ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΜΔΕ Προηγμένα Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα και Δίκτυα Διάλεξη 4 η Νικόλαος Χ. Σαγιάς Επίκουρος Καθηγητής Webpage: hp://ecla.uop.gr/coure/tst25 e-mail: nagia@uop.gr

Ατζέντα. Εισαγωγή 2. Δειγματοληψία I 3. Δειγματοληψία II 4. Κβάντιση 5. Κωδικοποίηση και PCM 6. Συστήματα βασικής ζώνης Ι 7. Συστήματα βασικής ζώνης ΙΙ 8. Συστήματα βασικής ζώνης ΙΙΙ 9. Διαμόρφωση διέλευσης ζώνης Ι. Διαμόρφωση διέλευσης ζώνης ΙΙ. Διαμόρφωση διέλευσης ζώνης ΙΙΙ 2. Επανάληψη 2

Διαμόρφωση Κανάλι AWGN m i = {b, b,,b K } i () r() bi m = m = m2 = m = 3 {,} {,} {, } {,} Πομπός Έστω M μηνύματα, m i (i =,,, M ), το καθένα αποτελούμενο από Κ = log 2 (M) Ο αριθμός M ονομάζεται τάξη της διαμόρφωσης (modulaion order) Τα bi της πηγής είναι ισοπίθανα και συνεπώς τα m i έχουν ίδια πιθανότητα εμφάνισης Ο πομπός αντιστοιχεί κάθε μήνυμα σε ένα Μ-ιαδικό σύμβολο, i () ( ) ( ) ( ) ( ) Το κανάλι αλλοιώνει τα εκπεμπόμενα σύμβολα 2 3 Ο δέκτης πρέπει να αναγνωρίσει ποιο ανάμεσα από τα M πιθανά σύμβολα εκπέμφθηκε n() bi Δέκτης mˆ i bi 3

Διαμόρφωση Η επιλογή του σχήματος διαμόρφωσης γίνεται με βάση: Ρυθμός μετάδοσης bi, R b Φασματική απόδοση, R b / B w Απόδοση ισχύος, E b / N Ανοχή στα προβλήματα του καναλιού μετάδοσης Κόστος υλοποίησης 4

g T () Διαμόρφωση πλάτους παλμού (pule ampliude modulaion PAM) T b Στο PAM χρησιμοποιούνται παλμοί, g T (), διάρκειας T b () Δυαδικό PAM (M = 2) A Για το bi, το πλάτος του παλμού είναι +A και η κυματομορφή: () = A g T (), < T b () T b T b Για το bi, το πλάτος του παλμού είναι A και η κυματομορφή: -A () = -A g T (), < T b Σύμβολα δυαδικού PAM (Μ = 2) Διαφορετική έκδοση του δυαδικού PAM είναι το on/off keying: Για το bi, η κυματομορφή είναι () A () = A g T (), < T b () T b Για το bi, η κυματομορφή είναι () =, < T b T b Σύμβολα on/off (Μ = 2) 5

g T () Στο M-ιαδικό PAM κάθε σύμβολο αναπαριστάται με έναν παλμό, g T (), T διάρκειας T και πλάτους A m = A (2 m + M), m =,,, M, και κυματομορφή 3 () m () = A m g T (), < T 3A Η ενέργεια ανά σύμβολο PAM είναι ( ) ( ) T 2 2 T d 2 d 2 T d 2 m = m = m T = m = m E A g A T A Ο ρυθμός μετάδοσης των συμβόλων PAM είναι () -A () T T 2 () A T T R Rb = = = T KT K Ο ρυθμός μετάδοσης συμβόλων είναι K φορές μικρότερος από το ρυθμό μετάδοσης bi b -3A Σύμβολα τετραδικού PAM (Μ = 4) 6

Διαμόρφωση θέσης παλμού (pule poiion modulaion PPM) Στο δυαδικό PPM χρησιμοποιούνται παλμοί, g T (), διάρκειας T b / 2 Για το bi, η κυματομορφή του συμβόλου αναπαρίσταται ως () = A g T (), < T b / 2 Για το bi, η κυματομορφή του συμβόλου αναπαρίσταται ως () = A g T ( T b / 2), T b / 2 < T b Στο M-ιαδικό PAM κάθε σύμβολο αναπαριστάται με έναν παλμό, g T (), διάρκειας T / M και πλάτους A. Η κυματομορφή του συμβόλου είναι m () = A g T ( m T / M ), m T / M < (m + ) T / M με m =,,, M () A () A g T () A T b / 2 T b / 2 T / M T b T b Σύμβολα δυαδικού PPM (Μ = 2) () A () A 2 () A 3 () A T /4 2T /4 3T /4 T T /4 2T /4 3T /4 T T /4 2T /4 3T /4 Σύμβολα τετραδικού PPM (Μ = 4) T T /4 2T /4 3T /4 T 7

