Λάδι Π (1) 10000 Ι (3) 4200 σελ.8 Χ Ελιές Π (1) 2000 Ι 19

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΚΑΘΟΛΙΚΟ ΠΙΣΤΩΤΩΝ σελ.3 Χ Β.Βασιλείου Π (2) 3600 Ι 12000 (1) σελ.6 Χ. ηµητρίου Π Ι 2100 (3) Παράδειγµα 3 Η επιχείρηση Θ.Α.Ε. τον 12/04 είχε τις ακόλουθες οικονοµικές πράξεις: 1) Στις 2/12/04 αγόρασε έπιπλα αξίας 800 ευρώ µε µετρητά (Αρ.Τ. 157) 2) Στις 3/12/04 πλήρωσε για ενοίκια 1100 ευρώ (Α.Απ. 24) 3) Στις 6/12/04 πούλησε εµπορεύµατα αξίας 4200 ευρώ µε µετρητά (Αρ.Τ.163) Ζητείται να γίνουν: α) οι καταχωρήσεις στο ηµερολόγιο β) οι αντίστοιχες εγγραφές στο γενικό καθολικό και γ) να συνταχθεί το ισοζύγιο. Α/Α ΗΜΕΡΟΜ. ΣΓΚ ΚΩ. - ΛΟΓ. - ΑΙΤ. ΧΡΕΩΣΗ ΠΙΣΤΩΣΗ 1 2/12/2004 10 Επιπλα 800 20 Ταµείο (Αρ.Τ. 157) 800 2 3/12/2004 30 Ενοίκια 1100 20 Ταµείο (Αρ.Α. 24) 1100 3 6/12/2004 40 Εµπορεύµατα 4200 20 Ταµείο (Αρ.Τ. 613) 4200 β) ΓΕΝΙΚΟ ΚΑΘΟΛΙΚΟ σελ.10 Χ Επιπλα Π (1) 800 Ι 20

σελ.20 Χ Ταµείο Π (3) 4200 Ι 800 (1) Ι 1100 (2) 1900 σελ.30 Χ Ενοίκια Π (2) 1100 Ι σελ.40 Χ Εµπορεύµατα Π Ι 4200 (3) γ) ΙΣΟΖΥΓΙΙΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΙΠΑ Α/Α ΛΟΓΑΡΙΑΣΜΟΙ ΧΡΕΩΣΗ ΠΙΣΤΩΣΗ ΧΡΕΩΣΗ ΠΙΣΤΩΣΗ 1 Επιπλα 800 800 2 Ταµείο 4200 1900 2300 3 Ενοίκιο 1100 1100 4 Εµπορεύµατα 4200 4200 6100 6100 4200 4200 Παράδειγµα 4 Στις 3/12/04 ο Α.Αφραγκος ίδρυσε επιχείρηση και κατέθεσε για έναρξη των εργασιών 20000 ευρώ (Αρ.Απ. 1). Στις 4/12/04 πλήρωσε το ενοίκιο του µηνός δεκεµβρίου για τα γραφεία της επιχείρησης αξίας 800 ευρώ (Αρ.Απ. 196) Ζητείται να γίνουν οι σχετικές λογιστικές εγγραφές στο ηµερολόγιο. Α/Α ΗΜΕΡΟΜ. ΚΩ. - ΛΟΓ. - ΑΙΤ. ΤΡ.ΛΟ Ε.ΛΟ. ΧΡΕΩΣΗ ΠΙΣΤΩΣΗ 1 3/12/2004 38 ΧΡΗΜ. ΙΑΘΕΣΙΜΑ 20000 38,00 ΤΑΜΕΙΟ 20000 40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 20000 40,07 ΚΕΦ. ΑΤΟΜ. ΕΠ. 20000 40,07,000 ΚΕΦ. ΑΦΡΑΓ. 20000 2 4/12/2004 62 ΠΑΡΟΧΕΣ ΤΡΙΤΩΝ 800 62,04 ΕΝΟΙΚΙΑ 800 62,04,01 ΕΝΟΙΚΙΑ ΚΤΗΡ 800 38 ΧΡΗΜ. ΙΑΘΕΣΙΜΑ 800 38,00 ΤΑΜΕΙΟ 800 21

