Κυρτότητα και Εφαρμογές της ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Μαρία Ε. Κούρου Επιβλέπων: Στυλιανός Σταματάκης Αναπληρωτής Καθηγητής Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Μάιος 2015
Κυρτότητα και Εφαρμογές της ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Μαρία Ε. Κούρου Επιβλέπων: Στυλιανός Σταματάκης Αναπληρωτής Καθηγητής Α.Π.Θ. Εγκρίθηκε από την τριμελή εξεταστική επιτροπή την... Σ. Σταματάκης Αν. Καθηγητής Τμ. Μαθηματικών Α.Π.Θ.... Δ. Παπαδοπούλου Επ. Καθηγήτρια Τμ. Μαθηματικών Α.Π.Θ.... Φ. Πεταλίδου Λέκτορας Τμ. Μαθηματικών Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Μάιος 2015
... Μαρία Ε. Κούρου Πτυχιούχος Μαθηματικός Α.Π.Θ. Copyright Μαρία Ε. Κούρου, 2015. Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος. All rights reserved. Απαγορεύεται η αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσας εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για εμπορικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό μη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσης, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα. Ερωτήματα που αφορούν τη χρήση της εργασίας για κερδοσκοπικό σκοπό πρέπει να απευθύνονται προς τον συγγραφέα. Οι απόψεις και τα συμπεράσματα που περιέχονται σε αυτό το έγγραφο εκφράζουν τον συγγραφέα και δεν πρέπει να ερμηνευτεί ότι εκφράζουν τις επίσημες θέσεις του Α.Π.Θ.
Abstract Examples of convex sets and bodies exist from ancient times, however the detailed research and progress of the Theory of Convexity happened during the 18th and 19th century. A great number of mathematicians of the time were trying to understand its nature and its properties and those were the ones who established the field of Convex Geometry. Famous mathematicians who worked on the Theory of Convexity are Kepler, Euler, Lagrange, Legendre, Gauss and Weierstrass. Moreover, Fourier contributed with the proof of the isoperimetric inequality, Minkowski with the Brunn-Minkowski inequality, Blaschke with the Selection Theorem and Steiner with the symmetrization of a convex body. A significant reason of interest in the Theory of Convexity is the fact that as a notion it is easily perceptible but there exists a more complicated structure with a significant amount of applications. Furthermore, the proximity of Theory of Convexity to other fields of mathematics, such as Differential and Riemannian Geometry, Functional Analysis, Geometrical Measure Theory etc., made the study of Convexity necessary. In this thesis, we present some basic properties of convex sets along with applications that derive from convexity. In the first chapter, there is an introduction of convexity on affine spaces and some useful definitions. The second chapter contains fundamental theorems of Convex and Combinatorial Geometry and in the third chapter, we introduce convexity on Euclidean spaces. Moreover, in the fourth chapter, we investigate convexity combined with compactness of sets. The fifth chapter deals with problems regarding convex bodies, such as the Brunn-Minkowski inequality and the isoperimetric inequality, whereas, in the sixth chapter, convex polytopes and polyhedra are examined. Moreover, the Euler formula is presented for convex polytopes of dimension three or higher.
Περίληψη Η κυρτότητα ήταν γνωστή ως έννοια από την αρχαιότητα. Από τότε έχουμε παραδείγματα κυρτών συνόλων και σωμάτων, καθώς και πολλούς μαθηματικούς που ασχολήθηκαν με αυτά. Ο Αρχιμήδης ήταν αυτός που έδωσε τον ορισμό της και έθεσε τα θεμέλια για την ανάπτυξή της σχετικής θεωρίας, τα χρόνια που επακολούθησαν. Όμως, η λεπτομερής μελέτη της Θεωρίας της Κυρτότητας και η εξέλιξη της έγινε μετά τον 18ο αιώνα, με τη συμβολή των Kepler, Euler, Lagrange και Legendre στον προσδιορισμό των πολυτόπων και της εξίσωσης του Euler. Κατά τον 19ο αιώνα, μελετήθηκε το ισοπεριμετρικό πρόβλημα από τον Fourier, το εμβαδό της επιφάνειας από τον Cauchy αλλά και η συμμετρικοποίηση κυρτού σώματος από τον Steiner. Ο Gauss, ο Weierstrass, ο Minkowski (με την ανισότητα Brunn-Minkowski), ο Blaschke (με το ομώνυμο Θεώρημα Επιλογής), αλλά και οι Endler και Schwartz, που πρώτοι απέδειξαν το ισοπεριμετρικό πρόβλημα για μεγαλύτερες διαστάσεις, ήταν οι θεμελιωτές της Θεωρίας της Κυρτότητας. Γενικότερα, πολλοί διακεκριμένοι μαθηματικοί ασχολήθηκαν με την έννοια της κυρτότητας λόγω της εγγύτητας της σε πολλούς τομείς των μαθηματικών. Τις τελευταίες δεκαετίες, υπάρχει ιδιαίτερη σχέση της Θεωρίας της Κυρτότητας με τη Διαφορική και Ρημάνια Γεωμετρία, τη Συναρτησιακή Ανάλυση, τη Γεωμετρική Θεωρία Μέτρου, το Λογισμό Μεταβολών, καθώς και άλλους κλάδους των μαθηματικών. Ο λόγος του ενδιαφέροντος έγκειται στο γεγονός ότι είναι μία έννοια εύκολα αντιληπτή, αλλά κρύβει μία πολύπλοκη δομή με συγκεκριμένες ιδιότητες και εφαρμογές. Στην εργασία αυτή γίνεται μία παρουσίαση των βασικών ιδιοτήτων των κυρτών συνόλων καθώς και εφαρμογών που προκύπτουν μέσω της κυρτότητας. Στο πρώτο κεφάλαιο, γίνεται μία εισαγωγή της κυρτότητας σε ομοπαραλληλικούς χώρους και στο δεύτερο κεφάλαιο, παρουσιάζονται θεωρήματα της Συνδυαστικής Γεωμετρίας, τα οποία είναι ιδιαιτέρως σημαντικά στη Θεωρία της Κυρτότητας. Το τρίτο κεφάλαιο περιέχει τον ορισμό της κυρτότητας σε Ευκλείδειους χώρους, ενώ, το τέταρτο κεφάλαιο αναφέρεται στη θεωρία των κυρτών σωμάτων. Στο πέμπτο κεφάλαιο, εξετάζονται προβλήματα και εφαρμογές των κυρτών σωμάτων και τέλος, το έκτο κεφάλαιο είναι αφιερωμένο στα κυρτά πολύτοπα και πολύεδρα, καθώς και στην εξίσωση του Euler, την οποία ικανοποιούν.
Πρόλογος Θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τον επιβλέποντα Αναπληρωτή Καθηγητή κ. Σταματάκη Στυλιανό για τη συνεχή καθοδήγηση και τη συνολική επίβλεψη της εργασίας. Επίσης, θερμές ευχαριστίες απευθύνω και στα μέλη της επιτροπής, την Επίκουρη Καθηγήτρια κα Παπαδοπούλου Δέσποινα και τη Λέκτορα κα Πεταλίδου Φανή για τη μελέτη και την αξιολόγηση της εργασίας. Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω τους γονείς μου για την εμπιστοσύνη και τη στήριξή τους, καθ όλη τη διάρκεια των σπουδών μου.
