ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ και ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ 1 Σωτήρης Ε. Λουρίδας 1. ΓΕΝΙΚΑ: 1.1 Θεωρούμε ότι κάθε Μαθηματικό πρόβλημα είναι της μορφής «αν p τότε q», συμβολικά p q. 1.2. Λύση ενός Μαθηματικού προβλήματος σημαίνει να αποδείξουμε ότι ο ισχυρισμός «αν p τότε q» συμβολικά p q, είναι Αληθής πρόταση. Παρατήρηση 1: p είναι το σύνολο των δεδομένων (στα δεδομένα ανήκουν τα ειδικά, εκείνα δηλαδή που δίδονται μέσω της εκφώνησης και τα γενικά δηλαδή η θεωρία) και q είναι το σύνολο των ζητουμένων. Παρατήρηση 2: Μία μέθοδος απόδειξης της αλήθειας του ισχυρισμού «αν p τότε q», είναι η μέθοδος της εις Άτοπον απαγωγής. Κατά τη μέθοδο αυτή υποθέτουμε πως ισχύει η άρνηση του ισχυρισμού: «αν p τότε q», δηλαδή θεωρούμε ότι η άρνηση του ισχυρισμού «αν p τότε q» είναι Αληθής πρόταση και με αληθείς συνεπαγωγές καταλήγουμε σε κάτι που δεν ισχύει δηλαδή σε Άτοπο, οπότε αυτόματα δεχόμαστε την αλήθεια του ισχυρισμού «αν p τότε q». Θα πρέπει να επισημάνουμε ότι η άρνηση της «αν p τότε q» είναι η «p ΚΑΙ όχι q» (συμβολικά p q ) που αποδίδεται επίσης «Ισχύει η p και ΔΕΝ ισχύει η q». Π.Χ.: Δίνεται τρίγωνο ABC και σημεία D, E, Z στο εσωτερικό του, με την ιδιότητα DBC ABC EAC ABC ZAB ABC 3, 3, 3. Αποδείξτε ότι τα σημεία αυτά δεν είναι δυνατό να ταυτιστούν. Λύση: Υποθέτουμε ότι είναι δυνατό τα σημεία αυτά να ταυτιστούν δηλαδή είναι δυνατό να έχουμε D E Z P. Τότε παίρνουμε: PBC PAC PAB ABC ABC ABC 3 3 3 3, πράγμα άτοπο άρα τα σημεία D, E, Z δεν είναι δυνατό να ταυτιστούν. Παρατήρηση 3: Στη περίπτωση της ισχύος της συνεπαγωγής «αν p τότε q», η p είναι ικανή συνθήκη και η q αναγκαία συνθήκη. 1.3. Ως ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟ ΤΟΠΟ ΣΗΜΕΙΩΝ που έχουν την ιδιότητα p πάνω σε ένα σημειοσύνολο Αναφοράς (π.χ. γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου ή των σημείων του χώρου των τριών διαστάσεων ή των εσωτερικών σημείων ενός σχήματος κ.τ.λ. με την ιδιότητα p) θεωρούμε το σύνολο όλων των σημείων εξ εκείνων του σημειοσυνόλου Αναφοράς που έχουν αυτή την ιδιότητα, δηλαδή που έχουν την ιδιότητα p. Ένας γεωμετρικός τόπος σημείων δύναται να είναι σημειοσύνολο που προκύπτει ως ένωση σημειοσυνόλων. 1.4. Ως ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΣΧΗΜΑΤΟΣ, όταν δίδονται κάποια στοιχεία του, θεωρούμε το σύνολο των κινήσεων που εκτελούμε χρησιμοποιώντας ως όργανα τον Κανόνα είτε τον Διαβήτη και μόνο, ώστε να προκύψει το σχήμα που έχει σαν στοιχεία τα στοιχεία που δόθηκαν.
2. ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ: 2.1 ΙΣΟΔΥΝΑΜΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ: 2 Ήδη αναφερθήκαμε στην βασική μέθοδο της εις άτοπον απαγωγής. Στη περίπτωση που θέλουμε να αποδείξουμε την αλήθεια της ισοδυναμίας p q, τότε θα πρέπει να αποδείξουμε την αλήθεια της p q ως και την αλήθεια της q p. Το να μας ζητήσουν την αλήθεια της ισοδυναμίας p q, αυτό μπορεί να γίνει κάτω από την λεκτική απόδοση: «Αποδείξτε ότι η p είναι ικανή και αναγκαία συνθήκη, ώστε να ισχύει η q» ή την λεκτική απόδοση «ισχύει η q αν και μόνο αν ισχύει η p». 2.2. Μέθοδος της ΑΝΑΛΥΣΗΣ: Είναι η διαδικασία της σκέψης που κάνουμε για να ανιχνεύσουμε την λύση. Κατά τη φάση της μεθόδου της Ανάλυσης θεωρούμε ότι το πρόβλημα είναι πρόταση αληθής χωρίς όμως αυτό να το εκλαμβάνουμε ως δεδομένο. Απλά έτσι προσπαθούμε να βρούμε τους «διαδρόμους» σύνδεσης με βάση λογικά αποδεκτά βήματα από τα δεδομένα προς τα ζητούμενα αφού αυτό τελικά είναι και η διαδικασία της επίλυσης. Η μέθοδος της Ανάλυσης μπορεί σε κάποιες περιπτώσεις να αρκεί και ως μέθοδος απόδειξης της Αλήθειας πρότασης «αν p τότε q». Κατά τη διαδικασία δηλαδή της Ανάλυσης για την απόδειξη της Αλήθειας μίας πρότασης «αν p τότε q», θεωρούμε όπως αναφέραμε ως αληθή την πρόταση αυτή, χωρίς όμως να εκλαμβάνουμε την θεώρηση αυτή ως δεδομένο και δημιουργούμε μία σχέση S 1 ώστε η πρόταση «αν p τότε q» να είναι αναγκαία όταν ως ικανή εκληφθεί η πρόταση 1 S S1 p q. Αν η S 1 είναι αληθής πρόταση τελειώσαμε, αν η S1 δεν μπορεί να χαρακτηριστεί ως αληθής ή ψευδής τότε δημιουργούμε μία σχέση S 2 ώστε η S 1 να είναι αναγκαία όταν εκληφθεί ως ικανή η S2 S2 S1 p q... έως καταλήξουμε σε μία αληθή πρόταση, έστω την S, για την οποία ισχύει S S S p q.... 2 1 Παράδειγμα: Έστω τρίγωνο ABC και η διάμεσος του AM. Αποδείξτε ότι 2AM AB AC 1. AB AC Λύση: Η σχέση 1 παραπέμπει προς απόδειξη στη σχέση AM, δηλαδή AB AC θέλουμε να ισχύει η 1, αρκεί να ισχύει η AM, η οποία λόγω του παρονομαστή 2 (που παραπέμπει στην πρόταση: Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα δύο πλευρών τριγώνου ισούται με το ήμισυ της άλλης πλευράς) παραπέμπει προς απόδειξη στη σχέση AM MD DA AB AC, AM αρκεί να ισχύει η 2, δηλαδή θέλουμε την ισχύ της 2 αν το σημείο D είναι το μέσο της πλευράς AC.
Η σχέση όμως 2 αν το σημείο D είναι το μέσο της πλευράς AC, είναι αληθής αφού είναι η γνωστή τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο AMD. 3 Συνοπτικά δυνάμεθα να παρουσιάσουμε την λύση αυτή ως εξής: αποδείξουμε: Αν AM διάμεσος του τριγώνου ABC τότε θέλουμε να 2AM AB AC 1, αρκεί AB AC AM, αρκεί AM MD DA 2, αν D είναι το μέσον της πλευράς AC, η οποία όμως ισχύει ως τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο AMD. 2.3. Μέθοδος της ΣΥΝΘΕΣΗΣ: Εκκινούμε από μία ή περισσότερες γνωστές σχέσεις και χρησιμοποιούντες τα ειδικά δεδομένα «παράγουμε» ακριβείς συνεπαγωγές έως ότου καταλήξουμε στο συμπέρασμα. Είναι λιτή και ακριβής μέθοδος με το χαρακτηριστικό ότι για την επιλογή των κατάλληλων γνωστών σχέσεων εκκίνησης, σημαντικό ρόλο παίζει η ΑΝΑΛΥΣΗ που ενίοτε θα πρέπει να προηγείται, έστω και νοητά. Παράδειγμα: Έστω τρίγωνο ABC και η διάμεσος του AM. Αποδείξτε ότι 2AM AB AC 1. Λύση: Θεωρούμε το μέσο D της πλευράς AC και χρησιμοποιούμε την τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο AMD, που οδηγεί στην σχέση AC AB AM AD DA AM 2 AM AC AB, αφού ως γνωστό το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς τη τρίτη πλευρά και ισούται με το ήμισυ της. 2.4. Μέθοδος της ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ: Είναι η γνωστή από την Άλγεβρα μέθοδος που τη χρησιμοποιούμε και εδώ στη Γεωμετρία για την απόδειξη της αλήθειας προτάσεων που η αλήθεια τους εξαρτάται από ένα ή περισσότερους