Παράδειγµα 5 Σε µια ατοµική επιχείρηση Ε. στις 14/12 ο επιχειρηµατίας αυτης Σ.ΩΝΑΣΗΣ προσφερε από την προσωπική του περιουσία 4000 ευρώ και έπιπλα 900 ευρώ µε σκοπό την αύξηση του κεφαλαίου της επιχείρησης. Στις 18/12/04 ο ίδιος επιχειρηµατίας εισέπραξε για ατοµικές του ανάγκες 1500 ευρώ ( Απ.Αρ. 172/18-12-2004). Ζητείται να γίνουν οι σχετικές λογιστικές εγγραφές στο ηµερολόγιο. Α/Α ΗΜΕΡΟΜ. ΚΩ. - ΛΟΓ. - ΑΙΤ. ΤΡ.ΛΟ Ε.ΛΟ. ΧΡΕΩΣΗ ΠΙΣΤΩΣΗ 1 14/12/2004 38 ΧΡΗΜ. ΙΑΘΕΣΙΜΑ 4000 38,00 ΤΑΜΕΙΟ 4000 14 ΕΠΙΠΛΑ Κ ΕΞΟΠΛ. 900 14,00 ΕΠΙΠΛΑ 900 40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4900 40,07 ΚΕΦ. ΑΤΟΜ. ΕΠ. 4900 40,07,000 Σ.ΩΝΑΣΗΣ. 4900 (ΑΠΟ. ΑΡ. 36/14/12/04 2 18/12/2004 33 ΧΡΕΩΣ. ΙΑΦΟΡΕΣ 1500 33,07 ΑΤΟΜ. ΛΟΓ. ΕΠΙΧ. 1500 33,07,000 Σ.ΩΝΑΣΗΣ 1500 38 ΧΡΗΜ. ΙΑΘΕΣΙΜΑ 1500 38,00 ΤΑΜΕΙΟ 1500 (Απ.Αρ. 172/18-12-2004) Παράδειγµα 5 Τα στοιχεία της χρηµατοοικονοµικής κατάστασης της επιχείρησης «Εκπαιδευτήρια Πειραιώς Α.Ε.» κατά την 31/12/04 ήταν τα ακόλουθα (τα ποσά σε ευρώ): Ταµείο 8000 Ε Καταθέσεις όψεως 15000 Ε ανειο Alpha Bank 20000 Π ιδακτρα Εισπρακτέα 35000 Ε Γραµµάτια πληρωτές 13000 Π Γραφική ύλη 600 Ε Γραµµάτια εισπρακτέα 17000 Ε Φόροι πληρωτέοι 2000 Π Προµηθευτές 9000 Π Εξοπλισµός γραφείου 2400 Ε Ζητείται: α) Να προσδιοριστούν ποια στοιχεία ανήκουν στο ενεργητικό και ποια στο παθητικό β) να συνταχθεί ο ισολογισµός 22

ΙΣΟΛΟΓΙΣΜΟΣ 31/12/04 ΕΝΕΡΓΗΤΙΚΟ ΠΑΘΗΤΙΚΟ ΤΑΜΕΙΟ 8000 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 34000 ΚΑΤ. ΟΨΕΩΣ 15000 ΑΝΕΙΟ 20000 Ι. ΕΙΣΠΡ. 35000 ΓΡΑΜΜ. ΠΛΗΡ. 13000 ΓΡΑΦΙΚΗ ΥΛΗ 600 ΦΟΡΟΙ 2000 ΓΡΑΜΜ. ΕΙΣΠΡ. 17000 ΠΡΟΜΗΘΕΥΤΕΣ 9000 ΕΞΟΠΛ. ΓΡΑΦΕΊΟΥ 2400 ΣΥΝΟΛΟ ΠΑΘΗΤ. 78000 ΣΥΝΟΛΟ ΕΝΕΡΓ. 78000 23