Copyright c Λαζαρίδη Αλέξανδρου-Τηλέμαχου, 2015 Με επιϕύλαξη παντός δικαιώματος. All rights reserved. Η έγκριση της μεταπτυχιακής εργασίας από το Τμήμ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚ Η ΜΕΛ ΕΤΗ ΕΥΡΕΤΙΚ ΩΝ ΜΕΘ ΟΔΩΝ ΑΡΧΙΚΟΠΟ ΙΗΣΗΣ ΔΙΑΔΡΟΜ ΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡ ΟΒΛΗΜΑ ΤΟΥ ΠΛΑΝ ΟΔΙΟΥ ΠΩΛΗΤ Η ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΟΥ ΛΑΖΑΡ ΙΔΗ ΑΛ ΕΞΑΝΔΡΟΥ-ΤΗΛ ΕΜΑΧΟΥ Πανεπιστήμιο Μακεδονίας Θεσσαλονίκη 20 Ιουνίου 2015

Copyright c Λαζαρίδη Αλέξανδρου-Τηλέμαχου, 2015 Με επιϕύλαξη παντός δικαιώματος. All rights reserved. Η έγκριση της μεταπτυχιακής εργασίας από το Τμήμα Εϕαρμοσμένης Πληροϕορικής του Πανεπιστημίου Μακεδονίας δεν υποδηλώνει απαραιτήτως και αποδοχή των απόψεων του συγγραϕέα εκ μέρους του Τμήματος. 2

ΜΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΡΕΤΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΩΝ ΑΡΧΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ ΔΙΑΔΡΟΜΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟΥ ΠΛΑΝΟΔΙΟΥ ΠΩΛΗΤΗ Λαζαρίδης Αλέξανδρος - Τηλέμαχος Πτυχίο Διοίκησης Τεχνολογίας, Πανεπιστήμιο Μακεδονίας, 2008 Διπλωματική Εργασία υποβαλλόμενη για τη μερική εκπλήρωση των απαιτήσεων του ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΥ ΤΙΤΛΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Επιβλέπων Καθηγητής Σιϕαλέρας Άγγελος Εγκρίθηκε από την τριμελή εξεταστική επιτροπή την 23/06/2015 Σιϕαλέρας Άγγελος Σαμαράς Νικόλαος Βεργίδης Κωνσταντίνος................................................................................. Λαζαρίδης Αλέξανδρος - Τηλέμαχος........................... 3

ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Η παρούσα διπλωματική θέση αποτελεί ένα σημαντικό σημείο για τις μεταπτυχιακές μου σπουδές. Διότι, μου δόθηκε η ευκαιρία να ασχοληθώ με την επιστημονική πληροϕορική και τον προγραμματισμό. Στη προσπάθεια αυτή συνέλαβε ωστόσο η άμεση και έμεση παρουσία ορισμένων ανθρώπων. Αρχικά, οϕείλω να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα καθηγητή μου κ. Σιϕαλέρα Άγγελο για την εμπιστοσύνη και τη θέληση που έδειξε στο πρόσωπο μου, καθώς και για την επιστημονική του καθοδήγηση όπου αποδείχθηκε απαραίτητη για τη διεξαγωγή της παρούσας εργασίας. Στη συνέχεια, θα ήθελα να ευχαριστήσω την οικογένεια μου για την υπομονή και την αγάπη που έδειξαν όλο αυτό το διάστημα αυτής της προσπάθειας. Συγκεκριμένα, τους γονείς μου Γιάννη και Ρένα, την αδερϕή μου Ρηνέτα και ϕυσικά όλους τους ϕίλους που με στήριξαν. 4

Αϕιερώνεται στους γονείς μου, Γιάννη και Ρένα και στην αδερϕή μου Ρηνέτα 5

ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η παρούσα διπλωματική εργασία πραγματεύεται την υλοποίηση ευρετικών μεθόδων κατασκευής (construction heuristics) για την επίλυση του προβλήματος του Πλανόδιου Πωλητή (TSP) και τη πραγματοποίηση στατιστικής ανάλυσης των παραπάνω. Αρχικά, παρουσιάζεται το θεωρητικό υπόβαθρο που είναι αναγκαίο για τη κατανόηση της διπλωματικής θέσης. Επειτα γίνεται μια λεπτομερή περιγραϕή των ευρετικών μεθόδων κατασκευής με τη βοήθεια ενός στιγμιοτύπου. Οι μέθοδοι που παρουσιάζονται είναι ο Nearest Neighbor, ο Double (Sided) Nearest Neighbor καθώς επίσης οι Nearest, Farthest, Cheapest και με τελευταία τη Random Insertion. Στη συνέχεια, παρατίθεται η υπολογιστική μελέτη των υλοποιηθέντων μεθόδων αρχικοποίησης στα μετροπροβλήματα της TSPLIB καθώς και των National TSPs. Με την υπολογιστική μελέτη γίνεται έλεγχος της αποτελεσματικότητας κάθε ευρετικής μεθόδου ξεχωριστά. Τέλος, πραγματοποιείται στατιστική ανάλυση των υλοποιηθέντων μεθόδων προκειμένου με στατιστικό τρόπο να λάβουμε ορισμένα σημαντικά στοιχεία για τις μεθόδους που εξετάζουμε και τη σχέση που υπάρχει μεταξύ τους. Λέξεις - Κλειδιά: Πρόβλημα Πλανόδιου Πωλητή, Ευρετικές μέθοδοι κατασκευής, Nearest Neighbor, Insertions, Στατιστική ανάλυση 6

ABSTRACT This master thesis deals with implementing construction heuristic methods to solve the traveling salesman problem (TSP) and performing statistical analysis of the above. Firstly, the theoretical background is presented as necessary for comprehension of master thesis. Next, there is a careful presentation of the Construction Heuristics using a small size problem. Methods that are described by this problem are Nearest Neighbor, Double (Sided) Nearest Neighbor as well as the Nearest, Farthest, Cheapest and last Random Insertion. It also presents a computational study of the TSPLIB benchmarks and National TSPs using Construction methods. A computational study tests the eectiveness of each heuristic method separately. Finally, statistical analysis of completed methods take important information about h- euristics and examine the relationship between them. Keys - Words: Travelling Salesman Problem, Construction heuristics, Nearest Neighbor, Insertions, Statistical analysis 7

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 Εισαγωγή 14 1.1 Εισαγωγή στο πρόβλημα του TSP......................... 14 1.2 Εισαγωγή στις μεθόδους αρχικοποίησης...................... 15 1.3 Σκοπός της εργασίας................................ 15 1.4 Συνεισϕορά..................................... 16 1.5 Διάρθωση της μελέτης............................... 16 2 Βιβλιογραϕική Επισκόπηση 18 2.1 Το Πρόβλημα του Πλανόδιου Πωλητή....................... 18 2.1.1 Ιστορικά Στοιχεία.............................. 18 2.1.2 Ορισμός και Περιγραϕή Προβλήματος................... 19 2.1.3 Κατηγοροποίηση του TSP......................... 20 2.1.4 Μαθηματική Μοντελοποίηση του προβλήματος TSP........... 21 2.1.5 Οι παραλλαγές του προβλήματος TSP................... 23 2.1.6 Εϕαρμογές του προβλήματος TSP..................... 26 2.1.7 Το TSP και η εϕοδιαστική αλυσίδα.................... 28 3 Μέθοδοι αρχικοποίησης 30 3.1 Nearest neighbour heuristics............................ 30 3.1.1 Nearest neighbor (NN)........................... 30 3.1.2 Double (sized) nearest neighbour (DNN)................. 34 3.2 Insertion heuristics................................. 38 3.2.1 Nearest Insertion Method (NI)...................... 39 3.2.2 Farthest Insertion Method (FI)...................... 43 3.2.3 Cheapest Insertion Method........................ 47 3.2.4 Random Insertion Method (RI)...................... 52 8

4 Περιγραϕή των μετροπροβλημάτων της TSPLIB 57 4.1 TSPLIB - A Traveling Salesman Problem Library................ 57 4.1.1 Μορϕή των αρχείων της βιβλιοθήκης................... 58 4.1.2 Τα μετροπροβλήματα της βιβλιοθήκης TSPLIB και τα National TSPs μετροπροβλήματα.............................. 63 5 Υπολογιστική μελέτη της TSPLIB 70 5.1 Αποτελέσματα συμμετρικών στιγμιοτύπων (Symmetric benchmarks)...... 71 5.2 Αποτελέσματα ασύμμετρων στιγμιοτύπων (Asymmetric benchmarks)...... 93 5.3 Αποτελέσματα των National TSPs στιγμιοτύπων................. 100 5.4 Συμπεράσματα και Ανάλυση των αποτελεσμάτων................. 106 5.4.1 Ανάλυση συμμετρικών στιγμυοτύπων................... 106 5.4.2 Ανάλυση ασύμμετρων στιγμυοτύπων.................... 107 5.4.3 Ανάλυση National TSPs στιγμυοτύπων.................. 108 6 Στατιστική ανάλυση της υπολογιστικής μελέτης 110 6.1 Εισαγωγή...................................... 110 6.2 Μεθοδολογία στατιστικής ανάλυσης........................ 111 6.3 Στατιστική ανάλυση των αποτελεσμάτων...................... 113 6.3.1 Στατιστική ανάλυση συμμετρικών στιγμυοτύπων............. 113 6.3.2 Στατιστική ανάλυση ασύμμετρων στιγμυοτύπων.............. 115 6.3.3 Στατιστική ανάλυση National TSPs στιγμυοτύπων............ 117 7 Επίλογος 119 7.1 Συμπεράσματα.................................... 119 7.2 Μελλοντική Ερευνα................................. 119 9

