Ον/μο: Θετ-Τεχν. ΘΕΜΑ 1 0

Transcript

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 Υλη: Μιγαδικοί Γ Λυκείου Ον/μο: Θετ-Τεχν. ΘΕΜΑ 0 Α. Να αποδείξετε ότι : «Η διανυσματική ακτίνα της διαφοράς των μιγαδικών i και i είναι η διαφορά των διανυσματικών ακτινών τους» Β. Για κάθε θετικό ακέραιο ν, να υπολογίσετε το i Γ. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση στις παρακάτω προτάσεις. α. Αν η εξίσωση i επαληθεύεται από τους μιγαδικούς αριθμούς που η εικόνα τους στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκεται στην ευθεία y=x, ο πραγματικός αριθμός κ ισούται με : A. B.- Γ. Δ.- Ε.4 β. Αν η εξίσωση x x 0, με α, β, γ και 0 έχει ρίζα τον αριθμό i θα έχει και τον : Α. i Β. Γ. i Δ. Ε. i 0 i i γ. Ο μιγαδικός αριθμός είναι πραγματικός όταν : A. B. 0 Γ. 0 Δ. 0 Ε. τίποτα από τα προηγούμενα. δ. Aν το σημείο P(x,y) είναι εικόνα του μιγαδικού x yi στο μιγαδικό επίπεδο, για τον οποίο ισχύει 3 5, το P βρίσκεται πάνω σε : A. ευθεία Β. Έλλειψη Γ. Παραβολή Δ. Υπερβολή Ε. τίποτα από τα προηγούμενα. (μον.8) Τρίκαλα τηλ.-fax( )

2 Δ. Να βρείτε ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς είναι σωστοί (Σ) και ποιοι λανθασμένοι (Λ). α. Αν, τότε ή. Σ Λ β. Αν w 0, τότε w 0. Σ Λ γ.το μέτρο του μιγαδικού i με, C, είναι ίσο με. Σ Λ δ.ισχύει για κάθε μιγαδικό Σ Λ ε. Ισχύει ΘΕMA 0 για κάθε Σ Λ (μον.5) 3 i Δίνεται η παράσταση f () 0i 0i Α. Να βρείτε για ποιες τιμές του ορίζεται η f Β. Να αποδείξετε ότι : α) 0i 0i β) f () γ) ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του, για τους οποίους ισχύει f (), είναι υπερβολή, της 6 να βρείτε την εξίσωση. (μον.7) ΘΕΜΑ 3 0 Δίνεται η εξίσωση 0,,, και, είναι οι ρίζες της με i Α. Να βρείτε τους αριθμούς α, β (μον.5) Β. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι πραγματικός (μον.5) Γ. Έστω Α( ), B( ), Γ( 3 ) οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών,, 3 αντίστοιχα στο μιγαδικό επίπεδο με 3 7 i, τότε : 5 Τρίκαλα τηλ.-fax( )

3 α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. (μον.5) β) Αν w w, να αποδείξετε ότι w (μον.5) γ) Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών w, που επαληθεύουν την εξίσωση w w 0, βρίσκονται σε έλλειψη. (μον.5) ΘΕΜΑ 4 0 Α. Έστω το πολυώνυμο με 0,,..., 0 f ().... Να αποδείξετε ότι f () f Β. Έστω το f () ( )( )( )( ) και f (i) 64 8i. Να αποδείξετε ότι : α) f ( i) 64 8i β) 460 (μον.7) γ) Αν Re( ) και Re( ) να δείξετε ότι 3 και 7 ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ 3 Τρίκαλα τηλ.-fax( )

4 Απαντήσεις (Ενδεικτικές) ΘΕΜΑ 0 Α. Θεωρία Β. Θεωρία Γ. α) Γ β) Γ γ) B δ) E Δ. α) Λ β)σ γ)λ δ)σ ε)λ ΘΕΜΑ 0 Α. Η f ορίζεται όταν ο παρανομαστής της δεν είναι μηδέν.αν λοιπόν 0i 0i 0 0i 0i οπότε οι εικόνες του είναι στη μεσοκάθετο του ΑΒ με Α(0i) και Β(-0i). Επειδή 0i και -0i συζυγείς η μεσοκάθετος του ΑΒ είναι ο x x, οπότε ο θα είναι πραγματικός. Άρα η f ορίζεται για τους. Β. α) Είναι : 0i 0i 0i 0i = 3 i β) Είναι : f () 0i 0i 0i 0i γ) Είναι : f () άρα 6 0i 0i 6 0i 0i. Αν ( 0i) και (0i) τότε 0 οπότε ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του είναι υπερβολή με εστίες τις Ε και Ε. Είναι α=, γ=0 και οπότε η εξίσωση της υπερβολής είναι η y x C: Τρίκαλα τηλ.-fax( )

5 ΘΕΜΑ 3 0 Α. Η άλλη ρίζα της εξίσωσης είναι η i. Από τους τύπος Vieta είναι : 4 5 Β. Οι ρίζες και είναι συζυγείς οπότε το άθροισμα είναι πραγματικός ως άθροισμα συζυγών. i Γ. α) Είναι : 3 (7 i) 4 i. i 5 Οι εικόνες των,, 3 είναι Α(,), Β(,-) και Γ(4,). Έτσι : AB i i i B 3 4 i i i A 3 i 4 i Παρατηρούμε ότι AB A και. Άρα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. β) Έχουμε : w w w w w w άρα οι εικόνες του w είναι στην μεσοκάθετο των εικόνων των συζυγών και, δηλ στον x x. Άρα w. γ) Έχουμε : w w 0 w w 0 w w 0 w w 0 w ( i) w ( i) 0. Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w βρίσκονται στην έλλειψη με εστίες E (,) και E (, ), αφού E E Τρίκαλα τηλ.-fax( )

6 ΘΕΜΑ 4 0 Α. Έχουμε : 0 f ()... άρα 0 f ()... = =... =... f () 0 Β. α) Είναι : f ( i) f i (A) f (i) 64 8i 64 8i β) Είναι : = i i i i = i i i i i i i i= = ( i)( i)( i)( i) i i i i = = f (i) f ( i) (64 8i)(64 8i) γ) Είναι Re( ) 4 Re 4 () και Έχουμε : f (i) (i )(i )(i )(i ) = i i i () = i i = 4i 4i = = 6 4 i () 6 4 i 6 Τρίκαλα τηλ.-fax( )

7 Αλλά f (i) 64 8i οπότε, από () είναι : (3) και (4) Από (3) (5) και η (4) γίνεται : Η (5) 9 άρα Τρίκαλα τηλ.-fax( )