ЗЛАТНИ ПРЕСЕК У МАТЕМАТИЦИ THE GOLDEN SECTION IN MATHEMATICS

ЗЛАТНИ ПРЕСЕК У МАТЕМАТИЦИ THE GOLDEN SECTION IN MATHEMATICS АУТОР: Анђелика Радивојевић, ученица II разреда, гимназије Бора Станковић Бор МЕНТОР: Светлана Арсенијевић, професор математике, гимназија Бора Станковић Бор

РЕЗИМЕ У нашем савременом животу непрестано се сусрећемо са математиком и геометријом. Свет којег обликује човек препун је правих углова, линија и предмта правилних геометријских облика. Математика је данас обична, световна наука, она је алат којим се служимо да би смо бројали, рачунали, мерили и манипулисали светом око себе. При томе заборављамо оно дубље, матафизичко значење математике и геометрије о којем су говорили многи математичари и филозофи. Златни пресек се јавља као пропорција растућих облика у природи и вековима је привлчио пажњу математичара и уметника. Однос Златног прсека се добија ако се једна дуж подели на такав начин да је однос већег дела према целом исти као и однос мањег дела према већем: 0,6180339887... користићемо као ознаку за златни пресек грчко слово (phi). Такође, користићемо слово (Phi) за инверзну вредност 1.6180339887... Непрекидну поделу златног пресека запажамо у самој природи на мноштву биљака, а у запањујућем савршенству у љуштурама морских пужева. Златни пресек се јасно манифестује у склопу човечијег тела. Пропорционисање човечије фигуре састоји се у што тачнијој конструкцији златног пресека у непрекидном одмеравању минора на мајору и у примени овако добијених мера на одговарајуће делове и димензије тела. Кључне речи: златни пресек, пропорција, слово пхи, однос, минор, мајор SUMMARY In our modern life we re constntly fced with mthemtics nd geometry. The world shped by men is full of right ngles, lines nd objects of regulr geometric shpe. Mthemtics is now ordinry, seculr science, it is tool we use to hve counted, count, mesure nd mnipulte the world round them. We forget wht deeper metphysicl mening of mthemtics nd geometry which is spoken by mny mthemticins nd philosophers. Golden section ppers s growing proportion of forms in nture nd for centuries hs ttrcted the ttention of mthemticins nd rtists. The golden men is obtined if one division long in such wy tht the reltionship throughout much of the sme s the rtio of smll to lrge: 0. 6180339887 We will use it s lbel for the Golden Section of the Greek letter phi. Also, we will use the letter Phi to the inverse vlue: 1.6180339887... Continuous

distribution of the golden section observed in the nture of the vriety of plnts, stunning perfection in shells of mrine snils. Golden Section is clerly mnifested in the humn body. Proportioning the humn figure is to the more ccurte construction of the golden section in continuous mesurement minors nd the mjors in the ppliction of the obtined mesures of the relevnt prts of the body dimension. Keywords: golden section, proportion, the letter phi, reltionship, minor, mjor УВОД Од најстријих времена естетичари су се бавили проблемом лепе форме. Од свих естетичара а највећу пажњу заслужује Цајзинг. По њему, најлепша пропорција је такозвани златни пресек. У чему се састоји та божанствена пропорција? То је, као и код сваке пропорције, однос између два дела, али такав у коме се мањи део ( минор) према већем ( мајор) односи као овај последњи према збиру оба дела, то јест :b=b:(+b). Изражена у цифрама, ова би пропрорција представљала однос 1:1,6180..., тј. ирационални број, чија би приближна вредност била :3; 3:5; 5:8 и тако даље. Према томе, једна линија, један првоугаоник, једно људско тело пропорционално по златном прсеку било би нешто лепше. Геометрија природе или природна геометрија Пре више од сто година психолог Густав Фецхер (1876) направио је експеримент који је отада више пута понављан. Изабрао је хиљаду правоугаоника различитих димензија који се обично виде у свакодневном животу, играјуће карте, оквири прозора, папир за писање, омот од књиге... Он је онда представио правоугаонике хиљадама индивидуал и питао их да изаберу један, без одређеног критеријума селекције. Испитаницима је понуђено десет правоугаоника различитих размера (односа страница), између којих је највећи број испитаника изабрао један одређени са размерама 1:34 као најлепши (правоугаоник чије пропорције стоје у односу златног пресека). Ми знамо за тај однос бројева: још од доба античке Грчке, Платона у Теетету и Еуклида у Х књизи Елемената говоримо о динамичкој симетрији, односно Златном правоугаонику или Златном пресеку. Шта је то?