Κατάλογος Σχημάτων 2.1.1Hamiltonian circuit................................. 20 3.1.1Γράϕος 8 κόμβων.................................. 31 3.1.2Πρώτη εισαγωγή του NN (κόμβος 8)....................... 32 3.1.3Δεύτερη εισαγωγή του NN (κόμβος 3)...................... 33 3.1.4Τρίτη εισαγωγή του NN (κόμβος 2)........................ 33 3.1.5 Εβδομη εισαγωγή του NN (κόμβος 7)....................... 34 3.1.6Πρώτη εισαγωγή του DNN (κόμβος 2)...................... 35 3.1.7Δεύτερη εισαγωγή του DNN (κόμβος 5)..................... 36 3.1.8Τρίτη εισαγωγή του DNN (κόμβος 6)....................... 36 3.1.9Τέταρτη εισαγωγή του DNN (κόμβος 7)...................... 37 3.1.10 Εβδομη εισαγωγή του DNN (κόμβος 3)...................... 38 3.2.11Πρώτη εισαγωγή του NI (κόμβος 2)........................ 40 3.2.12Δεύτερη εισαγωγή του NI (κόμβος 5)....................... 41 3.2.13Τρίτη εισαγωγή του NI (κόμβος 6)......................... 42 3.2.14 Εβδομη εισαγωγή του NI (κόμβος 3)....................... 43 3.2.15Πρώτη εισαγωγή του FI (κόμβος 3)........................ 45 3.2.16Δεύτερη εισαγωγή του FI (κόμβος 8)....................... 46 3.2.17Τρίτη εισαγωγή του FI (κόμβος 1)......................... 46 3.2.18 Εβδομη εισαγωγή του FI (κόμβος 6)....................... 47 3.2.19Πρώτη εισαγωγή του CI (κόμβος 2)........................ 49 3.2.20Δεύτερη εισαγωγή του CI (κόμβος 5)....................... 50 3.2.21Τρίτη εισαγωγή του CI (κόμβος 6)......................... 51 3.2.22 Εβδομη εισαγωγή του CI (κόμβος 3)....................... 52 3.2.23Πρώτη και δεύτερη εισαγωγή του RI (κόμβος 3 και 4).............. 53 10

3.2.24Τρίτη εισαγωγή του RI (κόμβος 1)......................... 54 3.2.25Τέταρτη εισαγωγή του RI (κόμβος 8)....................... 55 3.2.26 Ογδη εισαγωγή του RI (κόμβος 7)......................... 56 5.3.1Χάρτης της Αιγύπτου................................ 105 5.3.2Βελτιστοποίηση της Αιγύπτου........................... 105 7.2.1Γράϕος με Κυρτό περίβλημα............................ 122 7.2.2Εισαγωγή πρώτου σημείου στο κυρτό περίβλημα................. 122 7.2.3Ταξινόμηση των σημείων.............................. 123 7.2.4Εισαγωγή δεύτερου σημείου στο κυρτό περίβλημα................. 123 7.2.5Εισαγωγή τρίτου σημείου στο κυρτό περίβλημα.................. 124 7.2.6Εισαγωγή τέταρτου σημείου στο κυρτό περίβλημα................. 124 7.2.7Απόρριψη πέμπτου σημείου στο κυρτό περίβλημα................. 125 7.2.8Απόρριψη έκτου σημείου στο κυρτό περίβλημα.................. 125 7.2.9Εισαγωγή έβδομου σημείου στο κυρτό περίβλημα................. 126 7.2.10Εισαγωγή έβδομου σημείου στο κυρτό περίβλημα................. 126 11

Κατάλογος Πινάκων 4.1 Συμμετρικά μετροπροβλήματα............................ 64 4.2 Ασύμμετρα μετροπροβλήματα............................ 68 4.3 National TSPs μετροπροβλήματα.......................... 69 5.1 Υπολογιστικά αποτελέσματα των συμμετρικών μετροπροβλημάτων της TSPLIB με αρχική λύση τη μέθοδο Nearest neighbour................... 71 5.2 Υπολογιστικά αποτελέσματα των συμμετρικών μετροπροβλημάτων της TSPLIB με αρχική λύση τη μέθοδο Double (sized) nearest neighbour.......... 74 5.3 Υπολογιστικά αποτελέσματα των συμμετρικών μετροπροβλημάτων της TSPLIB με αρχική λύση τη μέθοδο Nearest Insertion................... 78 5.4 Υπολογιστικά αποτελέσματα των συμμετρικών μετροπροβλημάτων της TSPLIB με αρχική λύση τη μέθοδο Farthest Insertion................... 82 5.5 Υπολογιστικά αποτελέσματα των συμμετρικών μετροπροβλημάτων της TSPLIB με αρχική λύση τη μέθοδο Cheapest Insertion.................. 85 5.6 Υπολογιστικά αποτελέσματα των συμμετρικών μετροπροβλημάτων της TSPLIB με αρχική λύση τη μέθοδο Random Insertion................... 89 5.7 Υπολογιστικά αποτελέσματα των ασύμμετρων μετροπροβλημάτων της TSPLIB με αρχική λύση τη μέθοδο Nearest neighbour................... 93 5.8 Υπολογιστικά αποτελέσματα των ασύμμετρων μετροπροβλημάτων της TSPLIB με αρχική λύση τη μέθοδο Double sized nearest neighbour........... 94 5.9 Υπολογιστικά αποτελέσματα των ασύμμετρων μετροπροβλημάτων της TSPLIB με αρχική λύση τη μέθοδο Nearest Insertion................... 95 5.10Υπολογιστικά αποτελέσματα των ασύμμετρων μετροπροβλημάτων της TSPLIB με αρχική λύση τη μέθοδο Farthest Insertion................... 96 12

5.11Υπολογιστικά αποτελέσματα των ασύμμετρων μετροπροβλημάτων της TSPLIB με αρχική λύση τη μέθοδο Cheapest Insertion.................. 97 5.12Υπολογιστικά αποτελέσματα των ασύμμετρων μετροπροβλημάτων της TSPLIB με αρχική λύση τη μέθοδο Random Insertion................... 98 5.13Υπολογιστικά αποτελέσματα των ασύμμετρων μετροπροβλημάτων της TSPLIB. 99 5.14Υπολογιστικά αποτελέσματα των National TSPs με αρχική λύση τη μέθοδο Nearest Neighbor.................................. 100 5.15Υπολογιστικά αποτελέσματα των National TSPs με αρχική λύση τη μέθοδο Double (sized) nearest neighbour......................... 101 5.16Υπολογιστικά αποτελέσματα των National TSPs με αρχική λύση τη μέθοδο Cheapest Insertion................................. 102 5.17Υπολογιστικά αποτελέσματα των National TSPs με αρχική λύση τη μέθοδο Random Insertion.................................. 103 5.18Υπολογιστικά αποτελέσματα των National TSPs................. 104 5.19Ανάλυση συμμετρικών στιγμυοτύπων....................... 107 5.20Ανάλυση ασύμμετρων στιγμυοτύπων........................ 108 5.21Ανάλυση National TSPs στιγμυοτύπων...................... 109 6.1 Συγκρίσεις του Wilcoxon signed rank test για STSP (benchmarks) ως προς τη μεταβλητή Error.................................. 114 6.2 Συγκρίσεις του Wilcoxon signed rank test για STSP (benchmarks) ως προς τη μεταβλητή Cputime................................. 115 6.3 Συγκρίσεις του Wilcoxon signed rank test για ATSP (benchmarks) ως προς τη μεταβλητή Error.................................. 116 6.4 Συγκρίσεις του Wilcoxon signed rank test για ATSP (benchmarks) ως προς τη μεταβλητή Cputime................................. 116 6.5 Συγκρίσεις του Wilcoxon signed rank test για NationalTSPs (benchmarks) ως προς τη μεταβλητή Error.............................. 117 6.6 Συγκρίσεις του Wilcoxon signed rank test για NationalTSPs (benchmarks) ως προς τη μεταβλητή Cputime............................. 118 13

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγή 1.1 Εισαγωγή στο πρόβλημα του TSP Η βελτιστοποίηση αποτελεί την αναζήτηση βέλτιστων αποϕάσεων για πολύπλοκα συστήματα. Είναι υποσύνολο της επιχειρησιακής έρευνας όπου αναϕέρεται στην επιστήμη των εϕαρμοσμένων μαθηματικών. Στην εποχή μας, οι επιχειρήσεις αξιοποιούν τη βελτιστοποίηση προς όϕελος τους προκειμένου να αντλήσουν αποδοτικές αποϕάσεις με κύριο στόχο την ελαχιστοποίηση του κόστους τους. Η βελτιστοποίηση αξιοποιείται σε πολλούς τομείς, ένας από αυτούς είναι και η Εϕοδιαστική Αλυσίδα. Η εϕοδιαστική αλυσίδα βασίζεται σε μοντέλα και μεθόδους της Επιχειρησιακής Ερευνας για τη λήψη αποδοτικών αποϕάσεων. Η ανάγκη για αποδοτικές αποϕάσεις και ελαχιστοποίηση του κόστους είχε ως αποτέλεσμα την ανάπτυξη μεθόδων για τέτοιου είδους προβλήματα. Ενα από τα σημαντικότερα προβλήματα της Βελτιστοποίησης είναι το Πρόβλημα του Πλανόδιου Πωλητή (Traveling Salesman Problem - TSP). Το πρόβλημα του Πλανόδιου πωλητή παρουσιάζει τεράστιο ενδιαϕέρον σε ερευνητικό και επιστημονικό επίπεδο καθώς βρίσκει πολύπλευρη εϕαρμογή σε διαϕορετικούς τομείς. Το πρόβλημα του Πλανόδιου Πωλητή πραγματεύεται τον εντοπισμό της συντομότερης περιοδείας (διαδρομής), συνδέοντας ένα πλήθος κόμβων. Ο μεταϕορέας (salesman) γνωρίζει τους κόμβους (πόλεις) στους οποίους θα μετακινηθεί ακριβώς μία ϕορά και τη διαδρομή που θα ακολουθήσει για να επιϕέρει το αποτέλεσμα με το μικρότερο κόστος. Τέλος, είναι ξεκάθαρο ότι το πρόβλημα του Πλανόδιου Πωλητή συνδέεται άμεσα με την λειτουργία της μεταϕοράς και της διανομής της εϕοδιαστικής αλυσίδας αϕού αποτελεί τη κύρια δραστηριότητα της και ανταποκρίνεται με επιτυχία σε προβλήματα μεγάλων αποστάσεων σε επίπεδο χωρών ή υπερπόντιων διαδρομών. 14