φυσικούς. Παράδειγμα: Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ABC A BC a, AC b, AB c. 90, Αποδείξτε ότι a n b n c n n, \ 1 1. με μήκη πλευρών Λύση: Θα χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο της ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ. Καταρχάς παρατηρούμε ότι ο ισχυρισμός 1 ισχύει για n 2 ως άμεση εφαρμογή του Πυθαγορείου Θεωρήματος. Θα αποδείξουμε την ισχύ του ισχυρισμού 1 για n 3 3 3 3 δηλαδή θα αποδείξουμε ότι ισχύει a b c 2. Για να ισχύει η 2 αρκεί να ισχύει 3 3 3 3 a b c b c, αρκεί να ισχύει ab ac b c 0, αρκεί να ισχύει b a b c a c 0, που είναι αληθής πρόταση καθότι ισχύει
b a b c a c 0, αφού η υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι η μεγαλύτερη από τις πλευρές του. Δεχόμαστε τώρα την ισχύ της πρότασης 1 και θα αποδείξουμε: 3. Για να ισχύει η a b c n1 n1 n1 n 0, n 0, n b a b c a c n n n1 n1 3 αρκεί που είναι αληθής πρόταση καθότι ισχύ n b a b c a c a b c b c 0, αρκεί αφού η υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι η μεγαλύτερη από τις πλευρές του. 4 Παρατήρηση 1 : Στα προβλήματα των Γεωμετρικών κατασκευών, η διαδικασία της Σύνθεσης ονομάζεται Κατασκευή. Παρατήρηση 2 : Για να εκκινήσουμε την Ανάλυση που θα μας οδηγήσει στην επίλυση ενός προβλήματος που ζητά ένα γεωμετρικό τόπο σημείων, θεωρούμε τυχόν σημείο του γεωμετρικού τόπου, έστω Μ, που έχει τις δοθείσες ιδιότητες. Στη φάση αυτή καλό θα είναι να ανιχνεύσουμε μερικά διακριτά σημεία του γεωμετρικού τόπου, κάποια από αυτά ει δυνατόν να είναι οριακά σημεία του γεωμετρικού αυτού τόπου. Με τον όρο Σύνθεση στους Γεωμετρικούς τόπους, εννοούμε τον λιτό αλλά ακριβή προσδιορισμό του Γεωμετρικού τόπου ως σχήμα πάνω στα δεδομένα του προβλήματος, ή δυνατόν και την κατασκευή του με κανόνα και διαβήτη, ώστε στο επόμενο βήμα της διαδικασίας επίλυσης να αποδείξουμε ότι το σχήμα αυτό είναι το μοναδικό με την συγκεκριμένη ιδιότητα. Απαραίτητη προϋπόθεση για τη διαδικασία του ακριβούς προσδιορισμό του Γεωμετρικού τόπου ως σχήμα, ή της κατασκευής του σχήματος αυτού είναι η Ανάλυση η οποία και μας καθοδηγεί για τον τρόπο με τον οποίο θα επιτευχθεί η συγκεκριμένη Σύνθεση ή Κατασκευή. Η διαδικασία της Απόδειξης που ακολουθεί της σύνθεσης, στην επίλυση προβλημάτων Γεωμετρικών τόπων, είναι εκείνη που έπεται από τη σύνθεση και πείθει ότι το σχήμα που χαρακτηρίσαμε ως γεωμετρικό τόπο προσδιορίστηκε καλώς και ως εκ τούτου είναι πράγματι ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος. Θα πρέπει λοιπόν να αποδεικνύουμε, ότι το τυχόν σημείο του προσδιορισθέντος σχήματος έχει τις ιδιότητες που αναφέρονται στην εκφώνηση, οπότε το σχήμα αυτό θα είναι το μοναδικό σχήμα με τις συγκεκριμένες ιδιότητες. Η διαδικασία αυτή ονομάζεται και Αντίστροφο. Με την ολοκλήρωση της διαδικασίας αυτής μιλάμε πλέον για την εύρεση του ζητούμενου γεωμετρικού τόπου. Τέλος ερχόμαστε στη Διερεύνηση τη διαδικασία δηλαδή που εξετάζει τόσο το ενδεχόμενο το πρόβλημα να είναι αδύνατο, για κάποιο σύνολο των δεδομένων στοιχείων, όσο και το ενδεχόμενο να έχουμε πλείονας της μία λύσης για κάποιο άλλο σύνολο των δεδομένων στοιχείων. Παρατήρηση 3: Για να εκκινήσουμε την Ανάλυση που θα μας οδηγήσει στην επίλυση ενός προβλήματος που ζητά τη κατασκευή ενός σχήματος όταν δίδονται κάποια στοιχεία του, θεωρούμε ότι το σχήμα είναι κατασκευασμένο έχοντας τα δεδομένα στοιχεία (χωρίς βέβαια όπως ήδη αναφέραμε να το θεωρήσουμε ως δεδομένο, αλλά μόνο υποθετικά για να εισέλθουμε στον
