4. Βασικές κατανομές και το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα
|
|
- Τρύφαινα Πολίτης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Μάθημα: Στατιστική (Κωδ. 5) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος 4. Βασικές καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Η διωυμική καταομή με παραμέτρους και p Η καταομή Posson με παράμετρο λ Προσέγγιση της διωυμικής καταομής από τη καταομή Posson Η διαδικασία Posson με ρυθμό λ Η καοική καταομή με παραμέτρους μ και σ Η τυποποιημέη καοική καταομή Είαι η καταομή της τυχαίας μεταβλητής, έστω Χ, που εκφράζει το αριθμό τω επιτυχιώ σε αεξάρτητες δοκιμές Bernoull με ίδια πιθαότητα επιτυχίας p. Συμβολίζεται με B(, p) και έχει συάρτηση πιθαότητας f ( ) = P( X = ) = p ( p), =,,,..., μέση τιμή μ = E( X ) = p διακύμαση σ = Var( X ) = p( p) πιο πιθαή τιμή = [( + ) ] ότα ( +) p δε είαι ακέραιος ή p ( + = ) p και = ( + ) p ότα ( +) p είαι ακέραιος. Συμβολίζεται με P (λ) και είαι γωστή και ως καταομή τω σπάιω εδεχομέω. Έστω Χ τ.μ. με X ~ P( λ). Η Χ έχει συάρτηση πιθαότητας λ λ f ( ) = P( X = ) = e, =,,,...! μέση τιμή μ = E (X ) = λ διακύμαση σ = Var ( X ) = λ πιο πιθαή τιμή = [ λ] ότα το λ δε είαι ακέραιος ή = λ και = λ ότα το λ είαι ακέραιος Α + και p έτσι ώστε p λ τότε λ λ p ( p) e, =,,,...! Πρακτικά, η προσέγγιση της διωυμικής B(, p) από τη P( p), είαι ικαοποιητική α και p ώστε η μέση τιμή λ = p α παίρει μέτριες τιμές (μικρότερες του ). Α X ο αριθμός εμφαίσεω εός εδεχομέου σε χρόο t (ή σε t μήκος t ή σε επιφάεια t ή σε όγκο t) τότε κάτω από ορισμέες προϋποθέσεις η συάρτηση πιθαότητας της X δίεται από το τύπο t λ t ( λt) P( X t = ) = e, =,,,...! Συμβολίζεται με N ( μ, σ ). Έστω Χ τ.μ. με X ~ N( μ, σ ). Η Χ έχει συάρτηση πυκότητας ( μ ) σ ( ) f = e σ π, < < +, < μ < +, σ > μέση τιμή E (X ) = μ διακύμαση Var ( X ) = σ. Είαι η καοική καταομή με μέση τιμή μ = και διακύμαση σ =. Συμβολίζεται με Ζ, δηλαδή, Z ~ N(,). Η συάρτηση πυκότητάς της συμβολίζεται με ϕ (z) και δίεται από το τύπο Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος (
2 z ϕ ( z) = e, < z < + π και η συάρτηση καταομής της συμβολίζεται με Φ (z) και δίεται από το τύπο t z ( e Φ z) = P( Z z) = dt, < z < + π α) Τυποποιημέη καοική Z ~ N(,) : P ( Z z) = Φ( z) και P ( Z z) = Φ( z) = Φ( z). Υπολογισμός πιθαοτήτω καοικής τ.μ. Γραμμικός συδυασμός αεξάρτητω καοικώ τυχαίω μεταβλητώ Το Κετρικό Οριακό Θεώρημα Προσέγγιση της Διωυμικής καταομής από τη Καοική (Θεώρημα De Movre-Laplace) Προσέγγιση της καταομής Posson από τη Καοική (δίοται από το πίακα της τυποποιημέης καοικής) P ( α Z β ) = Φ( β ) Φ( α) P ( Z > a) = P( Z α) = Φ( α) P ( α Z α ) = Φ( α ) β) Καοική με X ~ N( μ, σ ) Α X ~ N( μ, σ ) τότε X μ Z = ~ N (,) σ β μ α μ P ( α X β ) = Φ Φ σ σ β μ P (X β ) = Φ σ α μ P (X α) = Φ σ Α X, X, K, X αεξάρτητες τ.μ. με X ~ N ( μ, σ ) και α, α, K, α, β πραγματικοί, τότε η τ.μ. = α X + β = α X + α X + K+ α X + β ακολουθεί μια καοική καταομή με μέση τιμή α μ + α μ α μ + β και διακύμαση α σ + α σ α σ. Επίσης, α X, X, K, X αεξάρτητες τ.μ. με ~ N( μ, σ ), τότε X = σ X = ~ N ( μ, ). Α X, X, K, X αεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές που ακολουθού τη ίδια καταομή με E ( X ) = μ και Var ( X ) = σ, τότε για μεγάλα, κατά προσέγγιση, X = σ X = ~ N ( μ, ) ή, ισοδύαμα, S = X ~ N ( μ, σ ). = Η προσέγγιση είαι ικαοποιητική α 3. Α X ~ B(, p) τότε για μεγάλα, κατά προσέγγιση, X ~ N ( p, p( p)). Η προσέγγιση είαι ικαοποιητική α p 5 και ( p) 5. Α X ~ P( λ) τότε για μεγάλα λ, κατά προσέγγιση, X ~ N ( λ, λ). Η προσέγγιση είαι ικαοποιητική α λ >. X Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος (
3 Προβλήματα και Ασκήσεις. Έχει διαπιστωθεί ότι το 3% τω ζώω που κατά το εμβολιασμό εκτίθεται σε μολυσμέη βελόα από ηπατίτιδα Β, ααπτύσσει ηπατίτιδα Β. Επιλέγουμε τυχαία 5 ζώα από έα πληθυσμό ζώω που έχου εμβολιασθεί με μολυσμέη βελόα. α) Ποια είαι πιθαότητα από τα 5 ζώα α βρεθού άρρωστα από ηπατίτιδα Β ) ακριβώς ) το πολύ ) τουλάχιστο 3. β) Πόσα ζώα (από τα 5) ααμέεται α βρεθού άρρωστα από ηπατίτιδα Β.. Σε έα πληθυσμό της μύγας Drosophla melanogaster το 5% είαι μαύρες λόγω κάποιας μετάλλαξης, εώ το υπόλοιπο 75% έχου το φυσιολογικό τους γκρι χρώμα. (Ι) Από 7 μύγες που παγιδεύσαμε τυχαία από αυτό το πληθυσμό α) πόσες ααμέεται α είαι μαύρες β) ποια είαι η πιθαότητα α βρεθού α είαι μαύρες ) όλες ) καμία ) τουλάχιστο μια v) λιγότερες από 7 v) ακριβώς 3 v) λιγότερες από 3 v) τουλάχιστο 3 v) το πολύ 3 γ) πόσες μύγες είαι πιο πιθαό α βρεθού α είαι μαύρες. (ΙΙ) Από μύγες που παγιδεύσαμε τυχαία από αυτό το πληθυσμό πόσες ααμέεται α είαι μαύρες; 3. Από τους σπόρους πιπεριάς συγκεκριμέου είδους βλαστάει μόο το 8%. Από μια συσκευασία τέτοιω σπόρω α) πόσοι ααμέεται α βλαστήσου β) ποια είαι η πιθαότητα α βλαστήσει ) τουλάχιστο έας ) όλοι ) τουλάχιστο οκτώ γ) πόσοι είαι πιο πιθαό α βλαστήσου. 4. Έχει παρατηρηθεί ότι από τα άτομα που κάου κράτηση για α ταξιδέψου με συγκεκριμέη αεροπορική εταιρεία, έα ποσοστό 5% δε εμφαίζεται για α ταξιδέψει. Α σε μια πτήση που γίεται με έα αεροσκάφος 4 θέσεω η εταιρεία κάει κράτηση για 43 άτομα, ποια είαι η πιθαότητα α ταξιδέψου όλα τα άτομα που θα εμφαισθού για α ταξιδέψου (από τα 43 που έχου κάει κράτηση). 