1.2 Εισαγωγή στις μεθόδους αρχικοποίησης Μια σημαντική οικογένεια ευρετικών μεθόδων είναι οι μέθοδοι αρχικοποίησης. Οι ευρετικές αρχικοποίησης είναι μέθοδοι που χρησιμοποιούνται για την επίλυση του προβλήματος του πλανόδιου πωλητή. Το πλεονέκτημα κάθε ευρετικής μεθόδου αρχικοποίησης είναι ότι κατασκευάζει μια αρκετά καλή αρχική λύση σε ένα πεπερασμένο χρονικό διάστημα και παράγεται γρήγορα. Ενώ, το μειονέκτημα είναι ότι η λύση της μεθόδου δεν είναι πάντα βέλτιστη. Οι περισσότερες από τις ευρετικές μέθοδοι αρχικοποίησης είναι τόσες γρήγορες που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον εντοπισμό εϕικτών λύσεων χωρίς χρονικούς περιορισμούς. Συγκεκριμένα, οι σύγχρονες μέθοδοι μπορούν να βρουν λύση για μεγάλης κλίμακας προβλήματα του πλανόδιου πωλητή απέχοντας μόλις 2% με 3% από τη βέλτιστη λύση. Η πρώτη ιστορική αναϕορά σε ευρετική μέθοδο έγινε το 1956 από τον Merrill Flood που εξέτασε το πρόβλημα του Πλανόδιου πωλητή με τη μέθοδο της Πλησιέστερης Γειτονιάς. Το 1977 θα ξανά γίνει αναϕορά στη μέθοδο της Πλησιέστερης Γειτονιάς (Nearest Neighbor H- euristic) από τους (Rosenkrantz and Lewis 1977) το 1977. Ωστόσο, εκτός από τη μέθοδο της Πλησιέστερης Γειτονιάς, στην οικογένεια των ευρετικών μεθόδων αρχικοποίησης ανήκουν και οι αλγόριθμοι εισαγωγής (Insertions Heuristics). Η αναϕορά στους αλγόριθμους εισαγωγής θα γίνει από τον Rosenkrantz, το 1977, εστιάζοντας κυρίως στους Nearest and Cheapest Insertion. Καταλήγοντας, διαπιστώνουμε με τη πάροδο του χρόνου ότι οι ευρετικές μέθοδοι, έχουν δεχθεί τεράστιες βελτιώσεις και συνεχίζουν μέχρι πρότινος να τις μελετούν καθώς η συνδρομή τους είναι τεράστια, και ιδιαίτερα στο Πρόβλημα του Πλανόδιου Πωλητή. (Flood 1955, Rosenkrantz and Lewis 1977, Hahsler and Hornik 2007) 1.3 Σκοπός της εργασίας Η διπλωματική θέση πραγματεύεται την υλοποίηση ευρετικών μεθόδων αρχικοποίησης (construction heuristics) για την επίλυση στιγμιοτύπων (benchmarks) του TSP καθώς και τη συγκριτική μελέτη αυτών ως προς το χρόνο εκτέλεσης (πόσο χρόνο χρειάζεται η ευρετική μέθοδος αρχικοποίησης για να βρει μια αρχική λύση) και τη ποιότητα της λύσης. Η επιλογή του θέματος οϕείλεται στη σημασία που διακρίνει το πρόβλημα του TSP για την Συνδυαστική Βελτιστοποίηση καθώς και στην ανάγκη του συγγραϕέα να ασχοληθεί με θέματα βελτιστοποίησης σε χώρους όπως είναι αυτός της Εϕοδιαστικής Αλυσίδας. 15

Ο στόχος της εργασίας διακρίνεται σε τέσσερα σημεία. Ο πρώτος είναι η υλοποίηση των ευρετικών μεθόδων αρχικοποίησης (construction heuristics), το δεύτερο είναι η υπολογιστική μελέτη των ευρετικών μεθόδων αρχικοποίησης με την επίλυση των στιγμυοτύπων, το τρίτο είναι η συγκριτική μελέτη και το τέταρτο είναι η στατιστική ανάλυση των μεθόδων, υπολογίζοντας την αποδοτικότητα τους ως προς το χρόνο εκτέλεσης και την αποτελεσματικότητα ως προς τη ποιότητα σϕάλαματος. 1.4 Συνεισϕορά Η συνεισϕορά της παρούσας διπλωματικής θέσης είναι η εξής: Ανάλυση στοιχείων που αϕορούν το πρόβλημα του Πλανόδιου πωλητή από όλες τις σκοπιές. Εκτεταμένη περιγραϕή των ευρετικών μεθόδων αρχικοποίησης για το τρόπο εκτέλεσης τους με τη χρήση μικρού μεγέθους παράδειγμα. Εκτέλεση των benchmarks της TSPLIB βιβλιοθήκης καθώς και των National TSPs στιγμιοτύπων από τις μεθόδους αρχικοποίησης. Σύγκριση των ευρετικών μεθόδων αρχικοποίησης βασιζόμενη στα παραπάνω μετροπροβλήματα. Στατιστική ανάλυση των ευρετικών μεθόδων αρχικοποίησης ως προς τη χρόνο εκτέλεσης και τη ποιότητα σϕάλματος. 1.5 Διάρθωση της μελέτης Στη παρούσα ενότητα παρουσιάζεται η δομή της διπλωματικής θέσης. Αρχικά, το πρώτο κεϕάλαιο είναι ένα εισαγωγικό μέρος. Στο εισαγωγικό κομμάτι της θέσης δίνονται ορισμένα στοιχεία σχετικά με το πρόβλημα που θα αναλύσουμε στη συνέχεια αναλυτικά καθώς και ο σκοπός της εργασίας. Στο δεύτερο κεϕάλαιο παρουσιάζεται το θεωρητικό υπόβαθρο της εργασίας. Συγκεκριμένα, το θεωρητικό υπόβαθρο διακρίνεται από στοιχεία που αϕορούν τη περιγραϕή του προβλήματος του πλανόδιου πωλητή όπως ιστορικά στοιχεία, μαθηματική μοντελοποίηση, παραλλαγές και τρόποι εϕαρμογής του. 16

Στην συνέχεια (Κεϕάλαιο 3) γίνεται η αναλυτική περιγραϕή των ευρετικών μεθόδων αρχικοποίησης (construction heuristics). Στο (Κεϕάλαιο 4) περιγράϕονται τα μετροπροβλήματα της TSPLIB βιβλιοθήκης καθώς και τα National TSPs μετροπροβλήματα. Τα μετροπροβλήματα έ- χουν εκτελεστεί από τις ευρετικές μεθόδους αρχικοποίησης. Στο επόμενο κεϕάλαιο (Κεϕάλαιο 5) δίνεται η υπολογιστική μελέτη των προηγούμενων μετροπροβλημάτων. Στο ίδιο κεϕάλαιο παρέχεται η ανάλυση των αποτελεσμάτων για κάθε τύπο προβλήματος. Τέλος, στο τελευταίο κεϕάλαιο δίνεται η στατιστική ανάλυση της υπολογιστικής μελέτης. 17

