5 Περιεχόμενα Πρόλογος... 7 Εισαγωγή... 9 Διακρίνουσες της πλήρους τεταρτοβάθμιας εξίσωσης... Το είδος των ριζών της τεταρτοβάθμιας εξίσωσης... Τέσσερεις ίσες πραγματικές ρίζες... Μία τριπλή και μια απλή πραγματικές ρίζες... 5 Δύο διπλές πραγματικές ρίζες... 7 Δύο διπλές μιγαδικές ρίζες... 9 Μια διπλή πραγματική και δύο συζυγείς μιγαδικές ρίζες... 0 Μια διπλή πραγματική και δύο άνισες πραγματικές ρίζες... Τέσσερεις άνισες πραγματικές ρίζες... 6 Δύο άνισες πραγματικές και δύο συζυγείς μιγαδικές ρίζες... 7 Τέσσερεις άνισες μιγαδικές ρίζες (ανά δύο συζυγείς)... Τελικά συμπεράσματα... 7 Παραδείγματα... 9 Εύρεση των ριζών της πλήρους τεταρτοβάθμιας εξίσωσης... 50 Τελικά συμπεράσματα... 56 Παραδείγματα... 57 Ιστορικό σημείωμα... 7 Παράρτημα... 77 Βιβλιογραφία... 8
7 Πρόλογος Διερεύνηση και λύση της πλήρους τεταρτοβάθμιας εξίσωσης με πραγματικούς συντελεστές. Ίσως ένα από τα πιο παραμελημένα θέματα των μαθηματικών με ελάχιστη βιβλιογραφία. Μάλιστα, ότι υπάρχει στην βιβλιογραφία, αναφέρεται μόνο στην λύση της (Ferrari) και τίποτε για την διερεύνησή της. Όπως στην περίπτωση της πλήρους τριτοβάθμιας εξίσωσης έτσι και στην περίπτωση της πλήρους τεταρτοβάθμιας εξίσωσης τα ερωτήματα που θέσαμε ήταν υπάρχουν για την πλήρη τεταρτοβάθμια εξίσωση «διακρίνουσες» και αν ναι, ποιές μπορεί να είναι; με δεδομένο ότι υπάρχουν εννιά δυνατές περιπτώσεις για το είδος των ριζών μιας τεταρτοβάθμιας εξίσωσης, πόσες τελικά διακρίνουσες χρειαζόμαστε. Υπάρχουν τύποι, που μας δίνουν τις ρίζες της εξίσωσης, σε όλες τις περιπτώσεις; Αυτό που μας ενδιέφερε ήταν να βρούμε, «απλές» ικανές και αναγκαίες συνθήκες ώστε η πλήρης τεταρτοβάθμια εξίσωση να έχει τα εννιά διαφορετικά είδη των ριζών. Ορίσαμε τρείς «διακρίνουσες» d, d και d, οι οποίες είναι οι απλούστερες δυνατές, που μπορούν να οριστούν και με την βοήθεια των οποίων διερευνάται πλήρως η τεταρτοβάθμια εξίσωση. Στην μονογραφία μας αυτή εκτός της πλήρους διερεύνησης της εξίσωσης τετάρτου βαθμού, περιέχονται και οι τύποι εύρεσης των ριζών της και αυτό ανεξάρτητα από το είδος των ριζών της εξίσωσης. Επίσης περιέχεται και η δουλειά που έγινε μέχρι σήμερα κατάλληλα απλοποιημένη και ειδικά επεξεργασμένη, ώστε ο μελετητής να έχει συγκεντρωμένη την υπάρχουσα γνώση για το θέμα αυτό. Πρέπει να ευχαριστήσω, για μια ακόμη φορά, και δημόσια το φίλο και συνάδελφο Αθανάσιο Π. Φρυγανιώτη, διευθυντή και ιδιοκτήτη των ΕΚΠΑΙ ΔΕΥΤΗΡΙΩΝ ΦΡΥΓΑΝΙΩΤΗ, για όλα όσα έκανε και προσέφερε για την έκδοση και του τεύχους αυτού. Απέδειξε για μια ακόμη φορά ότι, εκτός από άρι
