ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο Μιγαδικοί Αριθμοί (Νο 1) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Μιγαδικοί Αριθμοί (Νο ) ΛΥΚΕΙΟ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση ασκήσεις (ΝΑ ΛΥΘΟΥΝ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ) ΕΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΙΣΟΤΗΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ Νο. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός = (α - β + ) + (β - α + ) i. Να βρεθούν οι α, β IR ώστε = 0.. Αν α, β IR και αριθμού w = α α + i β + β α + β 0, να αποδείξετε ότι η εικόνα του μιγαδικού κινείται σε μια ευθεία γραμμή, για κάθε τιμή των α, β. 3. Να αποδειχθεί ότι για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού θ [0, π) η εικόνα του μιγαδικού αριθμού = ( - ημθ) + ( + συνθ) i κινείται σε ένα κύκλο, ο οποίος και να προσδιορισθεί. 4. Να υπολογιστούν οι x, y IR ώστε να ισχύει : ( - i) x + (3 + 5i)y = 3 + 7i 5. Να αποδειχθεί ότι : ( + i) ( i) =. ν ν α + i i α α i + α i 6. Να αποδείξετε ότι : + = ( ) α IR. ν, για κάθε ν ΙΝ * και 7. Να λυθούν οι εξισώσεις : α) = 0, C. β) = i γ) = 5 - i δ) = 0 ε) = 0 στ) = i ζ) = - i exal+_()/cl ΣΕΛΙΔΑ

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Μιγαδικοί Αριθμοί (Νο ) 8. Δίνεται η εξίσωση α + β + γ = 0 με α, β C, γ IR και β = α 0. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των ριζών της εξίσωσης βρίσκονται σε ευθεία γραμμή. 9. Αν μια εικόνα Μ του μιγαδικού αριθμού 0 κινείται σε κύκλο (C) : x + y =, να αποδείξετε ότι η εικόνα Ν του μιγαδικού αριθμού w = κινείται στον ίδιο κύκλο. 0.Aν η εικόνα του μιγαδικού αριθμού κινείται στον κύκλο (C) : x + y = 4, να 4i αποδείξετε ότι η εικόνα του αριθμού w = + κινείται επίσης σε κύκλο.. Α. Αν, w C *, να αποδείξετε ότι οι αριθμοί w + w και πραγματικοί αριθμοί. w + είναι w Β. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί α, β. να αποδείξετε ότι ο αριθμός w = α β - β α είναι φανταστικός.. Α. 3i Αν ο αριθμός w = + 5i είναι πραγματικός, να δείξετε ότι ο I. B. Αν είναι i, C, ώστε o i + να είναι φανταστικός, να δείξετε ότι + i και ο είναι φανταστικός. Γ. Αν ο αριθμός + w w IR, να δείξετε ότι και ο w IR. + i 3.Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός w =, με C { i}. Αν ο w είναι i φανταστικός να αποδείξετε ότι : α) = 4, β) ο αριθμός u = I i 4.Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός = λ + λ + i ( ) ώστε ο να είναι πραγματικός αριθμός., λ IR. Να βρεθούν οι τιμές του λ, 5.Για κάθε, w C, w, να δείξετε ότι :Re w w - Re w =. 6.Για κάθε, C, με Re 0 και Im 0, να δείξετε ότι : Re ( ) Re = Im ( ) Im = ΣΕΛΙΔΑ

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Μιγαδικοί Αριθμοί (Νο ) ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 7.Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός = α + β i με α = i και β = i. Nα βρεθεί το μέτρο του. 8.Να βρεθεί ο μιγαδικός αριθμός C *, για τον οποίο ισχύει : + = 9.Να λυθεί η εξίσωση 3 =, C. και = i 0.Αν α, β C, να αποδείξετε ότι αβ α β = ( α )( β ).Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί α, β, γ C *, των οποίων οι εικόνες βρίσκονται στον κύκλο (C) : x + y =. Nα αποδείξετε ότι ο αριθμός : ( α β)( β γ)( γ α) w = είναι φανταστικός. αβγ.αν η εικόνα του μιγαδικού αριθμού ανήκει στον κύκλο με κέντρο Ο(0, 0) και ακτίνα ρ =, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει και με την εικόνα του μιγαδικού αριθμού w = λ i, λ IR. i + λ 3.Αν η εικόνα Μ του μιγαδικού αριθμού κινείται στον κύκλο ( C ) : x + y =, να αποδείξετε ότι και η εικόνα Ν του μιγαδικού αριθμού w = i + κινείται + i+ σε κύκλο ο οποίος μάλιστα είναι ο ίδιος ο ( C ). 4.Αν α, C, και =, να αποδείξετε ότι ο αριθμός w = α α μέτρο. έχει 5.Έστω ότι Α, Β, Γ είναι οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών α, β, γ. Αν επίσης ισχύει ότι α = β = γ και α + β + γ = 0, να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι κορυφές ενός ισόπλευρου τριγώνου. 6.Έστω ότι α, β C, με α β - και α = β =. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός w = α + β + αβ είναι πραγματικός. ΣΕΛΙΔΑ 3