5. Το δίκτυο oμβρίω μιας αγροτικής περιοχής δε μπορεί α αταποκριθεί σε δυσμεείς καιρικές συθήκες που εμφαίζοται στη περιοχή κατά μέσο όρο μια φορά στα 5 χρόια. Να υπολογισθεί η πιθαότητα από πέτε χροιές α πλημμυρίσει η περιοχή α) το πολύ δύο χροιές β) τουλάχιστο τρεις χροιές α ήδη έχει πλημμυρίσει τουλάχιστο μια χροιά. 6. Έα σύστημα το οποίο αποτελείται από 6 εξαρτήματα λειτουργεί α τουλάχιστο 4 από τα εξαρτήματά του λειτουργού. Α η πιθαότητα λειτουργίας (η αξιοπιστία) κάθε εξαρτήματος είαι.9 α βρεθεί α) η πιθαότητα λειτουργίας (η αξιοπιστία) του συστήματος β) η πιθαότητα α υποστού βλάβη τουλάχιστο τρία εξαρτήματα δεδομέου ότι έχου υποστεί βλάβη τουλάχιστο δύο. (Θεωρείστε ότι τα εξαρτήματα του συστήματος λειτουργού αεξάρτητα το έα από το άλλο.) 7. Έα σύστημα αποτελείται από n εξαρτήματα τύπου Ε και m εξαρτήματα τύπου Ε που λειτουργού αεξάρτητα το έα από το άλλο. Η πιθαότητα λειτουργίας κάθε εξαρτήματος τύπου Ε είαι p και κάθε εξαρτήματος τύπου Ε είαι p και το σύστημα λειτουργεί α λειτουργού συγχρόως τουλάχιστο 3 εξαρτήματα τύπου Ε και τουλάχιστο δύο εξαρτήματα τύπου Ε. Να βρεθεί η αξιοπιστία (η πιθαότητα λειτουργίας) του συστήματος. Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος ( 3
4 8. Οι σπόροι του μπιζελιού Psum satvum είαι πράσιοι ή κίτριοι. Μια συγκεκριμέη διασταύρωση δίει σπόρους σε ααλογία 3 κίτριοι: πράσιο. Α από τους σπόρους που προέκυψα από μια τέτοια διασταύρωση επιλέξουμε τυχαία τέσσερις, ποια είαι η πιθαότητα α βρούμε (α) τρεις κίτριους και έα πράσιο (β) και τους τέσσερις πράσιους (γ) και τους τέσσερις του ιδίου χρώματος. 9. Έχει παρατηρηθεί ότι η πιθαότητα α συμβεί σοβαρό ατύχημα με γεωργικό μηχάημα σε μια μεγάλη αγροτική περιοχή είαι.. Α κατά τη διάρκεια μιας εργάσιμης ημέρας στη περιοχή αυτή χρησιμοποιούται γεωργικά μηχαήματα, ποια είαι η πιθαότητα α συμβού τουλάχιστο δύο ατυχήματα;. Από παρατηρήσεις πολλώ ετώ έχει επαληθευθεί ότι ο αριθμός X t τω σεισμώ μεγέθους μεγαλύτερου τω 5.5 Rchter που συμβαίου σε μια σεισμογόο περιοχή σε χρόο t, περιγράφεται ικαοποιητικά από μια διαδικασία Posson. Α ο ρυθμός εμφάισής τους είαι αά έτος α) ποια είαι η πιθαότητα α συμβού τουλάχιστο 3 σεισμοί μεγέθους μεγαλύτερου τω 5.5 Rchter σε έα χροικό διάστημα. εός έτους. τριώ μηώ. δύο ετώ β) ποια είαι η πιθαότητα στα επόμεα έτη α υπάρξου ακριβώς 5 έτη σε καθέα από τα οποία α συμβού τουλάχιστο 3 σεισμοί μεγέθους μεγαλύτερου τω 5.5 Rchter γ) ποια είαι η πιθαότητα σε χροικό διάστημα ετώ α συμβού τουλάχιστο σεισμοί μεγέθους μεγαλύτερου τω 5.5 Rchter.. Έχει παρατηρηθεί ότι ο αριθμός X t εός σπάιου είδους φυτώ σε έκταση εμβαδού t, περιγράφεται ικαοποιητικά από μια διαδικασία Posson με μέσο αριθμό φυτώ αά στρέμμα 3 φυτά. α) Να βρεθεί η πιθαότητα. σε μια έκταση εός στρέμματος α υπάρχου τουλάχιστο δύο φυτά. σε μια έκταση μισού στρέμματος α υπάρχει το πολύ έα φυτό. σε μια έκταση στρεμμάτω α υπάρχου τουλάχιστο τρία φυτά. β) Σε μια έκταση 3 στρεμμάτω ποιος είαι ο πιθαότερος αριθμός φυτώ; Επίσης, α βρεθεί η πιθαότητα εμφάισης αυτού του αριθμού φυτώ.. Συέχεια της άσκησης 6 του φυλλαδίου 3): Παίρουμε έα τυχαίο δείγμα τριώ τέτοιω εξαρτημάτω. Ποια είαι η πιθαότητα ακριβώς έα από αυτά α λειτουργήσει από έως 5 ώρες. 3. Συέχεια της άσκησης 8 του φυλλαδίου : Επιλέγοται τυχαία 6 άτομα, υποβάλλοται στη εξέταση και το αποτέλεσμα και στις έξι περιπτώσεις είαι θετικό. Ποια είαι η πιθαότητα τουλάχιστο τρία από αυτά πράγματι α πάσχου από AIDS. 4. Σε μια μεγάλη μοάδα θερμοκηπίω έχει εγκατασταθεί σύστημα αυτόματου ποτίσματος. Έχει παρατηρηθεί ότι ο αριθμός X t τω ελαττωματικώ μπεκ σε μήκος σωλήα t, περιγράφεται ικαοποιητικά από μια διαδικασία Posson με μέσο αριθμό ελαττωματικώ μπεκ, 3 μπεκ αά κομμάτι σωλήα. α) Να βρεθού οι πιθαότητες:. σε έα κομμάτι σωλήα α υπάρχου τουλάχιστο δύο ελαττωματικά μπεκ. σε έα τρίτο κομματιού σωλήα α υπάρχει το πολύ έα ελαττωματικό μπεκ. σε μήκος σωλήα όσο τρία κομμάτια α υπάρχου τουλάχιστο δύο ελαττωματικά μπεκ v. από τρία τυχαία επιλεγμέα κομμάτια σωλήα α υπάρχει το πολύ έα με τουλάχιστο δύο ελαττωματικά μπεκ. β) Σε Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος ( 4
5 μήκος σωλήα όσο τρία κομμάτια, ποιος είαι ο πιθαότερος αριθμός ελαττωματικώ μπεκ. 5. Σε έα πληθυσμό (ας πούμε γυαίκες ηλικίας 3 ετώ σε μια πόλη), η μέση συστολική πίεση είαι mmhg, με τυπική απόκλιση mmhg και ο πληθυσμός (τω πιέσεω) ακολουθεί καοική καταομή. α) Τι ποσοστό του πληθυσμού έχει πίεση ) μεταξύ και 5mmHg ) μεγαλύτερη από 35mmHg ) μικρότερη από 35mmHg. β) Ποια είαι εκείη η τιμή της πίεσης μεγαλύτερη από τη οποία έχει ) μόο το % του πληθυσμού ) το 95% του πληθυσμού. γ) Η συστολική πίεση εός ατόμου κρίεται ως φυσιολογική α βρίσκεται σε εκείο το συμμετρικό διάστημα γύρω από το μέσο που περιέχει το 95% τω πιέσεω του πληθυσμού. Να βρεθεί εκείη η τιμή πίεσης πάω από τη οποία έα άτομο κρίεται ως υπερτασικό. Να βρεθεί επίσης εκείη η τιμή της πίεσης κάτω από τη οποία έα άτομο κρίεται ως υποτασικό. δ) Να χωρίσετε το διάστημα (, + ) σε 4 διαστήματα καθέα από τα οποία α περιέχει το ίδιο ποσοστό πιέσεω, δηλαδή, σε 4 ισοπίθαα διαστήματα. Ομοίως, ο χωρισμός α γίει σε 5 ισοπίθαα διαστήματα. ε) Α στη πόλη αυτή οι γυαίκες ηλικίας 3 ετώ είαι 5, πόσες από αυτές τις γυαίκες ααμέεται α έχου συστολική πίεση μεγαλύτερη από 35mmHg. 6. Σε έα πείραμα μετρήθηκε η αύξηση (σε διάστημα δύο εβδομάδω) του ύψους φυτώ ηλιόσπορου και βρέθηκε ότι ακολουθεί καοική καταομή με μέση τιμή 3.8cm και τυπική απόκλιση.53cm. α) Α επιλέξουμε στη τύχη έα από τα φυτά, ποια η πιθαότητα α έχει αυξηθεί το ύψος του ) περισσότερο από 4cm ) λιγότερο από 3cm ) τουλάχιστο.5 και όχι περισσότερο από 3.5cm. β) Α επιλέξουμε τρία από τα φυτά στη τύχη ) ποια η πιθαότητα α βρούμε τουλάχιστο έα με αύξηση ύψους λιγότερο από 3cm ) ποια η πιθαότητα η μέση αύξηση του ύψους τους α είαι τουλάχιστο.5 και όχι περισσότερο από 3.5cm. γ) Πώς συγκρίετε τις πιθαότητες που υπολογίσατε στα ερωτήματα (α-) και (β-). 