12. Στατιστικός Έλεγχος Υποθέσεων

Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω Έας έος τύπος τιγάρω βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου Α το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καποβιομηχαίας παραγωγής, εδιαφέρεται α γωρίζει τη μέη ποότητα ικοτίης που περιέχεται τα έου τύπου τιγάρα, μπορεί α υπολογίει έα διάτημα εμπιτούης και α πάρει έτι μια εκτίμηη για τη άγωτη μέη ποότητα ικοτίης Στη περίπτωη όμως, που εδιαφέρεται α γωρίζει μόο α τα έου τύπου τιγάρα η μέη ποότητα ικοτίης δε υπερβαίει έα μέγιτο επιτρεπτό όριο, τότε πρέπει α κάει κατάλληλο τατιτικό έλεγχο υποθέεω ώτε α μπορεί α αποφαίει μεταξύ τω υποθέεω: Η μέη ποότητα ικοτίης δε υπερβαίει το μέγιτο επιτρεπτό όριο Η μέη ποότητα ικοτίης υπερβαίει το μέγιτο επιτρεπτό όριο Ο τατιτικός έλεγχος υποθέεω (hypothe tetng) είαι μια υμπεραματική διαδικαία/μέθοδος που προφέρει η Στατιτική Συμπεραματολογία και βρίκει εφαρμογή ε τοχατικά προβλήματα απόφαης μεταξύ δύο εαλλακτικώ υποθέεω Η μία υπόθεη έχει επικρατήει α υμβολίζεται με H και οομάζεται μηδεική υπόθεη (null hypothe) και η άλλη με H και οομάζεται εαλλακτική υπόθεη (alternatve hypothe) Ααγκαία προϋπόθεη για τη ωτή εφαρμογή τω τατιτικώ ελέγχω και κυρίως για τη ωτή ερμηεία τω αποτελεμάτω τους, είαι η καταόηη της λογικής και του οήματός τους Στη υέχεια αυτό θα προπαθήουμε Να ααδείξουμε τη λογική, το όημα και τα όρια εφαρμογής τους Βαικές έοιες Η γεική ιδέα της διαδικαίας τατιτικού ελέγχου υποθέεω είαι η εξής: θέτουμε ως μηδεική υπόθεη ( H ) αυτή για τη οποία αμφιβάλουμε, αυτή που αμφιβητείται, και εξετάζουμε α έα τυχαίο δείγμα που παίρουμε από το πληθυμό υηγορεί-δίει αποδείξεις υπέρ της απόρριψής της έατι της εαλλακτικής ( H ) Δηλαδή, η H απορρίπτεται ή δε απορρίπτεται με βάη το τι παρατηρείται το τυχαίο δείγμα που πήραμε από το πληθυμό Πιο υγκεκριμέα, υποθέτοτας ότι η H είαι αληθής, α αυτό που παρατηρείται το δείγμα είαι ακραίο, δηλαδή, α έχει πολύ μικρή πιθαότητα α υμβεί, τότε απορρίπτουμε τη H Σε ατίθετη περίπτωη, δηλαδή, α αυτό που παρατηρείται το δείγμα δε είαι ακραίο-πάιο (ότα είαι αληθής η H ) τότε το δείγμα που πήραμε δε μας δίει αρκετές εδείξεις για τη απόρριψη της H και «αποτυγχάουμε α τη απορρίψουμε» Βέβαια, με αυτή τη τρατηγική παίρουμε «ρίκο», γιατί και τα ακραία, έτω και με πολύ μικρή πιθαότητα, μπορεί α υμβού Πιο υγκεκριμέα, με τη υπόθεη ότι η H είαι αληθής, α κρίουμε ότι αυτό που παρατηρείται το τυχαίο δείγμα είαι ακραίο και τη απορρίψουμε, τότε ακριβώς έα από τα παρακάτω μπορεί α υέβη: (α) είτε η H πράγματι δε είαι αληθής όποτε αποφαίαμε ωτά, (β) είτε η H είαι αληθής και το ακραίο οφείλεται τη τύχη, δηλαδή υέβη κάτι πάιο (εμφαίθηκε έα δείγμα που πάια εμφαίζεται) Στη περίπτωη αυτή Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ / Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulo) 349

Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω απορρίψαμε λαθαμέα τη H Αυτό το φάλμα οομάζεται φάλμα τύπου Ι (type I error) Εφόο υπό τη H, το ακραίο υπάρχει πιθαότητα, έτω πολύ μικρή πχ, α υμβεί, τότε απορρίπτουμε λαθαμέα τη H με πιθαότητα Αάλογα, είαι δυατό, λαθαμέα α μη απορρίψουμε τη H Δηλαδή, α αποτύχουμε α απορρίψουμε τη H, εώ είαι αληθής η H Αυτό το φάλμα οομάζεται φάλμα τύπου ΙΙ (type II error) Το «ρίκο», επομέως, είαι διπλό, με πιθαότητα λαθαμέης απόρριψης της H, P(φάλμα τύπου Ι) P(απόρριψη της H αληθής η H ) και λαθαμέης μη απόρριψης της H, P(φάλμα τύπου ΙΙ) P(μη απόρριψη της H αληθής η H ) Είαι φαερό, ότι για α προχωρήουμε πρέπει α αποαφηιτεί: α) τι εοούμε επακριβώς ότα λέμε «αυτό που παρατηρείται το δείγμα»; Πώς εκφράζεται; Μπορεί α μετρηθεί-ποοτικοποιηθεί; β) Πώς κρίουμε ότι «αυτό που παρατηρείται το δείγμα» είαι ή όχι «ακραίο»; Δηλαδή, με ποιο αφή καόα θεωρείται το παρατηρούμεο το δείγμα «ακραίο»; Επίης, πρέπει α απατήουμε τα εύλογα ερωτήματα: Πώς υπολογίζοται οι πιθαότητες φάλματος τύπου Ι και φάλματος τύπου ΙΙ; Μπορού α ελαχιτοποιηθού; Σχετίζοται με κάποιο τρόπο; Μπορούμε α τις θέουμε υπό το έλεγχό μας; Για α απατήουμε τα ερωτήματα αυτά, ας χρηιμοποιήουμε έα υγκεκριμέο παράδειγμα Θα μας βοηθήει τη καταόηη Παράδειγμα : Το όριο ατοχής εός τύπου καλωδίω είαι τυχαία μεταβλητή Χ με μέη τιμή μ 5 Kg και τυπική απόκλιη 75 Kg Το εργοτάιο που κατακευάζει αυτό το τύπο καλωδίω ιχυρίζεται ότι βελτίωε τα υλικά που χρηιμοποιεί και πλέο το όριο ατοχής τω καλωδίω έχει αυξηθεί Για α ελεγχθεί ο ιχυριμός του εργοταίου, ως μηδεική υπόθεη θέτουμε τη H : μ 5 Kg, δηλαδή, αυτή η οποία αμφιβητείται από το ιχυριμό που ελέγχουμε Γεικά, η H δηλώει ότι το πληθυμό η κατάταη παραμέει αμετάβλητη, δε υπάρχει αλλαγή/διαφορά (το παράδειγμά μας, ότι η βελτίωη τω υλικώ δε έχει επίδραη το όριο ατοχής τω καλωδίω) Έας δεύτερος καόας για το καθοριμό της H που έχει επίης καθιερωθεί τη διεθή επιτημοική πρακτική είαι ο εξής: ως μηδεική υπόθεη θέτουμε τη υπόθεη της οποίας η λαθαμέη απόρριψη εγκυμοεί τους περιότερους κιδύους Δηλαδή, αυτή που απαιτεί μεγαλύτερη προταία από φάλμα τύπου Ι Ως εαλλακτική θέτουμε τη H : μ > 5 Kg, δηλαδή, η H δηλώει ότι η βελτίωη τω υλικώ επηρεάζει, και ειδικότερα αυξάει, το όριο ατοχής τω καλωδίω Για αυτό έχει επικρατήει α λέγεται μηδεική υπόθεη (υποθέτουμε μηδεική αλλαγή/διαφορά τη τιμή της ελεγχόμεης παραμέτρου) Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ / Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulo) 35

Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω Γεικά, η H δηλώει ότι το πληθυμό υπάρχει αλλαγή/διαφορά Ο έλεγχος που μόλις διατυπώαμε, είαι έας μοόπλευρος και ειδικότερα δεξιόπλευρος έλεγχος Γεικότερα, οι έλεγχοι H : μ μ H : μ μ και H : μ > μ H : μ < μ οομάζοται μοόπλευροι (one-taled) έλεγχοι (δεξιόπλευρος και αριτερόπλευρος ατίτοιχα) και ο έλεγχος H : μ μ H : μ μ οομάζεται αμφίπλευρος (two-taled) Σημειώουμε επίης, ότι τα δύο ύολα τιμώ της παραμέτρου που ελέγχουμε (το παράδειγμά μας της μ ) που ορίζου οι δύο υποθέεις, πρέπει προφαώς α είαι ξέα μεταξύ τους (ή το έα άρηη του άλλου) Τέλος, υπογραμμίζουμε ότι και οι δύο υποθέεις ααφέροται το πληθυμό γι αυτό δηλώοται με όρους παραμέτρω του πληθυμού Όπως ήδη έχουμε ααφέρει, τη τατιτική προέγγιη προβλημάτω ελέγχεται η υμφωία θεωρίας και εμπειρίας Έτι, το παράδειγμά μας, αφού διατυπώαμε τη υπόθεη ότι η άγωτη μέη τιμή του πληθυμού τω ορίω ατοχής τω καλωδίω μετά τη βελτίωη τω υλικώ είαι 5Kg ( H : μ 5 Kg), παίρουμε έα τυχαίο δείγμα καλωδίω από το ύολο της παραγωγής του εργοταίου και μετράμε το όριο ατοχής κάθε καλωδίου του δείγματος Για τις αάγκες του παραδείγματος, έτω ότι έα τυχαίο δείγμα X, X, X μεγέθους 5 μας έδωε τις μετρήεις x, x,, x5 με x 55 Kg Η «εμπειρία», δηλαδή αυτό που παρατηρείται το δείγμα, υμφωεί άραγε με τη υπόθεη H : μ 5 Kg, δηλαδή, με ό,τι αυτή υεπάγεται για το δείγμα (με βάη τη θεωρία πιθαοτήτω) ή μήπως δίει αποδείξεις εατίο της H και υπέρ της H Για α απατήουμε ε αυτό το ερώτημα, πρέπει πρώτα απ όλα α κατακευάουμε/επιλέξουμε μια κατάλληλη τατιτική υάρτηη T T ( X, X,, X ), δηλαδή, μια υάρτηη του δείγματος-δειγματουάρτηη, ώτε α ποοτικοποιήουμε «αυτό που παρατηρείται το δείγμα» και η οποία, υπό τη H, δηλαδή ότα ιχύει η H, α ακολουθεί γωτή καταομή (χωρίς άγωτες παραμέτρους) ώτε α μπορούμε α υπολογίουμε τις απαιτούμεες για το έλεγχο πιθαότητες Στο παράδειγμά μας που αφορά το έλεγχο της μέης τιμής μ του πληθυμού, είαι λογικό α επιλέξουμε ως τατιτική υάρτηη Τ, το δειγματικό μέο X του οποίου η καταομή, υπό τη H : μ 5 Kg, είαι γωτή αφού το μέγεθος του δείγματος που πήραμε είαι αρκετά μεγάλο και επομέως από το ΚΟΘ, κατά προέγγιη, έχουμε 75 X ~ N(5, ) ή X ~ N(5, 475 ) 5 Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ / Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulo) 35

Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω Εαλλακτικά, ως τατιτική υάρτηη Τ μπορούμε α επιλέξουμε τη X 5 ( X 5) 5 Z ~ N(,) 75 5 75 Έτι, «αυτό που παρατηρείται το δείγμα», το παράδειγμά μας εκφράζεται από τη τατιτική υάρτηη X με τιμή, το υγκεκριμέο δείγμα που πήραμε, x 55 Kg ή ιοδύαμα, από τη ( 5) 5 Z X 75 με τιμή (55 5) 5 z 75 Ας δούμε τώρα πώς με ποιο καόα ορίζουμε το «ακραίο» ος τρόπος: Επιλέγουμε-(προ)καθορίζουμε το αεκτό μέγεθος φάλματος τύπου Ι Α η H : μ 5 Kg είαι αληθής, είαι λογικό α ααμέουμε ότι η τιμή της τατιτικής υάρτηης X το δείγμα που πήραμε (δηλαδή, ο δειγματικός μέος) θα είαι κοτά τη τιμή 5Kg Ατιθέτως, α η H : μ 5 Kg δε είαι αληθής ααμέουμε ο δειγματικός μέος α είαι μακριά (προς τη κατεύθυη της H, δηλαδή δεξιότερα) του 5 Έας λογικός επομέως έλεγχος, είαι ο εξής: ορίζουμε μια τιμή c με βάη τη οποία θα κρίεται α ο δειγματικός μέος βρίκεται μακριά από τη μ 5 Kg, δηλαδή θα θεωρείται ακραίος Έτι, α το παράδειγμά μας επιλέξουμε c 53 Kg τότε επειδή x 55 > 53, αυτό που παρατηρείται το δείγμα κρίεται ακραίο και η H απορρίπτεται Το κριτήριο αυτό είαι φυικά λογικό, όμως πόο λογική-εύλογη είαι η αυθαίρετη τιμή c 53 Kg με τη οποία οριοθετήαμε τις ακραίες από της μη ακραίες τιμές του δειγματικού μέου Α για παράδειγμα, επιλέξουμε c 57 Kg τότε x 55 < 57 δηλαδή τώρα το παρατηρούμεο το δείγμα δε κρίεται ακραίο και το δείγμα δε υποτηρίζει απόρριψη της H Τίθεται επομέως το ερώτημα: πώς επιλέγουμε τη τιμή της ταθεράς c; Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ / Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulo) 35

Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω Πρι απατήουμε ε αυτό το εύλογο ερώτημα, ας υπολογίουμε τη πιθαότητα α κάουμε φάλμα τύπου Ι τη περίπτωη που επιλέξουμε c 53 Kg και ατίτοιχα τη περίπτωη που επιλέξουμε c 57 Kg Για c 53 Kg έχουμε P(φάλμα τύπου Ι)P(απόρριψη της H αληθής η H ) P ( X 53 μ 5) X 5 53 5 P ( ) P( Z ) Φ() 3 75 5 75 5 Ομοίως, για c 57 Kg έχουμε X 5 57 5 P( X 57 μ 5) P( ) P( Z 83) Φ(83) 3 75 5 75 5 Και για οποιοδήποτε c, έχουμε X 5 c 5 P( X c μ 5) P( ) 75 5 75 5 ( c 5) P( Z 75 5 ( c 5) ) Φ 75 5 Από τα παραπάω είαι φαερό ότι η τιμή της ταθεράς c επηρεάζει (ακριβέτερα, καθορίζει) τη πιθαότητα φάλματος τύπου Ι που κάουμε Έτι, με κριτήριο το έλεγχο του μεγέθους του φάλματος τύπου Ι (θυμηθείτε και πώς ορίζουμε τη H ), μπορούμε α επιλέξουμε τη τιμή της c ως εξής Ορίζουμε έα μέγιτο αεκτό μέγεθος φάλματος τύπου Ι και με βάη αυτό υπολογίζουμε τη τιμή της c Με αυτό το τρόπο, καθορίζουμε έα απολύτως αφή καόα για α κρίουμε α αυτό που παρατηρείται το δείγμα, δηλαδή η τιμή της τατιτικής υάρτηης Τ (το παράδειγμά μας της X ή της Z ( X 5) 5 75 ), είαι «ακραία» ή όχι, και πλέο, αποφαίζουμε για τη απόρριψη ή τη μη απόρριψη της H, με κριτήριο έα προκαθοριμέο μέγεθος φάλματος τύπου Ι Το αεκτό επίπεδο φάλματος τύπου Ι που προκαθορίζουμε, υμβολίζεται με α και οομάζεται επίπεδο ηματικότητας (level of gnfcance) του ελέγχου (γιατί από αυτό προκύπτει η τιμή της c που ορίζει α αυτό που παρατηρείται το δείγμα είαι Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ / Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulo) 353

Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω ηματικό-ηματική απόδειξη για α υποτηρίξει τη απόρριψη της H ) Συήθως το επίπεδο ηματικότητας α, ορίζεται ίο με ή 5 Ας ολοκληρώουμε το έλεγχο, το παράδειγμά μας, θέτοτας επίπεδο ηματικότητας α 5 Πρέπει α επιλέξουμε τιμή c τέτοια ώτε: 5 5 ( 5) 5 X c P X c μ P 5 75 5 75 5 ( c 5) P Z 75 5 ( c 5) 5 Φ 75 5 5 ( c 5) 5 ( c 5) 5 Φ 95 5 645 75 z 75 75 c 5 + 645 548 5 Έτι, επιλέγοτας c 54 8 έχουμε x 55 > 54 8 και επομέως απορρίπτουμε τη H με πιθαότητα εφαλμέης απόρριψης το πολύ 5 Ιοδύαμα, α ως τατιτική υάρτηη επιλέξουμε τη ( 5) 5 Z X 75 έχουμε P( Z c) 5 c z 5 645 δηλαδή, ως τιμή της c επιλέγουμε το α 5 άω ποοτιαίο ημείο της τυποποιημέης καοικής καταομής, z 5, και επειδή η τιμή της τατιτικής υάρτηης το δείγμα, z, είαι μεγαλύτερη από τη c z 645, δηλαδή z > z 5 645, απορρίπτουμε τη H με πιθαότητα εφαλμέης απόρριψης το πολύ 5 5 Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ / Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulo) 354

Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω Α η φύη του προβλήματος που εξετάζουμε επιβάλλει μεγαλύτερη «προταία» από φάλμα τύπου Ι, δηλαδή από εφαλμέη απόρριψη της H, τότε πρέπει α είματε πιο «υτηρητικοί» τη απόρριψη της H και αυτό το επιτυγχάουμε καθορίζοτας μικρότερο αεκτό επίπεδο φάλματος τύπου Ι, δηλαδή, μικρότερο επίπεδο ηματικότητας Έτι, το παράδειγμά μας, α επιβάλλεται πιο αυτηρός έλεγχος του ιχυριμού του εργοταίου, κάουμε το έλεγχο ε μικρότερο επίπεδο ηματικότητας, δηλαδή, κάουμε το έλεγχο με μικρότερη αοχή ε εφαλμέη απόρριψη της H, πχ με α Στη περίπτωη αυτή έχουμε: 5 5 ( 5) X c P X c μ P 75 5 75 5 ( c 5) P Z 75 5 ( c 5) Φ 75 5 ( c 5) 5 ( c 5) 5 Φ 99 33 5577 75 z c 75 Έτι, για α είαι c 557 7 και επειδή η x 55 δε είαι μεγαλύτερη από αυτή, ε επίπεδο ηματικότητας α δε απορρίπτουμε τη H Ιοδύαμα, α ως τατιτική υάρτηη επιλέξουμε τη ( 5) 5 Z X 75 έχουμε P( Z c) c z 33 και επειδή η τιμή της τατιτικής υάρτηης το δείγμα, z, δε είαι μεγαλύτερη από τη c z 33, ε επίπεδο ηματικότητας α δε απορρίπτουμε τη H Η ταθερά c οομάζεται κρίιμη τιμή ή όριο απόρριψης (crtcal value, rejecton lmt) γιατί με βάη αυτή κρίεται α μια τιμή της τατιτικής υάρτηης, Τ, είαι ακραία ή όχι Αάλογα, η τατιτική υάρτηη Τ τη οποία επιλέγουμε για α Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ / Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulo) 355

Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω εκφράει «αυτό που παρατηρείται το δείγμα», οομάζεται τατιτική υάρτηη ελέγχου (tet tattc) και οι τιμές της για τις οποίες απορρίπτεται η H ορίζου τη κρίιμη περιοχή ή περιοχή απόρριψης (crtcal regon, rejecton regon) Ότα απορρίπτεται η H, το δείγμα χαρακτηρίζεται τατιτικά ηματικό (tattcally gnfcant) και έχει τη έοια ότι διαφέρει ηματικά από αυτό που ααμεότα από τη H Στο παράδειγμά μας, ε επίπεδο ηματικότητας α 5, η κρίιμη τιμή είαι c 548 ή ιοδύαμα, c z 5 645 Η κρίιμη περιοχή ή περιοχή απόρριψης 75 είαι C { x : x 5 + z 5 548} [548, + ) ή ιοδύαμα, 5 ( x 5) 5 C { z : z z 5 645} [645, + ) 75 και τα ευρήματα το δείγμα ( x 55kg ή ιοδύαμα, z ), ε επίπεδο ηματικότητας α 5, είαι τατιτικά ηματικά Σχόλιο : Επιημαίουμε ότι θέτοτας μικρότερο επίπεδο ηματικότητας, απαιτούμε πιο «ηματικές αποδείξεις» για τη απόρριψη της H και το χαρακτηριμό τω ευρημάτω μας το δείγμα ως τατιτικά ηματικώ Έτι, μπορεί ε κάποιο επίπεδο ηματικότητας α, πχ α 5, α απορρίπτουμε τη H και ε κάποιο μικρότερο, πχ α, α μη τη απορρίπτουμε γιατί απαιτούμε ηματικότερες αποδείξεις Όο πιο μικρό είαι το επίπεδο ηματικότητας το οποίο μπορούμε α απορρίψουμε τη H, τόο πιο ηματική είαι η τιμή της τατιτικής υάρτηης ελέγχου που παρατηρείται το δείγμα, με τη έοια ότι δίει πιο ιχυρές αποδείξεις εατίο της H Άρα, όο πιο μικρό είαι το επίπεδο ηματικότητας το οποίο μπορούμε α απορρίψουμε τη H, τόο πιο ηματικό, τατιτικά, είαι το αποτέλεμα του ελέγχου Τέλος, είαι προφαές, ότι α η H απορρίπτεται ε κάποιο επίπεδο ηματικότητας α, τότε επίης απορρίπτεται ε οποιοδήποτε μεγαλύτερο, εώ α δε απορρίπτεται ε κάποιο επίπεδο ηματικότητας α, τότε επίης δε απορρίπτεται ε οποιοδήποτε μικρότερο Σημείωη : Ας δούμε τι ημαίει «κάω φάλμα τύπου Ι» και με μια άλλη διατύπωη Έτω ότι κάω το έλεγχο ε επίπεδο ηματικότητας α και ότι η μηδεική υπόθεη είαι αληθής Τότε, από όλα τα δείγματα μεγέθους που μπορώ α πάρω από το πληθυμό, ποοτό το πολύ α από αυτά θα δώου τιμή της τατιτικής υάρτηης ελέγχου που απορρίπτει τη μηδεική υπόθεη (ε προκειμέω εφαλμέα) Συοψίζοτας, ο έλεγχος του παραδείγματός μας, με τη διαδικαία που περιγράψαμε, έγιε ε έξι βήματα: ο Βήμα: Ορίαμε τις δύο υποθέεις (ύμφωα με όα ααφέρθηκα): H : μ 5 Kg, H : μ > 5 Kg ο Βήμα: Ορίαμε το επίπεδο ηματικότητας α του ελέγχου: α 5 3 ο Βήμα: Ορίαμε τη τατιτική υάρτηη ελέγχου: τη X ή ιοδύαμα, τη ( 5) 5 Z X 75 Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ / Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulo) 356

Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω 4 ο Βήμα: Επιλέξαμε από το πληθυμό έα τυχαίο δείγμα και υπολογίαμε τη τιμή της τατιτικής υάρτηης ελέγχου: x 55 Kg ή ιοδύαμα, z (μέγεθος δείγματος, 5) 5 ο Βήμα: Ορίαμε τη κρίιμη περιοχή (περιοχή απόρριψης) του ελέγχου: 75 75 C { x : x 5 + z 5} { x : x 5 + 645} [548, + ), 5 5 ή ιοδύαμα, x 5 C { z : z z 5 645} [645, + ) 75 5 6 ο Βήμα: Εξετάαμε α η τιμή της τατιτικής υάρτηης ελέγχου βρίκεται ή όχι τη κρίιμη περιοχή (περιοχή απόρριψης) του ελέγχου και αποφαίαμε με πιθαότητα φάλματος τύπου Ι, α 5, για τη απόρριψη ή όχι της μηδεικής υπόθεης: επειδή x 55 [548, + ) ή ιοδύαμα, επειδή z [645, + ), ε επίπεδο ηματικότητας α 5, απορρίψαμε τη H : μ 5 Kg Προοχή: Στη διατύπωη του αποτελέματος πρέπει οπωδήποτε α ααφέρεται το επίπεδο ηματικότητας του ελέγχου γιατί με βάη αυτό κρίεται α αυτό που παρατηρείται το δείγμα είαι τατιτικά ηματικό ή όχι και κατά υέπεια α η μηδεική υπόθεη απορρίπτεται ή δε απορρίπτεται Επίης, διευκριίζουμε ότι ότα λέμε «περιοχή απόρριψης», πάτοτε εοούμε «περιοχή απόρριψης της H» Στη διατύπωη του αποτελέματος θα ααφερθούμε και τη υέχεια Όπως, ήδη, έχουμε ααφέρει, με αυτό το τρόπο που εργαθήκαμε, πετύχαμε α θέουμε υπό το έλεγχό μας το φάλμα τύπου Ι, δηλαδή, α αποφαίουμε με γωτή-προκαθοριμέη πιθαότητα εφαλμέης απόρριψης της H Έας παρεμφερής τρόπος χειριμού του φάλματος τύπου Ι είαι ο ακόλουθος ος τρόπος: Υπολογίζουμε τη P-Τιμή του δείγματος Με δεδομέο ότι η H : μ 5 Kg είαι αληθής, υπολογίζουμε τη πιθαότητα α εμφαιθεί η τιμή x 55 Kg που εμφαίθηκε το δείγμα ή κάποια μεγαλύτερή της (δηλαδή, προς τη κατεύθυη της H ) Ζητάμε τη πιθαότητα P( X 55 / H ) ή P ( X 55 / μ 5) και επειδή γωρίζουμε τη καταομή της X έχουμε X 5 55 5 P( X 55 μ 5) P( ) 75 5 75 5 P ( Z ) Φ() 7 Αυτή η πιθαότητα οομάζεται P-Τιμή (P-Value) του δείγματος ή κρίιμο επίπεδο (crtcal level) και είαι η πιθαότητα α εμφαιθεί η τιμή της τατιτικής υάρτηης ελέγχου που εμφαίθηκε (το παράδειγμά μας, x 55 Kg ή z ) ή κάποια πιο μακριά (πιο ακραία), προς τη κατεύθυη της H, δεδομέου ότι η Η ο είαι αληθής Έτι, υπολογίζοτας τη P-τιμή του δείγματος, γωρίζουμε πόο πιθαή ήτα η εμφάιη του δείγματος που πήραμε με τη υπόθεη ότι η H είαι αληθής Επομέως, όο πιο μικρή είαι η P-Τιμή τόο ιχυρότερες εδείξεις εατίο της H προκύπτου από το υγκεκριμέο τυχαίο δείγμα ή αλλιώς τόο πιο Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ / Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulo) 357

Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω ηματική είαι η τιμή της τατιτικής υάρτηης ελέγχου που δίει το δείγμα Στο παράδειγμά μας, υπολογίαμε ότι η P-Τιμή του δείγματος που πήραμε, είαι ίη με 7 ή 7% Eπομέως, α κάουμε το έλεγχο ε επίπεδο ηματικότητας α %, δηλαδή, α θέλουμε πιο «ηματικές αποδείξεις» εατίο της H από αυτές που παρατηρούται το δείγμα, τότε δε τη απορρίπτουμε, εώ α κάουμε το έλεγχο ε επίπεδο ηματικότητας α 5 5% τότε τη απορρίπτουμε (γιατί τη περίπτωη αυτή, απαιτούμε λιγότερο «ηματικές αποδείξεις» εατίο της H ) Στο επόμεο χήμα έχουμε μεγεθύει τη δεξιά ουρά της καταομής της Z και φαίοται ευκριώς οι περιοχές που ατιτοιχού το α 5, τη P τιμ ή 7 και το α Έτι, υπολογίζοτας τη P-Τιμή, μπορούμε άμεα α τη υγκρίουμε με οποιοδήποτε α και α επιλέξουμε και α αποφαίουμε για τη απόρριψη ή όχι της H Βέβαια, ο καόας απόφαης διαμορφώεται πλέο ως εξής: α α P-Τιμή, τότε ε επίπεδο ηματικότητας α, η H απορρίπτεται α α < P-Τιμή, τότε ε επίπεδο ηματικότηταςα, η H δε απορρίπτεται Συοψίζοτας, από τα παραπάω είαι προφαές, ότι H P-τιμή μπορεί α οριθεί και ως εξής: P-Τιμή είαι η ελάχιτη τιμή του επιπέδου ηματικότητας για τη οποία απορρίπτεται η Η ο H P-τιμή είαι έα μέτρο το οποίο εκφράζει πόο ιχυρές είαι οι αποδείξεις που προκύπτου από το δείγμα εατίο της Η ο Σημείωη : Στη βιβλιογραφία, για τη P-Τιμή, χρηιμοποιείται και ο όρος παρατηρούμεο επίπεδο ηματικότητας (oberved gnfcance level) Το ααφέρουμε, όμως δε το υιτούμε Θυμηθείτε ότι μικρότερο α ημαίει ότι απαιτούται πιο ηματικές αποδείξεις εατίο της H Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ / Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulo) 358

Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω Στα προηγούμεα προπαθήαμε, με έα παράδειγμα, α περιγράψουμε, α εφαρμόουμε και κυρίως α ααδείξουμε το όημα και τη λογική της γεικής διαδικαίας τατιτικού ελέγχου υποθέεω Βέβαια, το παράδειγμα που χρηιμοποιήαμε, ο έλεγχος είαι έας μοόπλευρος, δεξιόπλευρος έλεγχος για τη μέη τιμή μ, εός πληθυμού του οποίου γωρίζουμε τη διακύμαη, και το τυχαίο δείγμα που χρηιμοποιήαμε είαι αρκετά μεγάλο ώτε η προέγγιη που παίρουμε από το ΚΟΘ για τη καταομή της τατιτικής υάρτηης ελέγχου α είαι ικαοποιητική Δηλαδή, είαι μια ειδική-υγκεκριμέη περίπτωη ελέγχου για τη μέη τιμή εός πληθυμού Όμως, η μέθοδος που ααλύαμε είαι γεική Δε αλλάζει α ατί μοόπλευρος ο έλεγχος είαι αμφίπλευρος ή ατί τη μέη τιμή μ, αφορά τη διακύμαη εός πληθυμού, ή α το δείγμα είαι αρκετά μεγάλο ή όχι, ή ατί τη μέη τιμή εός πληθυμού αφορά τη διαφορά μ μ τω μέω τιμώ μ, μ δύο πληθυμώ, κοκ Οι διάφορες περιπτώεις τατιτικώ ελέγχω διαφοροποιούται, ή τη επιλογή τατιτικής υάρτηης ελέγχου ή/και τη μορφή της περιοχής απόρριψης ([ c, + ) ή (-, c] ή, c ] [ c, + ) ) ( Στη υέχεια δίουμε τη τατιτική υάρτηη ελέγχου και τη περιοχή απόρριψης για διάφορες περιπτώεις που μπορεί α εμφαιθού το τατιτικό έλεγχο της μέης τιμής μ, εός πληθυμού Στατιτικός έλεγχος υποθέεω για τη μέη τιμή εός πληθυμού Θα ααφερθούμε το έλεγχο της υπόθεης, H : μ μ, δηλαδή, της υπόθεης ότι η άγωτη μέη τιμή μ, εός πληθυμού έχει τιμή μ Ειδικότερα, θα δώουμε τη τατιτική υάρτηη ελέγχου τις ακόλουθες περιπτώεις που όπως είδαμε το Α Μέρος (και το ο Κεφάλαιο), γωρίζουμε επακριβώς ή μπορούμε α προεγγίουμε τη καταομή του δειγματικού μέου X Ο πληθυμός είαι καοικός και η διακύμαή του είαι γωτή Ο πληθυμός είαι καοικός και η διακύμαή του είαι άγωτη Το μέγεθος του δείγματος είαι μεγάλο και η διακύμαη του πληθυμού είαι γωτή Το μέγεθος του δείγματος είαι μεγάλο και η διακύμαη του πληθυμού είαι άγωτη Ο πληθυμός είαι καοικός και η διακύμαή του είαι γωτή Έτω τυχαίο δείγμα X, X, K, X από έα καοικό πληθυμό με γωτή διακύμαη και μέη τιμή μ μ (ελεγχόμεη) Επειδή, X ~ N( μ, ),,,,, η καταομή του δειγματικού μέου X + X + + X X είαι, όπως είδαμε τ ο Α Μέρος, καοική (αεξαρτήτως μεγέθους του δείγματος) ( X μ X ~ N( μ, ) και επομέως ) Z ~ N(, ) Επειδή η διακύμαη του πληθυμού είαι γωτή, τη υάρτηη ( μ ) Z X Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ / Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulo) 359

Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω δε υπάρχου άγωτοι παράμετροι και επομέως η τιμή της μπορεί α υπολογιθεί από το δείγμα Έτι, εργαζόμεοι όπως το παράδειγμά μας, α x η τιμή της X για υγκεκριμέη πραγματοποίηη του δείγματος, ε επίπεδο ηματικότητας α, απορρίπτουμε τη H : μ μ έατι της H : μ > μ, ότα x μ + zα, ή ιοδύαμα, ότα ( x μ ) z z α έατι της H : μ < μ, ότα x μ zα, ή ιοδύαμα, ότα ( x μ ) z z α έατι της H : μ μ, ότα x μ zα ή x μ + zα ή ιοδύαμα, ότα ( x μ ) z zα Η υπόθεη που κάαμε ότι η διακύμαη του πληθυμού είαι γωτή, δε είαι μια ιδιαίτερα ρεαλιτική υπόθεη Στη πράξη, η διακύμαη του πληθυμού υήθως είαι άγωτη Ας δούμε πώς εργαζόματε τη περίπτωη αυτή Ο πληθυμός είαι καοικός και η διακύμαή του είαι άγωτη Έτω τυχαίο δείγμα X, X, K, X από έα πληθυμό που ακολουθεί καοική καταομή με άγωτη διακύμαη και μέη τιμή μ μ (ελεγχόμεη), δηλαδή, X ~ N( μ, ),,,, Επειδή η διακύμαη του πληθυμού είαι άγωτη, δε μπορούμε ως τατιτική υάρτηη ελέγχου α χρηιμοποιήουμε τη ( μ ) Z X γιατί δε μπορούμε α υπολογίουμε τη τιμή της Γι αυτό, εκτιμάμε τη άγωτη διακύμαη από τη (αμερόληπτη) δειγματική διακύμαη Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ / Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulo) 36

Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω ( X X ) και ως τατιτική υάρτηη ελέγχου χρηιμοποιούμε τη ( X μ ) T η οποία είαι γωτό ( ο Κεφάλαιο) ότι ότα ~ N( μ, ),,,,, και X αεξαρτήτως του μεγέθους του δείγματος, ακολουθεί τη καταομή t (τη t- καταομή με βαθμούς ελευθερίας) Δηλαδή ( X μ ) T ~ t Είαι επομέως λογικό, τη περίπτωη που εξετάζουμε, οι περιοχές απόρριψης α ορίζοται με βάη το άω α ή το άω α ποοτιαίο ημείο της καταομής t ( t ; α και t ; α ατίτοιχα) Έτι, ε επίπεδο ηματικότητας α, απορρίπτουμε τη H : μ μ, έατι της H : μ > μ, ότα x μ + t ; α ή ιοδύαμα, ότα μ t t ( x ) ; α έατι της H : μ < μ, ότα x μ t ; α ή ιοδύαμα, ότα ( x μ ) t t ; α έατι της H : μ μ, ότα x μ t ; α ή x μ + t ; α ή ιοδύαμα, ότα t ( x μ ) t ; α Σημείωη : Όπως ημειώαμε τη εότητα «Στατιτικές Συαρτήεις και Δειγματοληπτικές Καταομές», η καταομή t είαι γωτή και ως καταομή tudent (tudent dtrbuton) Επίης, οι χετικοί έλεγχοι τατιτικώ υποθέεω οομάζοται Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ / Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulo) 36

Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω t-tet Σημειώουμε επίης, ότι παρότι το t-tet προϋποθέτει α είαι καοικός ο πληθυμός του οποίου ελέγχουμε τη μέη τιμή και από το οποίο παίρουμε το δείγμα, ετούτοις, τη πράξη αποδεικύεται «αθεκτικό» ε αυτή τη υπόθεη Δηλαδή, το επίπεδο ηματικότητας του ελέγχου είαι κοτά το α ακόμη και α η υπόθεη της καοικότητας του πληθυμού δε ικαοποιείται Φυικά, αυτό δε υμβαίει α η καταομή του πληθυμού απέχει δραματικά από τη καοική καταομή (οβαρή αυμμετρία, πολυκόρυφη κτλ) και το μέγεθος του δείγματος είαι πολύ μικρό 3 Το μέγεθος του δείγματος είαι μεγάλο και η διακύμαη του πληθυμού είαι γωτή Έτω τυχαίο δείγμα X, X, K, X από οποιαδήποτε καταομή (όχι κατ αάγκη καοική), με γωτή διακύμαη και μέη τιμή μ μ (ελεγχόμεη) Από τη θεωρία πιθαοτήτω (ΚΟΘ) γωρίζουμε ότι για μεγάλο μέγεθος δείγματος (ε γέει, 3 ), κατά προέγγιη έχουμε ( X μ ) X ~ N( μ, ) και Z ~ N(,) Επομέως, τη περίπτωη αυτή, ιχύει ό,τι έχουμε ααφέρει τη Παράγραφο Βέβαια, οι ατίτοιχοι έλεγχοι πλέο είαι κατά προέγγιη επιπέδου ηματικότητας α, αφού η καταομή της υάρτηης ελέγχου X ή Z ( X μ ) δε είαι τη περίπτωη αυτή καοική αλλά προεγγίζεται από τη καοική Αφαλώς, όο μεγαλύτερο είαι το μέγεθος του δείγματος, τόο καλύτερη είαι η προέγγιη 4 Το μέγεθος του δείγματος είαι μεγάλο και η διακύμαη του πληθυμού είαι άγωτη Έτω τυχαίο δείγμα X, X, K, X από οποιαδήποτε καταομή (όχι κατ αάγκη καοική), με άγωτη διακύμαη και μέη τιμή μ μ (ελεγχόμεη) Α το μέγεθος του δείγματος είαι μεγάλο (ε γέει, 3 ), όπως είδαμε το ο Κεφάλαιο, η τατιτική υάρτηη ( X μ ) T προεγγίζεται ικαοποιητικά από τη Z ~ N(, ) Δηλαδή, ( X μ ) T Z ~ N(,) Επομέως, ε επίπεδο ηματικότητας α, απορρίπτουμε τη H : μ μ, έατι της H : μ > μ, ότα ( x μ ) x μ + zα, ή ιοδύαμα, ότα z zα έατι της H : μ < μ, ότα ( x μ x μ zα, ή ιοδύαμα, ότα z ) zα έατι της H : μ μ, ότα x μ zα ή x μ + zα Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ / Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulo) 36

Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω ( x μ ) ή ιοδύαμα, ότα z zα Σημείωη : Επειδή τη περίπτωη αυτή, η καταομή της ( X μ ) δε είαι η N (, ), αλλά προεγγίζεται από τη N (, ), οι έλεγχοι είαι επιπέδου ηματικότητας α κατά προέγγιη Φυικά, όο μεγαλύτερο είαι το δείγμα, τόο καλύτερη είαι η προέγγιη Ερώτηη: Α ο πληθυμός είαι καοικός με άγωτη διαπορά και το μέγεθος του δείγματος είαι μεγάλο, τότε προφαώς εφαρμόζεται ο έλεγχος της Παραγράφου αλλά και της Παραγράφου 4 Τι λέτε, τίθεται δίλημμα επιλογής ελέγχου 3 ; Για διευκόλυή μας, ας υοψίουμε τις προηγούμεες περιπτώεις ε έα πίακα Περιοχή απόρριψης της H : μ μ Στατιτικοί Έλεγχοι Υποθέεω για τη μέη τιμή, μ, εός πληθυμού με έα τυχαίο δείγμα μεγέθους (ε επίπεδο ηματικότητας α) H : μ μ H : μ > μ H : μ < μ Προϋποθέεις Z Z X μ zα α Z zα X μ Z X μ z X μ z Z z α α Z zα X μ X μ T t T t, α, α X μ X μ X μ T t n??? Πίακας, α Η διακύμαη είαι γωτή και ο πληθυμός είαι καοικός ή Η διακύμαη είαι γωτή και το μεγάλο Η διακύμαη είαι άγωτη και το n μεγάλο (οτιδήποτε πληθυμός) Η διακύμαη, άγωτη και ο πληθυμός είαι καοικός (οτιδήποτε ) Το είαι μικρό, ο πληθυμός όχι καοικός και η διακύμαη γωτή ή άγωτη Ας δούμε τώρα μερικές ακήεις και προβλήματα Θα μας βοηθήου α εξοικειωθούμε τη διάκριη τω παραπάω περιπτώεω, που ίως φατάζου λαβύριθος Όμως, δε είαι! Παράδειγμα : Στη βιβλιογραφία ααφέρεται ότι η μέη ετήια παραγωγή γάλακτος μιας υγκεκριμέης φυλής αγελάδω είαι 4Kg (αά αγελάδα) Έας ερευητής θέλει α ελέγξει α τις κτηοτροφικές μοάδες της Μακεδοίας και της Θράκης οι αγελάδες της υγκεκριμέης φυλής έχου τη μέη ετήια απόδοη που ααφέρεται τη βιβλιογραφία Για το κοπό αυτό και με βάη έα χέδιο τυχαίας δειγματοληψίας, επέλεξε 4 αγελάδες της υγκεκριμέης φυλής από μοάδες της Μακεδοίας και της Θράκης και κατέγραφε κάθε μέρα, επί έα έτος, τη παραγωγή γάλακτος κάθε μιας αγελάδας Η μέη ετήια παραγωγή τω 4 αγελάδω, βρέθηκε 39Kg με τυπική απόκλιη 5Kg Απάτηη: Θα κάουμε κατάλληλο τατιτικό έλεγχο για α ελέγξουμε, ε επίπεδο ηματικότητας α 5, α αυτό που παρατηρήθηκε το δείγμα υποτηρίζει ότι η 3 Θυμηθείτε ότι για μεγάλα n ιχύει: t ; α zα Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ / Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulo) 363

Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω μέη ετήια απόδοη τω αγελάδω της υγκεκριμέης φυλής τη Μακεδοία και τη Θράκη διαφέρει από τη μέη ετήια απόδοη που ααφέρεται τη βιβλιογραφία Ο πληθυμός του οποίου θα ελέγξουμε τη μέη τιμή είαι η καταομή τω ετήιω αποδόεω γάλακτος όλω τω αγελάδω της υγκεκριμέης φυλής που εκτρέφοται τη Μακεδοία και τη Θράκη Ας υμβολίουμε με Χ τη ετήια παραγωγή γάλακτος ε Kg μιας οποιαδήποτε αγελάδας της υγκεκριμέης φυλής τη Μακεδοία και τη Θράκη και με X, X, X 4 τις ετήιες αποδόεις 4 αγελάδω τυχαία επιλεγμέω Στο υγκεκριμέο δείγμα που πήρε ο ερευητής, οι τιμές του δείγματος, x, x, x4, έδωα x 39kg με 5kg Ως μηδεική υπόθεη θέτουμε αυτή που αμφιβητείται από το ερευητή (γι αυτό τη ελέγχει) δηλαδή τη H : μ 4 Kg Ως εαλλακτική θέτουμε τη H : μ 4 Kg γιατί ο ερευητής θέλει α ελέγξει πιθαή διαφοροποίηη της μέης απόδοης και όχι διαφοροποίηή της προς κάποια κατεύθυη (αύξηη ή μείωη) Ως τατιτική υάρτηη ελέγχου θα χρηιμοποιήουμε τη X μ ) ( γιατί η διακύμαη του πληθυμού είαι άγωτη και το μέγεθος του δείγματος είαι 4 > 3 (περίπτωη της Παραγράφου 4) Επειδή ο έλεγχος είαι αμφίπλευρος, ε επίπεδο ηματικότητας α 5, η περιοχή απόρριψης είαι z z 5 ή z z 5 ή z 96 z 96 ή z 96 Υπολογίζουμε τη τιμή της τατιτικής υάρτηης ελέγχου το δείγμα Έχουμε ( x μ ) (39 4) 4 z 8 5 Ελέγχουμε α η τιμή της τατιτικής υάρτηης ελέγχου που βρήκαμε βρίκεται τη περιοχή απόρριψης Πράγματι, επειδή z 8 96, η τιμή της τατιτικής υάρτηης ελέγχου βρίκεται τη περιοχή απόρριψης και επομέως ε επίπεδο ηματικότητας α 5 απορρίπτουμε τη μηδεική υπόθεη Συμπέραμα: Σε επίπεδο ηματικότητας α 5, το δείγμα δίει τατιτικά ηματικές αποδείξεις ότι η μέη ετήια απόδοη τω αγελάδω της υγκεκριμέης φυλής τη Μακεδοία και τη Θράκη διαφέρει από τη μέη ετήια απόδοη που ααφέρεται τη βιβλιογραφία, ή αλλιώς, το δείγμα δίει τατιτικά ηματικές αποδείξεις ότι η μέη ετήια απόδοη τω αγελάδω της υγκεκριμέης φυλής τη Μακεδοία και τη Θράκη διαφέρει από τη μέη ετήια απόδοη που ααφέρεται τη βιβλιογραφία Η πιθαότητα το υμπέραμα αυτό α είαι λάθος είαι το πολύ 5 Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ / Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulo) 364

Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω Παρατήρηη : Α ο ερευητής έχει υπόοιες ότι η μέη ετήια παραγωγή γάλακτος τω αγελάδω της υγκεκριμέης φυλής τη Μακεδοία και τη Θράκη, είαι μικρότερη από τη ααφερόμεη τη βιβλιογραφία, τότε πρόκειται για άλλο πρόβλημα, για άλλο ερευητικό ερώτημα Στη περίπτωη αυτή πρέπει α γίει ο έλεγχος της H : μ 4 Kg έατι της H : μ < 4 Kg Τι λέτε, είαι απαραίτητο α κάουμε αυτό το έλεγχο ή μήπως μπορούμε α υμπεράουμε το αποτέλεμά του από το αποτέλεμα του αμφίπλευρου ελέγχου που ήδη κάαμε; Παρατήρηη : Α κάουμε το έλεγχο ε επίπεδο ηματικότητας α, η περιοχή απόρριψης είαι z z ή z z 5 ή z 58, δηλαδή, z 58 ή z 58 Η τιμή z 8 της υάρτηης ελέγχου, φυικά δε αλλάζει και επειδή τώρα δε βρίκεται τη περιοχή απόρριψης, η μηδεική υπόθεη ε επίπεδο ηματικότητας α δε απορρίπτεται Δηλαδή, η διαφορά τω 9Kg (μεταξύ δειγματικού μέου x 39kg και μηδεικής υπόθεης μ 4 Kg) τώρα δε κρίεται ως τατιτικά ηματική Αυτό, φυικά δε είαι παράδοξο αφού θέτοτας α απαιτούμε πλέο πιο ιχυρές αποδείξεις εατίο της μηδεικής υπόθεης Άραγε, ε επίπεδο ηματικότητας α ή α 3 είαι τατιτικά ηματική αυτή η παρατηρούμεη διαφορά; Για α απατήουμε, μπορούμε φυικά α υγκρίουμε τη τιμή της τατιτικής υάρτηης ελέγχου με τη ατίτοιχη, για κάθε περίπτωη, κρίιμη τιμή Μπορούμε όμως α κάουμε κάτι καλύτερο και α δώουμε μια πληρέτερη απάτηη Να υπολογίουμε τη P-τιμή του δείγματος, δηλαδή, το ελάχιτο επίπεδο ηματικότητας για το οποίο απορρίπτεται η μηδεική υπόθεη ή αλλιώς, α υπολογίουμε πόο ηματική ( επιτέλους) είαι αυτή η τιμή που εμφαίθηκε το υγκεκριμέο τυχαίο δείγμα Έχουμε P τιμ ή P( Z 8) P( Z 8) + P( Z 8) 6 Έτι, ε επίπεδο ηματικότητας α και α δε απορρίπτουμε τη μηδεική υπόθεη εώ ε επίπεδο ηματικότητας α 3 τη απορρίπτουμε Παράδειγμα : Από έα καοικό πληθυμό πήραμε έα τυχαίο δείγμα μεγέθους 9, με x 6 μοάδες και μοάδες Ας κάουμε, ε επίπεδο ηματικότητας α 5, το έλεγχο της μηδεικής υπόθεης H : μ 65 έατι της εαλλακτικής H : μ 65 Απάτηη: Προφαώς, κατάλληλο είαι το t-tet (περίπτωη της Παραγράφου ) Ο έλεγχος είαι αμφίπλευρος και επομέως, ε επίπεδο ηματικότητας α 5, η περιοχή απόρριψης είαι t t8;5 t 36 t 36 ή t 36 Επειδή (6 65) 9 t 5 η τιμή της τατιτικής υάρτηης ελέγχου δε βρίκεται τη περιοχή απόρριψης και επομέως, ε επίπεδο ηματικότητας α 5, δε απορρίπτουμε τη μηδεική υπόθεη Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ / Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulo) 365

Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω Παρατήρηη 3: Μη απορρίπτοτας τη H : μ 65, αποδείξαμε άραγε ότι είαι αληθής; Δηλαδή, αποδεχόματε ότι η μέη τιμή μ του πληθυμού είαι ίη με 65 και είματε βέβαιοι γι αυτό; Η απάτηη είαι όχι! Δε αποδείξαμε ότι μ 65 Απλώς αποτύχαμε α απορρίψουμε τη H : μ 65 Γι αυτό, το υμπέραμα δε γράψαμε ότι αποδεχόματε τη μηδεική υπόθεη αλλά ότι δε τη απορρίπτουμε Για α γίει αυτό καταοητό, ας κάουμε ε επίπεδο ηματικότητας α 5, το έλεγχο της H : μ 55 έατι της H : μ 55 Η τιμή της τατιτικής υάρτηης ελέγχου είαι (6 55) 9 t 5 Η περιοχή απόρριψης είαι όπως και προηγουμέως, t 36 ή t 36 και επομέως η μηδεική υπόθεη H : μ 55, ε επίπεδο ηματικότητας α 5, επίης δε απορρίπτεται Δηλαδή, ε επίπεδο ηματικότητας α 5, τόο η H : μ 65 όο και η H : μ 55 δε απορρίπτοται Επομέως, α γράψουμε ότι αποδεχόματε τη μηδεική, τι αποδεχόματε; Ότι η μέη τιμή είαι 65 ή ότι είαι 55; Η απάτηη είαι η εξής: όπως έχουμε ααφέρει, ότα ε έα τατιτικό έλεγχο απορρίπτουμε τη μηδεική υπόθεη όπως και ότα δε τη απορρίπτουμε, δε είματε βέβαιοι για το υμπέραμά μας Είαι πιθαό α κάουμε φάλμα τύπου Ι ή φάλμα τύπου ΙΙ, ατίτοιχα Τη πιθαότητα φάλματος τύπου Ι, δηλαδή, τη πιθαότητα α κάουμε φάλμα ότα απορρίπτουμε τη μηδεική τη γωρίζουμε Είαι το πολύ α και τη δηλώουμε Ότα δε απορρίπτουμε τη μηδεική δε είαι ωτό το υμπέραμά μας α γράψουμε ότι «αποδεχόματε τη μηδεική υπόθεη» χωρίς α έχουμε υπολογίει και α δηλώουμε τη πιθαότητα αυτό το υμπέραμα α είαι λάθος, δηλαδή, χωρίς α έχουμε υπολογίει τη πιθαότητα φάλματος τύπου ΙΙ Και αυτό γιατί αποδοχή ημαίει απόδειξη-βεβαιότητα κάτι το οποίο δε υμβαίει αφού υπάρχει πιθαότητα το υμπέραμά μας αυτό α είαι λάθος Επειδή, όπως θα δούμε τη υέχεια, ο υπολογιμός της πιθαότητας φάλματος τύπου ΙΙ επακριβώς, υήθως, δε είαι εφικτός (γιατί είαι υάρτηη της πραγματικής τιμής της παραμέτρου που ελέγχουμε), ότα η μηδεική υπόθεη, ε επίπεδο ηματικότητας α, δε απορρίπτεται, το υμπέραμα πρέπει α γράφουμε «η μηδεική υπόθεη, ε επίπεδο ηματικότητας α, δε απορρίπτεται» ή ακριβέτερα, «ε επίπεδο ηματικότητας α, αποτύχαμε α απορρίψουμε τη μηδεική υπόθεη» και α αποφεύγουμε α γράφουμε «ε επίπεδο Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ / Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulo) 366

Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω ηματικότητας α αποδεχόματε τη μηδεική υπόθεη» Συμπληρωματικά με το αποτέλεμα του ελέγχου, και προκειμέου α έχουμε μια εκτίμηη της άγωτης μέης τιμής που ελέγχουμε, μπορούμε α υπολογίουμε έα ( α)% διάτημα εμπιτούης Στη περίπτωη που εξετάζουμε, έα 95% διάτημα εμπιτούης για τη άγωτη μέη τιμή μ του πληθυμού είαι x ± t ; α ή 6 ± t8; 5 ή 6 ± 9 4 ή [5776, 694] 9 Δηλαδή, με βάη αυτό που παρατηρείται το δείγμα, η μηδεική υπόθεη H : μ 65 (ή η μηδεική υπόθεη H : μ 55) ε επίπεδο ηματικότητας 5% δε απορρίπτεται και το διάτημα [5776, 694], με πιθαότητα 95% περιέχει τη άγωτη μέη τιμή μ, του πληθυμού Παρατηρείτε ότι τόο η τιμή 55 όο και η τιμή 65 βρίκοται ετός του 95% διατήματος εμπιτούης Ερώτηη: Τι λέτε, χετίζεται το διάτημα εμπιτούης με τη περιοχή μη απόρριψης της μηδεικής υπόθεης; Σχόλιο (για το όημα της μη απόρριψης της μηδεικής υπόθεης): Κάτι αάλογο με τη διαδικαία ελέγχου τατιτικώ υποθέεω που περιγράψαμε, υμβαίει και τη διαδικαία λήψης δικατικώ αποφάεω Ότα έας πολίτης οδηγείται ε δίκη, αυτό υμβαίει γιατί αμφιβητείται η αθωότητά του Οι δικατές θέτου ως μηδεική υπόθεη ότι ο κατηγορούμεος πολίτης είαι αθώος 4 (δηλαδή, αυτή που αμφιβητείται) και ως εαλλακτική ότι είαι έοχος Η δικατική διαδικαία κοπό έχει α διαπιτώει α υπάρχου ηματικά αποδεικτικά τοιχεία εατίο της αθωότητας του κατηγορουμέου, δηλαδή, εατίο της μηδεικής υπόθεης Α δε προκύψου τέτοια τοιχεία η μηδεική υπόθεη δε απορρίπτεται και ο κατηγορούμεος απαλλάεται τω κατηγοριώ Αυτό δε ημαίει ότι, κατ αάγκη, αποδείχθηκε η αθωότητά του Σημαίει ότι δε βρέθηκα ηματικά τοιχεία εατίο της αθωότητάς του Παράδειγμα 3: Από έα πληθυμό με άγωτη διακύμαη, πήραμε έα τυχαίο δείγμα μεγέθους 36 Από παλαιότερες έρευες είαι γωτό ότι η μέη τιμή του πληθυμού είαι μ 83, όμως υπάρχου υπόοιες ότι έχει αλλάξει Το δείγμα που πήραμε έδωε x 86 και α) Να γίει ε επίπεδο ηματικότητας α 5 κατάλληλος τατιτικός έλεγχος για τη μέη τιμή του πληθυμού β) Α αλλαγή της μέης τιμής ημαίει μόο αύξηη, αλλάζει κάτι το έλεγχο που πρέπει α κάουμε; Στο υμπέραμα; Απάτηη: α) Με βάη όα έχουμε ααφέρει για το καθοριμό τω δύο υποθέεω, πρέπει α κάουμε το έλεγχο της H : μ 83 έατι της H : μ 83 Παρότι δε γωρίζουμε α ο πληθυμός είαι καοικός ούτε και τη διακύμαη του, επειδή το μέγεθος του δείγματος είαι μεγάλο, ε επίπεδο ηματικότητας α 5, η περιοχή απόρριψης του ελέγχου είαι αυτή της Παραγράφου 4, ( x μ ) z z5 δηλαδή, z 96 ή z 96 4 Έτι προβλέπεται από το δικαιακό μας ύτημα ( ακόμη): «ο κατηγορούμεος είαι αθώος μέχρι αποδείξεως του εατίου» Ας ελπίουμε ότι δε θα επιτρέψουμε ε μεθόδους ιεράς εξέταης όπου ο κατηγορούμεος έπρεπε α αποδείξει τη αθωότητά του Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ / Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulo) 367

Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω Η τιμή της τατιτικής υάρτηης ελέγχου είαι (86 83) 36 z 9 και επειδή προφαώς δε αήκει τη περιοχή απόρριψης, ε επίπεδο ηματικότητας α 5, η μηδεική υπόθεη δε απορρίπτεται Δηλαδή, αυτό που παρατηρείται το δείγμα, ε επίπεδο ηματικότητας α 5, δε δίει τατιτικά ηματικές αποδείξεις ότι έχει αλλάξει η μέη τιμή β) Είαι προφαές, ότι τη περίπτωη αυτή, ε επίπεδο ηματικότητας α 5, πρέπει α κάουμε το έλεγχο της ίδιας μηδεικής υπόθεης H : μ 83 έατι όμως της εαλλακτικής H : μ > 83 Επειδή τώρα πρόκειται για μοόπλευρο-δεξιόπλευρο έλεγχο, η περιοχή απόρριψης είαι z z5 ή z 645 και επειδή για τη τιμή της τατιτικής υάρτηης ελέγχου έχουμε z 9 645, η μηδεική υπόθεη, ε επίπεδο ηματικότητας α 5, απορρίπτεται Δηλαδή, αυτό που παρατηρείται το δείγμα, ε επίπεδο ηματικότητας α 5, δίει τατιτικά ηματικές αποδείξεις ότι η μέη τιμή έχει αυξηθεί! Ερώτηη: Μπορείτε α εξηγήετε, με βάη τη λογική της διαδικαίας ελέγχου, γιατί τα αποτελέματα τω δύο ελέγχω που κάαμε τα (α) και (β) δε είαι ατιφατικά 5 Παράδειγμα 4: Τα βιομηχαικά απόβλητα που ρίχοται τα ποτάμια, απορροφού το διαλυμέο το ερό οξυγόο, με υέπεια αυτό α μειώεται και ότα η μέη τιμή του δε υπερβαίει τα 5ppm, α δημιουργείται οβαρό πρόβλημα επιβίωης τω υδρόβιω οργαιμώ Tο πρόβλημα αυτό είχε διαπιτωθεί, πρι από αρκετά χρόια, και το ποταμό Καλαμά Για τη ατιμετώπιή του εφαρμόθηκε ειδικό πρόγραμμα αποκατάταης και προταίας του ποταμού Έας φοιτητής, το πλαίιο της πτυχιακής του εργαίας που είχε κοπό α διερευήει α απέδωα τα μέτρα προταίας, έπρεπε μεταξύ άλλω δεικτώ, α μελετήει τη ποότητα διαλυμέου οξυγόου τα ερά του ποταμού Για το κοπό αυτό, πήρε με βάη κατάλληλο χέδιο τυχαίας δειγματοληψίας, μετρήεις από ημεία της κοίτης του ποταμού Οι μετρήεις έδωα τις εξής τιμές διαλυμέου οξυγόου (ε ppm): 5, 5, 5, 5, 49, 53, 5, 5, 5, 5 Με βάη αυτά τα δεδομέα, μπορεί ο φοιτητής α υμπεράει ότι το ποταμό Καλαμά η μέη ποότητα διαλυμέου οξυγόου είαι πλέο μεγαλύτερη από 5ppm; Απάτηη: Ο φοιτητής μελετάει τη ποότητα Χ διαλυμέου οξυγόου τα ερά του ποταμού Καλαμά με βάη έα τυχαίο δείγμα X, X, X, μετρήεω Α μ είαι η άγωτη μέη τιμή της τυχαίας μεταβλητής Χ, πρέπει α κάει κατάλληλο τατιτικό έλεγχο για α ελέγξει α οι τιμές x, x, x που έδωε το υγκεκριμέο δείγμα που πήρε, υποτηρίζου τη απόρριψη της μηδεικής υπόθεης H : μ 5ppm ή, πιο ωτά, της H : μ 5ppm, υπέρ της εαλλακτικής H : μ 5 ppm > 6 5 Σκεφθείτε ότι παρότι τόο ο αμφίπλευρος όο και ο δεξιόπλευρος έλεγχος έγια το ίδιο επίπεδο ηματικότητας, ετούτοις το δεξιόπλευρο είματε πιο αεκτικοί ε φάλμα λαθαμέης απόρριψης της μηδεικής 6 Σημειώτε ότι η περιοχή απόρριψης της μηδεικής δε αλλάζει α ατί της H : 5 ppm μ θεωρήουμε τη H : μ 5ppm Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ / Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulo) 368

Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω Η καταομή του πληθυμού 7 δε μας είαι γωτή Επίης, η διακύμαη του δε μας είαι γωτή και το μέγεθος του δείγματος είαι μικρό ( < 3 ) Αυτή η περίπτωη δε ετάεται ε καμία από τις περιπτώεις που μελετήαμε προηγουμέως Α το μέγεθος του δείγματος ήτα μεγάλο, ως περιοχή απόρριψης θα μπορούαμε α πάρουμε τη ατίτοιχη, για το έλεγχο που κάουμε, της Παραγράφου 4 Όμως δε είαι Επίης, α γωρίζαμε ότι ο πληθυμός είαι καοικός, θα εφαρμόζαμε το t-tet (Παράγραφος ) Τι κάουμε επομέως; Με βάη όα μέχρι τώρα γωρίζουμε, έα δρόμο έχουμε 8 Να αατρέξουμε τη βιβλιογραφία και α ααζητήουμε, από αάλογες έρευες, πληροφορίες για τη καταομή της ποότητας διαλυμέου οξυγόου τα ερά ποταμώ με υθήκες αάλογες του Καλαμά Τέτοιες έρευες πράγματι βρέθηκα και από αυτές προκύπτει ότι η καταομή διαλυμέου οξυγόου προομοιάζει με τη καοική και ε κάθε περίπτωη δε παρουιάζει οβαρές αυμμετρίες Με βάη αυτή τη πληροφορία και δεδομέου ότι το μέγεθος του δείγματος δε είαι πολύ μικρό, μπορούμε α εφαρμόουμε το t-tet (Παράγραφος ) αφού όπως έχουμε ααφέρει η εμπειρία έχει δείξει ότι αυτό είαι «αθεκτικό» τη υπόθεη της καοικότητας του πληθυμού Η υέχεια είαι πλέο γωτή Ορίζουμε το επίπεδο ηματικότητας του ελέγχου, έτω α 5, και υπολογίζουμε τη τιμή της τατιτικής υάρτηης ελέγχου ( X μ ) T αφού προηγουμέως υπολογίουμε τη τιμή x της X και τη τιμή της για τη υγκεκριμέη πραγματοποίηη του δείγματος Έτι έχουμε, x 5 ppm και 5ppm και επομέως (5 5) t 75 5 Ελέγχουμε α η τιμή της τατιτικής υάρτηης ελέγχου που βρήκαμε βρίκεται τη περιοχή απόρριψης Ο έλεγχος είαι δεξιόπλευρος και επομέως, ε επίπεδο ηματικότητας α 5, η περιοχή απόρριψης είαι t t 9; 5 ή t 833 και επειδή t 75 833, η τιμή της τατιτικής υάρτηης ελέγχου βρίκεται τη περιοχή απόρριψης και επομέως ε επίπεδο ηματικότητας α 5 απορρίπτουμε τη μηδεική υπόθεη Συμπέραμα: Σε επίπεδο ηματικότητας α 5, το δείγμα δίει τατιτικά ηματικές αποδείξεις ότι η μέη ποότητα διαλυμέου οξυγόου το ποταμό Καλαμά είαι πλέο μεγαλύτερη από 5ppm 9 7 Ο πληθυμός του οποίου ελέγχουμε τη μέη τιμή είαι η καταομή τω τιμώ διαλυμέου οξυγόου τη κοίτη του ποταμού 8 Η Στατιτική προφέρει και άλλο δρόμο Με κατάλληλους τατιτικούς ελέγχους αλλά και με κατάλληλες γραφικές μεθόδους και εργαλεία μπορούμε α ελέγξουμε α το δείγμα μας προέρχεται από καοικό πληθυμό και α αυτό δε υμβαίει μπορούμε α εφαρμόουμε μη παραμετρικούς ελέγχους 9 Το δείγμα που χρηιμοποιήαμε είαι δυτυχώς υποθετικό Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ / Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulo) 369

Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω 3 Η πιθαότητα φάλματος τύπου ΙΙ και η ιχύς εός τατιτικού ελέγχου Στη διαδικαία τατιτικού ελέγχου υποθέεω που περιγράψαμε τα προηγούμεα, δε ααφερθήκαμε καθόλου το τι υμβαίει με τη πιθαότητα λαθαμέης μη απόρριψης της H, δηλαδή, τη πιθαότητα φάλματος τύπου ΙΙ Η πιθαότητα αυτή υμβολίζεται με β Έτι, εώ α απορρίψουμε τη H, γωρίζουμε με ποια πιθαότητα αυτή η απόφαή μας μπορεί α είαι λάθος (είαι το πολύ α ), ατίθετα, α δε απορρίψουμε τη H, με όα μέχρι τώρα ααφέραμε, δε γωρίζουμε με ποια πιθαότητα αυτή η απόφαή μας μπορεί α είαι λάθος, αφού δε υπολογίαμε τη πιθαότητα φάλματος τύπου ΙΙ β P(φάλμα τύπου ΙΙ) P(μη απόρριψη της H αληθής η H ) Φροτίαμε, δηλαδή, για τη «προταία» από φάλμα τύπου Ι και δε αχοληθήκαμε με το φάλμα τύπου ΙΙ, δηλαδή, με το φάλμα που κάουμε ότα, εώ είαι αληθής η H, αποτυγχάουμε α απορρίψουμε τη H Κατά υέπεια, δε γωρίζουμε και τη πιθαότητα β P(απόρριψη της H αληθής η H ) δηλαδή, τη ικαότητα του ελέγχου α «διακρίει-ααγωρίζει» υπαρκτές ηματικές διαφορές του δείγματος από τη H και έτι α μη αποτυγχάει α τη απορρίψει Η πιθαότητα β οομάζεται ιχύς (power) του ελέγχου ή ακριβέτερα (θα δούμε τη υέχεια γιατί), υάρτηη ιχύος (power functon) του ελέγχου Μεγαλύτερη ιχύς ημαίει μεγαλύτερη πιθαότητα α μη αποτύχουμε α απορρίψουμε τη H ότα είαι αληθής η H (και επομέως πιο καλός έλεγχος) Σε αυτή τη εότητα θα δούμε πώς μπορούμε α υπολογίουμε τη πιθαότητα λαθαμέης μη απόρριψης της H, β, και κατά υέπεια τη ιχύ β, του ελέγχου Στο ειαγωγικό παράδειγμά μας (Παράδειγμα ), το έλεγχο της H : μ 5 Kg έατι της H : μ > 5 Kg, ε επίπεδο ηματικότητας α δε απορρίψαμε τη H Ας υπολογίουμε τη πιθαότητα η απόφαή μας αυτή α είαι λαθαμέη, δηλαδή, τη πιθαότητα φάλματος τύπου ΙΙ, β Α μεταξύ τω δύο υποθέεω αληθής είαι η H : μ > 5 Kg, δηλαδή, α η πραγματική-αληθής μέη τιμή μ της ατοχής τω καλωδίω μετά τη βελτίωη τω υλικώ είαι έας αριθμός μ μεγαλύτερος τω 5Kg, τότε ζητάμε τη πιθαότητα β, α μη απορρίψουμε τη H : μ 5 Kg (εώ θα έπρεπε, αφού αληθής είαι η H ) Έχουμε β P(φάλμα τύπου ΙΙ) P(μη απόρριψη της H αληθής η H : μ μ > 5 ) X μ 5577 P ( X < 5577 μ μ) ( μ < 5577 μ P ) P( Z < ) 75 5 75 5 475 5577 μ Φ( ) 475 Δηλαδή, Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ / Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulo) 37

Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω 5577 μ β Φ( ), μ > 5 475 Παρατηρούμε ότι η πιθαότητα φάλματος τύπου ΙΙ, β, εξαρτάται από τη πραγματική τιμή μ της άγωτης παραμέτρου μ Έτι, κάοτας το έλεγχο ε επίπεδο ηματικότητας α, α η πραγματική τιμή είαι μ 58 η πιθαότητα φάλματος τύπου ΙΙ είαι 5577 58 β Φ( ) Φ( 9) Φ(9) 84 475 εώ α μ 6 είαι 5577 6 β Φ( ) Φ( 7) Φ(7) 436 475 Δηλαδή, το παράδειγμά μας, όο πιο μακριά από τη H : μ 5 Kg (προς μεγαλύτερες τιμές), βρίκεται η πραγματική τιμή της άγωτης παραμέτρου μ, τόο η πιθαότητα φάλματος τύπου ΙΙ ελαττώεται Ατίτοιχα, η ιχύς του ελέγχου 5577 μ β Φ( ), μ > 5, 475 εξαρτάται και αυτή από τη πραγματική τιμή της άγωτης παραμέτρου μ και μάλιτα, το παράδειγμά μας είαι μια αύξουα υάρτηη γιατί η τιμή της αυξάεται ότα η πραγματική τιμή της άγωτης παραμέτρου μ αυξάεται Έτι, όο πιο μακριά από τη H : μ 5 Kg (προς μεγαλύτερες τιμές) βρίκεται η πραγματική τιμή της άγωτης παραμέτρου μ, τόο αυξάεται η ικαότητα του ελέγχου α «ααγωρίζει» ηματικές διαφορές του δείγματος από τη H και α μη αποτυγχάει α τη απορρίψει ωτά Είαι λογικό; Είαι λογικό; Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ / Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulo) 37

Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω Η γραφική παράταη της υάρτηης ιχύος οομάζεται καμπύλη ιχύος (power curve) του ελέγχου Στο χήμα που ακολουθεί φαίεται η καμπύλη ιχύος του ελέγχου του παραδείγματός μας για α Από τη καμπύλη ιχύος φαίεται ότι όο αυξάεται η πραγματική τιμή της μ, η ιχύς του ελέγχου τείει προς το Επίης, ότα η πραγματική τιμή της παραμέτρου μ τείει προς τη τιμή 5, η ιχύς του ελέγχου μειώεται και τείει προς το α Σχόλιο 3 (για τη χρηιμότητα της καμπύλης ιχύος): Με χρήη κατάλληλου λογιμικού είαι πολύ εύκολο α πάρουμε τη καμπύλη ιχύος εός τατιτικού ελέγχου Έτι, έχουμε τη διάθεή μας μια γραφική ααπαράταη της «αποδοτικότητας» του ελέγχου, δηλαδή, της ικαότητάς του α απορρίπτει ωτά τη μηδεική υπόθεη Α για παράδειγμα, το εργοτάιο ιχυριθεί ότι η μέη ατοχή τω καλωδίω με τα έα υλικά αυξήθηκε και μάλιτα τώρα πλέο είαι ίη με 59Kg, και πράγματι είαι έτι, τότε από τη καμπύλη ιχύος του ελέγχου και χωρίς άλλους υπολογιμούς εύκολα διαπιτώουμε ότι η πιθαότητα α διακρίει ωτά ο έλεγχος τις δύο υποθέεις και α απορριφθεί ωτά η H : μ 5 Kg υπέρ της H : μ μ 59 Kg είαι περίπου 9% Επίης, από τη καμπύλη ιχύος, μπορούμε α δούμε πόο γρήγορα αυξάει η ιχύς του ελέγχου και α υγκρίουμε γραφικά τη ιχύ του με τη ιχύ κάποιου άλλου ελέγχου για κάθε τιμή της παραμέτρου που ορίζει η H Ααφέρουμε, τέλος, χωρίς απόδειξη, ότι ο έλεγχος που εφαρμόαμε το παράδειγμά μας, είαι ο πλέο ιχυρός από οποιοδήποτε άλλο, δηλαδή, οδηγεί τη μικρότερη δυατή πιθαότητα φάλματος τύπου ΙΙ για κάθε τιμή της παραμέτρου που ορίζει η H Από το οριμό της πιθαότητας φάλματος τύπου ΙΙ, β, είαι προφαές ότι αυτή επηρεάζεται από το επίπεδο ηματικότητας α, του ελέγχου (αφού η κρίιμη τιμή του ελέγχου προκύπτει από το α ) Όμως, πώς επηρεάζεται; Ας κάουμε το έλεγχο του παραδείγματός μας ε μικρότερο επίπεδο ηματικότητας, α Στη περίπτωη αυτή η H : μ 5Kg αφαλώς δε απορρίπτεται Η κρίιμη τιμή τώρα είαι 75 c 5 + z 5765 ή ιοδύαμα, c z 3 9 5 και επομέως Αφού, όπως είδαμε, δε απορρίπτεται ε α Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ / Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulo) 37

Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω 5765 μ β Φ( ), μ > 5 475 Έτι, α για παράδειγμα, μ 58 τότε 5765 58 β Φ( ) Φ( 4) 4443 475 Συγκρίοτας αυτή τη τιμή του β με τη ατίτοιχη που υπολογίαμε ότα κάαμε το έλεγχο ε επίπεδο ηματικότητας α, παρατηρούμε ότι, ελαττώοτας τη πιθαότητα α, δηλαδή, κάοτας πιο αυτηρό το καόα απόρριψης της μηδεικής υπόθεης, η πιθαότητα φάλματος τύπου ΙΙ, αυξάεται, δηλαδή, αυξάεται η πιθαότητα α αποτύχουμε α τη απορρίψουμε εώ έπρεπε Από τη τελευταία παρατήρηη, είαι φαερό ότι δε μπορούμε α θέουμε υπό το έλεγχό μας υγχρόως και τη πιθαότητα φάλματος τύπου Ι και τη πιθαότητα φάλματος τύπου ΙΙ, γι αυτό και τη διαδικαία ελέγχου που εφαρμόαμε αποφαίαμε α θέουμε υπό το έλεγχό μας τη μία από τις δύο πιθαότητες φάλματος (τη πιθαότητα φάλματος τύπου Ι) Τι κάουμε όμως με τη πιθαότητα β ; Τη αφήουμε «αεξέλεγκτη»; Δηλαδή, πώς μπορούμε για δεδομέη πιθαότητα φάλματος τύπου Ι, α, α μειώουμε τη πιθαότητα φάλματος τύπου ΙΙ, β ; Στο πλαίιο του μαθήματος, δε μπορούμε α απατήουμε με πληρότητα ε αυτό το ερώτημα Ας δούμε, το παράδειγμά μας, πώς μπορούμε για δεδομέο α, α ελαττώουμε το β και κατά υέπεια α αυξήουμε τη ιχύ, β, του ελέγχου Έας τρόπος, πρακτικά εφικτός 3, είαι η αύξηη του μεγέθους του δείγματος Με αυτό το τρόπο, επιτυγχάουμε α μειώουμε τη διακύμαη της X τατιτικής υάρτηης ελέγχου X Αυτό, θεωρητικά επιτυγχάεται και με μείωη 3 Όμως όχι πάτα Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ / Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulo) 373

Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω της διακύμαης,, της Χ, διατηρώτας το μέγεθος του δείγματος ταθερό Όμως, είαι φαερό, ότι αυτός ο τρόπος έχει μικρή πρακτική αξία Ας υποθέουμε, το παράδειγμά μας, ότι παίρουμε δείγμα μεγέθους με x 55 Kg Σε επίπεδο ηματικότητας α η κρίιμη τιμή είαι 75 c 5 + z 554 και επειδή η τιμή x 55 της X δε είαι μεγαλύτερη της κρίιμης τιμής, η H : μ 5 Kg δε απορρίπτεται ε επίπεδο ηματικότητας α Η πιθαότητα φάλματος τύπου ΙΙ, β, είαι 554 μ β Φ( ), μ > 5 75 και η τιμή της για μ 58, είαι 554 58 β Φ( ) Φ( 48) 6944 75 Στο ατίτοιχο έλεγχο με δείγμα μεγέθους 5, και για μ 58, βρήκαμε μέγεθος φάλματος τύπου ΙΙ, β 4443 Αυξάοτας, επομέως, το μέγεθος του δείγματος, παρατηρούμε ότι η πιθαότητα φάλματος τύπου ΙΙ, β, μειώεται Ατίτοιχα, η ιχύς του ελέγχου αυξάεται Στο χήμα που ακολουθεί φαίεται η καμπύλη ιχύος του ελέγχου για 5, και Από τις καμπύλες ιχύος του ελέγχου, είαι φαερό, ότι για οποιοδήποτε μ > 5 η ιχύς του ελέγχου αυξάεται ότα το μέγεθος του δείγματος αυξάεται Παρατηρείτε ότι για πραγματική μέη τιμή μ 58 Kg η ιχύς του ελέγχου για 5 είαι 5557%, για αυξάεται ε 93% και για ε % Αυτό φαίεται α είαι έα καλό χαρακτηριτικό της διαδικαίας ελέγχου που εφαρμόαμε αφού ορίζοτας το επιθυμητό α και αυξάοτας το μέγεθος του Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ / Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulo) 374

Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεω δείγματος αυξάουμε τη πιθαότητα α απορριφθεί ωτά μια μη αληθής μηδεική υπόθεη Όμως, δυτυχώς, υπάρχει και η «κοτειή πλευρά» Σκεφθείτε ότι με αυτό το τρόπο μπορεί α απορριφθεί με βεβαιότητα (με πιθαότητα %) οποιαδήποτε μη αληθής μηδεική υπόθεη, όο κοτά και α είαι τη πραγματική τιμή μ Και αυτό είαι «κακό» γιατί μπορεί α λειτουργήει παραπλαητικά τη ερμηεία του αποτελέματος, αφού ακόμη και μια πολύ μικρή διαφορά της πραγματικής τιμής από τη τιμή που ορίζει η μηδεική υπόθεη, με επιλογή κατάλληλου μεγέθους δείγματος, μπορεί α ααδειχθεί ως τατιτικά ηματική εώ πρακτικά η διαφορά αυτή μπορεί α μη έχει καέα ηματικό ατίκρυμα Δηλαδή, κάτι πρακτικά αήματο α ααδειχθεί ηματικό τατιτικά! Δείτε, για παράδειγμα, το χήμα, τη ιχύ του ελέγχου για πραγματική τιμή μ 5 Kg, δηλαδή, για πραγματική τιμή πιο κοτά τη H : μ 5 Kg Για μέγεθος δείγματος 5 η ιχύς του ελέγχου είαι πολύ κοτά το μηδέ Για μέγεθος δείγματος, είαι κοτά το μηδέ επίης Όμως, για μέγεθος δείγματος αυξάει το 9% περίπου και για ακόμη μεγαλύτερο μέγεθος δείγματος θα φθάει το % Αάλογα, μπορούμε α επιτύχουμε απόρριψη της H : μ 5 Kg όο κοτά και α αυτή βρίκεται τη πραγματική τιμή (πχ α μ 5 Kg) Απαιτείται επομέως προοχή τη ερμηεία τατιτικά ηματικώ ευρημάτω ιδιαίτερα ότα χρηιμοποιούται πολύ μεγάλα δείγματα Στατιτική υμπεραματολογία δε ημαίει απλή εφαρμογή αλγοριθμικώ διαδικαιώ Για τη ωτή αξιοποίηη τω μεθόδω που προφέρει η τατιτική υμπεραματολογία, απαιτείται καταόηη του οήματος, της λογικής και κυρίως τω ορίω τους Με τη παρουίαη της έοιας της ιχύος εός ελέγχου, ολοκληρώαμε τη παρουίαη τω βαικώ εοιώ τω τατιτικώ ελέγχω υποθέεω Στη υέχεια, παρουιάζουμε το έλεγχο της μέης τιμής, p, της καταομής ernoull, που είαι γωτός ως έλεγχος διωυμικού ποοτού 4 Στατιτικός έλεγχος υποθέεω για το διωυμικό ποοτό Α X, X, K, X τυχαίο δείγμα από μια καταομή ernoull με παράμετρο p, ο έλεγχος της μηδεικής υπόθεης, H : p p είαι μια ειδική περίπτωη ελέγχου της μέης τιμής μ εός πληθυμού αφού όπως γωρίζουμε, α μια τυχαία μεταβλητή ακολουθεί τη καταομή ernoull με παράμετρο p, η μέη τιμή της είαι ίη με p O έλεγχος αυτός είαι επίης γωτός ως έλεγχος για τη διωμυμική παράμετρο p ή για το διωυμικό ποοτό p (nomal parameter ή nomal proporton) Ας θυμηθούμε το πρόβλημα που χρηιμοποιήαμε ως ειαγωγικό παράδειγμα, ότα μιλήαμε για τη διωυμική καταομή Παράδειγμα 6 (υέχεια): Ο γεωπόος εός φυτώριου ιχυρίζεται ότι ποοτό 9% εός είδους φυτώ που παράγει δίει περιότερους από 5 καρπούς/φυτό Έας αγρότης που είχε προμηθευθεί από το υγκεκριμέο φυτώριο μεγάλο αριθμό φυτώ αυτού του είδους, θέληε α ελέγξει το ιχυριμό του γεωπόου Για το κοπό αυτό, κατά τη υγκομιδή επέλεξε τυχαία 5 φυτά και μέτρηε τους καρπούς κάθε φυτού Από τα 5 φυτά που εξέταε, περιότερους από 5 καρπούς είχα μόο τα 38, γεγοός που δημιούργηε αμφιβολίες το αγρότη για το ιχυριμό του γεωπόου Είαι, άραγε δικαιολογημέες οι αμφιβολίες του αγρότη; Η απάτηη που είχαμε δώει το πρόβλημα ήτα Γεωποικό Παεπιτήμιο Αθηώ / Γ Παπαδόπουλος (wwwauagr/gpapadopoulo) 375