Περιεχόμενα 1 Η Κυρτότητα στη Γεωμετρία 5 1.1 Το ευθύγραμμο τμήμα.............................. 5 1.2 Ημιχώροι..................................... 6 1.3 Κυρτά σύνολα................................... 8 1.4 Το ομοπαραλληλικό Simplex........................... 14 2 Θεμελιώδη Θεωρήματα 16 2.1 Το Θεώρημα του Καραθεοδωρή......................... 17 2.2 Το Θεώρημα του Radon.............................. 18 2.3 Το Θεώρημα του Helly.............................. 20 3 Κυρτότητα στον R n 27 3.1 Κυρτές συναρτήσεις............................... 30 3.2 Η Μετρική Προβολή............................... 33 3.3 Υπερεπίπεδα Στήριξης και η Συνάρτηση Στήριξης................ 37 3.4 Διαχωρίζοντα Υπερεπίπεδα............................ 43 3.5 Το Θεώρημα Hahn-Banach και η Γεωμετρική του Μορφή............ 45 4 Κυρτά Σώματα 50 4.1 Σύνορο Κυρτού Σώματος............................. 50 4.2 Η Μετρική του Hausdorff και ο Χώρος Κυρτών Σωμάτων........... 55 4.3 Το Θεώρημα Επιλογής του Blaschke....................... 57 4.4 Όγκος και Μικτός Όγκος Κυρτών Σωμάτων................... 61 5 Εφαρμογές στα Κυρτά Σώματα 66 5.1 Ανισότητα των Brunn-Minkowski........................ 66 5.2 Συμμετρικοποίηση κατά Steiner......................... 71 5.3 Ισοπεριμετρικό Πρόβλημα............................ 78 6 Πολύτοπα και Πολύεδρα 84
6.1 Κυρτά Πολύτοπα................................. 84 6.2 Κυρτά Πολύεδρα................................. 86 6.3 Η εξίσωση του Euler............................... 88 7 Βιβλιογραφία 95 4
1 Η Κυρτότητα στη Γεωμετρία 1.1 Το ευθύγραμμο τμήμα Για να οριστούν έννοιες της Γεωμετρίας, όπως το ευθύγραμμο τμήμα, ο ημιχώρος, η κυρτότητα, κ.ά., σε έναν ομοπαραλληλικό χώρο A n, χρειαζόμαστε διάταξη. Ορισμός 1.1. Έστω A n ένας ομοπαραλληλικός χώρος και V n ο αντίστοιχος διανυσματικός χώρος του, ο οποίος είναι ορισμένος πάνω σε ένα σώμα K. Αν το K είναι διατεταγμένο σώμα, τότε ο ομοπαραλληλικός χώρος A n ονομάζεται διατεταγμένος. Αν P, Q είναι δύο τυχαία σημεία του διατεταγμένου ομοπαραλληλικού χώρου A n, το σύνολο των σημείων X του A n για τα οποία P X = λp Q, όπου λ K και 0 λ 1, ονομάζεται ευθύγραμμο τμήμα με άκρα τα σημεία P, Q και συμβολίζεται με P Q. Κάθε σημείο X του ευθύγραμμου τμήματος P Q, με X P και X Q, ονομάζεται εσωτερικό. Λέμε, επίσης, ότι το σημείο αυτό βρίσκεται μεταξύ των P, Q. Παρατήρηση 1.1. Προφανώς, για λ = 0 και λ = 1 προκύπτουν τα σημεία P, Q, αντίστοιχα. Άρα για 0 < λ < 1, έχουμε τα εσωτερικά σημεία του ευθύγραμμου τμήματος P Q. Όταν η χαρακτηριστική του σώματος K είναι διάφορη του 2, το σημείο M, για το οποίο ισχύει P M = 1 2 P Q, ονομάζεται μέσο του ευθύγραμμου τμήματος P Q. Θεωρούμε δύο διάφορα σημεία P, Q A n και το ευθύγραμμο τμήμα P Q. Για κάθε σημείο X A n του P Q, υπάρχει λ K με 0 λ 1, ώστε Για τυχούσα διανυσματική αρχή O A n, η (1) γράφεται ως P X = λp Q. (1) OX OP = λp Q OX = OP + λ ( OQ OP ) OX = (1 λ)op + λoq. (2) Τα στοιχεία 1 λ, λ είναι οι βαρυκεντρικές του σημείου X, αν το θεωρήσουμε ως σημείο της ευθείας {P } {Q}. Έστω S := {A 0,..., A n } ένα ομοπαραλληλικό σύστημα συντεταγμένων του A n και (p 1,..., p n+1 ), (q 1,..., q n+1 ) 5
οι βαρυκεντρικές συντεταγμένες των σημείων P και Q, αντίστοιχα. Τότε έχουμε όπου, ως γνωστόν, n+1 n+1 OP = p i OA i 1 και OQ = q i OA i 1, Επομένως, η (2) γράφεται και ως Όμως, ισχύει n+1 n+1 p i = q i = 1. n+1 n+1 n+1 OX = (1 λ)p i OA i 1 + λq i OA i 1 = [(1 λ)p i + λq i ] OA i 1. n+1 n+1 n+1 (1 λ)p i + λq i = (1 λ) p i + λ q i = 1 λ + λ = 1 και, συνεπώς, τα στοιχεία (1 λ)p i + λq i, για i = 1,..., n + 1, αποτελούν τις βαρυκεντρικές συντεταγμένες του σημείου X, ως προς το S. 1.2 Ημιχώροι Έστω A n, n 1, ένας διατεταγμένος ομοπαραλληλικός χώρος, L n 1 ένα υπερεπίπεδό του και S ένα ομοπαραλληλικό σύστημα συντεταγμένων του. Συμβολίζουμε με (x 1,..., x n ) τις συντεταγμένες ενός σημείου X A n ως προς το S. Στο εξής, θα χρησιμοποιούμε το συμβολισμό X(x 1,..., x n ). Το υπερεπίπεδο L n 1 θα παριστάνεται από μία εξίσωση της μορφής n α i x i + δ = 0 με n α i2 0. Μπορούμε να ορίσουμε σύνολα που προκύπτουν από την έννοια του υπερεπιπέδου L n 1 : Ορισμός 1.2. Τα υποσύνολα του A n και H + = H = { { X(x 1,..., x n ) A n X(x 1,..., x n ) A n } n α i x i + δ > 0 } n α i x i + δ < 0 λέγονται ανοικτοί ημιχώροι του A n, ως προς το υπερεπίπεδο L n 1. Στην περίπτωση που στα παραπάνω σύνολα ισχύουν οι ανισώσεις με ισότητα, οι ημιχώροι ονομάζονται κλειστοί. Παρακάτω, όταν αναφερόμαστε σε ημιχώρο, θα εννοούμε ότι αυτός είναι ανοικτός, εκτός αν αναφερθεί ρητά ότι είναι κλειστός. 6
Παρατήρηση 1.2. Δύο σημεία P (p 1,..., p n ) και Q(q 1,..., q n ) του A n ανήκουν στον ίδιο ημιχώρο, ως προς το υπερεπίπεδο L n 1, αν και μόνο αν ( n ) ( n ) α i p i + δ α i q i + δ > 0. Θα αποδείξουμε το εξής. Θεώρημα 1.3. Όταν τα P, Q είναι δύο διάφορα σημεία ενός ημιχώρου, ως προς ένα υπερεπίπεδο L n 1, κάθε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος P Q ανήκει στον ίδιο ημιχώρο. Απόδειξη. Έστω P, Q H + και O η αρχή του συστήματος συντεταγμένων. Το ευθύγραμμο τμήμα P Q είναι το σύνολο όλων των σημείων X για τα οποία OX = (1 λ)op + λoq, όπου λ K και 0 λ 1. Για κάθε X(x 1,..., x n ) του ευθύγραμμου τμήματος P Q, θα έχουμε Άρα x i = (1 λ)p i + λq i i = 1,..., n. n α i x i + δ = n α i [(1 λ)p i + λq i ] + δ = ( n ) ( n ) = (1 λ) α i p i + δ + λ α i q i + δ > 0, καθώς P, Q H +. Κατά συνέπεια, το X θα ανήκει στον H + και, καθώς η επιλογή του ήταν τυχαία, κάθε εσωτερικό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος P Q θα ανήκει στον ίδιο ημιχώρο με τα P, Q. Αν P, Q H, η απόδειξη προκύπτει ανάλογα. Ως αποτέλεσμα του Θεωρήματος, έχουμε το εξής: Πόρισμα 1.1. Αν έχουμε δύο διάφορα σημεία P, Q ενός ημιχώρου, το ευθύγραμμο τμήμα P Q δεν τέμνει το υπερεπίπεδο που ορίζει τον ημιχώρο. Καταλήγουμε, έτσι, στο επόμενο Θεώρημα. Θεώρημα 1.4. Αν δύο σημεία P, Q A n ανήκουν σε διαφορετικούς ημιχώρους, ως προς ένα υπερεπίπεδο L n 1 του A n, τότε το ευθύγραμμο τμήμα P Q τέμνει το L n 1. Απόδειξη. Θεωρούμε τα σημεία P (p 1,..., p n ) H + και Q(q 1,..., q n ) H. Η ύπαρξη σημείου στο οποίο τέμνονται το ευθύγραμμο τμήμα και το υπερεπίπεδο, εξαρτάται από την ύπαρξη στοιχείου λ K με 0 < λ < 1, για το οποίο ισχύει n α i ((1 λ)p i + λq i ) + δ = 0 ( n n ) α i p i + λ α i (q i p i ) = δ λ = δ + n α ip i n α i(p i q i ). 7