7. Έας μεγάλος πειραματικός αγρός χωρίστηκε σε πολλά αγροτεμάχια (3m το καθέα) και σπάρθηκε με σιτάρι συγκεκριμέης ποικιλίας. Μετρήθηκε η παραγωγή αά αγροτεμάχιο (σε Kg) και βρέθηκε ότι ακολουθεί καοική καταομή με μέση τιμή 39.9Kg και τυπική απόκλιση 3.Kg. α) Τι ποσοστό τω αγροτεμαχίω έδωσε παραγωγή ) περισσότερο από 45Kg ) τουλάχιστο 36Kg ) μεταξύ 39.5 και 4.5Kg. β) Ποια είαι η πιθαότητα η συολική παραγωγή 5 αγροτεμαχίω που επιλέξαμε τυχαία α είαι μεγαλύτερη από Kg. γ) Ποια είαι η πιθαότητα η παραγωγή σε 5 τυχαία επιλεγμέα αγροτεμάχια κατά μέσο όρο α μη ξεπερά τα 5Kg; 8. Σε έα κλασικό πείραμα που έγιε για α διαχωριστού γεετικοί από περιβαλλοτικούς παράγοτες, μετρήθηκα τα βάρη 5494 σπόρω φασολιού (phaseolus vulgars) και βρέθηκε ότι αυτά ακολουθού μια καοική καταομή με μέση τιμή 54mg και διακύμαση 98.9mg. α) Τι ποσοστό αυτώ τω σπόρω έχου βάρη μεταξύ 4 και 55mg. β) Βρείτε εκείο το βάρος, μεγαλύτερο από το οποίο έχει ) μόο το % τω σπόρω ) το 99% τω σπόρω. γ) Βρείτε το 3 ο τεταρτημόριο της καταομής τω βαρώ. 9. Έχει διαπιστωθεί ότι από τα δέδρα εός συγκεκριμέου είδους μιας μεγάλης περιοχής, ποσοστό % προσβάλλεται κάθε χρόο από μια συγκεκριμέη ασθέεια (η οποία τις περισσότερες φορές τελικά ατιμετωπίζεται). α) Α έας γεωπόος Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος ( 5
6 εξετάσει έα τυχαίο δείγμα δέδρω από τη περιοχή, ποια η πιθαότητα στα αυτά δέδρα α υπάρχου ) ακριβώς που έχου προσβληθεί ) τουλάχιστο που έχου προσβληθεί. β) Α ο γεωπόος εξετάσει έα τυχαίο δείγμα 3 δέδρω από τη περιοχή, ποια η πιθαότητα α βρει ) μεταξύ τριώ και οκτώ δέδρω α έχου προσβληθεί ) τουλάχιστο 5 δέδρα α έχου προσβληθεί. γ) Α ότως βρει 5 στα 3 δέδρα α έχου προσβληθεί, υπάρχει λόγος αησυχίας ότι το ποσοστό τω δέδρω που έχου προσβληθεί παρουσιάζει αύξηση;. Από τη συολική παραγωγή εός παραγωγού καρπουζιώ, πρώτης ποιότητας είαι το 8% τω καρπουζιώ. Σε μια τυχαία παρτίδα (φορτίο) 5 καρπουζιώ από τη συγκεκριμέη παραγωγή, ποια είαι η πιθαότητα τα πρώτης ποιότητας καρπούζια α είαι μεταξύ 75% και 8%.. Έα τρυβλίο Petr με αποικίες βακτηριδίω χωρίζεται σε μικρά τετραγωίδια. Έχει επαληθευθεί πειραματικά ότι ο αριθμός X t τω βακτηριδίω σε τετραγωίδια εμβαδού t περιγράφεται ικαοποιητικά από μια διαδικασία Posson. Α έχει παρατηρηθεί ότι ο μέσος αριθμός βακτηριδίω αά cm είαι 4 βακτηρίδια, α βρεθεί η πιθαότητα α) α υπάρξου τουλάχιστο βακτηρίδια ) σε cm ) σε 3 cm β) α υπάρξει τουλάχιστο βακτηρίδιο σε καθέα από 3 τετραγωίδια του cm γ) α υπάρξου το πολύ 8 βακτηρίδια σε 5 cm δ) από 5 τετραγωίδια του cm α υπάρξου σε τουλάχιστο 3 από αυτά, το πολύ βακτηρίδια.. Η ποσότητα ικοτίης που περιέχεται σε έα τσιγάρο συγκεκριμέης μάρκας είαι τυχαία μεταβλητή με μέση τιμή.8mg και τυπική απόκλιση.mg. Α έα άτομο καπίζει τσιγάρα τη εβδομάδα ποια είαι η πιθαότητα η συολική ποσότητα ικοτίης στη οποία θα εκτεθεί α είαι τουλάχιστο 8mg. 3. Κατά τη παραγωγή εός πακέτου φυτοφαρμάκου έχει βρεθεί ότι η ποσότητα ξέω προσμίξεω που υπάρχει στο πακέτο είαι τυχαία μεταβλητή με μέση τιμή 4 gr και τυπική απόκλιση.5gr. Α πάρουμε δείγμα 5 τέτοιω πακέτω, ποια είαι η πιθαότητα η μέση ποσότητα ξέω προσμίξεω (στα 5 πακέτα) α βρίσκεται μεταξύ 3.5gr και 3.8gr. 4. Στο πλαίσιο εός πειράματος, έας μεγάλος αριθμός πειραματικώ αγρώ σπάρθηκα με σιτάρι συγκεκριμέης ποικιλίας. Κάθε πειραματικός αγρός είχε χωρισθεί σε αγροτεμάχια (3m το καθέα). Η μέση παραγωγή αά αγροτεμάχιο βρέθηκε 39.9Kg με τυπική απόκλιση 3.Kg. α) Ποια είαι η πιθαότητα έας τυχαία επιλεγμέος πειραματικός αγρός α έδωσε μέση παραγωγή αά αγροτεμάχιο ) περισσότερο από 45Kg ) τουλάχιστο 36Kg ) μεταξύ 39.5 και 4.5Kg. β) Να εκφράσετε τις πιθαότητες που ζητούται στο ερώτημα (α) ως ποσοστά. 5. Ο χρόος ζωής μιας λυχίας ορισμέου τύπου είαι τυχαία μεταβλητή με μέση τιμή 85 ώρες και τυπική απόκλιση 5 ώρες. Παίρουμε έα τυχαίο δείγμα λυχιώ αυτού του τύπου. Να βρεθεί η πιθαότητα ο μέσος χρόος ζωής τω λυχιώ του δείγματος α είαι μεγαλύτερος από 3 ώρες. 6. To % τω ζώω μιας μεγάλης κτηοτροφικής μοάδας έχει προσβληθεί από μια ασθέεια. Για τη διάγωση της συγκεκριμέης ασθέειας μπορεί α γίει μια εξέταση η οποία ότα το ζώο έχει προσβληθεί από τη ασθέεια δίει σωστή διάγωση με πιθαότητα 95% εώ ότα το ζώο δε έχει προσβληθεί από τη Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος ( 6