πυρήνα του προβλήματος, δηλαδή στο τρόπο που κατασκευάστηκε αυτό το πρόβλημα, οπότε η «επιστροφή» από αυτόν είναι το κτίσιμο της λύσης). Στόχος μας είναι η συσχέτιση του σχήματος του οποίου τη κατασκευή ζητάμε με άλλο σχήμα του οποίου γνωρίζουμε τη κατασκευή αλλά και τη δυνατότητα να μεταβούμε από τη γνωστή αυτή κατασκευή στη ζητούμενη. Κατά τη φάση αυτή πιθανόν να χρειαστεί να θεωρήσουμε βοηθητικές γραμμές εκ των οποίων θα επιλέξουμε τις κατάλληλες για την ζητούμενη κατασκευή. Με τον όρο Σύνθεση ή Κατασκευή στις Γεωμετρικές κατασκευές, εννοούμε την ακριβή λιτή κατασκευή του σχήματος που μας ζητούν και που έχει ως στοιχεία εκείνα που «απαιτεί» η εκφώνηση, καθοδηγούμενοι από την Ανάλυση που προηγήθηκε. Ακολουθεί η Απόδειξη ότι το κατασκευασθέν σχήμα είναι το ζητούμενο και βέβαια η Διερεύνηση που εξετάζει τόσο το ενδεχόμενο το πρόβλημα να είναι αδύνατο, για κάποιο σύνολο των δεδομένων στοιχείων όσο και το ενδεχόμενο να έχουμε πλείονας της μία λύσης για κάποιο άλλο σύνολο των δεδομένων στοιχείων. 5 3. ΜΙΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗΣ ΙΣΟΤΗΤΑΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ. Έστω ότι μας ζητούν να αποδείξουμε ότι δύο σχήματα είναι ίσα (ή να εξετάσουμε αν είναι ίσα) όταν ένα σύνολο από στοιχεία του ενός είναι το ίδιο με το σύνολο από τα αντίστοιχα στοιχεία του άλλου. Τότε πέραν από την εν δυνάμει περίπτωση να χρησιμοποιήσουμε κάποιο κριτήριο, δυνάμεθα ισοδυνάμως να αποδείξουμε ότι η κατασκευή του σχήματος όταν δίνονται τα στοιχεία του συνόλου που αναφέραμε οδηγεί σε μοναδικό σχήμα. Π.Χ. : Εξετάστε αν δύο τρίγωνα ABC, DEF για τα οποία ισχύουν οι ισότητες BC EF, A D, AJ DK είναι ίσα, όταν AJ, από τις κορυφές τους A, D αντίστοιχα. DK είναι τα αντίστοιχα ύψη τους Λύση: Θα χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο που αναφέραμε. Θα εξετάσουμε αν το τρίγωνο με δεδομένα στοιχεία μία πλευρά του που ισούται με την βάση BC, την απέναντι από αυτή γωνία του που ισούται τη γωνία A και το ύψος του που αντιστοιχίζεται στην πλευρά που ισούται με την BC και ισούται με το ύψος AJ κατασκευάζεται και είναι μοναδικό. Σε αυτή τη περίπτωση τα τρίγωνα θα είναι ίσα.
Πράγματι από το γεγονός ότι μας δίνουν τη πλευρά BC και την απέναντι από αυτή γωνία A σύμφωνα με βασικό θεώρημα η κορυφή A θα κινείται σε σταθερό τόξο p ( Αν και είναι γνωστό θεώρημα, παραθέτουμε την απόδειξη του: Το ισοσκελές τρίγωνο OBC είναι μονοσήμαντα κατασκευάσιμο, αφού είναι κατασκευάσιμες οι ίσες γωνίες του 90 A, CBO, OCB αφού κάθε μία από αυτές ισούται προς 90 A, που σημαίνει ότι παίρνουμε σαν βάση τη δεδομένη πλευρά BC και έτσι προσδιορίζουμε το σημείο O, ως τομή δύο σταθερών ημιευθειών). Ταυτόχρονα η κορυφή A, εκτός του ότι κινείται στο σταθερό τόξο p κινείται και σε σταθερή ευθεία e παράλληλη στη BC απέχουσα από την BC απόσταση ίση προς το δοθέν ύψος AJ. Η κορυφή A είναι η τομή του τόξου p με την ' ευθεία e. Το τρίγωνο ABC είναι μοναδικό αφού ισούται με το τρίγωνο A BC επειδή τα τρίγωνα αυτά είναι συμμετρικά ως προς τη μεσοκάθετη f της BC. Συνεπώς τα τρίγωνα ABC, DEF είναι ίσα. 6 Ερώτημα: Είναι δυνατόν να αποδειχθεί η ισότητα των τριγώνων ABC, DEF, του προβλήματος που προηγήθηκε, με την μέθοδο της χρησιμοποίησης κριτηρίου ισότητας δύο τριγώνων; Απάντηση: Ναι είναι δυνατό και αυτό προκύπτει ως εξής: Έστω ότι τα τρίγωνα είναι τοποθετημένα ώστε B C και E C. Λόγω της υπόθεσης BC EF, A D, προκύπτει ότι οι περιγεγραμμένοι κύκλοι p, q ' ' είναι ίσοι, αφού τα τρίγωνα OBC, O EZ είναι ίσα άρα παίρνουμε OM O N. Αυτό σημαίνει ότι και τα ορθογώνια τρίγωνα AO DO ', AV AJ VJ AJ OM ' ' AVO, AV O είναι ίσα διότι: ' ' DK O N DK V K DV ', ανάλογα αν τα τρίγωνα έχουν τις ίσες δεδομένες γωνίες τους A, D αμβλείες, οξείες ή ' ' ορθές. Συνεπώς ισχύει OAV O DV B C E Z και επειδή ' A A B C E Z, οδηγούμαστε στις εξής ισότητες: B E, C Z. Άρα τα τρίγωνα ABC, DEF έχουν την ιδιότητα, μία πλευρά του ενός να ισούται με μία πλευρά του άλλου και οι προσκείμενες στις πλευρές αυτές γωνίες να είναι αντίστοιχα ίσες, συνεπώς τα τρίγωνα αυτά είναι ίσα.
4. ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΤΟΠΩΝ. 4.1. Δίνεται ευθεία και ένας κύκλος, που δεν τέμνεται από την ευθεία, έστω K, R. Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των κέντρων των κύκλων που εφάπτονται στην ευθεία και εξωτερικά στον κύκλο K, R. 7 Λύση: Ανάλυση: Έστω M τυχόν σημείο του γεωμετρικού τόπου, δηλαδή το κέντρο ενός κύκλου M, r που εφάπτεται στη δεδομένη ευθεία σε σημείο της A και στον δοθέντα κύκλο K, R σε σημείο του C σύμφωνα με τα δεδομένα του προβλήματος. Θεωρούμε τον κύκλο M, r R. Ο κύκλος αυτός θα διέρχεται από το σταθερό σημείο K και θα εφάπτεται της ευθείας d που είναι παράλληλη στην ευθεία και απέχει από αυτήν απόσταση AB R. Αυτό οδηγεί στο συμπέρασμα ότι η ευθεία d είναι σταθερή. Έτσι αναζητούμε ισοδυνάμως, τον γεωμετρικό τόπο των σημείων M που απέχουν από το σταθερό σημείο K και τη σταθερή ευθεία d ίσες αποστάσεις. Άρα το σημείο M θα ευρίσκεται πάνω σε μία παραβολή p με εστία το σημείο K και διευθετούσα την ευθεία d. Σύνθεση: Θεωρούμε ευθεία d παράλληλη προς την ευθεία που να απέχει από αυτήν απόσταση R και να ευρίσκεται στο άλλο ημιεπίπεδο ως προς την από εκείνο που ευρίσκεται το K. Θεωρούμε την παραβολή p με εστία το σημείο K και διευθετούσα την ευθεία d. Αντίστροφο: Έστω M τυχόν σημείο της παραβολής p. Ενώνουμε το σημείο M με το σημείο K και θεωρούμε το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα MB στην ευθεία d (το B είναι σημείο της d ) που τέμνει την ευθεία στο σημείο A. Αν η MK τμήσει τον κύκλο K, R στο σημείο C τότε παίρνουμε MK MB MC R MA R MC MA, πού σημαίνει ότι υπάρχει κύκλος ακτίνας r MA MC που εφάπτεται τόσο στην ευθεία όσο και στον κύκλο K, R. Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η παραβολή p. Διερεύνηση: Το πρόβλημα έχει πάντα λύση. Παρατήρηση: Η κατασκευή κύκλου που να εφάπτεται του δεδομένου κύκλου K, R και της δοθείσας ευθείας είναι δυνατή αρκεί να θεωρήσουμε τυχόν σημείο C του κύκλου K, R διάφορο του Z (δείτε στο σχήμα) οπότε θα κατασκευάσουμε κύκλο που θα εφάπτεται του δεδομένου κύκλου K, R στο σημείο C και θα εφάπτεται της ευθείας. Τη κατασκευή αυτή θα τη δούμε ως άσκηση.
