3. Βασικά µαθηµατικά µεγέθη, συµβολισµοί και σχέσεις

Transcript

1 ρ.χ. Στρουθόπουλος, ΑΤΕΙ Σερρώ 3. Βαικά µαθηµατικά µεγέθη, υµβολιµοί και χέεις 3.. Πίακας τήλης Α το πλήθος τω προτύπω, το πλήθος τω χαρακτηριτικώ που µετράµε ε κάθε πρότυπο και Τ το πλήθος τω τάξεω, µπορούµε α χρηιµοποιήουµε έα δείκτη κ=,,..., για κάθε πρότυπο, έα δείκτη =,,..., για κάθε χαρακτηριτικό και έα δείκτη τ=,,...,τ για κάθε κλάη. Ο διαυµατικός χώρος τω προτύπω έχει διάταη (π.χ. Ε. Για τη τιµή του χαρακτηριτικού του κ προτύπου που αήκει τη κλάη τ γράφουµε τ κ. Συχά κάποιοι δείκτες δε χρηιµοποιούται ότα έχου προφαή τιµή ή ότα η ααφορά τους δε είαι απαραίτητη. Η µαθηµατική περιγραφή τω πραγµάτω τη ααγώριη προτύπω γίεται µε τη χρήη όρω της γραµµικής άλγεβρας. Το διάυµα που περιέχει χαρακτηριτικά εός προτύπου θα θεωρείται πίακας µε γραµµές και µία τήλη και θα υµβολίζεται N ή χάρι υτοµίας. Τα οόµατα όλω τω πιάκω θα γράφοται µε παχείς χαρακτήρες. Συχά θα χρηιµοποιούµε το αάτροφο πίακα Α Τ εός πίακα Α (Παράρτηµα Α. Όπου εδείκυται για εξοικοόµηη χώρου το πίακα τήλης εός προτύπου θα το γράφουµε ως πίακα γραµµής T =[,,...,,..., N ]. Με βάη το οριµό του πολλαπλαιαµού δύο πιάκω (Παράρτηµα Α η Ευκλέιδια απόταη d E,y τω πιάκω τήλης, y δύο προτύπω Π, Π υ δίεται από τη χέη (3.. d E,y = [-y T -y] / Ααγώριη Προτύπω-ευρωικά ίκτυα 3- Τµήµα Πληροφορικής & Επικοιωιώ

2 ρ.χ. Στρουθόπουλος, ΑΤΕΙ Σερρώ 3.. Εωτερικό γιόµεο Α δύο πρότυπα Π και Π y περιγράφοται διαυµατικά από τα διαύµατα,,,,, και y ( y, y,,y,,y ή ατίτοιχα από τους πίακες = [,,,,,, ] Τ, και y = [ y, y,,y,,y N ] T, όπου το πλήθος τω χαρακτηριτικώ τους, το εωτερικό γιόµεό τους ορίζεται από τη χέη (3.. y = y + y v yv +... N y N = y = Τ = y Α το διάυµα έχει µέτρο (µήκος ίο µε τη µοάδα, το γιόµεο y είαι ' η αλγεβρική τιµή της προβολής y του y επάω τη ευθεία που διέρχεται από το διάυµα (φορέας του. Ότα η γωία θ τω και y µικραίει το εωτερικό τους γιόµεο y = Τ y αυξάει και µεγιτοποιείται ότα τα και y βρίκοται τη ίδια ευθεία και έχου τη ίδια φορά (Σχ.3.-. y y θ θ y θ 3 = 0 y y = 3 y 3 Σχήµα 3.- Αυτό ηµαίει ότι τότε ιχύει η χέη y y y v y (3.. y = λ, y = λ όπου λ R και = = = = λ Υπό αυτές έας υθήκες το εωτερικό γιόµεο µπορεί α χρηιµοποιηθεί ως κριτήριο οµοιότητας (όχι υποχρεωτικά ιότητας δύο προτύπω. Παροτρύεται ο ααγώτης α εφαρµόει τα παραπάω το «κόµο» τω Ααγώριη Προτύπω-ευρωικά ίκτυα 3- Τµήµα Πληροφορικής & Επικοιωιώ