Επειδή n αp i + δ > 0 θα είναι 0 < λ < 1 και το X, όπου και n αq i + δ < 0, OX = (1 λ)op + λoq, είναι το κοινό σημείο του ευθύγραμμου τμήματος P Q και του υπερεπιπέδου L n 1. Παρατήρηση 1.5. Τα παραπάνω Θεωρήματα ισχύουν και αν αντικαταστήσουμε τους ανοικτούς ημιχώρους με κλειστούς. 1.3 Κυρτά σύνολα Έστω A n, n 1, ένας διατεταγμένος ομοπαραλληλικός χώρος. Ορισμός 1.3. Ένα μη κενό υποσύνολο M του A n ονομάζεται κυρτό, όταν για κάθε P, Q M το ευθύγραμμο τμήμα με άκρα τα σημεία P, Q ανήκει εξ ολοκλήρου στο M. Έτσι, αν το M είναι κυρτό, για κάθε P, Q M, κάθε σημείο X με ανήκει στο σύνολο M. OX = λop + (1 λ)oq, 0 λ 1 Θεωρούμε, στο εξής, το κενό σύνολο και κάθε μονοσύνολο {P }, P A n, ως κυρτά. Παρατήρηση 1.6. Κάθε ομοπαραλληλικός υποχώρος L k A n είναι κυρτό σύνολο, διότι για κάθε P, Q L k, η ευθεία {P } {Q} περιέχεται στον υποχώρο L k, άρα και το ευθύγραμμο τμήμα P Q. Επίσης, κάθε ανοικτός ή κλειστός ημιχώρος, ως προς ένα υπερεπίπεδο L n 1, λόγω του Θεωρήματος 1.3, είναι κυρτό σύνολο. Πρόταση 1.1. Αν {M i } i I είναι μία οικογένεια κυρτών συνόλων, όπου I είναι ένα σύνολο δεικτών, τότε η τομή τους M = i I M i είναι κυρτό σύνολο. Απόδειξη. Θεωρούμε τυχαία σημεία P, Q M. Αυτά ανήκουν σε κάθε σύνολο M i, της οικογένειας. Όμως, τα σύνολα M i είναι κυρτά και άρα κάθε σημείο του ευθύγραμμου τμήματος P Q ανήκει στο M i, για κάθε i N. Επομένως, ανήκει και στην τομή τους M, οπότε το M είναι κυρτό σύνολο. Έστω M ένα μη κενό υποσύνολο του A n. Tο κυρτό περίβλημά του, που συμβολίζεται με conv M, ορίζεται ως η τομή όλων των κυρτών υποσυνόλων του A n, που περιέχουν το M, δηλαδή conv M = {K : K κυρτό υποσύνολο του A n, M K}. 8
Είναι προφανές ότι το κυρτό περίβλημα conv M είναι κυρτό σύνολο, ως τομή κυρτών. Eπίσης, το κυρτό περίβλημα είναι το μικρότερο κυρτό σύνολο που περιέχει το M, υπό την έννοια ότι κάθε κυρτό σύνολο, που περιέχει το M, περιέχει και το conv M. Ακόμη, ένα σύνολο M είναι ακριβώς τότε κυρτό, όταν M = conv M. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν οι παρακάτω ιδιότητες για το κυρτό περίβλημα συνόλων. 1. Για A A n, ισχύει conv(conv A) = conv A. Πράγματι, το conv A είναι κυρτό και άρα είναι ίσο με το κυρτό του περίβλημα. 2. Αν A, B A n, τότε A B conv A conv B. Για την απόδειξη, παρατηρούμε ότι στην περίπτωση που τα A και B είναι κυρτά, προφανώς, ισχύει. Αν ένα από τα δύο δεν είναι κυρτό, το conv B είναι το μικρότερο κυρτό σύνολο που περιέχει το B, περιέχει, όμως, και το A. Το conv A είναι το μικρότερο κυρτό σύνολο που περιέχει το A. Συνεπώς 3. Για κάθε A, B A n, έχουμε conv A conv B. conv A conv B conv(a B). Προφανώς A, B A B και άρα, από την προηγούμενη ιδιότητα, έχουμε conv A, conv B conv(a B) conv A conv B conv(a B). Έστω O μία διανυσματική αρχή του A n. Ορισμός 1.4. Θεωρούμε τα σημεία P 1,..., P k A n. Ένα σημείο X A n για το οποίο με OX = λ 1 OP 1 +... + λ k OP k = k λ i OP i, λ i K, λ i 0, για i = 1,.., k και ονομάζεται κυρτός συνδυασμός των P 1,..., P k A n. Θεώρημα 1.7. Έστω σύνολο A = {P 1,..., P k } του A n και { k M = X A n OX = λ i OP i, λ i K, λ i 0, το σύνολο των κυρτών συνδυασμών των σημείων του. Τότε είναι conv A = M. 9 k λ i = 1, } k λ i = 1
Απόδειξη. Για κάθε i = 1,..., k, παρατηρούμε ότι OP i = k δ ij OP j, j=1 όπου δ ij = { 1, αν i = j 0, αν i j είναι η συνάρτηση δέλτα του Kronecker. Είναι δ ij 0 και k δ ij = 1, j=1 άρα P i M, για κάθε i = 1,..., k, δηλαδή A M. Αποδεικνύουμε ότι το M είναι κυρτό. Για το σκοπό αυτό, θεωρούμε δύο σημεία Y, Z M και ένα σημείο R του ευθύγραμμου τμήματος Y Z. Υπάρχουν στοιχεία µ i, ν i K, για i = 1,..., k, με k k µ i, ν i 0 και µ i = ν i = 1 και λ K, με 0 λ 1, έτσι ώστε OY = k µ i OP i, OZ = k ν i OP i και OR = λoy + (1 λ)oz. Το OR γράφεται ως και επειδή και OR = k λµ i + (1 λ)ν i = λ k [λµ i + (1 λ)ν i ] OP i λµ i + (1 λ)ν i 0 k µ i + (1 λ) k ν i = λ + 1 λ = 1, το R είναι κυρτός συνδυασμός των P i, ώστε ανήκει στο M. Συνεπώς, το M είναι κυρτό σύνολο, που περιέχει το A και άρα conv A M. (3) Με επαγωγή πάνω στο πλήθος k των σημείων P 1,..., P k, θα αποδείξουμε ότι M conv A. Για k = 2, είναι A = {P 1, P 2 } 10
και άρα το conv A είναι το ευθύγραμμο τμήμα P 1 P 2. Προφανώς, ισχύει M = P 1 P 2, οπότε, όταν k = 2, είναι M = conv A. Υποθέτουμε ότι για k 1 πλήθους σημεία ισχύει Έστω τώρα ότι M conv A. A = {P 1,.., P k }. Θεωρούμε σημείο B A n, που ανήκει στο M. Άρα υπάρχουν µ 1,..., µ k K με µ i 0, i = 1,..., k, και k µ i = 1 ώστε k OB = µ i OP i. Θεωρούμε το στοιχείο σ := µ 1 +... + µ k 1, το οποίο είναι, προφανώς, θετικό και παίρνουμε το σημείο Γ A n, για το οποίο OΓ = µ 1 σ OP 1 +... + µ k 1 σ που είναι κυρτός συνδυασμός των P 1,..., P k 1, καθώς k 1 µ i σ 0, i = 1,..., k και Κατά συνέπεια, λόγω της υπόθεσης της επαγωγής, ισχύει καθώς OP k 1, µ i σ = σ σ = 1. Γ conv{p 1,.., P k 1 } conv A, {P 1,.., P k 1 } A. Επανερχόμαστε στο σημείο B και παρατηρούμε ότι με σ και µ k θετικά και OB = σoγ + µ k OP k, σ + µ k = µ 1 +... + µ k 1 + µ k = 1. Άρα το B είναι σημείο του ευθύγραμμου τμήματος ΓP k. Όμως, Γ, P k conv A, άρα και B conv A και συνεπώς M conv A, για k σε πλήθος σημεία. Πράγματι, λοιπόν, Επομένως, από τις (3) και (4) έχουμε M conv A. (4) M = conv A και το κυρτό περίβλημα conv A είναι το σύνολο όλων των κυρτών συνδυασμών σημείων του A. 11
Θα αποδείξουμε τώρα το εξής: Θεώρημα 1.8. Έστω M κυρτό σύνολο και P ένα τυχαίο σημείο του A n. Τότε conv (M {P }) = P Q. Απόδειξη. Για συντομία, συμβολίζουμε με H το κυρτό περίβλημα του συνόλου M {P } και με N το σύνολο όλων των ευθυγράμμων τμημάτων με άκρα το P και σημεία του M. Στην περίπτωση που P M, έχουμε ότι M = M {P } και άρα H = M. Όμως, ισχύει N = M και προκύπτει ότι H = N. Έστω τώρα ότι P / M. Το σύνολο N είναι υποσύνολο του H, καθώς το H είναι κυρτό και άρα περιέχει όλα τα ευθύγραμμα τμήματα με άκρα τα σημεία του. Το H είναι το κυρτό περίβλημα του M {P }, επομένως, είναι το μικρότερο κυρτό σύνολο που το περιέχει. Για να δείξουμε ότι H N, Q M αρκεί να δείξουμε ότι το N είναι κυρτό και περιέχει το M {P }. Προφανώς M {P } N. Έστω δύο τυχαία σημεία A, B N. Τότε υπάρχουν σημεία X, Y M, ώστε το A να βρίσκεται πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα P X και το B να βρίσκεται πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα P Y. Αν {A, B} {X, Y } = {A, B}, το ευθύγραμμο τμήμα AB κείται στο σύνολο M, άρα και στο N. Επίσης, αν A = P ή B = P, λόγω του ορισμού, το ευθύγραμμο τμήμα AB περιέχεται στο N. Έστω ότι τα A, B δεν ανήκουν στο M {P }. Υπάρχουν k 1, k 2 (0, 1), τέτοια ώστε P A = k 1 P X και P B = k 2 P Y. Θεωρούμε τυχόν E AB. Τότε υπάρχει λ, με λ K και 0 λ 1, τέτοιο ώστε P E = (1 λ)p A + λp B. Επίσης, το στοιχείο s := (1 λ)k 1 + λk 2 > 0, καθώς από την υπόθεση, τα A, B δεν ανήκουν στο M και άρα τα k 1, k 2 δε μηδενίζονται. Θεωρούμε το σημείο R με και, επειδή και P R = (1 λ)k 1 P X + λk 2 s s P Y (1 λ)k 1, λk 2 s s 0 (1 λ)k 1 s + λk 2 s = 1, 12