8 4.2. Δίδονται ένα ευθύγραμμο τμήμα BC σταθερό κατά θέση και μέγεθος δύο ευθύγραμμα τμήματα αντίστοιχων μέτρων m, n και μία γωνία xoy w. Θεωρούμε σημείο A, ώστε BAC w. Αν D είναι σημείο της πλευράς AC με την ιδιότητα AD m, προσδιορίστε τον γεωμετρικό τόπο της προβολής του D πάνω στην DB n πλευρά AB. 4.3. Δίδεται κύκλος K, R και δύο σημεία A, B ώστε το A να είναι σημείο του κύκλου και το B να είναι σημείο εκτός του κύκλου. Θεωρούμε εκ του σημείου B διερχόμενη ευθεία που τέμνει τον κύκλο στα σημεία C, D. Προσδιορίστε τον γεωμετρικό τόπο του ορθόκεντρου του τριγώνου ACD. 4.4. Δίνεται γωνία xoy και ευθύγραμμο τμήμα v. Επί των πλευρών Ox, Oy της γωνίας κινούνται τα σημεία A, B αντίστοιχα, ώστε OA OB v. Προσδιορίστε τον γεωμετρικό τόπο των κέντρων των περιγεγραμμένων κύκλων στα τρίγωνα OAB. 4.5. Δίδονται δύο κύκλοι,,, με τα άκρα του, O R K r ώστε R r OK. Έστω AB ευθύγραμμο τμήμα A B να είναι σημεία των κύκλων O, R,, τον γεωμετρικό τόπο του μέσου του ευθύγραμμου τμήματος AB. K r αντίστοιχα. Προσδιορίστε 4.6. Δίνεται οριζόντια ευθεία e, δύο γωνίες v, w με άθροισμα μικρότερο των 180 σημείο A εκτός αυτής που είναι σημείο του «πάνω» ημιεπιπέδου. Επί της e κινείται σημείο B. Θεωρούμε τρίγωνο ABC, για το οποίο έχουμε: A v, B w και ότι η κορυφή του C ευρίσκεται «δεξιά» της ευθείας AB. Προσδιορίστε τον γεωμετρικό τόπο της κορυφής C. 4.7. Προσδιορίστε τον γεωμετρικό τόπο των κύκλων που διέρχονται από δοθέν σημείο και εφάπτονται σε δοθέντα κύκλο. και
4.8. α) Δίδεται γωνία xoy και τα σημεία A, D της Ox με OD OA, ως και τα σημεία C, B της Oy με OC OB. Θεωρούμε T το σημείο τομής των AC, BD. Αποδείξτε ότι οι περιγεγραμμένοι κύκλοι στα τρίγωνα OCA, OBD, TDA, TBC έχουν κοινό σημείο. b) Δίδονται δύο σημεία A, B και μία γωνία v. Σημείο T κινείται ώστε ATB v. Επί των ημιευθειών AT, BT θεωρούμε τα σημεία C, D αντίστοιχα ώστε: AT AC, BT BD και το τετράπλευρο ODTC να είναι εγγράψιμο, αν O είναι το σημείο τομής των ημιευθειών AD, BC. Προσδιορίστε τους γεωμετρικούς τόπους των σημείων τομής των περιγεγραμμένων κύκλων στα τρίγωνα OAC, ODB αντίστοιχα. 9 4.9. Δίδεται ευθύγραμμο τμήμα k και γωνία xoy. Επί των πλευρών της Ox, Oy κινούνται 1 1 1 αντίστοιχα τα σημεία A, B ώστε. Βρείτε σε ποια θέση της ευθείας AB το OA OB k μέτρο του ύψους OH του τριγώνου OAB λαμβάνει την μέγιστη τιμή. 4.10. Δύο μεταβλητές περιφέρειες εφάπτονται μεταξύ τους εξωτερικά στο σημείο M και της σταθερής περιφέρειας O, R στα σταθερά της σημεία A, B. Προσδιορίστε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου M. 4.11. Δίδεται γωνία xoy. Προσδιορίστε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων M των οποίων το άθροισμα ή η διαφορά των αποστάσεων τους από τις πλευρές της γωνία είναι σταθερό. 4.12. Δίδεται γωνία xoy και εσωτερικό της σημείο M. Μία γωνία με κορυφή το σημείο M, παραπληρωματική της γωνίας xoy, κινείται περί το M με τις πλευρές της να τέμνουν τις πλευρές Ox, Oy στα σημεία A, B αντίστοιχα. Προσδιορίστε τον γεωμετρικό τόπο της προβολής του M στην ευθεία AB. 4.13. Δίνεται κατά θέση και μέγεθος ευθύγραμμο τμήμα AD και δύο ευθύγραμμα τμήματα k, u. Θεωρούμε το σύνολο των τριγώνων ABC που έχουν το AD ως διχοτόμο και για τα BC k οποία ισχύει. AB AC u Προσδιορίστε τον γεωμετρικό τόπο των κορυφών B, C. 4.14. Προσδιορίστε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων από τα οποία δύο δοθέντες κύκλοι φαίνονται υπό ίσες γωνίας. 4.15. Δίνεται εγγεγραμμένο τετράπλευρο ABCD. Προσδιορίστε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων επαφής δύο εφαπτόμενων κύκλων που ο ένα διέρχεται από τα σημεία A, B και ο άλλος από τα σημεία C, D. Υπόδειξη: Ριζικός άξων, περιπτώσεις. 4.16. Θεωρούμε δύο οριζόντιες και παράλληλες ευθείες e, h. Θεωρούμε επίσης ένα σημείο A εκτός της ζώνης που αυτές σχηματίζουν. Θεωρούμε από το σημείο A τυχούσα ευθεία k που τέμνει τις παράλληλες στα σημεία M, N αντίστοιχα και «δεξιά» της k τρίγωνο QMN όμοιο προς δοθέν. Προσδιορίστε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Q.
