ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ B ΕΠΙΛΟΓΗΣ( key II) Ημερομηνία: 09/04/204 Ώρα εξέτασης: 03:45-05:45. Να λύσετε όλα τα θέματα αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας. 2. Να γράφετε με μπλε ή μαύρο μελάνι. (Τα σχήματα επιτρέπεται με μολύβι) 3. Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού. 4. Δεν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ) Δίνεται πιο κάτω ένα «Μαγικό Εξάγωνο». Να συμπληρώσετε τους ακέραιους θετικούς αριθμούς που λείπουν από τα διάφορα κελιά έτσι ώστε κάθε στήλη και κάθε διαγώνιος να έχουν το ίδιο άθροισμα. ΛΥΣΗ 2) Ένας τετραψήφιος αριθμός abcd είναι πολλαπλάσιος του, με b + c = a. Τα ψηφία b και c σχηματίζουν το διψήφιο αριθμό bc ο οποίος είναι τετράγωνος. Να βρείτε τον αριθμό abcd. Ένας ακέραιος αριθμός Α είναι τετράγωνος αν υπάρχει ένας άλλος ακέραιος Β που πολλαπλασιαζόμενος με τον εαυτό του μας δίνει τον Α, δηλαδή Α = Β. Β = Β 2. Ο διψήφιος μπορεί να είναι 6, 25, 36, 49, 64, 8 b + c = a Άρα α = 7, 7, 9, 3, 0, 9 Οι τιμές α = 3, 0 απορρίπτονται 725d δεν είναι πολλαπλάσιος του για καμιά τιμή του d.
Οι αριθμοί είναι οι 76 ή 936 ή 982. 3) Ορίζω σαν abc a b c. Παράδειγμα: 234 2 3 4 24 Π + Π + Π + +Π. 37 3 7 =2 και. Να βρείτε την τιμή της παράστασης: 200 20 202 300 Π(200) +Π(20) +Π(202) + +Π(300)= + 2 0 + 2 0 2 2 0 9 2 0 0 2 0 + 2 + 2 2 2 2 0 + 2 2 2 9 + 2 2 2 2 2 9............ 2 9 0 + 2 9 =2 ( + 2+ 3+... + 9+ +2 +2 2+2 3+...+2 9+ + 2 9 2 2 9 9 3 0 0 +3 +3 2+3 3+ +3 9+ +9 +9 2+9 3+ +9 9)= =2 [ (+2+3+ +9)+ 2 (+2+3+ +9)+ 3 (+2+3+ +9)+ +9 (+2+3+ +9)]= =2 (+2+3+ +9) (+2+3+ +9)=2 45 45=4050 4) Ο Ανδρέας, ο Βασίλης και ο Γιάννης όταν εργάζονται και οι τρείς μαζί τελειώνουν μία εργασία σε 30 ώρες. Αν εργάζονται μαζί ο Ανδρέας και ο Βασίλης τελειώνουν την ίδια εργασία σε 40 ώρες ενώ αν εργάζονται μαζί ο Ανδρέας και ο Γιάννης τελειώνουν την ίδια εργασία σε 45 ώρες. Να βρείτε σε πόσες ώρες ο Ανδρέας θα τελειώσει την ίδια εργασία αν εργάζεται μόνος του. Αφού ο Ανδρέας ο Βασίλης και ο Γιάννης όταν εργάζονται και οι τρείς μαζί τελειώνουν την εργασία σε 30 ώρες σε ώρα κάνουν το 30 της εργασίας. Αφού αν εργάζονται μαζί ο Ανδρέας και ο Βασίλης τελειώνουν την ίδια εργασία σε 40 ώρες σε ώρα κάνουν το 40 σε της εργασίας, αν εργάζονται μαζί ο Ανδρέας και ο Γιάννης τελειώνουν την ίδια εργασία 45 ώρες έτσι σε ώρα κάνουν το + = 5 = 40 45 30 360 72 45 οπότε θα χρειαστεί 72 ώρες. της εργασίας. Ο Ανδρέας σε ώρα κάνει 5) Δίνεται το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Αν Μ και Ν είναι τα μέσα των ΑΒ και ΑΔ αντίστοιχα και Κ το σημείο τομής των ΒΝ και ΔM, να βρείτε το λόγο του εμβαδού του τετραπλεύρου ΑΝΚΜ προς το εμβαδόν του τριγώνου ΒΔΚ.