το σημείο R ανήκει στο ευθύγραμμο τμήμα με άκρα τα X, Y M, συνεπώς, καθώς το M είναι κυρτό, το R ανήκει στο M. Όμως, P E = sp R, με 0 < s 1 και άρα το E είναι σημείο του ευθύγραμμου τμήματος P R, το οποίο περιέχεται στο N. Έχουμε, λοιπόν, ότι E N και επομένως, το N είναι κυρτό, που περιέχει το σύνολο M {P }, άρα H N. Άρα τελικά H = N. Μία ενδιαφέρουσα συνέπεια του Θεωρήματος αυτού, απορρέει αν θεωρήσουμε δύο σημεία P, Q A n, που δεν ανήκουν στο κυρτό περίβλημα του M, με P conv(m {Q}) και Q conv(m {P }). Θα αποδείξουμε ότι τα σημεία P και Q ταυτίζονται. Καθώς P conv(m {Q}), υπάρχει σημείο X του M, ώστε το P να γράφεται ως κυρτός συνδυασμός των X και Q, OP = (1 λ)ox + λoq, (5) με λ K και 0 λ 1. Επίσης Q conv(m {P }) και υπάρχει σημείο Y του M, ώστε το Q να γράφεται ως κυρτός συνδυασμός των Y και P, OQ = (1 µ)oy + µop, (6) με µ K και 0 µ 1. Αντικαθιστώντας την (5) στην (6), προκύπτει ότι Αν 1 λµ 0, τότε OQ = (1 µ)oy + µ(1 λ)ox + λµoq (1 λµ)oq = (1 µ)oy + µ(1 λ)ox. OQ = 1 µ µ(1 λ) OY + 1 λµ 1 λµ OX, δηλαδή το Q γράφεται ως κυρτός συνδυασμός σημείων του M, επειδή 1 µ µ(1 λ) + 1 λµ 1 λµ = 1 λµ 1 λµ = 1. Επομένως Q conv M, που είναι άτοπο και άρα 1 λµ = 0 λµ = 1 λ = 1 µ. Έτσι, η (5) γράφεται ως OP = ( 1 1 ) OX + 1 µ µ OQ OQ = (1 µ)ox + µop και λαμβάνοντας υπόψιν την (6), προκύπτει, στην περίπτωση που µ 1, ότι τα σημεία X και Y συμπίπτουν. Τότε µ < 1 1 µ > 1 λ > 1, το οποίο μας δίνει άτοπο. Συνεπώς µ = 1, αλλά και λ = 1 και οι εξισώσεις (5), (6) δίνουν ότι δηλαδή τα σημεία P και Q ταυτίζονται. OP = OQ, 13
1.4 Το ομοπαραλληλικό Simplex Θεωρούμε k + 1 γραμμικά ανεξάρτητα σημεία P 1,..., P k+1 του διατεταγμένου ομοπαραλληλικού χώρου A n. Ορισμός 1.5. Το σύνολο conv{p 1,..., P k+1 } ονομάζεται ομοπαραλληλικό k-simpex ή απλώς k-simplex, με κορυφές τα P 1,..., P k+1, διάστασης k, και συμβολίζεται με (P 1,..., P k+1 ). Παραδείγματα τέτοιων k-simplex είναι: το μονοσύνολο (P ) = P, ως ένα 0-simplex. το ευθύγραμμο τμήμα (P 1, P 2 ) = P 1 P 2, ως ένα 1-simplex. το τρίγωνο μαζί με τα εσωτερικά του σημεία (P 1, P 2, P 3 ), ως ένα 2-simplex. Σύμφωνα με το Θεώρημα 1.7, το k-simplex των γραμμικά ανεξάρτητων σημείων P 1,..., P k+1 είναι το σύνολο όλων των κυρτών συνδυασμών των σημείων αυτών, δηλαδή όλων των X A n, όπου OX = λ 1 OP 1 +... + λ k+1 OP k+1, με λ i K, λ i 0 i = 1,..., k + 1 και k+1 λ i = 1. Τα στοιχεία λ 1,..., λ k+1 αποτελούν τις βαρυκεντρικές συντεταγμένες του X, ως προς το σύστημα συντεταγμένων, που έχουμε θεωρήσει. Κατά συνέπεια, είναι μονότιμα ορισμένες. Το σημείο X, για το οποίο λ 1 =... = λ k+1 = 1 k + 1, ονομάζεται κέντρο βάρους του k-simplex. Θεωρούμε ένα k-simplex (P 1,..., P k+1 ) και διαλέγουμε m+1 σε πλήθος κορυφές P i1,..., P im+1. Το m-simplex (P i1,..., P im+1 ) ονομάζεται m-πλευρά ή πλευρά διάστασης m του k-simplex. Το πλήθος των m-πλευρών ενός k-simplex είναι ίσο με το πλήθος των συνδυασμών ( ) k + 1 m + 1 = (k + 1)! (m + 1)!(k m)!. Επομένως, σε κάθε k-simplex υπάρχουν k+1 πλήθους πλευρές με μηδενική διάσταση, οι οποίες είναι οι κορυφές του, k(k+1) πλήθους 1-πλευρές, οι οποίες είναι τα ευθύγραμμα τμήματα με 2 άκρα δύο κορυφές του (ακμές) και μία μοναδική k-πλευρά, που είναι ολόκληρο το k-simplex. Παρατήρηση 1.9. Το κενό σύνολο, εξ ορισμού, αποτελεί πλευρά διάστασης 1 σε κάθε simplex. 14
Σε ένα k-simplex, δύο πλευρές του, που δεν έχουν κοινή κορυφή και έχουν διαστάσεις m και k m 1 αντίστοιχα, ονομάζονται απέναντι πλευρές του k-simplex. Έχουμε το εξής. Θεώρημα 1.10. Κάθε n-simplex ενός διατεταγμένου ομοπαραλληλικού χώρου A n είναι η τομή n + 1 κλειστών ημιχώρων του A n. Απόδειξη. Έστω P 1,..., P n+1 οι κορυφές του n-simplex. Θεωρούμε το σύστημα συντεταγμένων S = {P 1,..., P n+1 }. Το n-simplex είναι το σύνολο { } n+1 n+1 conv ({P 1,..., P n+1 }) = X A n P 1 X = λ i P 1 P i, λ i 0, λ i = 1. Αν οι συντεταγμένες ενός σημείου X του n-simplex, ως προς το S, είναι (x 1,..., x n ), τότε θα έχουμε ότι x i 1 = λ i 0, για i = 2,..., n + 1. Για το άθροισμά τους, βρίσκουμε ότι i=2 x 1 +... + x n = λ 2 +... + λ n+1 = 1 λ 1 1 και επομένως, ένα n-simplex ορίζεται από το σύστημα ανισοτήτων { x i 0, i = 1,..., n, x 1 +... + x n 1 που πράγματι είναι η τομή n + 1 κλειστών ημιχώρων του A n. Συνεπώς, το n-simplex του A n μπορεί να θεωρηθεί ως τομή n + 1 κλειστών ημιχώρων. i=2 15
2 Θεμελιώδη Θεωρήματα Στα παρακάτω κεφάλαια, θεωρούμε ως διατεταγμένο ομοπαραλληλικό χώρο τον ευκλείδειο n-διάστατο χώρο R n και, για σύστημα συντεταγμένων, θεωρούμε το καρτεσιανό με αρχή το O(0,..., 0). Στο εξής, για ευκολία, θα συμβολίζουμε τα σημεία του R n με λατινικά γράμματα x, y,... Τα συμπεράσματα και οι ορισμοί, που έχουν δοθεί στο προηγούμενο κεφάλαιο, προφανώς, ισχύουν και στον R n. Έτσι, ένα υποσύνολο C του R n είναι κυρτό, όταν για κάθε x, y C το ευθύγραμμο τμήμα με άκρα τα x και y, που το συμβολίζουμε με [x, y], περιέχεται στο C. Δηλαδή, το C είναι κυρτό, αν (1 λ)x + λy C, x, y C και λ [0, 1]. Επίσης, θα χρειαστούν και οι επόμενοι ορισμοί. Έστω y, y 1,..., y k αφινικός συνδυασμός των y 1,..., y k, όταν υπάρχουν λ i R με R n. Το y ονομάζεται έτσι ώστε k λ i = 1, y = k λ i y i. Το σύνολο όλων των αφινικών συνδυασμών των σημείων ενός συνόλου A ονομάζεται αφινικό περίβλημα του A και συμβολίζεται με aff A. Τα σημεία y 1,..., y k είναι αφινικά εξαρτημένα, αν κάποιο από τα y i, i = 1,..., k, γράφεται ως αφινικός συνδυασμός των υπολοίπων. Σε διαφορετική περίπτωση, τα y 1,..., y k ονομάζονται αφινικά ανεξάρτητα. Ακόμη, ένα σημείο y A λέγεται σχετικό εσωτερικό σημείο του A, αν υπάρχει r > 0, τέτοιο ώστε B(y, r) aff A A, όπου B(y, r) = {x R n x y r} είναι η ευκλείδεια μπάλα με κέντρο το σημείο y και ακτίνα r και είναι η ευκλείδεια νόρμα του R n. Το σύνολο όλων των σχετικών εσωτερικών σημείων του A ονομάζεται σχετικό εσωτερικό του A και συμβολίζεται με ri A. Στο κεφάλαιο αυτό, θα γίνει μία εισαγωγή στη Συνδυαστική Γεωμετρία, τη βάση της οποίας έθεσε ο Kirchberger με το ομώνυμο Θεώρημά του, στις αρχές του προηγούμενου αιώνα. Η Συνδυαστική Γεωμετρία έχει πολλές εφαρμογές και κυριότερα Θεωρήματα είναι αυτά των Καραθεοδωρή, Radon και Helly, τα οποία είναι ιδιαίτερα χρήσιμα στη Θεωρία της Κυρτότητας. Συνδέονται άμεσα μεταξύ τους και επεκτείνουν, σε συνδυασμό με άλλες ιδιότητες των κυρτών συνόλων, την έννοια της κυρτότητας σε γενικότερο πλαίσιο και σε άλλους τομείς των μαθηματικών. 16