Дефиниција златног пресека говори о размери што значи о односу две размере. мањи део према већем односи се једнако као већи део према целини. Или: минор : мајор = мајор : целина. Или: А: Б = Б : (А+Б). Питање које може да буде интересантно за нас јесте: зашто подела једне линије на два дела, тако да се мањи део односи према већем као већи према целини, показује више склада од осталих подела? Зашто бројне геометријске фигуре које произилазе из златног пресека, као што су пентагон, децагон, додекаедар, икосаедар, извесне спирале, итд., експлоатисане често у архитектури и декоративним уметностима, пружају више садисфакције од осталих? Питање је утолико интересантније што се већ одавно зна да је принцип златног пресека дубоко укорењен у основи природних процеса, да се појављује у многим облицима органске природе, како биљног тако и животињског света, и да се показује као принцип органског раста. Цајзинг потврђује ове чињенице: пупак дели људско тело по принципу златног пресека, и чланци прстију стоје међусобно у истом односу. У математици Као математички проблем, златни прсек је привлачио Питагору. Кеплер ће га назвати једним од два бисера геометрије. (Други део је Питагорина теорема.) као и многи претходници, Кеплер је златном прсеку видео кључ космичке хармоније. Није стога чудно што златни пресек налазимо у пропорцијама Кеопсове пирамиде, или касније, на фасади Партенона. Ако златни пресек с лакоћом везујемо за пластичне уметности, његово присуство у такозваним уметностима времена, као што је музика, може да изазове извесне недоумице. Међутим, нумеричка транспозиција музике, дозвољава такође примену пропозиције, нарочито на нивоу интервала, заснованих на златном пресеку. Заправо, најзанимљивије код златног пресека је то што, за разлику од просте симетрије, нуди идеју кретања. Поделимо ли једну дуж на пола, добијамо два једнака сегмента, однос 1:1, или симетрије, нуди идеју кретања. Поделимо ли дуж по принципу златног прсека, добијамо два неједнака сегмента који омогућавају успостављање прогресије, познате под називом Фибоначијев низ (1, 1,, 3, 4, 8, 13, 1, 34, 55, 89, 144..), као континуалне пропорције где трећи сегмент увек представља збир прва два. Ова континуалност дозвољава практично бескрајан покрет у оба правца, што нас гони да мислимо на најновије резултате фракталне геометрије. Тиме се и објашњава принцип органског раста: могућ је раст безброј сегмента који су један према другом у

поменутом односу, а да се основни принцип и интегритет бића не наруши. И управо је овај динамички аспект тај који нас интересује. Златни пресек показује се као принцип динамичке симетрије. Јер нису више сегменти ти који се постављају и умножавају, као код транслаторне симетрије, већ су то односи међу сегментима. Посматран из ове динамичке перспективе, златни пресек потврђује се као најједноставнији могући однос између делова и целине, и вероватно је то разлог што га и геније природе и људски геније одабирају као најсавршенији, тиме и најлепши. Механизам непрекидне поделе или златног пресека игра посебну улогу у ликовном стваралаштву, а понајвише у области апстрактних геометријских облика, комбинованих кроз конструкцију, функцију и мерило човека у одређене просторе целина. Златни пресек у уметности У центру Атине у Грчкој се налази Акропољ. Његов најпознатији споменик је грасм Партеноин, који је посвећен богињи Атини. Саграђен је 430. или 440. године пре нове ере. У многим пропорцијама овог храма се појављује златан правоугаоник. Сматра се да не постоје оригинални планови храма. Изгледа да је храм саграђен основом правоугаоника код кога су странице у пропорцији 1: 5.Такође је и предња страна израђена са коришћењем златног правоугаоника, чија је дужина φ пута већа од висине. Златни пресек је такође коришћен и при изградњи цркве Нотрдам у Паризу.