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Βιβλιογραϕική Επισκόπηση 2.1 Το Πρόβλημα του Πλανόδιου Πωλητή 2.1.1 Ιστορικά Στοιχεία Η ιστορική αναδρομή για το πρόβλημα του Πλανόδιου Πωλητή (TSP), ξεκινάει γύρω στα μέσα του 18ου αιώνα. Η πρώτη αναϕορά στο συγκεκριμένο πρόβλημα γίνεται το 1832 από ένα εγχειρίδιο όπου περιλάμβανε διαδρομές της Γερμανίας και της Ελβετίας χωρίς ωστόσο να γίνεται καμιά προσπάθεια μαθηματικής προσέγγισης του προβλήματος. Το 1976, στη Οξϕόρδη σύμϕωνα με τη Θεωρία Γραϕημάτων των N. L. Biggs, E. K. LLoyd, και R. J. Wilson, το πρόβλημα του πλανόδιου πωλητή αποτελεί ένα στιγμιότυπο του γενικότερου προβλήματος της εύρεσης μιας Χαμιλτονιανής διαδρομής ή ενός κύκλου, (Biggs N.L 1977). Η πρώτη προσπάθεια μελέτης του προβλήματος επιτυγχάνεται από τους μαθηματικούς William Hamilton από τη Ιρλανδία και του Thomas Kirkman από τη Μεγάλη Βρετανία στα μέσα του 18ου αιώνα. Με τον δεύτερον να ορίζει στο άρθρο του, ((Philosophical Transactions of the Royal Society)) που δημοσιεύτηκε το 1856 ότι: «Σε ένα γράϕημα πολυέδρου, η εύρεση ενός τελικού κυκλώματος δίνεται όταν αυτός διέρχεται από κάθε κόμβο ακριβώς μία ϕορά». Το 1856, ο William Rowan Hamilton περιέγραψε το πρόβλημα χωρίς να δώσει αυστηρή μαθηματική μορϕοποίηση, κατασκευάζοντας ένα παιχνίδι γνωστό ως Icosian Game. Το παιχνίδι εντόπιζε διαδρομές ή κυκλώματα σε ένα δωδεκάεδρο γράϕο, ικανοποιώντας συγκεκριμένους περιορισμούς, (Laporte 2006). Η μαθηματική προσέγγιση του προβλήματος του Πλανόδιου Πωλητή ωστόσο πραγματοποιήθηκε κατά τη δεκαετία του 1930 στη Βιέννη και στο Χάρβαρντ, για πρώτη ϕορά από τον Karl Menger. Ο Karl Menger αποκάλεσε το συγκεκριμένο πρόβλημα, messenger problem. Ο στό- 18

χος του προβλήματος είναι να εντοπιστεί η συντομότερη διαδρομή που ενώνει ένα πεπερασμένο σύνολο σημείων, των οποίων τα ζεύγη αποστάσεων είναι γνωστά, (Sanjeev Arora 2007). Λίγα χρόνια αργότερα ο Hassler Whitney στο Πανεπιστήμιο του Princeton εισήγαγε την ονομασία travelling salesman problem, (David Applegate 2007). Στη δεκαετία του 1960, οι Dantzig, Fulkerson και Johnson σε εργασία τους εξέϕρασαν το πρόβλημα ως ένα ακέραιο γραμμικό πρόγραμμα. Με τη βοήθεια της cutting plane μεθόδου έλυσαν ένα παράδειγμα με 49 πόλεις. Η εργασία τους αποτελεί ορόσημο για το πρόβλημα του Πλανόδιου Πωλητή. (Laporte 2006) Το 1991, ο Gerhard Reinelt δημοσιεύει την TSPLIB. Η TSPLIB επρόκειτο για μια συλλογή μετροπροβλημάτων διαϕορετικής δυσκολίας, η οποία χρησιμοποιείται από ερευνητικές ομάδες για τη σύγκριση αποτελεσμάτων μέχρι στις ημέρες μας. Για τη TSPLIB θα κάνουμε εκτενέστερη αναϕορά στη συνέχεια, (Reinelt 1991). 2.1.2 Ορισμός και Περιγραϕή Προβλήματος Το πρόβλημα του TSP, θεωρείται ένα από τα πιο δημοϕιλή προβλήματα που απασχολεί τους μαθηματικούς και τους επιστήμονες του χώρου της πληροϕορικής, καθώς είναι το πιο διαδεδομένο πρόβλημα της συνδυαστικής βελτιστοποίησης που έχει μελετηθεί. Το πρόβλημα του πλανόδιου πωλητή που βρίσκει πολλές εϕαρμογές στην εϕοδιαστική αλυσίδα, (Marinakis and Mygdalas 2008). Το TSP μπορεί να περιγραϕεί ως το πρόβλημα της εύρεσης της συντομότερης περιοδείας ως προς το χρόνο, την απόσταση ή άλλο κόστος για ένα όχημα (salesman) που έχει σημείο αϕετηρίας (σημείο διανομής), αρχίζοντας και τελειώνοντας σε αυτό δεδομένου εϕόσον προηγουμένως έχει επισκεϕτεί έναν αριθμό n πόλεων (κόμβων) ακριβώς μια ϕορά. Παρά την απλότητα της δήλωσης του προβλήματος, το TSP είναι εξαιρετικά δύσκολο. Εχουν υλοποιηθεί ατέλειωτες αναλύσεις και αλγόριθμοι που προσπαθούν να λύσουν το πρόβλημα αυτό πιο αποτελεσματικά. (Flood 1955, David Applegate 2007, Cook 2012) Σε αυτό το σημείο είναι απαραίτητο να αναϕέρουμε ότι σύμϕωνα με τη θεωρία των γρα- ϕημάτων, η ελάχιστη απόσταση περιοδείας που προαναϕέρθηκε παραπάνω ορίζεται ως το Hamiltonian path, ενώ η περιοδεία που διέρχεται από όλους τους κόμβους του γράϕου ακριβώς μία ϕορά, καλείται Hamiltonian circuit, δες εικόνα 2.1.1 (Πηγή: https://en.wikipedia.org/) ή κύκλωμα, (David Applegate 2007, Cook 2012). 19

Σχήμα 2.1.1 Hamiltonian circuit Η θεωρία γραϕημάτων, ορίζει το πρόβλημα του πλανόδιου πωλητή σε ένα γράϕημα: 1. G = (V, A), το οποίο διακρίνεται από δύο υποσύνολα όπου V = v 1,..., v n είναι ένα σύνολο από n κορυϕές (κόμβους) και 2. A = (v i, v j ) v i, v j ϵv, (i j) είναι ένα σύνολο τόξων/ακμών, σε συνδυασμό με ένα μη αρνητικό κόστος (ή απόσταση) πίνακας c = c ij που συνδέονται με την A, (Cisar Rego 2011). 2.1.3 Κατηγοροποίηση του TSP Το πρόβλημα του Πλανόδιου Πωλητή διακρίνεται σε δύο κατηγορίες, (Reinelt 1994b, Cisar Rego 2011). 1. Συμμετρικό TSP. Διακρίνεται όταν το c ij που είναι το κόστος διαδρομής ή περιήγησης από την πόλη-κόμβο i στην πόλη-κόμβο j και c ji το αντίστοιχο κόστος από το j στο i, με (i, j),(j, i)ϵa και i,jϵv, είναι ίσα (c ij = c ji ), τότε το πρόβλημα χαρακτηρίζεται ως συμμετρικό. 2. Ασύμμετρο TSP. Διαϕορετικά, αν τα κόστη είναι άνισα (c ij c ji ), τότε το πρόβλημα χαρακτηρίζεται ως ασύμμετρο. 20

Το TSP είναι ένα κλασικό NP hard πρόβλημα συνδυαστικής. Η NP hard είναι μια από τις κλάσεις πολυπλοκότητας (complexity classes), που διακρίνουν τα προβλήματα λαμβάνοντας υπόψη την σημαντική υπολογιστική τους δυσκολία. Σύμϕωνα με τη θεωρία της πολυπλοκότητας, η κλάση στην οποία ανήκει το πρόβλημα του TSP, διακρίνεται από το γεγονός ότι σε περίπτωση που εντοπισθεί πολυωνυμικός αλγόριθμος για ένα από τα προβλήματα της κλάσης, τότε αυτό συνεπάγεται την ύπαρξη πολυωνυμικών αλγορίθμων για όλα τα προβλήματα της κλάσης NP. Αυτή τη στιγμή δεν υπάρχει γνωστός πολυωνυμικός αλγόριθμος που είναι σε θέση να λύσει όλες τις εμϕανίσεις του προβλήματος, (Johnson and Papadimitriou 1981, Cisar Rego 2011). 2.1.4 Μαθηματική Μοντελοποίηση του προβλήματος TSP Το TSP μπορεί να διατυπωθεί ως ένα ακέραιο γραμμικό πρόβλημα. Το μαθηματικό μοντέλο του προβλήματος διακρίνεται για δύο περιπτώσεις. Η πρώτη περίπτωση αϕορά το συμμετρικό TSP, και η δεύτερη για το ασύμμετρο. Στην περίπτωση του συμμετρικού TSP, ορίζουμε με i τους κόμβους. Ο αρχικός κόμβος (αϕετηρία) είναι ο i=1, ενώ τα i=2,..,n είναι οι κόμβοι των πελατών οι οποίοι προσπήπτουν σε ένα σύνδεσμο ή ακμή του γραϕήματος. Κάθε ζεύγος (i,j) με i j, αντιστοιχεί σε ένα σύνδεσμο ή ακμή του γραϕήματος. Τα βάρη c ij αντιστοιχούν στις αποστάσεις - κόστους από το κόμβο i στον κόμβο j ή αντίστροϕα. Σύμϕωνα με την παραλλαγή του STSP, οι αποστάσεις ικανοποιούν: 1. Συμμετρία: c ij = c ji, i,jϵn,i j. 2. Τριγωνική Ανισότητα: c ij c ik + c kj, i,j,k ϵn,i j Σύμϕωνα, με τους Μαρινάκη και Μυγδαλά (Marinakis and Mygdalas 2008), το μαθηματικό μοντέλο του συμμετρικού TSP ορίζει τη δυαδική μεταβλητή x ij για κάθε ακμή i και j (ij) ως εξής: 1, x ij = 0 Το 1, εάν το όχημα κάνει χρήση του συνδέσμου ij διαϕορετικά το 0. V = 1,2,...,n: το πλήθος των κόμβων c ij : κόστος διαδρομής (ακμής) από το κόμβο i στον κόμβο j ή αντίστροϕα S: υποσύνολο του V συνόλου 21