2.1 Το Θεώρημα του Καραθεοδωρή Στο Θεώρημα 1.7, είδαμε ότι κάθε σημείο του κυρτού περιβλήματος ενός συνόλου C γράφεται ως κυρτός συνδυασμός σημείων του C, αλλά δεν υπάρχει αναφορά στο πλήθος των σημείων αυτών. Το Θεώρημα του Καραθεοδωρή, το οποίο είναι ιδιαίτερα σημαντικό, αναφέρει ότι κάθε σημείο του κυρτού περιβλήματος του C γράφεται ως κυρτός συνδυασμός r + 1 ή λιγότερων σημείων του C, όπου r είναι η διάσταση του C. Έτσι, αν, για παράδειγμα, dim C = 3 ένα σημείο του conv C γράφεται ως κυρτός συνδυασμός το πολύ τεσσάρων σημείων του C, δηλαδή ανήκει είτε σε ευθύγραμμο τμήμα είτε σε τρίγωνο είτε σε τετράπλευρο με κορυφές σημεία του C, ή στο ίδιο το C. Θεώρημα 2.1 (Καραθεοδωρή 1 ). Κάθε σημείο του κυρτού περιβλήματος ενός συνόλου C του R n, διάστασης r, γράφεται ως κυρτός συνδυασμός το πολύ r + 1 σημείων του C. Απόδειξη. Θεωρούμε ένα σημείο x που ανήκει στο conv C. Καθώς το κυρτό περίβλημα του C είναι κυρτό σύνολο, μπορούμε να βρούμε αριθμό d, ο οποίος είναι το ελάχιστο πλήθος σημείων του C, ώστε το x να μπορεί να γραφεί ως κυρτός συνδυασμός τους. Με μία κατάλληλη αρίθμηση, παίρνουμε τα σημεία x 1,..., x d, για τα οποία υπάρχουν d d λ 1,..., λ d 0 με λ i = 1, ώστε x = λ i x i. Θα αποδείξουμε ότι d r + 1. Υποθέτουμε ότι d r + 2 και άρα τα x 1,..., x d είναι αφινικά εξαρτημένα. Υπάρχουν µ 1,..., µ d, πραγματικοί αριθμοί, όχι όλοι μηδέν, ώστε µ 1 +... + µ d = 0 και µ 1 x 1 +... + µ d x d = 0. Επιλέγουμε ένα k, ώστε µ k > 0 και ο λόγος { } λ k λi = min µ i > 0. µ k,..,d µ i Τότε, για κάθε i = 1,..., d, λ i λ k µ k µ i 0 και Έτσι, το x μπορεί να γραφεί και ως x = λ 1 x 1 +... + λ d x d d ( λ i λ ) k µ i = 1. µ k = λ 1 x 1 +... + λ d x d λ k µ 1 x 1... λ k µ d x d µ k µ ( k = λ 1 λ ) ( k µ 1 x 1 +... + λ k 1 λ ) k µ k 1 x k 1 µ k µ ( k + λ k+1 λ ) ( k µ k+1 x k+1 +... + λ d λ ) k µ d x d, µ k µ k 1 Κωνσταντίνος Καραθεοδωρή (1873-1950): Έλληνας μαθηματικός, καθηγητής στο Πανεπιστήμιο του Μονάχου και έπειτα στην Ακαδημία Επιστημών της Βαυαρίας. 17
καθώς λ k λ k µ k µ k = 0. Επομένως, το x είναι κυρτός συνδυασμός d 1 σημείων του C, που είναι άτοπο, λόγω της υπόθεσης. Άρα d r + 1 και κάθε σημείο του conv C γράφεται ως κυρτός συνδυασμός το πολύ r + 1 σημείων του C. Μία εναλλακτική διατύπωση του Θεωρήματος του Καραθεοδωρή είναι η εξής. Το κυρτό περίβλημα του C, όπου C είναι υποσύνολο του R n, είναι το σύνολο όλων των κυρτών συνδυασμών αφινικά ανεξάρτητων σημείων του. 2.2 Το Θεώρημα του Radon Στη συνέχεια, έχουμε το Θεώρημα του Radon. Θεώρημα 2.2 (Radon 2 ). Έστω σύνολο M = {x 1,..., x k } R n, k n + 2. Υπάρχουν σύνολα A, B M ξένα μεταξύ τους, έτσι ώστε η ένωσή τους να είναι το M, αλλά τα κυρτά τους περιβλήματα να μην είναι ξένα. Απόδειξη. Θέλουμε να δείξουμε ότι υπάρχουν A, B M με A B =, A B = M και conv A conv B. Επειδή k n + 2, τα x 1,..., x k δεν μπορούν να είναι αφινικά ανεξάρτητα. Άρα υπάρχουν λ i R, i = 1,..., k, όχι όλα μηδενικά, με k λ i = 0, έτσι ώστε k λ i x i = 0. Θεωρούμε τα σύνολα και I A := {i : λ i < 0}, I B := {j : λ j 0} A := {x i /i I A } και B := {x j /j I B }, τα οποία είναι ξένα μεταξύ τους και η ένωσή τους δίνει το M. Αρκεί, επομένως, να αποδείξουμε ότι conv A conv B, δηλαδή ότι υπάρχει σημείο x, που είναι κυρτός συνδυασμός σημείων του A και κυρτός συνδυασμός σημείων του B, ταυτόχρονα. 2 Johann Radon (1887-1956): Αυστριακός μαθηματικός, καθηγητής στο Πανεπιστήμιο της Βιέννης. 18
Έχουμε k λ i = 0 λ i + λ j = 0 λ i = λ j i I A j I B i I A j I B και θεωρούμε τον αριθμό s = λ i = λ j i I A j I B και το σημείο x = i I A λ i s x i. Προφανώς, το x είναι κυρτός συνδυασμός των σημείων του A, καθώς λ i s 0, i I A και αλλά και κυρτός συνδυασμός των σημείων του B, καθώς x = j I B λ j s x j λ i s = 1 λ i = 1, s i I A i I A με Κατά συνέπεια λ j s 0, j I B και λ j s = 1 λ j = 1. s j I B j I B x conv A conv B και ολοκληρώνεται, έτσι, η απόδειξη του Θεωρήματος. Ως παρατήρηση, προκύπτει ότι το Θεώρημα του Radon δεν ισχύει, όταν k = n + 1. Αν έχουμε, για παράδειγμα, ένα σύνολο M = {x 1,..., x k } R n, με k = n + 1, θα δείξουμε ότι δεν πληρoύται το Θεώρημα του Radon. Έστω n = 2 και Μπορούμε να θεωρήσουμε σύνολα M = {x 1, x 2, x 3 }. με A = {x 1 } και B = {x 2, x 3 } conv A = {x 1 } και B = conv{x 2, x 3 } = [x 2, x 3 ], όπου [x 2, x 3 ] είναι το ευθύγραμμο τμήμα με άκρα τα x 2, x 3 και το x 1 δεν περιέχεται απαραίτητα στο [x 2, x 3 ]. Τα A και B είναι ξένα μεταξύ τους, ομοίως και τα κυρτά τους περιβλήματα. Επομένως, δεν εφαρμόζεται το Θεώρημα του Radon. 19
2.3 Το Θεώρημα του Helly Θεώρημα 2.3 (Helly 3 ). Έστω A 1,..., A r μία πεπερασμένη οικογένεια κυρτών συνόλων του R n, r n + 1. Αν για κάθε n + 1 σύνολα της οικογένειας η τομή τους είναι μη κενή, τότε r A i. Απόδειξη. Η απόδειξη θα γίνει με επαγωγή στο πλήθος των συνόλων της οικογένειας. Αν r = n + 1, τότε το Θεώρημα ισχύει από την υπόθεση. Υποθέτουμε ότι το Θεώρημα ισχύει για πλήθους r 1 συνόλων της οικογένειας. Έστω ότι το πλήθος των συνόλων της οικογένειας είναι r. Από την υπόθεση, κάθε τομή r 1 συνόλων είναι μη κενή και άρα υπάρχουν σημεία x i, για i = 1,..., r, με Θεωρούμε το σύνολο x i r j=1,j i A j. M = {x 1,..., x r }. Kαθώς r n + 2, από το Θεώρημα του Radon, έχουμε ότι υπάρχουν υποσύνολα A, B του M, ξένα μεταξύ τους, τέτοια ώστε A B = M και conv A conv B. Χωρίς περιορισμό της γενικότητας, υποθέτουμε ότι υπάρχει l, με 1 l r, ώστε Τα σημεία του A ανήκουν στην τομή A = {x 1,..., x l }, B = {x l+1,..., x r }. r i=l+1 που είναι κυρτό σύνολο, καθώς κάθε ένα από τα A i είναι κυρτό, και περιέχει το A. Άρα conv A Όμοια και τα σημεία του B ανήκουν στην τομή A i, r i=l+1 l A i, που είναι κυρτό, ως τομή κυρτών συνόλων, και περιέχει το B. Έτσι conv B A i. l A i. 3 Eduard Helly (1884-1943): Αυστριακός μαθηματικός, καθηγητής στο Institute of Technology του Ιλινόις. 20