7 ασθέεια δίει σωστή διάγωση με πιθαότητα 98%. α) Επιλέγοται τυχαία 5 ζώα για α εξετασθού. Πρι υποβληθού στη εξέταση, ποια είαι η πιθαότητα α έχει προσβληθεί το πολύ έα από αυτά. β) Επιλέγεται τυχαία έα ζώο και εξετάζεται. ) Ποια είαι η πιθαότητα το αποτέλεσμα της εξέτασης α είαι θετικό. ) Α το αποτέλεσμα της εξέτασης είαι θετικό ποια είαι η πιθαότητα το ζώο α έχει πράγματι προσβληθεί. Επίσης, ποια είαι η πιθαότητα α μη έχει προσβληθεί. ) Τα εδεχόμεα «το ζώο έχει προσβληθεί» και «η εξέταση δίει θετικό αποτέλεσμα» είαι αεξάρτητα ή εξαρτημέα. γ) Από 5 ζώα που εξετάσθηκα και η εξέταση έδωσε και στις 5 περιπτώσεις θετικό αποτέλεσμα, ποια είαι η πιθαότητα το πολύ έα α έχει πράγματι προσβληθεί. δ) Από 3 ζώα που εξετάσθηκα και η εξέταση έδωσε και στις 3 περιπτώσεις θετικό αποτέλεσμα ) πόσα ζώα ααμέεται α έχου πράγματι προσβληθεί ) ποια είαι η πιθαότητα τουλάχιστο α έχου πράγματι προσβληθεί. 7. Συέχεια της άσκησης 6 του φυλλαδίου 3: Ποια είαι η πιθαότητα ο μέσος χρόος λειτουργίας 5 εξαρτημάτω που επιλέγοται τυχαία α βρίσκεται μεταξύ και 5 ωρώ. 8. Σε μια αθοκομική μοάδα έχει συγκετρωθεί έας μεγάλος αριθμός σπόρω τουλίπας σε ααλογία, ως προς το χρώμα τω λουλουδιώ που θα παράγου, κόκκια: λευκά: κίτριο. Μια αυτόματη μηχαή συσκευασίας αακατεύει πολύ καλά τους σπόρους και τους συσκευάζει σε σακουλάκια τω σπόρω (περίπου). Επιλέγουμε τυχαία έα σακουλάκι. Ποια είαι η πιθαότητα α περιέχει α) το πολύ 5 σπόρους που παράγου λευκά λουλούδια β) τουλάχιστο 65 σπόρους που δε παράγου λευκά λουλούδια. 9. Η εθική επιτροπή για τη ασφάλεια και τη υγιειή της εργασίας ολοκλήρωσε μια μελέτη για το επίπεδο διοξίης TCDD στο οποίο εκτίθεται οι εργαζόμεοι σε μια βιομηχαική περιοχή. Η μελέτη έδειξε ότι το επίπεδο διοξίης είαι τυχαία μεταβλητή με μέση τιμή μ = 93 ppt και τυπική απόκλιση σ = 847 ppt. Παίρουμε έα τυχαίο δείγμα 5 εργαζομέω από τη περιοχή. α) Α το συμπέρασμα της μελέτης είαι σωστό, ποια είαι η πιθαότητα το μέσο επίπεδο διοξίης που δέχοται οι 5 εργαζόμεοι α ξεπερά τα 6 ppt. β) Α βρεθεί ότι το μέσο επίπεδο διοξίης που δέχοται οι 5 εργαζόμεοι του δείγματος είαι 65 ppt και το συμπέρασμα της μελέτης είαι σωστό, πώς μπορεί α ερμηευθεί η τιμή 65 ppt που παρατηρήθηκε στο δείγμα; 3. Η ποσότητα, έστω Χ, καλίου που περιέχεται σε έα πορτοκάλι μεσαίου μεγέθους είαι καοική τυχαία μεταβλητή με μέση τιμή μ = 55 mg και τυπική απόκλιση σ = mg. α) Ποια είαι η πιθαότητα έα τυχαία επιλεγμέο πορτοκάλι μεσαίου μεγέθους α περιέχει τουλάχιστο 5mg κάλιο; β) Ποια είαι η πιθαότητα τουλάχιστο έα από τρία τυχαία επιλεγμέα πορτοκάλια μεσαίου μεγέθους α περιέχει τουλάχιστο 5mg κάλιο; γ) Σε έα διαιτολόγιο ετάσσουμε τέσσερα πορτοκάλια μεσαίου μεγέθους ημερησίως και έστω Υ η τυχαία μεταβλητή που εκφράζει τη συολική ποσότητα καλίου που περιέχεται σε αυτά. ) Ποια είαι η καταομή της τυχαίας μεταβλητής Υ; ) Ποια είαι η πιθαότητα η συολική ποσότητα καλίου που περιέχεται σε 4 τυχαία επιλεγμέα πορτοκάλια μεσαίου μεγέθους α είαι τουλάχιστο mg και το πολύ 8mg; ) Ποια είαι η πιθαότητα η ποσότητα καλίου που περιέχεται σε 4 τυχαία επιλεγμέα πορτοκάλια μεσαίου μεγέθους κατά μέσο όρο α ξεπερά τα 6mg; Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος ( 7
8 Τιμές τω πιθαοτήτω Φ( z) = P( Z z) της N (,) Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος ( 8
Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 2860) 2. Τυχαίες μεταβλητές-βασικές κατανομές
Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ 860) Τυχαίες μεταβλητές-βασικές καταομές Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Ο κλασικός ορισμός της πιθαότητας (Laplace, 181) Ο στατιστικός ορισμός
Διαβάστε περισσότεραΚατανομές Τυχαίων Μεταβλητών Προβλήματα και Ασκήσεις
Κατανομές Τυχαίων Μεταβλητών Προβλήματα και Ασκήσεις 1. Μια διακριτή τυχαία μεταβλητή Χ έχει συνάρτηση πιθανότητας 0 1 2 3 4 f () 1/16 4/16 6/16 c 1/16 Να βρεθούν α) η τιμή της σταθεράς c β) η πιθανότητα
Διαβάστε περισσότεραΜάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 2860) 1. Περιγραφική Στατιστική
Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 860). Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πείραμα τύχης - Η έοια του τυχαίου Δειγματικός χώρος Ω εός πειράματος τύχης
Διαβάστε περισσότερα5. Περιγραφική Στατιστική
Μάθημα: Στατιστική (Κωδ. 05) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος 5. Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πληθυσμός (ή στατιστικός πληθυσμός) Τυχαίο δείγμα και πραγματοποίηση
Διαβάστε περισσότερα5. Περιγραφική Στατιστική
Μάθημα: Στατιστική (Κωδ. 05) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος 5. Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πληθυσμός (ή στατιστικός πληθυσμός) Τυχαίο δείγμα και πραγματοποίηση
Διαβάστε περισσότερα2. Πιθανότητα και Δεσμευμένη Πιθανότητα
Μάθημα: Στατιστική (Κωδ 105) Διδάσκω: Γιώργος Κ Παπαδόπουλος 2 Πιθαότητα και Δεσμευμέη Πιθαότητα Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πείραμα τύχης - Η έοια του τυχαίου Δειγματικός χώρος Ω εός
Διαβάστε περισσότερα{[ 140,150 ),[ 160,170 ),...,[ 200, 210]
Σημειώσεις στη Πληροφορική ΙΙΙ 1. Πείραμα τύχης και πιθαότητα Έα φυσικό φαιόμεο με χαρακτηριστικά που δε μπορούμε α τα προβλέψουμε, οομάζεται στοχαστικό ή τυχαίο. Για παράδειγμα το ύψος τω κυμάτω στη θάλασσα,
Διαβάστε περισσότεραυπολογισθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: Α, Β, ΑΒ, Α, Β, Α Β, Α Β, ΑΒ,
Προβλήματα Πιθαοτήτω Προβλήματα Πιθαοτήτω Από εξετάσεις που έγια σε 5000 ζώα μιας κτηοτροφικής μοάδας, διαπιστώθηκε ότι 000 είχα προσβληθεί από μια ασθέεια Α, 800 είχα προσβληθεί από μια ασθέεια Β εώ 00
Διαβάστε περισσότεραΒασικές διακριτές κατανομές
Βασικές διακριτές καταομές 6 Καταομή Bernoull και Διωυμική καταομή 6 Πουωυμική καταομή 63 Καταομή και διαδικασία Posson 64 Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω 65 Προβήματα και ασκήσεις Γεωποικό
Διαβάστε περισσότερα5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41.
ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 η ΕΚΑ Α 4. Έστω Ω { ω, ω, ω, ω 4 } ο δειγµατικός χώρος εός πειράµατος τύχης και τα εδεχόµεα Α {ω, ω }, Β {ω, ω 4 } + Α είαι P(A B) και Ρ( Β Α ), όπου θετικός ακέραιος τότε + 4 Να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α.. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συάρτησης f ( ), για κάθε R. Α.. Α.. (
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο. Τι οοµάζεται συάρτηση ; Είαι µια διαδικασία µε τη οποία κάθε στοιχείο εός συόλου Α ατιστοιχίζεται σε έα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συόλου Β.. Ποιες είαι οι κυριότερες γραφικές παραστάσεις
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
Διαβάστε περισσότεραΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ρωτήσαμε 50 μαθητές μιας τάξης για το αριθμό τω αδελφώ τους Οι απατήσεις που πήραμε είαι: 0,,,,4,5 Α v, v, v, v4, v5, v 6 είαι οι ατίστοιχες συχότητες τους
Διαβάστε περισσότερα7. Βασικές Συνεχείς Κατανομές και το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα
Βασικές Συεχείς Καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα 7. Βασικές Συεχείς Καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα 7. Η Καοική Καταομή H καοική καταομή (normal dstrbuton) θεωρείται η σπουδαιότερη καταομή
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
.Να συμπληρώσετε το παρακάτω πίακα. f N F f 0 0 F 0 0 8 0,4 0 5 4 0,9 5 0 Σύολο. Οι μαθητές του Γ για το μήα Νοέμβρη απουσίασα από το σχολείο τους έως τέσσερις μέρες σύμφωα με το παρακάτω πίακα. ) Να συμπληρωθεί
Διαβάστε περισσότερα(c f (x)) = c f (x), για κάθε x R
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α. Α η συάρτηση f είαι
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
Διαβάστε περισσότεραΌταν πραγματοποιείται το Α πραγματοποιείται και το Β.
Βασικές έοιες και τύποι πιθαοτήτω Πείραμα τύχης - Η έοια του τυχαίου Δειγματικός χώρος Ω εός πειράματος τύχης (πεπερασμέος, απείρως αριθμήσιμος, συεχής) Εδεχόμεα Α, Β, (απλά, σύθετα) Βέβαιο εδεχόμεο Αδύατο
Διαβάστε περισσότερα{[ 140,150 ),[ 160,170 ),...,[ 200, 210]
Σημειώσεις στις Πιθαότητες Πείραμα τύχης και πιθαότητα Έα φυσικό φαιόμεο με χαρακτηριστικά που δε μπορούμε α τα προβλέψουμε, οομάζεται στοχαστικό ή τυχαίο Για παράδειγμα το ύψος τω κυμάτω στη θάλασσα,
Διαβάστε περισσότεραΒασικές συνεχείς κατανομές και το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα
Βασικές συεχείς καταομές και το Κετρικό Οριακό Θεώρημα 7. Καοική καταομή 7. Το Κετρικό Οριακό Θεώρημα 7.. Καοική προσέγγιση της Διωυμικής καταομής 7.. Καοική προσέγγιση της καταομής Posson 7..3 Διόρθωση
Διαβάστε περισσότερα6. Βασικές Διακριτές Κατανομές
6. Η Διωνυμική Κατανομή 6. Βασικές Διακριτές Κατανομές Βασικές Διακριτές Κατανομές Η Διωνυμική κατανομή συνδέεται με ένα πολύ απλό πείραμα τύχης, ίσως το απλούστερο, τη δοκιμή Bernoull. Όπως ήδη έχουμε
Διαβάστε περισσότεραΓΙΑ ΜΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗΝ ΥΛΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
Περιοδικό ΕΥΚΕΙΔΗ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 7) ΕΡΩΤΗΕΙ ΚΑΤΑΝΟΗΗ ΓΙΑ ΜΙΑ ΕΠΑΝΑΗΨΗ ΤΗΝ ΥΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Α) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με () α είαι σωστές και με () α είαι λάθος, αιτιολογώτας
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις στη Στατιστική
Σχολείο: ο ΓΕΛ Κοµοτηής Να συµπληρώσετε το παρακάτω πίακα: Ασκήσεις στη Στατιστική 5 0, 3 0 0 Σύολο F % F % Να συµπληρώσετε το παρακάτω πίακα: F % F % 0 0 0 0,5 30 0,0 0 6 50 Σύολο 3 Να συµπληρώσετε το
Διαβάστε περισσότερα2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση
- 4 o Γεικό Λύκειο Χαίω Γ τάξη Μαθηματικά Γεικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράκης http://users.sch.gr/mpapagr 4 ο Γεικό Λύκειο Χαίω ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ 95 ΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΘΟΥΝ ΟΙ
Διαβάστε περισσότεραΔεσμευμένη πιθανότητα και Ανεξαρτησία ενδεχομένων
Δεσμευμέη πιθαότητα και Αεξαρτησία εδεχομέω 4 Γιατί δεσμευμέη πιθαότητα Το όημα της δεσμευμέης πιθαότητας 4 Ο πολλαπλασιαστικός τύπος 4 Το θεώρημα ολικής πιθαότητας 44 Το θεώρημα Bayes 45 Αεξαρτησία εδεχομέω
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Στο άρθρο αυτό θα παρουσιάσουμε μια μικρή συλλογή ασκήσεω οι οποίες καλύπτου τις έοιες που μάθαμε στο κεφάλαιο της Στατιστικής. Σε
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης
ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικώ της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 Τετάρτη, 3 Μα ου 0 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Α. Α οι συαρτήσεις f, g είαι παραγωγίσιμες στο
Διαβάστε περισσότερα4. Δεσμευμένη Πιθανότητα - Ανεξαρτησία Ενδεχομένων
Δεσμευμέη Πιθαότητα Αεξαρτησία Εδεχομέω 4 Δεσμευμέη Πιθαότητα - Αεξαρτησία Εδεχομέω 4 Γιατί δεσμευμέη πιθαότητα Το όημα της δεσμευμέης πιθαότητας Η πιθαότητα, ως έα μέτρο του βαθμού βεβαιότητας που έχουμε
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ. ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ H απλούστερη συεχής καταοµή πιαότητας είαι η οµοιόµορφη η οποία εκχωρεί ίσες (οµοιόµορφες) πιαότητες στα στοιχειώδη δυατά αποτελέσµατα εός τυχαίου
Διαβάστε περισσότεραΜάθημα: Στατιστική ανάλυση δεδομένων με χρήση Η/Υ (του 8 ου Εξαμήνου Σπουδών του Τμήματος Βιοτεχνολογίας) Διδάσκων: Γιώργος Κ.