4.17. Δίνεται κύκλος K, R και σημείο A. Ορθή γωνία xoy στρέφεται περί το σημείο A με τις πλευρές της να τέμνουν τον κύκλο στα σημεία B, D. Σχηματίζουμε το ορθογώνιο ABCD. Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο της κορυφής D. Δίδεται γωνία xoy και σημείο A στο εσωτερικό της. Θεωρούμε 10 4.18. Δίδεται γωνία xoy και σημείο A στο εσωτερικό της. Θεωρούμε τυχόντα κύκλο διερχόμενο από τα σημεία O, A, που τέμνει τις πλευρές Ox, Oy στα σημεία B, C αντίστοιχα. Προσδιορίστε τον γεωμετρικό τόπο του μέσου του BC όταν η ακτίνα του κύκλου μεταβάλλεται. 4.19. Δίνεται ευθεία e και τα σημεία της A, B, C, D με την ίδια σειρά, εξ αριστερών προς τα δεξιά. Προσδιορίστε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων από τα οποία τα ευθύγραμμα τμήματα AB, CD φαίνονται υπό ίσες γωνίες. 4.20. Δίνεται ευθεία e και δύο σημεία της A, B. Δύο περιφέρειες μεταβλητών ακτινών που κινούνται στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την ευθεία e εφάπτονται σε αυτή στα σημεία A, B και μεταξύ τους στο σημείο M. Προσδιορίστε τον γεωμετρικό τόπο του κέντρου του εγγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο MAB. 5. ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ. 5.1. Κατασκευάστε τρίγωνο ABC αν δίδονται η διχοτόμος του AD d a, η γωνία B και η απόσταση d της κορυφής C από την διχοτόμο AD. Ανάλυση: Έστω ότι το τρίγωνο είναι κατασκευασμένο καλώς δηλαδή έχοντας όλα τα στοιχεία που «θέλει» η εκφώνηση. Για να λειτουργήσει η κάθετη CM στη διχοτόμο, τη προεκτείνουμε έως ότου τμήσει την ημιευθεία, AB σε σημείο της E και δημιουργείται έτσι το ισοσκελές τρίγωνο AEC, οπότε ισχύει και CE 2 d. Μεταφέρουμε στη συνέχεια την AD στο σημείο C θεωρώντας το παραλληλόγραμμο ADCT και επειδή η γωνία TCE είναι ορθή, έχουμε το κατά τα γνωστά κατασκευάσιμο ορθογώνιο τρίγωνο CTE TCE 90, καθότι γνωρίζουμε τις κάθετες πλευρές του. Αυτό μας οδηγεί άμεσα και στο ότι γνωρίζουμε καλώς την υποτείνουσα του TE. Εδώ και λόγω της παραλληλίας των AT, BC παίρνουμε: EAT B που είναι κατασκευάσιμη αφού δίδεται η γωνία B. Αυτό σημαίνει ότι η κορυφή A κινείται στο σταθερό τόξο r. Ταυτόχρονα κινείται και στη σταθερή μεσοκάθετη του EC, συνεπώς το σημείο A είναι πλήρως κατασκευασμένο. Αυτό οδηγεί και στην κατασκευή του B, ως τομή της κατασκευασθείσας AE και της παράλληλης από το C στην AT.
11 Σύνθεση (Κατασκευή) Απόδειξη: Θα αποδείξουμε ότι το τρίγωνο ABC ( το οποίο είναι το καταληκτικό στο σχήμα fig. 4) που κατασκευαστικά προσδιορίσαμε είναι το ζητούμενο, δηλαδή ότι έχει σαν στοιχεία τα δεδομένα. Πράγματι έχουμε: AD TC d a, με το επιπλέον δεδομένο ότι η AD είναι διχοτόμος της γωνίας από το προκύπτον ισοσκελές τρίγωνο AEC. Από την ισχύ CE 2d της σχέσης CB AT έχουμε CBA EAT B και τέλος CM d. Διερεύνηση: Το πρόβλημα έχει λύση αρκεί η γωνία γωνίας. B να είναι μικρότερη της ευθείας 5.2. (Είναι από την παρατήρηση της άσκησης 4.1.) Δίδεται κύκλος K, R, ευθεία και σημείο C του δοθέντος κύκλου διαφορετικό από πιθανό σημείο τομής των K, R και. Κατασκευάστε κύκλο εφαπτόμενο του K, R στο C και της ευθείας. 5.3. Δίδεται ευθεία και σημείο εκτός αυτής. Κατασκευάστε ευθεία κάθετη από το σημείο στην ευθεία χρησιμοποιώντας μόνο μία φορά τον διαβήτη και όσες φορές χρειάζεται τον κανόνα.