Τα conv A και conv B δεν είναι ξένα μεταξύ τους, οπότε υπάρχει ένα σημείο y, ώστε y conv A conv B και άρα ( l ) ( r ) r y A i A i = A i. i=l+1 Συνεπώς, η τομή όλων των συνόλων της οικογένειας r A i είναι μη κενή. Το Θεώρημα του Helly δεν ισχύει για άπειρου πλήθους σύνολα. Θεωρούμε μία μη πεπερασμένη οικογένεια κυρτών συνόλων στο επίπεδο R 2. Αν η τομή τους ανά τρία είναι μη κενή, τότε η τομή όλων των κυρτών συνόλων της οικογένειας δεν είναι απαραίτητα μη κενή. Ένα τέτοιο παράδειγμα είναι το σύνολο των άνω ημιεπιπέδων που φράσσονται από κάτω, από οριζόντιες ευθείες. Ανά τρία, τα ημιεπίπεδα αυτά έχουν μη κενή τομή. Αν πάρουμε την τομή τους με ημιεπίπεδα που βρίσκονται πιο πάνω στο επίπεδο, τότε η τομή τους τείνει στο άπειρο και τελικά, κάθε σημείο του επιπέδου βρίσκεται εκτός της τομής τους. Έτσι, η τομή όλων των άνω ημιεπιπέδων είναι κενή. Στην περίπτωση που έχουμε ως υπόθεση τη συμπάγεια των κυρτών συνόλων, η τομή όλων είναι φραγμένη και άρα δεν τείνει στο άπειρο. Επομένως, η τομή τους είναι μη κενή. Πράγματι, ισχύει το εξής Πόρισμα για συμπαγή σύνολα του R n. Πόρισμα 2.1. Αν F είναι μία οικογένεια (όχι απαραίτητα πεπερασμένη) κυρτών και συμπαγών συνόλων του R n και για κάθε n + 1 σύνολα της οικογένειας η τομή τους είναι μη κενή, τότε η τομή όλων των συνόλων της F είναι μη κενή. 21
Απόδειξη. Γνωρίζουμε ότι η τομή όλων των στοιχείων μίας οικογένειας συμπαγών συνόλων είναι μη κενή, αν κάθε πεπερασμένη υποοικογένειά της έχει μη κενή τομή. Αρκεί, επομένως, να αποδείξουμε για το υποσύνολο {K 1,..., K d } της οικογένειας F ότι αν η τομή κάθε n + 1 συνόλων από τα K i είναι μη κενή, τότε Για d n + 1, προφανώς, ισχύει ότι d K i. d K i, από την υπόθεση του Θεωρήματος, καθώς τα n + 1 έχουν μη κενή τομή, άρα και λιγότερα σε πλήθος σύνολα έχουν μη κενή τομή. Για d n + 1, εφαρμόζοντας το Θεώρημα Helly, καθώς τα K i είναι κυρτά σύνολα του R n, έχουμε ότι η τομή d K i. Σε κάθε περίπτωση, για κάθε υποοικογένεια της F, η τομή των συνόλων της είναι μη κενή και επομένως K i, με K i F, όπου I είναι ένα σύνολο δεικτών. i I Παρατήρηση 2.4. Το συμπέρασμα του Πορίσματος 2.1 ισχύει και υπό την ασθενέστερη προϋπόθεση, ότι αρκεί ένα σύνολο της οικογένειας F να είναι συμπαγές. Επίσης, μία σημαντική παρατήρηση, για το Θεώρημα του Helly, είναι ότι η κυρτότητα στην υπόθεση δεν μπορεί να παραληφθεί. Αν έχουμε για παράδειγμα { } 1 A 1 = (0, 1) {2}, A 2 = [2, 5] (7, 9), A 3 = {5} 2 τρία υποσύνολα του R, τα οποία δεν είναι κυρτά και η τομή τους, ανά δύο, είναι μη κενή, η τομή 3 A i =. Επομένως, δεν ισχύει το Θεώρημα του Helly για τα παραπάνω σύνολα, τα οποία είναι μη κυρτά. Έστω δύο πεπερασμένα σύνολα σημείων R και B του R n, ξένα μεταξύ τους, και ένα υπερεπίπεδο H του R n, με H = {x R n : u, x = α}, 22
όπου α R και u είναι το μοναδιαίο εξωτερικό καθετικό διάνυσμα του H. Το H διαχωρίζει γνήσια τα σύνολα R και B, αν ισχύει για κάθε x R και y B. u, x < α και u, y > α, Το επόμενο Θεώρημα είναι ιδιαίτερα σημαντικό, καθώς αποτέλεσε τη βάση, πάνω στην οποία αναπτύχθηκε το Θεώρημα του Helly. Θεώρημα 2.5 (Kirchberger 4 ). Έστω S ένα πεπερασμένο σύνολο του R n, n+2 το πολύ σημείων. Αν για κάθε τέτοιο σύνολο S του R n, υπάρχει υπερεπίπεδο που διαχωρίζει γνήσια τα S R και S B, τότε υπάρχει υπερεπίπεδο που διαχωρίζει γνήσια τα σύνολα R και B. Απόδειξη. Μπορούμε να αναπαραστήσουμε ένα υπερεπίπεδο του R n με ένα σημείο Με αυτόν τον τρόπο, ορίζονται τα σύνολα H = {x R n : u, x = α} (u, α) = (u 1,..., u n, α) R n+1. A r = {(u, α) R n+1 : u, r < α}, όπου r R και όπου b B. A b = {(u, α) R n+1 : u, b > α}, Τα σύνολα αυτά είναι ανοικτά και κατά συνέπεια, οι τομές τους A r, είναι ανοικτά σύνολα. Ισχύει r R b B A b ( ) ( ) A r A b r R αν και μόνο αν υπάρχει (u, α) R n+1, ώστε το να διαχωρίζει γνήσια τα R και B. b B H = {x R n : u, x = α} Όμως, για κάθε S πεπερασμένο υποσύνολο του R n, n + 2 το πολύ σημείων, τα S R και S B διαχωρίζονται γνήσια. Επομένως ( ) ( ) A r A b. r S R b S B 4 Paul Kirchberger: Γερμανός μαθηματικός, με Διδακτορικό από το Πανεπιστήμιο του Goettingen το 1902. 23
Τα σύνολα A r, A b, για κάθε r R και b B, αντίστοιχα, είναι κυρτά, ως ημιχώροι, και αποτελούν μία πεπερασμένη οικογένεια πλήθους μεγαλύτερου ή ίσου με n + 2. Από το Θεώρημα του Helly, καθώς τα A r και A b είναι κυρτά υποσύνολα του R n+1 και για κάθε n + 2 σύνολα η τομή τους είναι μη κενή, προκύπτει ότι ( ) ( ) A r A b r R b B και συνεπώς, υπάρχει υπερεπίπεδο του R n που διαχωρίζει γνήσια τα R και B. Για παράδειγμα, στο επίπεδο αν δύο σύνολα σημείων δεν μπορούν να διαχωριστούν από μία ευθεία, θα ισχύει μία από τις παρακάτω περιπτώσεις. Τρεις περιπτώσεις που σημεία του επιπέδου δεν μπορούν να διαχωριστούν από ευθεία Το Θεώρημα του Helly έχει αρκετές εφαρμογές στο επίπεδο, οι οποίες μελετήθηκαν στις δεκαετίες του 1960 και 1970, όπως το Θεώρημα του Jung και το Θεώρημα του Blaschke. Θεώρημα 2.6. Έστω n σε πλήθος σημεία του επιπέδου. Αν είναι δυνατόν να περικλείονται, ανά τρία, από ένα κύκλο ακτίνας 1, τότε όλα τα σημεία περικλείονται από κύκλο ακτίνας 1. Απόδειξη. Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει σημείο O του επιπέδου, του οποίου η απόσταση από όλα τα δοθέντα σημεία είναι μικρότερη ή ίση του 1, ή, ακόμα, ότι υπάρχει σημείο O του επιπέδου, που ανήκει σε όλους τους κύκλους με κέντρα τα δοθέντα σημεία και ακτίνα 1. Θα εφαρμόσουμε το Θεώρημα του Helly, για τους n μοναδιαίους κύκλους με κέντρα τα δοθέντα σημεία. Αν δείξουμε ότι ανά τρεις οι παραπάνω κύκλοι τέμνονται, τότε η τομή των n κύκλων θα είναι μη κενή, οπότε μπορούμε να πάρουμε οποιοδήποτε σημείο της τομής ως σημείο O. Θεωρούμε τρία σημεία A, B και C από τα δοθέντα. Υπάρχει μοναδιαίος κύκλος με κέντρο X, μέσα στον οποίο κείνται τα τρία σημεία, από την υπόθεση. Αφού d(a, X) 1, d(b, X) 1 και d(c, X) 1, όπου d είναι η ευκλείδεια μετρική, το σημείο X ανήκει και στους τρεις μοναδιαίους κύκλους με κέντρα τα σημεία A, B και C. Άρα η απόδειξη ολοκληρώθηκε. 24
Το Θεώρημα αυτό ισχύει και για άπειρου πλήθους σημεία του επιπέδου. Δηλαδή, αν κάθε τρεις κύκλοι, από ένα άπειρου πλήθους σύνολο κύκλων, έχουν μη κενή τομή, τότε η τομή όλων των κύκλων είναι μη κενή. Θεώρημα 2.7 (Jung 5 ). Αν έχουμε πεπερασμένου πλήθους σημεία x 1,..., x k του επιπέδου, για τα οποία η μεταξύ τους απόσταση, ανά δύο, είναι το πολύ ίση με 1, τότε αυτά περιέχονται σε ένα κυκλικό δίσκο ακτίνας 1 3. Απόδειξη. Σύμφωνα με το προηγούμενο Θεώρημα, αν δίνονται πεπερασμένου πλήθους σημεία του επιπέδου, τα οποία ανά τρία περικλείονται σε ένα κύκλο ακτίνας 1, τότε όλα τα σημεία περικλείονται σε κύκλο ακτίνας 1. Στο Θεώρημα του Jung, μπορούμε να αποδείξουμε ότι η ακτίνα είναι ίση με 1 3. Επομένως, αρκεί να δείξουμε ότι ανά τρία τα σημεία αυτά περιέχονται σε ένα κυκλικό δίσκο ακτίνας 1 3. Θεωρούμε τρία σημεία A, B, C εκ των x 1,..., x k. Αν τα σημεία είναι συνευθειακά, τότε θεωρούμε έναν κύκλο, σε μία διάμετρο του οποίου ανήκουν τα σημεία αυτά. Η διάμετρος του κύκλου είναι μικρότερη ή ίση του 1, άρα η ακτίνα r 1 2 < 1 3. Έστω ότι τα σημεία δεν είναι συνευθειακά. Σχηματίζουν ένα τρίγωνο ABC, στο οποίο καμία πλευρά δεν είναι μεγαλύτερη από 1. Αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο ή αμβλυγώνιο, τότε περιέχεται σε έναν κύκλο με διάμετρο τη μεγαλύτερή του πλευρά. Η ακτίνα αυτού του κύκλου είναι μικρότερη ή ίση του 1, άρα και 2 μικρότερη από 1 3. Αν το τρίγωνο αυτό είναι οξυγώνιο, η μία του γωνία, έστω η Â, είναι μεγαλύτερη ή ίση του π 3, άρα sin  3 2. 5 Heinrich Jung (1876-1953): Γερμανός μαθηματικός, καθηγητής στο Πανεπιστήμιο του Halle. 25