Φέρουμε την ΑΚ και ΒΔ. Έστω Ε=2 x το εμβαδό του ορθογωνίου ΑΒΓΔ τότε έχουμε: Ε ΑΒΝ = Ε ΑΜΔ = 3x. Αφού Μ,Ν μέσα των ΑΒ,ΑΔ έχουμε : Ε ΑΒΝ - Ε ΑΝΚΜ = Ε ΑΜΔ - Ε ΑΝΚΜ οπότε έχουμε Ε ΚΝΔ = Ε ΚΜΒ (). Αφού Μ μέσο της ΑΒ Ε ΚΜΒ = Ε ΚΜΑ Αφού Ν μέσο της ΑΔ Ε ΚΝΔ = Ε ΚΝΑ οπότε λόγω της () Ε ΚΜΒ = Ε ΚΜΑ= Ε ΚΝΔ = Ε ΚΝΑ = x. Επομένως Ε ΑΝΚΜ=2 x και Ε ΒΔΚ= Ε ΒΔΝ - Ε ΚΝΔ=2 x επομένως ο ζητούμενος λόγος είναι.
ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ B ΕΠΙΛΟΓΗΣ( key II) Ημερομηνία: 09/04/204 Ώρα εξέτασης: 03:45-05:45 5. Να λύσετε όλα τα θέματα αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας. 6. Να γράφετε με μπλε ή μαύρο μελάνι. (Τα σχήματα επιτρέπεται με μολύβι) 7. Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού. 8. Δεν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής. ) Δίνεται πιο κάτω ένα «Μαγικό Εξάγωνο». Να συμπληρώσετε τους ακέραιους θετικούς αριθμούς που λείπουν από τα διάφορα κελιά έτσι ώστε κάθε στήλη και κάθε διαγώνιος να έχουν το ίδιο άθροισμα. 2) Ένας τετραψήφιος αριθμός abcd είναι πολλαπλάσιος του, με b + c = a. Τα ψηφία b και c σχηματίζουν το διψήφιο αριθμό bc ο οποίος είναι τετράγωνος. Να βρείτε τον αριθμό abcd. Ένας ακέραιος αριθμός Α είναι τετράγωνος αν υπάρχει ένας άλλος ακέραιος Β που πολλαπλασιαζόμενος με τον εαυτό του μας δίνει τον Α, δηλαδή Α = Β. Β = Β 2. 6) Ορίζω σαν abc a b c. Παράδειγμα: 234 2 3 4 24 Π 200 + Π 20 + Π 202 + +Π 300. 37 3 7 =2 και. Να βρείτε την τιμή της παράστασης: 7) Ο Ανδρέας, ο Βασίλης και ο Γιάννης όταν εργάζονται και οι τρείς μαζί τελειώνουν μία εργασία σε 30 ώρες. Αν εργάζονται μαζί ο Ανδρέας και ο Βασίλης τελειώνουν την ίδια εργασία σε 40 ώρες ενώ αν εργάζονται μαζί ο Ανδρέας και ο Γιάννης τελειώνουν την ίδια εργασία σε 45 ώρες. Να βρείτε σε πόσες ώρες ο Ανδρέας θα τελειώσει την ίδια εργασία αν εργάζεται μόνος του. 8) Δίνεται το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Αν Μ και Ν είναι τα μέσα των ΑΒ και ΑΔ αντίστοιχα και Κ το σημείο τομής των ΒΝ και ΔM, να βρείτε το λόγο του εμβαδού του τετραπλεύρου ΑΝΚΜ προς το εμβαδόν του τριγώνου ΒΔΚ.