Άμα, λάβουμε υπόψη τη μεταβλητή x ij, καθώς και τις υπόλοιπες μεταβλητές, η αντικειμενική συνάρτηση είναι η εξής: n n (STSP)minimize c ij x ij (2.1) i=1 j=1 όπου ισχύει για τους παρακάτω περιορισμούς: x ik + x kj = 2, k V, i = 1,..., n i<k j>k (2.2) x ij 1, (S V, S ) (2.3) j S i,j S x ij {0, 1}, i, j, i j (2.4) Η πρώτη σειρά περιορισμών (2.2) εκϕράζει ότι κάθε κόμβος (k) βρίσκεται σε δύο ακριβώς συνδέσμους. Ο ένας υποδηλώνει την επίσκεψη και ο άλλος τη απομάκρυνση του διανομέα (όχημα) από τον κόμβο. Η δεύτερη σειρά περιορισμών (2.3) αποτρέπει τη πιθανότητα σχηματισμού υποδιαδρομών από ένα υποσύνολο κόμβων S. Οι υποδιαδρομές δεν διέρχονται από κάθε κόμβο, διότι υπάρχει τουλάχιστον μία ακμή που οδηγεί στο συμπληρωματικό του υποσύνολο S =1,..., n \S. Στην περίπτωση του ασύμμετρου TSP λαμβάνουμε υπόψη ότι τα κόστη δεν είναι ίσα. Δηλαδή, ισχύει c ij c ji. Στο ασύμμετρο TSP, ο γράϕος περιέχει τόξα αντί για ακμές. Το ασύμμετρο μαθηματικό μοντέλο στη συγκεκριμένη περίπτωση λαμβάνει την εξής μορϕή: n n (ATSP)minimize c ij x ij (2.5) i=1 j=1 Η αντικειμενική συνάρτηση (2.5) εκϕράζει το σύνολο των αθροισμάτων των βαρών, όλων των δυνατών διαδρομών. n x ij = 1, i = 1,..., n (2.6) i=0 n x ij = 1, j = 1,..., n (2.7) j=0 x ij 1, (S V, S ) (2.8) j S i,j S 22

x ij {0, 1}, i, j, i j (2.9) Η πρώτη σειρά περιορισμών διασϕαλίζει ότι μπαίνουμε σε κάθε πόλη (κόμβο) μία μόνο ϕορά, παρομοίως και η δεύτερη σειρά περιορισμών διασϕαλίζει ότι βγαίνουμε από κάθε πόλη μία μόνο ϕορά. Στη ουσία από τους δύο παραπάνω περιορισμούς εξασϕαλίζουμε ότι θα περάσουμε από κάθε πόλη μία μόνο ϕορά. Η τρίτη σειρά περιορισμών είναι πανομοιότυπη με αυτή του συμμετρικού μαθηματικού μοντέλου. Ο περιορισμός εξασϕαλίζει την αποϕυγή δημιουργίας ελάχιστης διαδρομής η οποία δεν θα είναι συνεχής στο γράϕημα. Άξιο αναϕοράς είναι ότι και τα δύο παραπάνω μοντέλα (συμμετρικό και ασύμμετρο) παρουσιάζουν ένα μειονέκτημα. Το μειονέκτημα έχει να κάνει με τον περιορισμό (2.3) καθώς όσο περισσότερο αυξάνεται ο αριθμός των κόμβων τόσο περισσότερο αυξάνονται και οι περιορισμοί, (Arthur and Frendewey 1988, Marinakis and Mygdalas 2008, Laporte 2010). 2.1.5 Οι παραλλαγές του προβλήματος TSP Το πρόβλημα TSP παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαϕέρον όχι μόνο στη γενικότερη μορϕή του, δηλαδή το συμμετρικό και το ασύμμετρο TSP αλλά και σε πολλές παραλλαγές με τις οποίες εμϕανίζεται. Στη παρούσα ενότητα θα αναϕέρουμε ορισμένες από τις πιο ενδιαϕέρουσες παρακάτω: Black and white traveling salesman problem (BWTSP): Το (BWTSP) είναι μια παραλλαγή του TSP. Ο στόχος του προβλήματος είναι να εντοπίσει μια Hamiltonian περιοδεία που ϕέρει το ελάχιστο κόστος ενός μη κατευθυνόμενου G πλήρη γράϕου. Το σύνολο των κορυϕών του γράϕου G διακρίνεται σε δύο υποσύνολα καθώς ο γράϕος περιέχει μόνο μαύρες και άσπρες κορυϕές, αν V είναι το σύνολο των κορυϕών τότε διακρίνεται σε V B και V W. Οι μαύροι κόμβοι εμπεριέχονται στο σύνολο V B, ενώ οι λευκοί κόμβοι στο V W. Σύμϕωνα με το πρόβλημα, η ύπαρξη του γράϕου εξαρτάται από δύο σημαντικούς περιορισμούς. Ο πρώτος περιορισμός έχει να κάνει με τον αριθμό των λευκών κορυϕών. Ο πληθυσμός των λευκών κορυϕών που βρίσκονται μεταξύ δύο συνεχόμενων μαύρων κόμβων οριοθετείται από ένα θετικό ακέραιο σταθερό Q, ενώ ο δεύτερος περιορισμός αϕορά το μήκος της κάθε διαδρομής μεταξύ δύο διαδοχικών μαύρων κορυϕών καθώς οριοθετείται από μια θετική τιμή L. Το (BWTSP) είναι NP hard πρόβλημα όπως το απλό TSP. Το πρόβλημα βρίσκει εϕαρμογή σε αεροπορικές πτήσεις κοντινών αποστάσεων καθώς και στον τομέα των τηλεπικοινονιών. Τέλος, το (BWTSP) δεν απασχολεί μόνο το πρόβλημα του TSP αλλά και του VRP, (Bi- 23

nay Bhattacharya 2007). Multiple traveling salesman problem (mtsp): Το (mtsp) αποτελεί γενικευμένη μορϕή του TSP, καθώς ο αριθμός των πωλητών που συμμετέχουν στον εντοπισμό λύσης είναι ένας ή και περισσότεροι. Εξαιτίας του γεγονότος ότι το TSP ανήκει στην κατηγορία των NP hard προβλήματων, είναι προϕανές ότι το mtsp είναι και αυτό με τη σειρά του ένα NP hard πρόβλημα. Σε ένα mtsp πρόβλημα ο αριθμός των πόλεων που υπάρχουν δεν είναι ξεκάθαρος. Οι πωλητές επισκέπτονται τους κόμβους ακριβώς μια ϕορά ξεκινώντας και ολοκληρώνοντας την περιοδεία τους στο ίδιο σημείο αϕετηρίας. Ο αριθμός των πόλεων (κόμβων) συμβολίζεται με n ενώ ο αριθμός των πωλητών salesmen με m. Στα mtsp προβλήματα όταν ο αριθμός των πωλητών είναι σταθερός οριοθετείται με βάση το μέγιστο μέγεθος του στόλου των οχημάτων που λαμβάνουν χώρα στη λύση. Ομως, στις περιπτώσεις που ο αριθμός των πωλητών δεν είναι σταθερός, τότε ο κάθε πωλητής έχει ένα αντίστοιχο σταθερό κόστος κατά την λύση του προβλήματος. Τελικώς, ο κύριος στόχος είναι να ελαχιστοποιηθεί το συνολικό κόστος περιοδείας του παραπάνω προβλήματος, (Kiraly and Abonyi 2011). Maximum/Minimun TSP (MAXTSP/MINTSP): Το (MAXTSP) είναι ένα πρόβλημα που αποσκοπεί να εντοπίσει τη περιοδεία ενός Hamiltonian κύκλου μέγιστου κόστους. Η τροποποίηση της παραλλαγής σε ένα Minimun TSP πρόβλημα επιτυγχάνεται πολύ εύκολα με τη χρήση αρνητικών βαρών και επιθυμεί στην εύρεση εκείνης της Hamiltonian περιοδείας που έχει το μικρότερο κόστος αντίστοιχα. Το πρόβλημα διακρίνεται από ένα πλήρες γράϕο με n κορυϕές, που συμβολίζεται με K n. Τέλος, ο υπολογισμός μιας τέτοιας δύσκολης λύσης χαρακτηρίζει και τις δύο παραλλαγές ως NP hard προβλήματα, (Jerome Monnot 2003). Χρονικά Εξαρτώμενο TSP (Time Dependent TSP): Το time-dependent traveling salesman problem (TDTSP) είναι μια έκδοση του TSP που το κόστος μετάβασης από τον κόμβο i στο κόμβο j εξαρτάται από τη χρονική περίοδο που έχει επισκεϕτεί ο πωλητής το κόμβο i. Εστω, ένας προσανατολισμένος γράϕος G =(N,A) όπου N το σύνολο των κόμβων και A το σύνολο των τόξων. Το κόστος κατά τη μετάβαση από κόμβο i στο j συμβολίζεται ως εξής c t ij όπου t ο χρόνος μετάβασης. Ο κύριος στόχος του προβλήματος είναι η εύρεση μιας περιοδείας του γράϕου G που να ελαχιστοποιεί το συνολικό 24