Η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου δίνεται από τον τύπο R = α 2 sin Â, όπου α είναι η πλευρά απέναντι από την κορυφή A. Έτσι R = α 2 sin  1. 3 Συνεπώς, ανά τρία, τα σημεία περιέχονται σε κυκλικό δίσκο ακτίνας 1 3. Δεν είναι δυνατόν η εκτίμηση της ακτίνας του κύκλου να είναι καλύτερη, καθώς για ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς 1 η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του είναι ακριβώς 1 3. Επομένως, είναι ένα παράδειγμα συνόλου σημείων, που δεν περικλείεται σε κύκλο ακτίνας μικρότερης του 1 3. Το Θεώρημα του Jung ισχύει και για άπειρου πλήθους σημεία. Αν έχουμε ένα γεωμετρικό σχήμα του επιπέδου διαμέτρου 1, δηλαδή η μέγιστη απόσταση των σημείων του είναι 1, όχι απαραίτητα κυρτό, τότε περικλείεται σε ένα κύκλο ακτίνας 1 3. Ένα πρόβλημα σχετικό με το Θεώρημα του Jung είναι η εύρεση ενός γεωμετρικού σχήματος του επιπέδου με ελάχιστο εμβαδόν, ώστε να καλύπτει οποιοδήποτε γεωμετρικό σχήμα του επιπέδου διαμέτρου 1. Το πρόβλημα αυτό είναι ουσιαστικά μία καλύτερη προσέγγιση του Θεωρήματος του Jung. Ένα τέτοιο γεωμετρικό σχήμα είναι ένα κανονικό εξάγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας 1 3, όμως, δεν έχει απαραίτητα το μικρότερο δυνατό εμβαδόν. Παρατήρηση 2.8. Το Θεώρημα του Jung γενικεύεται και στον R n. Αν S είναι ένα υποσύνολο του R n, με διάμετρο diam S, όπου diam S = sup{ x y : x, y S}, τότε περιέχεται σε ευκλείδεια μπάλα ακτίνας n diam S. 2(n + 1) Επίσης, παραθέτουμε το Θεώρημα του Blaschke, χωρίς απόδειξη. Θεώρημα 2.9 (Blaschke 6 ). Κάθε κυρτό και φραγμένο σύνολο διαμέτρου 1, περιέχει κύκλο ακτίνας 1 3. Η απόδειξη του Θωρήματος βρίσκεται στο βιβλίο του Yaglom[27]. Ανάλογα με το Θεώρημα του Jung, η εκτίμηση της ακτίνας στο Θεώρημα του Blaschke δεν είναι δυνατόν να βελτιωθεί. Επίσης, όμοια, προκύπτει πρόβλημα για ελάχιστο εμβαδόν γεωμετρικού σχήματος του επιπέδου, που περικλείει κάθε φραγμένο κυρτό σύνολο διαμέτρου 1. 6 Wilhelm Blaschke (1885-1962): Αυστριακός μαθηματικός, καθηγητής στο Πανεπιστήμιο του Αμβούργου. 26
3 Κυρτότητα στον R n Αρχικά, θα διατυπωθούν και θα αποδειχθούν δύο χρήσιμα αποτελέσματα για τα κυρτά σύνολα του R n. Πρόταση 3.1. Το κυρτό περίβλημα ενός (άπειρου) υποσυνόλου A του R n είναι το σύνολο όλων των κυρτών συνδυασμών των σημείων του. Απόδειξη. Θεωρούμε το σύνολο { k M = λ i x i λ i 0, } k λ i = 1, x i A όλων των κυρτών συνδυασμών σημείων του A. Προφανώς, το A είναι υποσύνολο του M. Θα δείξουμε ότι το M είναι κυρτό. Πράγματι, αν έχουμε δύο σημεία y, z M, y = k λ i y i και z = k µ j z j, j=1 όπου για i, j = 1,..., k είναι y i, z j A, λ i, µ j 0 και k λ i = k µ j = 1, j=1 τότε το σημείο t = κy + (1 κ)z = k κλ i y i + με κ [0, 1], είναι κυρτός συνδυασμός των y, z, καθώς k κλ i + k (1 κ)µ j z j, j=1 k (1 κ)µ j = κ + 1 κ = 1. j=1 Συνεπώς t M, ως κυρτός συνδυασμός σημείων του A, και άρα το M είναι κυρτό σύνολο, που περιέχει το A. Το conv A είναι το μικρότερο κυρτό σύνολο που περιέχει το A και έτσι, conv A M. (7) Στη συνέχεια, θα δείξουμε ότι το conv A περιέχει όλους τους κυρτούς συνδυασμούς των σημείων του A, δηλαδή ότι M conv A. Επιλέγουμε ένα τυχαίο σημείο x = k λ i x i του M, το οποίο είναι κυρτός συνδυασμός των σημείων x 1,..., x k A. Η απόδειξη της σχέσης M conv A θα γίνει με επαγωγή στο πλήθος των σημείων x 1,..., x k. 27
Για k = 1, λ 1 = 1 και x = x 1 A. Για k = 2, ισχύει λ 1 + λ 2 = 1 λ 2 = 1 λ 1 και το x είναι ίσο με x = λ 1 x 1 + (1 λ 1 )x 2 conv A, καθώς το conv A είναι κυρτό. Υποθέτουμε ότι το σημείο x ανήκει στο conv A. Άρα γράφεται ως κυρτός συνδυασμός k 1 πλήθους σημείων του A, δηλαδή Αν το σημείο k 1 x = λ i x i conv A. x = k λ i x i γράφεται ως κυρτός συνδυασμός k σημείων του A, θα δείξουμε ότι x conv A. Στην περίπτωση που κάποιο από τα λ i είναι μηδέν, τότε το σημείο x ανήκει στο conv A, ως κυρτός συνδυασμός k 1 σημείων του. Επιλέγουμε κατάλληλα το λ k, ώστε να ανήκει στο [0, 1]. Αν λ k = 1, τότε x = x k conv A, ενώ, για λ k 1 το άθροισμα και άρα το x γράφεται ως Το σημείο λ 1 +... + λ k 1 = 1 λ k 0 k 1 λ i x = (1 λ k ) x i + λ k x k. 1 λ k x = k 1 λ i 1 λ k x i conv A, καθώς γράφεται ως κυρτός συνδυασμός k 1 πλήθους σημείων του A, επειδή και k 1 λ i 1 λ k 0 i = 1,..., k 1 λ i = 1 1 λ k 1 λ k k 1 λ i = 1 λ k 1 λ k = 1. Επομένως, το x γράφεται ως κυρτός συνδυασμός των x και x k που ανήκουν conv A, δηλαδή x = (1 λ k )x + λ k x k conv A, καθώς αυτό είναι κυρτό. Συνεπώς, κάθε κυρτός συνδυασμός σημείων του A είναι σημείο του conv A και προκύπτει ότι conv A M. 28
Από την παραπάνω σχέση και από την (7), έχουμε conv A = M και κατά συνέπεια, το κυρτό περίβλημα του A είναι το σύνολο όλων των κυρτών συνδυασμών σημείων του A. Το επόμενο Θεώρημα αφορά τη συμπάγεια του κυρτού περιβλήματος ενός συνόλου. Θεώρημα 3.1. Αν A είναι ένα συμπαγές υποσύνολο του R n, τότε και το κυρτό του περίβλημα είναι συμπαγές. Απόδειξη. Θεωρούμε το σύνολο { } n+1 S = (λ 1,..., λ n+1, x 1,..., x n+1 ) R n+1 A n+1 λ i 0, λ i = 1 και την απεικόνιση που ορίζεται με χρήση της f : S R n, f(λ 1,..., λ n+1, x 1,..., x n+1 ) = λ 1 x 1 +... + λ n+1 x n+1, η οποία είναι συνεχής. Το σύνολο S είναι συμπαγές και μέσω της f, που διατηρεί τη συμπάγεια λόγω συνέχειας, απεικονίζεται στο συμπαγές σύνολο f(s). Το f(s) είναι το σύνολο όλων των κυρτών συνδυασμών του A, άρα και το κυρτό του περίβλημα. Δηλαδή, f(s) = conv A και επομένως, το conv A είναι συμπαγές σύνολο. Μερικά γνωστά κυρτά σύνολα είναι το τρίγωνο, η ευθεία, το ευθύγραμμο τμήμα δύο σημείων, το τετράγωνο, ο κύκλος στο επίπεδο, η σφαίρα, ο κύλινδρος, ο κύβος στον τρισδιάστατο χώρο κ.τ.λ. Τέλος, πριν την ανάλυση των συναρτήσεων ορισμένων σε κυρτό σύνολο, θα δοθεί ο ορισμός του κυρτού κώνου. Έστω O η αρχή του συστήματος συντεταγμένων. Ορισμός 3.1. Ένα κλειστό υποσύνολο A του R n ονομάζεται κυρτός κώνος με κορυφή το O αν για κάθε λ, µ R + λx + µy A, για κάθε x, y που ανήκουν στο A. 29