3 ρ.χ. Στρουθόπουλος, ΑΤΕΙ Σερρώ τριγώω όπου κάθε τρίγωο περιγράφεται διαυµατικά το τριδιάτατο χώρο µε υτεταγµέες τα µήκη τω πλευρώ του. Υπεθυµίζεται ότι κριτήριο ιότητας δύο προτύπω είαι η απόταή έας d(, y = Στατιτικά χαρακτηριτικά του χώρου τω προτύπω Για έα πλήθος προτύπω που περιγράφοται ε έα χώρο µε διατάεις η µέη τιµή µ είαι έας πίακας-τήλης που ορίζεται από τη χέη K Τ (3.3. µ = k = [µ,µ,...,µ...µ ] όπου µ = K κ= Η µέη τιµή µ ααφέρεται και ως η µαθηµατική προδοκία Ε όπου µεταβλητή για τους πίακες-τήλης τω προτύπω. Α υπάρχου λ πρότυπα που οι τιµές τω πιάκω-τήλης τους είαι ίες, λαµβάοται υπόψη λ φορές το άθροιµα της (3.3. και ως εκ τούτου δε χρηιµοποιείται το τύπο (3.3. η υάρτηη υχότητας εµφάιης f κάθε τιµής της µεταβλητής. Οι τιµές µ όπου = ορίζου το µέο διάυµα µ τω προτύπω το -διάτατο χώρο τους. Ο πίακας υµµεταβλητότητας ή πίακας υδιαποράς C ο ορίζεται από τη χέη κ= κ (3.3. C ο Τ = = k µ k µ κ = κ = κ κ κ κ [ κ, κ,..., κ κ,... κ ] = κ= κ κ κ κ λ κ κ κ κ κ κ -µ λ κ κ κ κ κ λ κ κ κ κ κ κ λ κ Nκ κ κ Ααγώριη Προτύπω-ευρωικά ίκτυα 3-3 Τµήµα Πληροφορικής & Επικοιωιώ

4 ρ.χ. Στρουθόπουλος, ΑΤΕΙ Σερρώ = λ λ λ λ N = Ε( -µ -µ Τ όπου λ = λ κ κ = Η ποότητα είαι η µεταβλητότητα ή διαπορά (vaiance τω µετρήεω του -οτού χαρακτηριτικού τω προτύπω. Η ποότητα λ = λ λέγεται υµµεταβλητότητα ή υδιαπορά τω τιµώ τω λ και χαρακτηριτικώ τω προτύπω και χρηιµοποιείται για το υπολογιµό του υτελετή υχέτιης P λ δύο χαρακτηριτικώ µ, ύµφωα µε τη χέη (3.3.3 Ρ λ λ = λ Η ποότητα = λέγεται τυπική απόκλιη. Οι παραπάω ποότητες χρηιµοποιούται για τη αξιολόγηη και αάλυη τω µετρούµεω χαρακτηριτικώ Αποτάεις Εκτός από τη Ευκλείδεια απόταη υπάρχου και άλλοι τύποι αποτάεω ε διαυµατικούς χώρους. Για α θεωρηθεί απόταη µια χέη d, y θα πρέπει για οποιοδήποτε διάυµα, y, z α ικαοποιούται οι χέεις: (3.4. d, y = d(y, d, y d, z + d(z, y d, y 0 Α d, y = 0 = y Συήθεις τύποι αποτάεω είαι οι παρακάτω: α inkowski τάξης s (3.4. d N s µ, y = = /s Ααγώριη Προτύπω-ευρωικά ίκτυα 3-4 Τµήµα Πληροφορικής & Επικοιωιώ

5 ρ.χ. Στρουθόπουλος, ΑΤΕΙ Σερρώ β City Block Είαι ειδική περίπτωη της inkowski µε s= (3.4.3 d c, y = = γ Ευκλείδεια Είαι ειδική περίπτωη της inkowski για s= (3.4.4 d / N T / ε, y = = [( - y ( - y] = δ Chebychev (3.4.5 d T, y = ma( ε ahalanobis T - (3.4.6 d, y = d (, y = ( - y Cov ( - y R R όπου Cov ο πίακας υµµεταβλητότητάς τω και y. τ Μη γραµµική (Non inea (3.4.7 O α d, y T d N, y = α d, y > T Η όπου Η,Τ R παράµετροι της απόταης και d, y µια άλλη απόταη του χώρου. Ααγώριη Προτύπω-ευρωικά ίκτυα 3-5 Τµήµα Πληροφορικής & Επικοιωιώ