κόστος σύμϕωνα με τη σχέση n i=1 c t p(i)p(i+1) Τέλος, το (TDTSP) αποτελεί μια γενικευμένη μορϕή του TSP γεγονός που σημαίνει ότι είναι NP hard πρόβλημα, (Bigras, Gamache, and Savard 2008). Travelling salesman problem with time windows (TSPTW): Η παρούσα παραλλαγή επιθυμεί την εύρεση μιας Hamiltonian περιοδείας ομοίως με τις προηγούμενες που αναϕέρθηκαν παραπάνω με τη διαϕορά ότι προστήθεται η απαίτηση ότι θα επισκεϕθούμε τον κόμβο μέσα σε ένα προκαθορισμένο χρονικό παράθυρο. Το πρόβλημα του (TSPTW) βρίσκει εϕαρμογές σε δύο περιπτώσεις. Η πρώτη έχει να κάνει με το τομέα της δρομολόγησης και η δεύτερη με το πρόβλημα προγραμματισμού μίας μηχανής (one machine scheduling problem), http://en.wikipedia.org/wiki/single-machine_scheduling. Κατά τη δρομολόγηση, ο (TSPTW) αντιπροσωπεύει ένα πρόβλημα που εντοπίζει μια περιοδεία, η οποία ξεκινάει και ολοκληρώνεται σε ένα σημείο δρομολόγησης (αποθήκη), που επισκέπτεται από ένα σύνολο πελατών, το καθένα σε ένα συγκεκριμένο χρονικό παράθυρο με σκοπό την ελαχιστοποίηση του συνολικών χρόνων ταξιδιού. Ενώ, ως προς το πρόβλημα προγραμματισμού μίας μηχανής, η (TSPTW) χρησιμοποιείται για να διαμορϕώσει ένα πρόβλημα θέσεων εργασίας με σειρά αλληλουχίας. Σε κάθε μηχάνημα ο χρόνος εγκατάστασης κάθε εργασίας εξαρτάται από την προηγούμενη εργασία. Στο παρόν πρόβλημα δίνεται ένας μη προσανατολισμένος γράϕος G =(N,A) όπου N το σύνολο των πελατών και A το σύνολο των τόξων που συνδέονται οι κόμβοι. Το κόστος από ένα κόμβο i σε j δίνεται ως εξής c(a ij ). Στη πρώτη έκδοση το κόστος αυτό αντικατροπτίζει το χρόνο υπηρεσίας του κόμβου i μαζί με το χρόνο ταξιδιού μεταξύ του κόμβου i και j. Στη δεύτερη περίπτωση εκϕράζει το χρόνο αποστολής και επιπλέον το χρόνο για να συσταθεί η εργασία j, όταν ολοκληρωθεί η i. Το χρονικό παράθυρο [e i, l i ] ορίζει τη δρομολόγηση του κάθε κόμβου. οι χρόνοι αναμονής επιτρέπουν τη δρομολόγηση του πελάτη i με τη προϋπόθεση ότι μπορεί να επιτευχθεί πριν από την έναρξη του χρονικό παραθύρου, αλλά η υπηρεσία δεν μπορεί να ξεκινήσει μέχρι e i. Τέλος, συμπεραίνουμε ότι και οι δύο περιπτώσεις του TSPTW είναι NP hard προβλήματα, (Lopez Ibanez, Blum, Ohlmann, and Thomas 2013). 25

2.1.6 Εϕαρμογές του προβλήματος TSP Στη παρούσα ενότητα θα αριθμήσουμε ορισμένες περιπτώσεις στις οποίες εϕαρμόζεται το πρόβλημα του πλανόδιου πωλητή. Γεώτρηση Χαρτογραϕημένων Κυκλωμάτων (Drilling problem for printed circuit boards (PCBs)) Σε ένα πρόβλημα γεώτρησης, ο κύριος στόχος είναι η σύνδεση των αγωγών που βρίσκονται σε διαϕορετικά σημεία θέσης. Οι οπές που κατασκευάζονται για τη σύνδεση των αγωγών είναι διαϕορετικών διαμέτρων. Η διαδικασία κατασκευής οποιασδήποτε οπής με τρυπάνι είναι ιδιαίτερα χρονοβόρα, εξαιτίας της μετακίνησης του τρυπανιού που χρησιμοποιείται από τον εκάστοτε χειριστή. Η διαδικασία του χειριστή είναι προκαθορισμένη εξαρχής και διακρίνεται στην επιλογή της διαμέτρου της οπής, τον αριθμό των οπών, καθώς και τη προετοιμασία των επόμενων διαμέτρων που πρόκειται να ανοίξουν. Το παρόν πρόβλημα είναι ένα TSP πρόβλημα για κάθε διάμετρο που κατασκευάζεται από τον χειριστή. Στη παρούσα περίπτωση οι «κόμβοι» είναι οι αρχικές θέσεις των οπών καθώς και το σύνολο των υποψήϕιων που πρόκειται να προκύψουν από το ίδιο τρυπάνι μια ακριβώς ϕορά. Ενώ, η «απόσταση» μεταξύ δύο κόμβων είναι το χρονικό διάστημα που απαιτείται για να μετακινηθεί το τρυπάνι από τη μία διάμετρο, στην επόμενη. Τέλος, ως πρόβλημα TSP, ο στόχος του προβλήματος είναι η ελαχιστοποίηση του συνολικού χρόνο που απαιτείται για τη μετακίνηση της κεϕαλής, (Reinelt 1994b). Κρυσταλλογραϕία ακτινών X (X-RayCry stallography) Η εϕαρμογή εμϕανίζεται στην ανάλυση της δομής των κρυστάλων. Η ανάλυση υλοποιείται μετά από ένα πλήθος πειραμάτων με τη βοήθεια κινητήρων (motors) που τους επιτρέπει να μετακινούνται, από μια τη μία θέση στην άλλη και να πραγματοποιούν μετρήσεις. Ο χρόνος που απαιτείται για τη μετακίνηση μπορεί να υπολογισθεί με μεγάλη ακρίβεια. Ως πρόβλημα TSP, ο στόχος του προβλήματος είναι η ελαχιστοποίηση του συνολικού χρόνου τοποθέτησης για τις μετρήσεις που θα υλοποιηθούν για όλα τα πειράματα, (Bland and Shallcross 1989, Dreissig and Uebach 1990, Reinelt 1994b). Πρόβλημα Εκχώρησης Συχνοτήτων Frequency Assignment Problem Το πρόβλημα εκχώρησης συχνοτήτων εμϕανίζεται στα δίκτυο επικοινωνίας όπου και γίνεται συλλογή των πομπών. Το πρόβλημα εκχωρεί μια συχνότητα σε κάθε πομπό από ένα δεδομένο σύνολο διαθέσιμων συχνοτήτων που ικανοποιεί κάποιους περιορισμούς παρεμβολών, 26

(Sanjeev Arora 2007). Πρόβλημα προγραμματισμού μηχανής (Machine Scheduling Problem) Το πρόβλημα συσχετίζεται με τη διαδικασία ανάθεσης καθηκόντων σε ένα μόνο μηχάνημα ή έναν πόρο. Τα καθήκοντα διακρίνονται έτσι ώστε να μπορεί να βελτιστοποιηθούν οι διαδικασίες εκτέλεσης. Ενα τυπικό πρόβλημα προγραμματισμού μηχανής είναι η γραμμή συναρμολόγησης ενός προϊόντος. Η συναρμολόγηση παρόμοιων προϊόντων απαιτεί ελάχιστο χρόνο μετάβασης από το ένα σημείο στο άλλο. Αντίθετα, αν τα προϊόντα είναι διαϕορετικά, τότε ο χρόνος εγκατάστασης μπορεί να γίνει μεγαλύτερος, καθώς μπορεί να χρειαστούν νέα τμήματα, εργαλεία, κλπ. Ο στόχος είναι να βρεθεί η βέλτιστη αλληλουχία των θέσεων εργασίας προκειμένου ο συνολικός χρόνος ολοκλήρωσης να ελαχιστοποιείται, (Sanjeev Arora 2007). Κυτταρική κατασκευή (Cellular Manufacturing) Το κυτταρικό σύστημα παραγωγής είναι TSP. Τέτοιου είδους συστήματα ομαδοποιούν τα προϊόντα και τα υποβάλλουν σε επεξεργασία. Η επεξεργασία αυτή επιτυγχάνεται σε ένα εξειδικευμένο cell με σκοπό τη μείωση της αποτελεσματικότητας και του κόστος τους. Στη παρούσα περίπτωση, ο στόχος είναι η ελαχιστοποιήση του κόστους και της αποτελεσματικότητας με τη χρήση ῥομπότ κατά το στάδιο της διαμόρϕωσης, (Sanjeev Arora 2007). Δρομολόγηση Οχημάτων (Vehicle Routing) Το πρόβλημα της δρομολόγησης οχημάτων εμϕανίζεται στις περιπτώσεις όπου έχουμε την έννοια της «παράδοσης». Ο στόχος μας είναι να εντοπίσουμε τον ελάχιστο αριθμό των οχημάτων που απαιτείται για να γίνει η παράδοση στο συντομότερο χρονικό διάστημα προκειμένου να χρησιμοποιήσουμε τον απαραίτητο αριθμό οχημάτων. Στο πρόβλημα αυτό μπορεί να προστεθεί και ο περιορισμός της χωρητικότητας δηλαδή της ποσότητας που μπορεί να μεταϕερθεί από το κάθε όχημα. Το πρόβλημα δρομολόγησης οχημάτων είναι επιλύσιμο ως TSP πρόβλημα αν δεν υπάρχει χρονικός περιορισμός ή αν ο αριθμός των ϕορτηγών είναι σταθερό (έστω m), διαϕορετικά έχουμε ένα πρόβλημα με m-salesmen, (Lenstra and Kan 1975, Lawler, Lenstra, Kan, and Shmoys 1985, Reinelt 1994b). Πρόβλημα παραγγελίας και συλλογής στις αποθήκες (The Order-Picking Problem in Warehouses) Το παρόν πρόβλημα σχετίζεται με το χειρισμό υλικών σε μια αποθήκη. Η αποθήκη μπορεί να λάβει εντολή για ένα ορισμένο σύνολο στοιχείων που είναι αποθηκευμένα σε αυτήν, ενώ τα οχήματα πρέπει να συγκεντρώσουν όλα τα στοιχεία αυτής της προκειμένου να τα στείλουν 27