Μάθημα: Στατιστική αάλυση δεδομέω με χρήση Η/Υ (του 8 ου Εξαμήου Σπουδώ του Τμήματος Βιοτεχολογίας) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος. Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω
Διαβάστε περισσότερα& 4/12/09 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //9 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ο Θέμα Μονάδες Από τα ασθενή ζώα μιας κτηνοτροφικής μονάδας, ποσοστό % έχει προσβληθεί από την ασθένεια Α, % από
Διαβάστε περισσότεραc f(x) = c f (x), για κάθε x R
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
Διαβάστε περισσότεραc f(x) = c f (x), για κάθε x R
(http://edu.klmaka.gr) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ
Διαβάστε περισσότεραείναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους v,. Συχνότητα (απόλυτη) νi
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός λέγεται έα σύολο που θέλουμε α εξετάσουμε τα στοιχεία του ως προς έα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους Μεταβλητές λέγοται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Του Κώστα Βακαλόπουλου ΑΣΚΗΣΗ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ) Το εύρος (R) τω παρατηρούμεω υψώ τω 00 πελατώ εός γυμαστηρίου είαι cm. A) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομέα
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. φυσικός αριθµός, που δείχνει πόσες φορές εµφανίζεται η τιµή x i της µεταβλητής αυτής. Σ Λ
2o Κεφάλαιο ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Το χρώµα κάθε αυτοκιήτου είαι ποιοτική µεταβλητή. Σ Λ 2. * Ο αριθµός τω αθρώπω που παρακολουθού µια συγκεκριµέη τηλεοπτική εκποµπή είαι διακριτή
Διαβάστε περισσότεραΑ2. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4
(http://edu.klmaka.gr) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ» 2 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2013: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Κεφάλαιο ) ΘΕΜΑ Α 1. α) Απόλυτη συχότητα οομάζεται ο φυσικός αριθμός που μας δείχει πόσες φορές εμφαίζεται η τιμή
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα
Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5//8 ο Θέµα To % των ζώων µιας µεγάλης κτηνοτροφικής µονάδας έχει προσβληθεί από µια ασθένεια. Για τη διάγνωση της συγκεκριµένης
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηία: Κυριακή 7 Απριλίου 0 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες Α.. Σχολικό βιβλίο Σελίδες
Διαβάστε περισσότεραΚάνουμε πρώτα διαλογή και κατασκευάζουμε τον πίνακα συχνοτήτων: και επίσης κατασκευάζουμε το ραβδόγραμμα: Αυτοκίνητο Τραμ Τρόλεϊ Μετρό Λεωφορείο
.Στη ερώτηση με ποιο μέσο πηγαίετε στη δουλειά σας 0 άτομα απάτησα: αυτοκίητο, τραμ, τρόλεϊ, αυτοκίητο, λεωφορείο, τραμ, τραμ, αυτοκίητο, λεωφορείο, τραμ, τρόλεϊ, αυτοκίητο, τραμ, αυτοκίητο, μετρό, τρόλεϊ,
Διαβάστε περισσότερα07/11/2016. Στατιστική Ι. 6 η Διάλεξη (Βασικές διακριτές κατανομές)
07/11/2016 Στατιστική Ι 6 η Διάλεξη (Βασικές διακριτές κατανομές) 1 2 Δοκιμή Bernoulli Ένα πείραμα σε κάθε εκτέλεση του οποίου εμφανίζεται ακριβώς ένα από δύο αμοιβαία αποκλειόμενα δυνατά αποτελέσματα
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου
Επααληπτικό Διαγώισμα Μαθηματικώ Γεικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέμα A Α.α) Τι οομάζουμε συάρτηση και τι οομάζουμε πραγματική συάρτηση πραγματικής μεταβλητής; β) Τι λέγεται τιμή μιας συάρτησης f στο χ ; γ)
Διαβάστε περισσότεραειγματοληπτικές κατανομές
ειγματοληπτικές καταομές Σκοπός της τατιτικής υμπεραματολογίας: η εξαγωγή ατικειμεικώ υμπεραμάτω για έα πληθυμό από περιοριμέο αριθμό δεδομέω (δείγμα). Με τη περιγραφική τατιτική υχά μπορούμε α βγάλουμε
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ Α Α1. Έστω t 1,t 2,...,t ν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν, που έχουν
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΥΤΕΡΑ 7 MAΪΟΥ 00 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ 1ο Α. Aς υποθέσουµε ότι x 1,x,,x k είαι οι τιµές µιας µεταβλητής Χ, που αφορά τα άτοµα εός δείγµατος µεγέθους, όπου
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 3 ο ) 10/3/2017
Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 3 ο ) 10/3/017 Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων σε επίπεδο σημαντικότητας α για τη διακύμανση σ ενός κανονικού πληθυσμού με ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους n Η 0 : σ = σ 0
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α. Aς υποθέσουµε ότι 1,,, k είαι οι τιµές µιας µεταβλητής Χ, που αφορά Β.1. τα άτοµα εός δείγµατος µεγέθους,
Διαβάστε περισσότερα«Χρηματοδοτική Ανάλυση και Διοικητική», Τόμος A
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδώ : Διοίκηση Επιχειρήσεω και Οργαισμώ Θεματική Εότητα : Δ.Ε.Ο. 3 Χρηματοοικοομική Διοίκηση Ακαδημαϊκό Έτος : 202-203 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Χρηματοδοτική Αάλυση
Διαβάστε περισσότεραΓ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας Ασκήσεις για λύση. M. Παπαγρηγοράκης 1 11.
Γ Λυκείου Μαθηματικά Γεικής Παιδείας 0-0 4 o Γεικό Λύκειο Χαίω Γ τάξη γ Μαθηματικά Γεικής Παιδείας.09 Ασκήσεις για λύση M. Παπαγρηγοράκης.09 Γ Λυκείου Μαθηματικά Γεικής Παιδείας Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράκης
Διαβάστε περισσότεραΜάθημα: Στατιστική ανάλυση δεδομένων με χρήση Η/Υ (του 8 ου Εξαμήνου Σπουδών του Τμήματος Βιοτεχνολογίας) Διδάσκων: Γιώργος Κ.
Μάθημα: Στατιστική αάλυση δεδομέω με χρήση Η/Υ του 8 ου Εξαμήου Σπουδώ του Τμήματος Βιοτεχολογίας Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος 5. Γραμμική Συσχέτιση και Παλιδρόμηση Σύτομη αασκόπηση ασικώ εοιώ, προτάσεω
Διαβάστε περισσότερα78 Ερωτήσεις Θεωρίας Στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας
Στα Μαθηματιά Γειής Παιδείας Tι οομάζουμε συάρτηση Tι οομάζουμε παραγματιή συάρτηση πραγματιής μεταβλητής Μια διαδιασία με τη οποία άθε στοιχείο εός συόλου Α πεδίο ορισμού ατιστοιχίζεται σε έα αριβώς στοιχείο
Διαβάστε περισσότεραΙγνάτιος Ιωαννίδης. Στατιστική Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα
Ιγάτιος Ιωαίδης Στατιστική Όριο - Συέχεια συάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα Περιέχει: Συοπτική Θεωρία Μεθοδολογία Λύσης τω Ασκήσεω Λυμέα Παραδείγματα Ασκήσεις με τις απατήσεις τους ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Το βιβλίο
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Επιχειρήσεων Ι. Βασικές διακριτές κατανομές
Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Βασικές διακριτές κατανομές 2 Δοκιμή Bernoulli Ένα πείραμα σε κάθε εκτέλεση του οποίου εμφανίζεται ακριβώς ένα από δύο αμοιβαία αποκλειόμενα δυνατά αποτελέσματα Το ένα ονομάζεται
Διαβάστε περισσότερα) είναι παράλληλη προς στον άξονα x x τότε: α. Να βρείτε την f ( x)
taeeolablogspotcom Άσκηση η Δίεται η συάρτηση f() S + +, R όπου η μέση τιμή και S > η τυπική απόκλιση τω παρατηρήσεω εός δείγματος μεγέθους Α η εφαπτομέη της καμπύλης f στο σημείο της A(,f ( ) ) είαι παράλληλη
Διαβάστε περισσότεραΠανελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γενικης Παιδειας
ΘΕΜΑ Α. Παελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γεικης Παιδειας Θέµατα-Εδεικτικές Λύσεις Νικόλαος. Κατσίπης 17 Μαϊου 2010 Α1. Εστω t 1, t 2,..., t οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής X εός δείγµατος
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συνδυασμός ν στοιχείων ανά κ είναι μια μη διατεταγμένη συλλογή κ στοιχείων από τα ν.