Златни пресек у природи његове висине. Очи, кљун и крило, тачке тела пингвина се налазе у златном пресеку Тачкасте шаре овог мољца су у златном пресеку његове дужине и ширине. Спирала раста морске шкољке је такође пример златног пресека.

Златни пресек и човек Људско лице представља пример златног пресека. Да би смо то боље објаснили, искористили смо ову слку Џорџа Клунија. Глава формира златни правоугаоник са средњом линијом која је у висини очију. Уста и нос су смештени у златном пресеку раздаљине између очију и браде. Златни пресек, познат као Пхи, манифестује се у структури људског тела. ЗЛАТНИ ПРЕСЕК У ЕЛЕМЕНТАРНОЈ ГЕОМЕТРИЈИ Phi (φ)=1.61803398874989 φ спада у групу ирационалних бројева баш као π,, 3 и сл. Фи је посебан због својих необичних математичких особина. Фи налазимо свакодневно у животу, дизајну, грађевинарству естетици, економији, физици, математици, свемиру... Ако неку дужину AB поделимо на два дела тачком T, тако да је AB : AT = AT : BT кажемо да су они у златном пресеку. Поставимо сада: xx= ATT

= AB и добијемо :: xx :: = xx (( xx)) или када решимо пропорцију: = x x x ((--xx))=xx ИЗВОД ФОРМУЛЕ ЗА ЗЛАТНИ ПРЕСЕК Посматрајући слику горе, закључујемо да прво морамо добити износ дужине AC = AB + BC AC = + = 5 Како би добили x величини странице AC морамо одузети, дакле AC ==x ++ Уврстимо износ дужине AC Из тога следи да је или ( 5 1 ) x=* x=* φ 5 =x+ Ове две релације су увод за златни пресек или божанствену пропорцију! (1) ()

Доказ ваљаности релације за златни пресек Нека је = заменом у формули1. добијамо вредност x = 1,360679774 Из прве релације стога је : x = x : (-x) = 11,,6611880033339988887744998899...... x Из релације. можемо приметити да је x phi = = 00..6611880033339988887744998899...... Овај број је познат Phi-1. Конструкција тачке која дели дужину у размери једнакој φ тј. златном пресеку без познавања поступка извођења формуле Дата је дужина ABкоју делимо тачком Т у задатој размери. Рашчланимо израз за златни пресек x= 5 1 5 = -- = 5 -- = 4 + --

На дужину AC се пренесе дужина BC, па пошто је BC = преко Питагориног става AC = + = 5 Добије се x према горњој релацији xx= 5 -- Након што смо добили x на дужини ACпренели смо га шестаром на страницу троугла дужине а и тиме на страници троугла ABдобили x и а. ГЕОМЕТРИЈСКА КОНСТРУКЦИЈА ЗЛАТНОГ ПРЕСЕКА Могућа је на неколико начина: Дужину AB делимо на пола и пренесемо дужину те половине под правим углом лево или десно; добили смо тачку C. Њу спајамо с тачком B. Величину AC пренесемо с тачке C на дужину CB, чиме добијамо тачку А1. Из тачке B шестаром пренесемо дужину BA1 на дужину AB и добијамо тачку D која пресеца првобитну дужину AB на однос мајор (BD) и минор (DA). (слика1)