5.4. Κατασκευάστε τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο για το οποίο δίνονται, η ακτίνα του κύκλου, δύο απέναντι πλευρές του και ότι ο λόγος των δύο άλλων απέναντι πλευρών του ισούται με τον λόγο δύο δοθέντων ευθύγραμμων τμημάτων. 12 5.5. Δίδονται δύο παράλληλες ευθείες, e και μία κοινή κάθετος τους AB Ae B,. Δίδεται επίσης σημείο C, C B. Μπορούμε εν γένει να κατασκευάσουμε εκ του C διερχόμενη ευθεία που να τέμνει το ευθύγραμμο τμήμα AB σε σημείο του D, την ευθεία e σε σημείο της E, ώστε DE 2 CA; 5.6. i) Κατασκευάστε τρίγωνο ABC, αν δίδονται η βάση του BC, η γωνία του A, το άθροισμα: AB AC. ii) Δίδονται δύο τρίγωνα ' ' ' ABC, A B C, ώστε BC B C A A AB AC A B AC ' ' ' ' ' ' ',,. Αρκούν αυτά τα δεδομένα ώστε αυτά να είναι ίσα; 5.7. (Πρόβλημα του αγάλματος) Στο σχήμα που ακολουθεί, το κάθετο στην ευθεία e ευθύγραμμο τμήμα BT είναι σταθερό κατά θέση και μέγεθος όπως σταθερό είναι και το σημείο του A. Το σημείο M κινείται στην ευθεία e. Ζητάται ο κατασκευαστικός προσδιορισμός του σημείου M, ώστε η γωνία BMA να λαμβάνει την μέγιστη τιμή. 5.8. Κατασκευάστε τραπέζιο αν γνωρίζουμε τις διαγώνιους του και τις γωνίες του. 5.9. Δίδεται γωνία και σημείο της διχοτόμου της. Κατασκευάστε ευθύγραμμο τμήμα δοθέντος μήκους που να διέρχεται από το δεδομένο σημείο της διχοτόμου και τα άκρα του να είναι σημεία των πλευρών της γωνίας. 5.10. Κατασκευάστε κύκλο διερχόμενο από δύο δεδομένα σημεία και που η κοινή χορδή του με δοθέντα κύκλο να έχει δοθείσα διεύθυνση. 5.11. Κατασκευάστε τρίγωνο ABC, αν δίνονται η ακτίνα του περιγεγραμμένου του κύκλου R, το μέσο M της πλευράς BC, το σημείο τομής της D διχοτόμου της γωνίας A με τη 2 πλευρά BC και ED DM k με k δοθέν ευθύγραμμο τμήμα, όπου E το ίχνος του ύψους του AE επί της πλευράς BC. 5.12. Δίνεται κύκλος K r παράλληλες πλευρές του.,. Περιγράψτε περί αυτόν τραπέζιο του οποίου δίνονται οι μη
5.13. Κατασκευάστε τετράπλευρο αν δίνονται τα μέσα των πλευρών του και δύο διαδοχικές του γωνίες. 13 5.14. Δίνεται γωνία ορθή γωνία xoy και δύο σημεία επί της πλευράς Ox A, B, ώστε OA AB. Προσδιορίστε σημείο M της πλευράς Oy, τέτοιο πού AMB 2 MBA. 5.15. Κατασκευάστε τρίγωνο αν γνωρίζουμε τα τρία του ύψη. 5.16. Προσδιορίστε επί του ύψους AE ισοσκελούς τριγώνου ABC AB AC M τέτοιο που kma vmb MC, όπου k, v δοθέντες θετικοί ακέραιοι., σημείο 5.17. Δίνονται κύκλος O, R και σημείο του επιπέδου του K. Προσδιορίστε διατέμνουσα KA m KAB του κύκλου αυτού, ώστε να ισχύει, όπου m, v δοθέντα ευθύγραμμα AB v τμήματα. 5.18. Προσδιορίστε επί της διχοτόμου της γωνίας B ισοσκελούς τριγώνου ABC AB AC πλευρές του τριγώνου. σημείο, όταν μας δίδεται το άθροισμα των αποστάσεων του από τις 5.19. Δίνεται κύκλος, σημείο και μία γωνία. Προσδιορίστε διάμετρο του κύκλου τέτοια που να φαίνεται από το σημείο υπό τη δοθείσα γωνία. 5.20. Κατασκευάστε παραλληλόγραμμο όταν δίδονται δύο κορυφές του και ότι οι άλλες δύο είναι σημεία δοθέντος κύκλου. Βιβλιογραφία: 1. Ευκλείδης Α, Ευκλείδης Β Εκδόσεις Ε.Μ.Ε. 2. Ευκλείδεια Γεωμετρία: Σπύρου Κανέλλου-Αθήνα 1976. 3. Γεωμετρία: Ι. Ιωαννίδη- Εκδόσεις Κορφιάτη 4. Plane Geometry: I.F. Sharygin. 5. Problem Solving and Selected Topics in Euclidean Geometry: Sotirios E. Louridas Michael Th. Rassias Springer 2013 6. Μαθηματικές Ολυμπιάδες : Σωτήρης Ε. Λουρίδας- Κώστας Γ. Σάλαρης 7. Μαθηματικά για Εκπαιδευτικούς: Σωτήρης Ε. Λουρίδας- Εκδόσεις Μπόνιας- Αθήνα 2006 Μαθηματικά Sites: 1. www.telemath.gr 2. www.mathematica.gr