13/10/2010 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συδυασμός στοιχείω αά κ είαι μια μη διατεταγμέη συλλογή κ στοιχείω από τα. Παράδειγμα 1 Οι συδυασμοί τω τριώ γραμμάτω Α,Β,Γ αά έα είαι οι εξής τρεις: Α, Β, Γ. Οι συδυασμοί
Διαβάστε περισσότεραΕ 1. Διαφορικός λογισμός (Κανόνες παραγώγισης)
Ε Διαφορικός λογισμός Καόες παραγώγισης Σελίδα από Πότε μια συάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη στο σημείο του πεδίου ορισμού της ; Μια συάρτηση λέμε ότι είαι παραγωγίσιμη σ έα σημείο του πεδίου ορισμού της,
Διαβάστε περισσότερα10. Στατιστικές συναρτήσεις και δειγματοληπτικές κατανομές
Στατιτικές Συαρτήεις και Δειγματοληπτικές Καταομές 0 Στατιτικές υαρτήεις και δειγματοληπτικές καταομές Στο ειαγωγικό κεφάλαιο του Β Μέρους (8 ο Κεφάλαιο εξηγήαμε ότι τη Στατιτική «όλα αρχίζου από τα δεδομέα»
Διαβάστε περισσότεραΠεριγραφική Στατιστική
Περιγραφική Στατιστική 9. Ποσοτικές μεταβλητές 9.. Κατασκευή πίακα καταομής συχοτήτω 9.. Γραφική παρουσίαση καταομής συχοτήτω 9..3 Αριθμητικά περιγραφικά μέτρα 9..3. Μέτρα θέσης 9..3. Μέτρα διασποράς 9..3.3
Διαβάστε περισσότεραΚι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού
Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπού» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα τω εικτώ του Ρολογιού Εισαγωγικά ηµήτρης Ι. Μπουάκης Σχ. Σύµβουλος Μαθηµατικώ Σε ορισµέα βιβλία Αριθµητικής, αλλά κυρίως Άλγεβρας Β Γυµασίου και Α
Διαβάστε περισσότεραΟ μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να γωρίζει τη έοια της ακολουθίας, τους τρόπους που ορίζεται, τις διαφορές της από μία συάρτηση. Να γωρίζει τους ορισμούς της αριθμητικής και γεωμετρικής
Διαβάστε περισσότεραwww.fr-anodos.gr (, )
ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Το lim f ( ) έχει όηµα σε γειτοικά σηµεία µε το δηλαδή ότα ( a, ) (, β ) a. Δε µε εδιαφέρει α το ίδιο το αήκει η όχι στο πεδίο ορισµού της f αλλά µε εδιαφέρει α υπάρχου στο πεδίο ορισµού
Διαβάστε περισσότεραΓεωργικός Πειραματισμός (Κωδ. 3515) Βασικές Στατιστικές Μέθοδοι και Εργαλεία Ανάλυσης Δεδομένων 3. Γραμμική Συσχέτιση και Γραμμική Παλινδρόμηση
Γεωργικός Πειραματισμός (Κωδ. 355) Βασικές Στατιστικές Μέθοδοι και Εργαλεία Αάλυσης Δεδομέω 3. Γραμμική Συσχέτιση και Γραμμική Παλιδρόμηση Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Συτελεστής γραμμικής
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική. μονάδα και ισχύει: i. ν ν. = ή ως ποσοστό % οπότε % = i fi
Στατιστική "Υπάρχου τα μικρά ψέματα, τα μεγάλα ψέματα και οι στατιστικές" Μαρκ Τουαί Σε κάθε πρόβλημα της Στατιστικής υπάρχει έας «πληθυσμός» Ω τα στοιχεία του οποίου (άτομα) εξετάζοται ως προς έα χαρακτηριστικό
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΜΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΜΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΣΧΟΛΙΑ : Είαι γωστό ότι για µια συεχή συάρτηση σε έα διάστηµα, το ολοκλήρωµα F ορίζει έα πραγµατικό αριθµό όπου o είαι έα οποιοδήποτε σηµείο του και α έα αυθαίρετο
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ: Επεξεργάζεται στατιστικά δεδομέα, αριθμητικές μετρήσεις. Ατικείμεό της είαι η συγκέτρωση στατιστικώ
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ευτέρα, 17 Μα ου 2010 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης. Επιµέλεια:
ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικώ της Ώθησης ευτέρα, 7 Μα ου 00 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ευτέρα, 7 Μα ου 00 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Διαβάστε περισσότερα4.3 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ. Εισαγωγή
49 43 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ Εισαγωγή Στα Στοιχεία του Ευκλείδη, βιβλία VII, VIII και IX (περίπου 300 πχ), οι θετικοί ακέραιοι παριστάοται ως ευθύγραμμα τμήματα και η έοια της διαιρετότητας συδέεται άμεσα με τη
Διαβάστε περισσότεραΣτον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται οι παρατηρήσεις που πήραμε για το ύψος και το βάρος 16 εργατών μιας βιομηχανίας.
Συσέτιση δύο μεταβλητώ Συσέτιση δύο μεταβλητώ Θεωρούμε δύο τυαίες μεταβλητές X, Y και ζεύγη παρατηρήσεω,,,,...,, από τυαίο δείγμα μεγέθους. Ααφερόμαστε, δηλαδή, σε μη πειραματικά δεδομέα ο ερευητής δε
Διαβάστε περισσότερα2.3 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑΣ. 1. Μέση τιµή x = Σταθµικός Μέσος x = 3. ιάµεσος (δ) ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων, οι οποίες έχουν διαταχθεί σε
.3 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ. Μέση τιµή x = x = x = + + + t t... t = x + x +... + x + +... + x κ κ = f x κ t κ κ = κ κ x = κ x. Σταθµικός Μέσος x = xw + x w +... + x w w + w +... + w = x w w όπου
Διαβάστε περισσότεραΓραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2013 στη Στατιστική
Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής ΣΕΙΡΑ Α Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 013 στη Στατιστική για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ., Γ.Β., Α.Ο.Α. και Ε.Ζ.Π.&Υ. 08/0/013 1. [0] Η ποσότητα, έστω Χ, καλίου που περιέχεται
Διαβάστε περισσότεραφ = 2ω = = 2 2(ν 2) + 4 = 2 + 4
Γιατί οι μέλισσες κάου εξαγωικές τις κηρήθρες τους ; Χριστία Δασκαλάκη Α.Μ. 99 Ημερομηία παράδοσης 9-10-014 Θεωρούμε έα καοικό -γωο και σημειώουμε μια γωία του καθώς και τις γωίες του ισοσκελούς τριγώου
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Παλινδρόμησης. Εργαστήριο. Μαθηματικών & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 252
Αάλυση Παλιδρόμησης Αάλυση Παλιδρόμησης Με τη αάλυση παλιδρόμησης (regresson analss) εξετάζουμε τη σχέση μεταξύ δύο ή περισσοτέρω μεταβλητώ με σκοπό τη πρόβλεψη τω τιμώ της μιας, μέσω τω τιμώ της άλλης
Διαβάστε περισσότεραΤυπολόγιο Σχετική συχότητα: = = κ f,,..., Αθροιστική συχότητα: Ν = και Ν, 2... = Ν + = κ Αθροιστική σχετική συχότητα: Ν F = f και F = F + f, = 2,...,
Μετά το τέλος της µελέτης του 2ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει α γωρίζει: Τις βασικές έοιες της στατιστικής όπως πληθυσµός, δείγµα κ.λ.π. καθώς και τις κατηγορίες τω µεταβλητώ. Τους ορισµούς της απόλυτης,
Διαβάστε περισσότεραΓραπτές ανακεφαλαιωτικές προαγωγικές και απολυτήριες εξετάσεις
Γραπτές αακεφαλαιωτικές προαγωγικές και απολυτήριες εξετάσεις Δρ. Πααγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Για το υπολογισμό του βαθμού της ετήσιας επίδοσης τω