8 στος επαγγελματίας, είναι και επιστήμονας, με ιδιαίτερο ενδιαφέρον και αγάπη για την επιστήμη του, τα μαθηματικά, μη φειδόμενος κόπων και εξόδων, βοηθώντας κάθε επιστημονική δραστηριότητα, ατομική ή συλλογική. Ανδρέας Λ. Πετράκης Διδάκτωρ των Μαθηματικών Καθηγητής του Γενικού Τμήματος Θετικών Επιστημών του ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας
9 Εισαγωγή 4 Θέτω f( x) αx βx γx δx ε, με a π 0 και αβγδε,,,, Œo. Τότε η παράγωγος του πολυώνυμου f ( x ) είναι f ( x) 4αx βx γx δ. Η συνάρτηση λοιπόν f ( x ) είναι πολυώνυμο τρίτου βαθμού και όπως γνωρίζουμε ([] σελίδα 4) έχει διακρίνουσες τους πραγματικούς αριθμούς s β 8αγ και s αγ 7δβ 08α δ 9β γ 08αβγδ. Οι διακρίνουσες s, s συνδέονται με τη σχέση 08as 79( β 4αβγ 8 α δ) s. ([] σελίδα 9) Έτσι αν δύο από τις ποσότητες s, s και β 4αβγ 8α δ είναι μηδέν, θα είναι και η τρίτη μηδέν. Συμβολίζουμε με ρ, ρ, ρ, ρ 4 τις τέσσερις ρίζες της εξίσωσης 4 f( x) αx βx γx δx ε 0, ανεξάρτητα αν είναι πραγματικές ή μιγαδικές ή αν είναι ίσες ή άνισες, όλες ή μερικές από αυτές. Συμβολίζουμε με x, x, x τις τρεις ρίζες της εξίσωσης f ( x) 4αx βx γx δ 0, ανεξάρτητα αν είναι αν ίσες ή άνισες όλες ή μερικές από αυτές, ή αν είναι πραγματικές ή πραγματικές και μιγαδικές. Θέτουμε d f ( x ) f ( x ) f ( x ), d f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x ), d f ( x ) f ( x ) f ( x ). Τι ποσότητες d, d, d τις ονομάζουμε διακρίνουσες του πολυώνυμου f ( x ). Επειδή οι αριθμοί x, x, x είναι οι ρίζες του πολυώνυμου f ( x) 4αx βx γx δ θα ισχύει
0 σ x x x β 4α, σ xx xx xx γ α, σ x x x δ 4α. Μπορεί να αποδειχθεί ότι ισχύουν οι σχέσεις ) Συμμετρικές παραστάσεις πρώτου βαθμού. x x x σ ) Συμμετρικές παραστάσεις δευτέρου βαθμού. xx xx xx σ x x x σ σ ) Συμμετρικές παραστάσεις τρίτου βαθμού. xxx σ x x x σ σ σ σ xx xx xx xx xx xx σσ σ 4) Συμμετρικές παραστάσεις τετάρτου βαθμού. 4 4 4 4 x x x σ 4σ σ σ 4σ σ xx xx xx σ σσ xx xx xx xx xx xx σσ σ σσ 5) Συμμετρικές παραστάσεις πέμπτου βαθμού. 5 5 5 5 x x x σ 5σ σ 5σ σ 5σ σ 5σ σ xx xx xx xx xx xx σσ σσ σσ 4 4 4 4 4 4 5 xx xx xx xx xx xx σσ σσ σσ σσ 6) Συμμετρικές παραστάσεις έκτου βαθμού. x x x σ 6σσ 9σσ σ 6σσ σσσ σ 6 6 6 6 4
xx xx xx σ σσσ σ 4 4 4 4 4 4 xx xx xx xx xx xx σσ σ σσ σ 4σσσ 7) Συμμετρικές παραστάσεις εβδόμου βαθμού. 7 7 7 7 5 4 x x x σ 7σ σ 4σ σ 7σ σ 7σ σ σ σ σ σσ 7σσ 7 4 4 4 4 4 4 5 xx xx xx xx xx xx σσ σσσ σσ σσ 8) Συμμετρικές παραστάσεις ογδόου βαθμού. 4 4 4 4 4 4 4 4 4 xx xx xx σ σσσ σσ σσ Μετά από πράξεις προκύπτει ότι οι διακρίνουσες d, d, d της εξίσωσης 4 f( x) αx βx γx δx ε 0 δίνονται από τους τύπους 4 7 44 8 9 768 β αβ γ α γ α βδ α ε d 56α 4 4 β γ 8αγ 9β γδ 40αβγ δ αβ δ 7α γδ 7β ε d 8α 44αβ γε 8α γ ε 9α βδε 84α ε 8α 4 β γ δ 4αγ δ 4β δ 8αβγδ 7α δ 4β γ ε d 56α 4 6αγ ε 8β γδε 80αβγ δε 6αβ δ ε 44α γδ ε 56a 8αγε 9αβδε 56αε 56α Χωρίς βλάβη της γενικότητας σε όλες τις επόμενες αποδείξεις υποθέτω ότι είναι a > 0.