3.1 Κυρτές συναρτήσεις Θα δοθεί, αρχικά, ο ορισμός της κυρτής συνάρτησης για τις συναρτήσεις μίας μεταβλητής. Έστω ένα διάστημα I R. Μία συνάρτηση f : I R ονομάζεται κυρτή, όταν για κάθε x, y I ισχύει f((1 λ)x + λy) (1 λ)f(x) + λf(y), με λ [0, 1]. Η f ονομάζεται αυστηρά κυρτή, αν f((1 λ)x + λy) < (1 λ)f(x) + λf(y) x, y I με x y και λ (0, 1). Επίσης, μία συνάρτηση g : I R λέγεται κοίλη (ή αυστηρά κοίλη) όταν η συνάρτηση g είναι κυρτή (ή αυστηρά κυρτή, αντίστοιχα). Παραδείγματα κυρτών συναρτήσεων είναι οι μετρικές και οι νόρμες. Για μία συνάρτηση ορίζεται το επιγράφημά της ως το σύνολο f : I R epi(f) = {(x, t) I R : f(x) t}. Πρόταση 3.2. Η f είναι κυρτή αν και μόνο αν το επιγράφημά της είναι κυρτό σύνολο. Απόδειξη. Έστω ότι η f είναι κυρτή. Τότε, για κάθε x, y I και για λ [0, 1], ισχύει Αν (x, t 1 ), (y, t 2 ) epi(f), τότε f((1 λ)x + λy) (1 λ)f(x) + λf(y). f(x) t 1 και f(y) t 2 και έτσι Συνεπώς f((1 λ)x + λy) (1 λ)f(x) + λf(y) (1 λ)t 1 + λt 2. ((1 λ)x + λy, (1 λ)t 1 + λt 2 ) = (1 λ)(x, t 1 ) + λ(y, t 2 ) epi(f) και το επιγράφημα της f είναι κυρτό σύνολο. Αντίστροφα, αν το επιγράφημα της f είναι κυρτό, για τα σημεία του (x, f(x)), (y, f(y)), (1 λ)(x, f(x)) + λ(y, f(y)) epi(f), 30
για κάθε λ [0, 1]. Όμως (1 λ)(x, f(x)) + λ(y, f(y)) = ((1 λ)x + λy, (1 λ)f(x) + λf(y)) epi(f) και συνεπώς f((1 λ)x + λy) (1 λ)f(x) + λf(y), δηλαδή η f είναι κυρτή. Θεωρούμε ένα κυρτό υποσύνολο A του R n. Μία συνάρτηση f : A R ονομάζεται κυρτή, αν για κάθε x, y A, ισχύει f ((1 λ)x + λy) (1 λ)f(x) + λf(y), όπου λ [0, 1]. Αντίστοιχα, η f είναι κοίλη, αυστηρά κυρτή ή αυστηρά κοίλη, όταν ισχύουν οι ανισότητες με τη μορφή που ορίστηκαν για τις συναρτήσεις μίας μεταβλητής. Eπιπρόσθετα, το επιγράφημα της f είναι το σύνολο epi(f) = {(x, t) A R : f(x) t}. Και σε αυτήν την περίπτωση, ισχύει η Πρόταση 3.2. Ο ορισμός της κυρτότητας της f μας δίνει μία σχέση υπογραμμικότητας και έχουμε την εξής ανισότητα. Έστω A ένα κυρτό υποσύνολο του R n. Πρόταση 3.3 (Ανισότητα του Jensen 7 ). Έστω μία κυρτή συνάρτηση f : A R. Τότε για κάθε n x 1,..., x n A και λ 1,..., λ n 0 με λ i = 1 ισχύει f(λ 1 x 1 +... + λ n x n ) λ 1 f(x 1 ) +... + λ n f(x n ). Απόδειξη. Η απόδειξη θα γίνει με επαγωγή στο πλήθος n των x i. Για n = 1 ή n = 2, η ανισότητα ισχύει, λόγω της κυρτότητας της συνάρτησης f. Υποθέτουμε ότι η ανισότητα ισχύει, όταν το πλήθος των x i είναι n 1. Για πλήθος n, επιλέγουμε το λ 1 κατάλληλα, ώστε να είναι διάφορο του 1, και έχουμε f(λ 1 x 1 +... + λ n x n ) ( [ λ 2 =f λ 1 x 1 + (λ 2 +... + λ n ) x 2 +... + λ 2 +... + λ ( n λ 2 λ 1 f(x 1 ) + (λ 2 +... + λ n )f x 2 +... + λ 2 +... + λ n λ 1 f(x 1 ) +... + λ n f(x n ) και συμπεραίνουμε ότι η ανισότητα του Jensen ισχύει. ]) λ n x n λ 2 +... + λ n ) λ n λ 2 +... + λ n x n 7 Johan Ludwig William Valdemar Jensen (1859-1925): Δανός μαθηματικός, Πρόεδρος της Μαθηματικής Εταιρείας της Δανίας. 31
Η ανισότητα του Jensen ισχύει και στην περίπτωση των κυρτών συναρτήσεων μίας μεταβλητής. Για τις κυρτές συναρτήσεις, ιδιαίτερα χρήσιμο είναι το παρακάτω συμπέρασμα. Πρόταση 3.4. Κάθε κυρτή συνάρτηση f ορισμένη σε ένα κυρτό σύνολο A, είναι συνεχής στο εσωτερικό του. Απόδειξη. Επιλέγουμε ένα τυχαίο σημείο x 0 που ανήκει στο int A. Το σύνολο A είναι κυρτό και, από την Πρόταση 3.1, περιέχει όλους τους κυρτούς συνδυασμούς των σημείων του. Θεωρούμε σημεία x 1,..., x d που ανήκουν στο A, των οποίων το κυρτό περίβλημα αποτελεί ένα (d 1)-simplex, έστω K = (x 1,..., x d ), και το σημείο x 0 int K. Έτσι int K K A. Για αρκετά μικρό ρ > 0, παίρνουμε την ευκλείδεια μπάλα B(x 0, ρ) με κέντρο x 0 και ακτίνα ρ, τέτοια ώστε B(x 0, ρ) int K K A, η οποία είναι κυρτό σύνολο. Το x 0 γράφεται κατά μοναδικό τρόπο ως κυρτός συνδυασμός των x 1,..., x d, καθώς ανήκει στο simplex K. Άρα υπάρχουν μοναδικά λ i 0 για i = 1,..., d, με d λ i = 1, τέτοια ώστε x 0 = λ 1 x 1 +... + λ d x d. Όμως, η f είναι κυρτή στο A, άρα και στο K, και έτσι, f(x 0 ) λ 1 f(x 1 ) +... + λ d f(x d ) d λ i M = M, (8) όπου M = max{f(x 1 ),..., f(x d )}. Επίσης, ισχύει f(t) M, για κάθε t K, άρα και για κάθε z B(x 0, ρ), καθώς όλα τα σημεία του K γράφονται κατά μοναδικό τρόπο ως κυρτοί συνδυασμοί των σημείων x 1,..., x d. Έστω y B(x 0, ρ). Τότε y x 0 ρ και άρα το y γράφεται ως y = x 0 + αu, όπου u R n, με u = ρ και α [0, 1]. Τα σημεία x 0 u, x 0 + u ανήκουν στο B(x 0, ρ) και το y μπορεί να γραφεί και ως Η f είναι κυρτή και έχουμε y = (1 α)x 0 + α(x 0 + u). f(y) = f((1 α)x 0 + α(x 0 + u)) (1 α)f(x 0 ) + αf(x 0 + u) (1 α)f(x 0 ) + αm, δηλαδή f(y) f(x 0 ) α(m f(x 0 )). (9) 32
Το x 0, όμως, μπορεί να γραφεί και ως κυρτός συνδυασμός των y και x 0 u και, λόγω της κυρτότητας της f, που συνεπάγεται ότι Από τις εξισώσεις (9) και (10), έχουμε (1 + α)x 0 = y + α(x 0 u) x 0 = 1 1 + α y + α 1 + α (x 0 u) f(x 0 ) 1 1 + α f(y) + α 1 + α f(x 0 u), f(x 0 ) f(y) α(m f(x 0 )). (10) f(x 0 ) f(y) α(m f(x 0 )), για y B(x 0, ρ). Συνεπώς, η f είναι συνεχής στο x 0 και, επειδή το x 0 ήταν τυχαίο, προκύπτει ότι η f είναι συνεχής στο int A. 3.2 Η Μετρική Προβολή Θεωρούμε ένα κυρτό και κλειστό υποσύνολο A του R n. Πρόταση 3.5. Για κάθε x R n, υπάρχει μοναδικό σημείο z A, που ελαχιστοποιεί την απόσταση του x από το A, δηλαδή τέτοιο ώστε x z x y y A. Απόδειξη. Για κάθε x R n, υπάρχει z A, τέτοιο ώστε x z = min x y, y A καθώς το A είναι κλειστό. Για ρ > 0, παίρνουμε μία ευκλείδεια μπάλα B(x, ρ), με B(x, ρ) A. Το σύνολο B(x, ρ) A είναι κλειστό και φραγμένο στον χώρο R n και κατά συνέπεια, συμπαγές. Επομένως, υπάρχει z B(x, ρ) A, που ελαχιστοποιεί την απόσταση του x από το A, δηλαδή τέτοιο ώστε να είναι x z x y y B(x, ρ) A. Για την απόδειξη της μοναδικότητας, υποθέτουμε ότι υπάρχει σημείο t A διαφορετικό από το z, για το οποίο ισχύει x z = x t. 33
Τα z, t είναι σημεία του A, το οποίο είναι κυρτό, επομένως, ο κυρτός συνδυασμός τους b = 1 2 z + 1 2 t είναι σημείο του A. Όμως, ισχύει x z x b = x 1 2 z 1 2 t = 1 2 x 1 2 z + 1 2 x 1 2 t = = 1 2 x z + x t < 1 ( x z + x t ) = x z, 2 δηλαδή x z < x z, που είναι άτοπο. Συμπερασματικά, το z είναι το μοναδικό σημείο με την ιδιότητα αυτή. Ορισμός 3.2. Η απεικόνιση p A : R n A x z = p A (x), που ορίζεται με χρήση της x z = x p A (x) x y y A, ονομάζεται μετρική προβολή του R n στο κυρτό σύνολο A. Είναι φανερό ότι για ένα σημείο x A είναι p A (x) = x. Για ένα σημείο x R n, το σημείο p A (x) του συνόλου A ονομάζεται μετρική προβολή του x πάνω στο A. Ορισμός 3.3. Το διάνυσμα u A (x) = x p A(x) x p A (x) για x R n \ A καλείται μοναδιαίο διάνυσμα του x στο A. Αποδεικνύουμε το επόμενο Λήμμα 3.1. Αν x R n \ A και y ανήκει στην ευθεία p A (x) + λu A (x), λ R, τότε p A (x) p A (y). 34