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Μιγαδικοί Αριθμοί (Νο ) + ( )( ) Αν, w C, να αποδείξετε ότι : w w. 8.Να προσδιορίσετε τα σύνολα : α) Α = { Μ(x, y) / = x + y i και 3i + + 3i = 8 } β) Β = { Ν(x, y) / = x + y i και + = } 9.Nα βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας Μ του μιγαδικού αριθμού = x + y i, αν ισχύει ότι : 0 = 3 30.Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει IR τέτοιος ώστε : ( i) ν 3 = i. 3 i 3.Έστω ότι α, β, γ, δ, x, y IR *. Αν α + β i = (x + y i) 00 και γ + δ i = (x + y i) 000, να αποδείξετε ότι : α β + = x + y. γ + δ 3.Να βρεθεί το σύνολο των σημείων του μιγαδικού επιπέδου τα οποία είναι εικόνες των μιγαδικών αριθμών και τέτοια ώστε ο λόγος των αποστάσεών τους από τα σταθερά σημεία Α(0, 3) και Β(0, -3) να είναι ίσος με. 33. Ο μιγαδικός αριθμός ικανοποιεί τη σχέση: ( 6 + i)( + 8) 99 = (3 i)( + 4) 99. α) Να αποδείξετε ότι + 8 = + 4. β) Να υπολογίσετε το. 34. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί, w, με ΙI = και ΙwI =. Να αποδείξετε ότι : 4 ( + w) + 9 w 35. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός για τον οποίο ισχύει : = 7. α) Να αποδείξετε ότι : 3 =. β) Να δείξετε ότι : ΙI =. γ) Να δείξετε ότι ο αριθμός w = + + i 5 + δ) Να δείξετε ότι ο αριθμός u = ( ) i 5 είναι φανταστικός. είναι πραγματικός. ΣΕΛΙΔΑ 4

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Μιγαδικοί Αριθμοί (Νο ) ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ ΜΕΓΙΣΤΑ - ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΜΕΤΡΑ 36. Δίνεται μιγαδικός αριθμός για τον οποίο ισχύει : I( i) 4 + ii = 5. α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του. β) Να δείξετε ότι 5 ΙI 5. γ) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του ΙΙ, καθώς και τους μιγαδικούς των οποίων το μέτρο παίρνει τις τιμές αυτές. δ) Αν και είναι μιγαδικοί αριθμοί που ανήκουν στον γεωμετρικό τόπο του ερωτήματος (α), να βρείτε τη μέγιστη τιμή του Ι I. (Aπ. γ) ΙI max = 5, II min = 5, δ) Ι I max = 0) 37. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί w και, ώστε = w 3 + i. Αν η εικόνα του w κινείται στον κύκλο κέντρου Κ(, - 3) και ακτίνας 4, τότε να βρείτε : α) το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του, β) τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του Ι ii, γ) τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του Ι + + ii. (Απ. β) Ι ii min = 3 5-4, Ι ii max = , γ) Ι + + ii min = 3, Ι + + ii max = 5) 38. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί και w για τους οποίους ισχύει : Ι 6 ii = I 3 ii και Ι w + 4 ii = Iw + 9 ii α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του. γ) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του Ι wi. (Απ. γ) Ι wi min = 3) 39. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί και w για τους οποίους ισχύει : Ιi 3I = και Ιw + 6I + Iw + I = 6. α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του. γ) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του Ι wi. (Απ. γ) Ι wi max = 8, Ι wi min = ) ΣΕΛΙΔΑ 5

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Μιγαδικοί Αριθμοί (Νο ) 40. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί και w για τους οποίους ισχύει : (4 3 i) + (4 + 3 i) + = 0 και 4(w + w ) 3i(w w ) + = 0 α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του. γ) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του Ι wi. (Απ. γ) Ι wi min = ) 4. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός 0 για τον οποίο ισχύει Re =. Να βρείτε : 4 α) το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του, β) τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του Ι ii. (Απ. γ) Ι ii max = 7, Ι ii min = 3) 4. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί και w για τους οποίους ισχύει : Ι( + i) 7 ii = 5 5 και Ιw + 4 ii = Iw ii α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του. γ) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του ΙI. δ) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του Ι wi. (Απ. γ) ΙI min = 34-5, ΙI max = , δ) Ι wi min = 5) 43. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί, και Α, Β οι εικόνες τους αντίστοιχα. Το τρίγωνο ΑΟΒ, όπου Ο η αρχή των αξόνων, είναι ισόπλευρο με πλευρά. Να αποδείξετε ότι : α) = και γ) ο αριθμός w = =, β) + είναι φανταστικός, + =, δ) = 0, ε) = Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός 0 και η συνάρτηση f() =. α) Να βρείτε τον αριθμό (f(- i)) 0. β) Αν η εικόνα του ανήκει στον κύκλο κέντρου Ο(0, 0) και ακτίνας, να αποδείξετε ότι και η εικόνα του f() ανήκει στον ίδιο κύκλο. γ) Να αποδείξετε ότι Ιf() f( )I. δ) Αν ισχύει Ιf() I = 3II, να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του. ΣΕΛΙΔΑ 6