Сл.1 конструкција златног пресека 1 Сл. конструкција златног пресека Други начин конструкције је да квадрат страница 1:1 преполовимо по нормали и спустимо дијагоналу половине (AB) на базу. Из новодобијене завршне тачке (D) подижемо нормалу у C и затварамо квадрт. (слика ) Трећи начин је мало дужи: дијагонала квадрата странице 1 која износи корен из пренесе се шестаром на продужену страницу квадрата. Добија се правоугаоник чија је дужа страница корен из, а краћа 1. Понавља се исти поступак тј. дијагонала правоугаоника корен из два која износи корен из 3 преноси се на продужену страницу итд. Док се не стигне до правоугаонникачија је страница корен из 5. Тада се повуче симетрала на дуже странице и из доњих спољашњих углова се цртају лукови којима је полупречник половина дужине странице до пресека с горњом страницом. Из тих тачака се спусте нормале које затварају квадрат. С обе стране квадрата преостала су два мања правоугаоника који сваки посебно с квадратом дају златни пресек правоугаоника. (Слика 3)

Сл. 3 конструкција златног пресека 3 Овим конструкцијама смо добили две дужине у односу које чине странице оног правоугаоника који су већина испитаника препознали као најлепши. За његове странице смо рекли да су биле у односу 1:34. Резултат тог дељења износи 0,617647... ирационални број, математички немерљив. Како још можемо доћи до златног пресека? Рецимо, расецањем кружнице на пет једнаких делова, што се постиже овако (слика4). Полупрелник кружнице (BD) дели се на пола (Е) и повезује са нормалом над центром (C); дужина EC се спушта на пречник (AD) у тачку P, која се опет спаја са тачком C; дужина CP се преноси на обод кружнице тачка P1. P1C улази пет пута у кружницу, без остатка. Ако добијене врхове спојимо, добили смо правилан петоугао, чији пресеци дужина кракова поново чине правилне златне пресеке ( c(3):b(5) = b(5):(8), 3:5 = 5:(3+5=8) ). (слика 5)

Сл.4 конструкција петоугла Сл.5. златни односи кракова унутар петоугла Погледајмо поред себе: пресецимо јабуку на пола и угледаћемо семенке распоређене на петоугаоној основи. И цвет саме јабуке је петоугаон, као и неки други цветови (слика 6). Сл.6 цвет јабуке и њен пресек Петоугао још није исцрпио своје могућности. Повезивањем два суседна угла с центром чини троугао, који преполовљен тзв. Питагорин троугао, правоугли, са страницама 3-4-5 односно база 3: хипотенуза 5=0,6. Или скраћено база1: висина 1,6 = 0,618, златни однос (слика 7). И спољашњи краци звезде чине троуглове са једнаким односима (слика 8). И такви троуглови су препознатљиви у природи погледајмо размеру раста цветова на слици 9.

Сл.7 Питагорин троугао у пентаграму Сл.8 троугао са златним размерама у пентаграму слика 9 : размера раста цветова по Питагарином троуглу Начинимо и најкомплекснију конструкцију. Из основног квадрата 1:1 конструишимо златни пресек (слика10), и у новом правоугаонику извуцимо дијагоналу AB. На пресеку старе ивице DE добијамо тачку F из које повлачимо паралелу до G. Тако смо десни квадрат DECB пресекли на два мања један поново једнакостраничан (EFCG), и један у златном пресеку (FGBD). Нова дијагонала (DC) и нови пресек (H) преламају нови златни квадрат на два мања, опет једнакострничан и златни, али другог, вертикалног,

усмерења DFHI). Нoвим дијагоналам и новим пресецима стварају се ротације све мањих златних и једнакостраничних квадрата до одређеног центра. Ако сада убодемо шестар у тачку D и спојимо горњи леви иугао с тачком Е, затим убодемо у тачку F и спојимо Е са G, Убодемо у H и спојимо G са I и тд., добијамо динамичну спиралу. Целу ову конструкцију називамо вртложни правоугаоник, и он чини основу раста многих организама у природи. Сл. 10. Конструкција вртложног правоугаоника

ЛИТЕРАТУРА: 1. ЕУКЛИД, Елементи I,II i XIII књиге, Научна књига, Београд 1957. Милутин борисављевић, Златни пресек и други есеји, Српска књижевна задруга, Београд, 1998 3. Семионарски радови 4. Матурски радови