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 7-05-00 ΘΕΜΑ Α Α. ος τρόπος Οι παρατηρήσεις t, t,..., t έχου μέση τιμή. Οι έες παρατηρήσεις είαι της μορφής: yi = ti, όπου i =,,...,
Διαβάστε περισσότερα, θα παίρνουμε πάντα την ίδια τιμή για το Υ. Για παράδειγμα, Υ 12
Αάλυση Παλιδρόμησης Αάλυση Παλιδρόμησης Με τη αάλυση παλιδρόμησης (regresson analss) εξετάζουμε τη σχέση μεταξύ δύο ή περισσοτέρω μεταβλητώ με σκοπό τη πρόβλεψη τω τιμώ της μιας, μέσω τω τιμώ της άλλης
Διαβάστε περισσότεραΠαρουσίαση 1 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ
Παρουσίαση ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ Παρουσίαση.4 Μέτρα θέσης Στη συέχεια θα περιγράψουµε κάποια µέτρα, τα οοµαζόµεα µέτρα θέσης. Τα µέτρα θέσης µίας καταοµής, είαι κάποια αριθµητικά µεγέθη που δίου τη θέση του κέτρου
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ
ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 7 Μάθημα 8ο ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Μ. Κούτρας Συδυαστική 7-8 8 Το διωυμικό θεώρημα μπορεί α αποτελέσει τη βάση για τη απόδειξη
Διαβάστε περισσότεραBIOΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ιδάσκων: Τριανταφύλλου Ιωάννης Τ.Ε.Ι. ΑΘΗΝΑΣ
BIOΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ιδάσκω: Τριαταφύλλου Ιωάης Τ.Ε.Ι. ΑΘΗΝΑΣ Αιγάλεω 04 Που και πως θα µας φαεί χρήσιµη??? Για α περιγράψουµε έα δείγµα παρατηρήσεω ως προς τα χαρακτηριστικά του Παράδειγµα Κατά τη διόρθωση 00
Διαβάστε περισσότεραΕκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρα Α Γεικού Ημερησίου Λυκείου Προσθήκη θεμάτω 8 Νοεμβρίου 04 Εκφωήσεις Λύσεις τω θεμάτω Έκδοση 3 η (//04) Περιέχοται τα θέματα ΓΗ_Α_ΑΛΓ 480 ΓΗ_Α_ΑΛΓ 3073 ΓΗ_Α_ΑΛΓ 3096 ΓΗ_Α_ΑΛΓ 35
Διαβάστε περισσότερα9. Περιγραφική Στατιστική
9. Περιγραφική Στατιστική Περιγραφική Στατιστική Οι έοιες τυχαία μεταβλητή, τυχαίο δείγμα και πληθυσμός που προσεγγίσαμε και διατυπώσαμε με όρους Πιθαοτήτω στο Α Μέρος, αποτελού βασικές έοιες και της Στατιστικής.
Διαβάστε περισσότεραΕκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρα Α Γεικού Ημερησίου Λυκείου Προσθήκη θεμάτω 6 Οκτωβρίου 04 Εκφωήσεις Λύσεις τω θεμάτω Έκδοση η (3//04) Περιέχοται τα θέματα ΓΗ_Α_ΑΛΓ 480 ΓΗ_Α_ΑΛΓ 3073 ΓΗ_Α_ΑΛΓ 3096 ΓΗ_Α_ΑΛΓ 35 ΓΗ_Α_ΑΛΓ
Διαβάστε περισσότερα. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)
Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ
ΕΠΝΛΗΠΤΙΚΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ΛΓΕΡΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΘΟΥΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε εδεχόμεα, εός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση PA B= PA+ PB. ( ) ( ) ( ). Ισχύει ότι PA ( B) + PA ( B) = PA ( ) + PB ( )
Διαβάστε περισσότεραΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΜΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ ( ) ΟΜΑΔΑ Α ( 40% )
ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΜΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ (0-6-005) ΟΜΑΔΑ Α ( 40% ) ) Έστω μια τυχαία μεταβλητή Χ και ένα δείγμα x, x,, x n. Θεωρούμε την τιμή k = n i= ( x && x) i.να διευκρινιστεί
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εισαγωγή
Μέρος πέµπτο ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Εισαγωγή Στα προηγούµεα κεφάλαια είδαµε τις διάφορες µεθόδους συλλογής και επεξεργασίας του βιοµετρικού υλικού. Κάθε βιοµετρική επεξεργασία όµως έχει
Διαβάστε περισσότεραΈγιναν καλά εν έγιναν καλά Οµάδα Α (µε φάρµακο) Οµάδα Β (χωρίς φάρµακο) 35 15
Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής Γραπτή Εξέταση Περιόδου Ιουνίου 009 στη Στατιστική 9/06/09 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1. Ο χρόνος ζωής ενός εξαρτήµατος εργαστηριακού οργάνου σε εκατοντάδες ώρες περιγράφεται
Διαβάστε περισσότερακαι τυπική απόκλιση σ = 40mg ανά μπανάνα. α) Ποια είναι η πιθανότητα μια μπανάνα να περιέχει i)
Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γραπτή Εξέταση Περιόδου Ιανουαρίου 8 στο Μάθημα Στατιστική 7..8. [] Ο ανθρώπινος οργανισμός χρειάζεται καθημερινά από έως 6 mg (mllgrams) καλίου. Η ποσότητα καλίου που περιέχεται στα τρόφιμα
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 28/01/2011 (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) 1ο Θέμα [40] α) στ) 2ο Θέμα [40]
Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 8// (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) ο Θέμα [4] Τα τελευταία χρόνια παρατηρείται συνεχώς αυξανόμενο ενδιαφέρον για τη μελέτη της συγκέντρωσης
Διαβάστε περισσότερα, όπου x = 0,1,...,300000. Έτσι, για την πιθανότητα σε ένα έτος να μην υπάρξουν θάνατοι ζώων από τον εμβολιασμό έχουμε, 2! 299998!
Η Κατανομή Poisso Ας δούμε ένα πρόβημα: Σε μια κτηνοτροφική περιοχή υπάρχουν 3 αιγοπρόβατα. Κάθε χρόνο όα τα αιγοπρόβατα εμβοιάζονται για προστασία από κάποια ασθένεια. Σύμφωνα με την άδεια χρήσης του
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ
ΕΠΝΛΗΠΤΙΚΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ΛΓΕΡΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΘΟΥΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε εδεχόμεα, εός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση PA B= PA+ PB. ( ) ( ) ( ). Ισχύει ότι PA ( B) + PA ( B) = PA ( ) + PB ( )
Διαβάστε περισσότεραΔιωνυμική Κατανομή. x Αποδεικνύεται ότι για την διωνυμική κατανομή ισχύει: Ε(Χ)=np και V(X)=np(1-p).
Διωνυμική Κατανομή Ορισμός: Μια τυχαία μεταβλητή Χ λέγεται ότι ακολουθεί την διωνυμική κατανομή αν πληρούνται οι ακόλουθες τρεις συνθήκες: α) Υπάρχουν n επαναλαμβανόμενες δοκιμές οι οποίες είναι στατιστικώς
Διαβάστε περισσότεραΠαλµοκωδική ιαµόρφωση
Παλµοκωδική ιαµόρφωση Η παλµοκωδική διαµόρφωση (PCM) είαι το απλούστερο και αρχαιότερο σχήµα κωδικοποίησης κυµατοµορφής. Έας παλµοκωδικός διαµορφωτής αποτελείται από τρία βασικάµέρη: έαδειγµατολήπτηση,
Διαβάστε περισσότεραΕπίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2
Περιγραφική Στατιστική Όπως, ήδη έχουμε ααφέρει, στόχος της Περιγραφικής Στατιστικής είαι, «η αάπτυξη μεθόδω για τη συοπτική και τη αποτελεσματική παρουσίαση τω δεδομέω» Για το σκοπό αυτό, έχου ααπτυχθεί,
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα
Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Ορισμός τυχαίας μεταβλητής Τυχαία μεταβλητή λέγεται η συνάρτηση
Διαβάστε περισσότερα