σε έναν πελάτη. Στη παρούσα περίπτωση οι θέσεις αποθήκευσης των στοιχείων αντιστοιχούν στους κόμβους του γράϕου μας. Ο κύριος στόχος του TSP προβλήματος είναι ο εντοπισμός της συντομότερης διαδρομής για το όχημα με το ελάχιστο χρόνο παραλαβής, (Reinelt 1994b, Ratli and Rosenthal 1983). Τέλος, το πλήθος των εϕαρμογών είναι τεράστιο. Καθώς δεν περιορίζονται μόνο στις προαναϕερθείσας, αλλά ορισμένες εμϕανίζονται ως παραλλαγές του μοντέλου βελτιστοποίησης TSP και εκτείνονται σε τομείς όπως αυτός της βιομηχανίας, της εϕοδιαστικής αλυσίδας, της μηχανικής, της επιχειρησιακής έρευνας, της επιστήμης των υπολογιστών και των κατασκευών. 2.1.7 Το TSP και η εϕοδιαστική αλυσίδα Το πρόβλημα του πλανόδιο πωλητή είναι ένα πρόβλημα μεταϕοράς και διανομής που απασχολεί κυρίως την εϕοδιαστική αλυσίδα. Οι εϕαρμογές του TSP που προαναϕέραμε στον παρόν κεϕάλαιο προσθέτουν έννοιες όπως είναι η παράδοση, η χωρητικότητα και ο χειρισμός των υλικών σε μια αποθήκη. (Marinakis and Mygdalas 2008) Τι είναι όμως η εϕοδιαστική αλυσίδα; Σύμϕωνα με τον J.Aitken, η εϕοδιαστική αλυσίδα είναι: Ενα δίκτυο συνδεδεμένων και αλληλεξαρτημένων οργανώσεων, που λειτουργούν απο κοινού σε ένα κλίμα συνεργασίας για να ελέγξουν, να διευθύνουν και να βελτιώσουν τη ροή υλικών και πληροϕοριών από τους προμηθευτές στους τελικούς χρήστες. (Πηγή: (Christopher 2006), σελ 20) Η μεταϕορά πρώτων υλών ανάμεσα σε προμηθευτές και πελάτες με τη καλύτερη διαδρομή, η διαχείρηση των αποθηκών ή ακόμα και η επιλογή της καταλληλότερης αποθήκης για μεγάλα οδικά δίκτυα είναι λειτουργίες της εϕοδιαστικής αλυσίδας που αντιμετωπίζονται σαν μοντέλα που αποσκοπούν στη βελτιστοποίηση της και μείωση του κόστου της. Η μεταϕορά είναι η πρωταρχική δραστηριότητα της εϕοδιαστικής αλυσίδας, καθώς αποτελεί τον συνδετικό κρίκο μεταξύ της παραγωγής, της αποθήκευσης και της κατανάλωσης. Η ολοκλήρωση της εϕοδιαστικής αλυσίδας επιτυγχάνεται με τη τελική διάθεση των πρώτων υλών, εντός του οδικού δικτύου στο οποίο ανήκει. Τα συστήματα μεταϕοράς συνήθως απεικονίζονται με τη μορϕή δικτύων (κόμβων και τόξων Δες εικόνα 5.3.1.) Οι κόμβοι αντιστοιχούν τις περισσότερες ϕορές σε πόλεις χωρών, αεροδρόμια και αποθήκες. Ενώ τα τόξα αντιστοιχούν σε συνδέσμους και διαδρομές μεταξών των κόμβων (Δες εικόνα 5.3.2). Συνήθως ανάμεσα στους κόμβους και τους συνδέσμους λαμβάνονται υπόψη 28

ορισμένοι περιορισμοί. Η μεταϕορά των πρώτων υλών επιτυγχάνεται με πέντε βασικούς τρόπους, οι οποίοι δίνονται παρακάτω: Σιδηροδομικοί Μεταϕορείς: Διακρίνονται για τη δυνατότητα μετακίνησης μεγάλη ποσότητας πρώτων υλών σε μεγάλες αποστάσεις με κατάλληλες εγκαταστάσεις. Οδικοί Μεταϕορείς: Διακρίνονται για τη δυνατότητα κάλυψης οποιασδήποτε μετακίνησης και το πλεονέκτημα ευελιξίας που έχουν ως προ την επιλογή δρομολογίων και κατεύθυνσης. Θαλάσσιοι Μεταϕορείς: Διακρίνονται για τη δυνατότητα μετακίνησης μεγάλης ποσότητας πρώτων υλών σε χαμηλό κόστος ανεξάρτητα από το ϕορτίο που διακινούν. Α- ϕορούν εγχώριες αλλά και υπερόντιες διαδρομές ενώ ο τύπος τους καθορίζεται ανάλογα από την χώρα για θέματα ασϕάλειας του ϕορτίου που μεταϕέρεται. Αεροπορικές Μεταϕορείς: Διακρίνονται για τη δυνατότητα μετακίνησης μεγάλης αξίας προιόντα με μικρή διάρκεια ζωής. Ωστόσο, τις περισσότερες ϕορές επιλέγεται από τους ενδιαϕερόμενους για τις υπερπόντιες μετακινήσεις τους. Αγωγοί Μεταϕορών: Διακρίνονται για τη μεταϕορά αέριων και υγρών ϕορτίων. Ομως, μειονεκτούν στο γεγονός ότι είναι μίας μόνο κατεύθυνσης και ότι προυποθέτει ήδη υπάρχον δίκτυο μεταϕορών, ενώ πλεονεκτεί, στο ότι έχει χαμηλό κόστος μεταϕοράς. Τα τελευταία ωστόσο χρόνια επιτυγχάνεται συνδυασμός των μεταϕορέων για λόγους κόστους, (Marinakis and Mygdalas 2008). 29

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Μέθοδοι αρχικοποίησης Οι μέθοδοι αρχικοποίησης ή κατασκευής είναι αλγόριθμοι που μπορούν να κατασκευάσουν μια περιοδεία TSP από το μηδέν, καθώς δίνουν μόνο αρχική λύση. Οι τρόποι με τον οποίο θα οικοδομηθεί μια περιοδεία ποικίλουν. Μια περιοδεία μπορεί να κατασκευάζεται λαμβάνοντας μια κορυϕή κάθε ϕορά (Nearest Neighbour), τη διαϕορά κόστους (Insertion heuristics), μια ακμή (Greedy algorithm) ή μπορεί ακόμη και να κατασκευάζεται από ένα κάλυμμα σημείων (Convex hull). Η παρούσα διπλωματική εργασία θα εξετάσει τέσσερις αλγορίθμους εισαγωγής (Insertion heuristics) και δύο πλησιέστερης γειτονιάς (Nearest Neighbour). 3.1 Nearest neighbour heuristics 3.1.1 Nearest neighbor (NN) Η μέθοδος της πλησιέστερης γειτονιάς αποτελεί μία από τις πιο διαδεδομένες οικογένειες μεθόδων για την επίλυση του προβλήματος του TSP. Η μέθοδος της Πλησιέστερης Γειτονιάς είναι μια από τις δημοϕιλέστερες μεθόδους αρχικοποίησης. Η κεντρική ιδέα της μεθόδου είναι να εξετάσει όλους τους πιθανούς κόμβους, έχοντας ως αϕετηρία ένα τυχαίο κόμβο και στη συνέχεια να επισκέπτεται τον πλησιέστερο κόμβο. Με τη σειρά του ο πωλητής, επισκέπτεται τον κοντινότερο που δεν έχει επιλεχθεί ακόμα. Η μέθοδος θα συνεχίσει μέχρι να επισκεϕθεί όλους τους κόμβους και θα ολοκληρωθεί μόλις επιστρέψει στην αϕετηρία (αρχικός κόμβος), (Mihalis Yannakakis 1997). Η χρονική πολυπλοκότητα του (NN) είναι T (n) = O(n 2 ). Η εκτίμηση της λύσης δίνεται από την σχέση f a f min 1 2 log(n)+ 1 2, όπου f a εκϕράζει το μήκος περιοδείας της (NN) και f min εκϕράζει το μήκος της βέλτιστης διαδρομής. Ωστόσο, υπάρχουν ορισμένες περιπτώσεις 30

όπου η αναλογία πολυπλοκότητας μεγαλώνει κατά O(logN). Στην ουσία, η μέση απόδοση της (NN) παράγει μία διαδρομή 25% μεγαλύτερη από την συντομότερη για ένα καθορισμένο πλήθος κόμβων, που είναι τυχαίοι τοποθετημένοι σε ένα επίπεδο (Held-Karp lower bound), (Johnson and McGeoch 1997). Παρακάτω παραθέτονται πιο αναλυτικά τα βήματα εκτέλεσης της ευρετικής μεθόδου Nearest neighbour, (Oliveira and Carravilla 2009). 1. Επιλέγεται έναν τυχαίο κόμβο i ως αρχικό κόμβο. 2. Εντοπίζεται ένα κόμβο k που έγκειται σε i και που δεν βρίσκεται στη περιοδεία. 3. Εισάγεται το k στο τέλος της μερικής περιοδείας. 4. Επαναλαμβάνεται το Βήμα 2, μέχρι να εισάγεται όλους τους κόμβους στη περιοδεία. 5. Επιστροϕή στην αϕετηρία, έτσι ώστε να σχηματίζεται έναν Hamiltonian κύκλο. Στα πλαίσια παρουσίασης της (NN), θα εκτελεστεί η μέθοδος σε ένα παράδειγμα (TSP 8 κόμβων) για να κατανοηθεί ο τρόπος εκτέλεσης της. Στόχος είναι να εντοπιστεί μια εϕικτή αρχική λύση για το παρόν πρόβλημα. Το πρόβλημα δίνεται παρακάτω. Σχήμα 3.1.1 Γράϕος 8 κόμβων Σε πρώτη ϕάση θα επιλέξουμε ένα τυχαίο κόμβο ως αρχικό κόμβο. Πρόκειται για τη ϕάση της αρχικοποίησης. Στο παράδειγμα μας, ο κόμβος που επιλέγουμε αυθαίρετα ως αρχικός 31

κόμβος είναι ο κόμβος 1. Στην επόμενη ϕάση θα εντοπίσουμε το κόμβο που είναι κοντινότερος στο κόμβο 1, πρόκειται για τη ϕάση της επιλογής. Ο κόμβος 8 βρίσκεται πιο κοντά στο κόμβο 1. Σχήμα 3.1.2 Πρώτη εισαγωγή του NN (κόμβος 8) Με την εισαγωγή του κόμβου 8, η περιοδεία μας θα γίνει T ={1,8} με αντικειμενική τιμή (z value), z = z 0 + dist(1,8)+ dist(8,1) = 0 + 601 + 601 = 1202 όπου η αρχική αντικειμενική τιμή είναι μηδενική. Η εκτέλεση της μεθόδου θα συνεχιστεί μέχρις ότου να επισκεϕθούμε όλους τους κόμβους του προβλήματος. Είναι προϕανές ότι ο επόμενος κόμβος που θα προστεθεί στη περιοδεία μας είναι ο κόμβος 3 καθώς είναι πλησιέστερος στο κόμβο 8, με απόσταση 256. 32

Σχήμα 3.1.3 Δεύτερη εισαγωγή του NN (κόμβος 3) Με την εισαγωγή του κόμβου 3, η περιοδεία μας θα γίνει T ={1,8,3} με αντικειμενική τιμή (z value), z = dist(1,8)+ dist(8,3)+ dist(3,1) = 601 + 256 + 768 = 1625. Η διαδικασία εισαγωγής των υπολοιπων κόμβων θα συνεχιστεί με πανομοιότυπο τρόπο. Σχήμα 3.1.4 Τρίτη εισαγωγή του NN (κόμβος 2) Ο τελευταίος κόμβος που θα προστεθεί στη περιοδεία μας είναι ο κόμβος 7. 33

Σχήμα 3.1.5 Εβδομη εισαγωγή του NN (κόμβος 7) Στο τέλος, η περιοδεία μας θα διαμορϕωθεί ως εξής T ={1,8,3,2,4,5,6,7} με αντικειμενική τιμή (z value) που ισοδυναμεί με z = dist(1,8)+ dist(8,3)+ dist(3,2)+ dist(2,4)+ dist(4,5)+ dist(5,6)+ dist(6,7)+ dist(7,1) = 601 + 256 + 1534 + 41 + 56 + 65 + 202 + 772 = 3527. 3.1.2 Double (sized) nearest neighbour (DNN) Ο (DNN) γνωστός και ως Double (ended) nearest neighbour είναι παραλλαγή της πλησιέστερης γειτονιάς (NN). Η κεντρική ιδέα της παρούσας μεθόδου είναι να εξετάσει τους κόμβους που είναι κοντά στα δύο άκρα της διαδρομής και να τους προσθέσει στο αντίστοιχο τελικό σημείο της. Στη ουσία, η περιοδεία μεγαλώνει με διαδοχικές επαυξήσεις προς αμϕότερα των άκρων της. Η χρονική πολυπλοκότητα της ευρετικής μεθόδου είναι διπλάσια της πλησιέστερης γειτονιάς, το οποίο σε πολυωνυμικούς όρους εξακολουθεί να σημαίνει μια τετραγωνική πολυπλοκότητα χρόνου, (Pimentel 2011). Η ευρετική μέθοδος διακρίνεται από ορισμένα βήματα που δίνονται παρακάτω: 1. Εντοπίζεται τη συντομότερη ακμή και την ορίζεται ως τη πρώτη άκρη της περιοδείας, επιλέγοντας έναν από τους δύο κόμβους ως αρχικό κόμβο. 2. Εξετάζεται τους κόμβους που είναι κοντά στα άκρα της διαδρομής και τους προσθέτεται στην περιοδεία στο αντίστοιχο τελικό σημείο της διαδρομής υπό την προϋπόθεση ότι ο εν λόγω κόμβος δεν είναι ήδη μέρος της διαδρομής. 34

3. Επαναλαμβάνεται το προηγούμενο βήμα έως ότου όλοι οι κόμβοι αποτελούν μέρος της διαδρομής. 4. Επιστρέψεται στον αρχικό κόμβο, έτσι ώστε να σχηματίζεται έναν Hamiltonian κύκλο. Ο (DNN), θα εϕαρμοστεί στο TSP 8 κόμβων που υλοποιήθηκε από τον NN. Σε πρώτη ϕάση θα εντοπίσουμε τη συντομότερη ακμή του προβλήματος (γράϕος 8 κόμβων) και θα επιλέξουμε ως αρχικό κόμβο έναν από τους δύο κόμβους. Η συντομότερη ακμή είναι η ακμή[4,2]. Από τη ακμή[4,2] θα επιλέξουμε ως αρχικό κόμβο, το κόμβο 4. Ο πλησιέστερος κόμβος του 4, είναι ο κόμβος 2 το οποίο ήδη γνωρίζουμε. Σχήμα 3.1.6 Πρώτη εισαγωγή του DNN (κόμβος 2) Η περιοδεία θα γίνει T ={4,2} με αντικειμενική τιμή z = z 0 + dist(4,2)+ dist(2,4) = 0 + 41 + 41 = 82 δεδομένου ότι η αρχική αντικειμενική τιμή είναι μηδενική. Η εκτέλεση της μεθόδους θα συνεχιστεί για τους υπολοιπόμενους κόμβους. Τα άκρα της υπάρχουσας διαδρομής είναι οι κόμβοι 4 και 2. Ο κόμβος που απέχει τη μικρότερη απόσταση από τη διαδρομή είναι ο κόμβος 5 για λογαριασμό του κόμβου 4, με απόσταση 56. Αυτό σημαίνει ότι η διαδρομή μας θα επαυξηθεί με το κόμβο 5, καθώς θα τοποθετηθεί μπροστά από το κόμβο 4. 35

Σχήμα 3.1.7 Δεύτερη εισαγωγή του DNN (κόμβος 5) Σύμϕωνα με το βήμα 2, η περιοδεία θα γίνει T ={5,4,2} με αντικειμενική τιμή z = dist(5,4)+ dist(4,2)+ dist(2,5) = 56 + 41 + 97 = 194. Η διαδικασία του βήματος 2 θα ξανά επαναληϕθεί. Τα άκρα της διαδρομής είναι οι κόμβοι 5 και 2 τώρα. Ο κόμβος που θα επιλεχθεί είναι ο κόμβος 6 για λογαριασμό του κόμβου 5, με απόσταση 65. Η διαδρομή μας θα επαυξηθεί με το κόμβο 6, καθώς θα τοποθετηθεί μπροστά από το κόμβο 5. Σχήμα 3.1.8 Τρίτη εισαγωγή του DNN (κόμβος 6) Η περιοδεία μας θα γίνει T ={6,5,4,2} με αντικειμενική τιμή z = dist(6,5)+ dist(5,4)+ dist(4,2) +dist(2,6) = 65 + 56 + 41 + 96 = 258. Τα άκρα της διαδρομής μας είναι οι κόμβοι 36

6 και 2. Ο επόμενος κόμβος που θα επιλεχθεί είναι ο κόμβος 7 για λογαριασμό του κόμβου 2 με απόσταση 115. Ο κόμβος 7, τοποθετείται μετά από το κόμβο 2. Σχήμα 3.1.9 Τέταρτη εισαγωγή του DNN (κόμβος 7) Η περιοδεία μας θα γίνει T ={6,5,4,2,7} με αντικειμενική τιμή z = dist(6,5)+ dist(5,4)+ dist(4,2)+ dist(2,7)+ dist(7,6) = 65 + 56 + 41 + 115 + 202 = 479. Με τη προσθήκη του κόμβου 7, ανανεώθηκαν τα άκρα της περιοδείας. Τα άκρα της διαδρομής μας είναι οι κόμβοι 6 και 7. Ο επόμενος κόμβος που θα επιλεχθεί είναι ο κόμβος 1 για λογαριασμό του κόμβου 7, με απόσταση 772. Η διαδρομή μας θα επαυξηθεί με το κόμβο 1, καθώς θα τοποθετηθεί μετά από το κόμβο 7. Η διαδικασία εισαγωγής των υπολοιπων κόμβων θα συνεχιστεί με παραμοιότυπο τρόπο. Ο τελευταίος κόμβος που θα εισαχθεί στη διαδρομή μας είναι ο κόμβος 3. Ο κόμβος 3 απέχει από τη περιοδεία για λογαριασμό του κόμβου 8, με απόσταση 256. Ο κόμβος 3, τοποθετείται μετά από το κόμβο 8. 37