Η ενέργεια ανά σύμβολο PPM είναι ( + ) ( + ) m ( ) T E A g T A A M M T m T M m T M 2 2 2 2 2 m = m d = T d = d = mt M mt M Ο ρυθμός μετάδοσης των συμβόλων PPM είναι R Rb = = = T KT K b Ο ρυθμός μετάδοσης συμβόλων είναι K φορές μικρότερος από το ρυθμό μετάδοσης bi Ιδιαίτερο χαρακτηριστικό των συμβόλων PPM είναι ότι δεν αλληλοεπικαλύπτονται χρονικά και συνεπώς Σήματα για τα οποία ισχύει η παραπάνω ιδιότητα χαρακτηρίζονται ως ορθογώνια (orhogonal) T ( ) ( ) d =, m n m n 8

Τα σύμβολα PAM έχουν μεταξύ τους διαφορετική ενέργεια το καθένα Τα σύμβολα PPM έχουν μεταξύ τους όλα ίδια ενέργεια Τόσο στο PAM όσο και στο PPM μπορούν να χρησιμοποιηθούν παλμοί διάρκειας T και T / M, αντίστοιχα, διαφορετικοί από τετραγωνικούς Παλμοί για PAM: g T () T g T () Ως συνέπεια της διάρκειας των παλμών g T () προκύπτει ότι: Στο PAM καθώς μεγαλώνει το M, το απαιτούμενο εύρος ζώνης διατηρείται σταθερό Στο PPM καθώς μεγαλώνει το M, το απαιτούμενο εύρος ζώνης αυξάνει Ανεξάρτητα από την επιλογή του παλμού g T (), το PPM απαιτεί εύρος ζώνης M φορές μεγαλύτερο από το εύρος ζώνης του PAM T Παλμοί για PPM: g T () T / M g T () T / M 9

Φασματική πυκνότητα ισχύος M-PAM S pam (f) = inc 2 (f T ) Η S pam (f) είναι κανονικοποιημένη ώστε η μέση ισχύς να είναι ανεξάρτητα του M Οι μηδενισμοί εμφανίζονται όταν f = k / T, με k = ±, ±2, ±3, Εύρος ζώνης από μηδενισμό-σε-μηδενισμό (null-o-null bandwidh) B - = / T Το εύρος ζώνης είναι ανεξάρτητο του M S pam (f) (dbw/hz) - -9-8 -7-6 -5-4 -3-2 - Φασματική Πυκνότητα Ισχύος PAM (M = 2, 4, 8) / T ( ) B = S f df = B pam 9% / T 2 3 4 5 6 7 8 9 f T Εύρος Φάσματος Περιεχόμενη Ισχύς ± / T 9% ±.5 / T 93% ±2 / T 95% ±3 / T 96.5% ±4 / T 97.5% ±5 / T 98%

Φασματική πυκνότητα ισχύος δυαδικού PPM Tb 2 ftb S2 ppm ( f ) = in c co( π ft ) + f 4 2 2 ( b ) δ ( ) Το φάσμα του 2-PPM περιέχει τόσο συνεχές φάσμα όσο και διακριτό Στο 2-PPM μηδενισμοί στο φάσμα εμφανίζονται για f = 2 k / T b με k = ±, ±2, ±3, Σε σύγκριση με το 2-PAM, το 2-PPM απαιτεί διπλάσιο εύρος ζώνης S 2apm (f), S 2ppm (f) (dbw/hz) 2-PAM 2-PPM / T ( ) 2-PAM: B = S f df = B 2pam 9% / T 2/ T ( ) 2-PPM: B = S f df = B 2ppm 93% 2/ T -5-4 -3-2 - 2 3 4 5 f T b Φασματική Πυκνότητα Ισχύος 2-PAM και 2-PPM

Φασματική πυκνότητα ισχύος τετραδικού PPM T ft π ft π ft S4 ppm f c f 4 4 2 4 4 2 2 2 ( ) = in co co + δ ( ) Γενικά, το φάσμα του M-PPM περιέχει τόσο συνεχές όσο και διακριτό φάσμα Στο M-PPM μηδενισμοί στο φάσμα εμφανίζονται για f = k M / T με k = ±, ±2, ±3, Σε σύγκριση με το M -PAM, το M -PPM απαιτεί M φορές μεγαλύτερο εύρος ζώνης 2/ T ( ) 2-PPM: B = S f df = B 2ppm 93% 2/ T 4/ T ( ) 4-PPM: B = S f df = B 4ppm 9% 4/ T 8/ T ( ) 8-PPM: B = S f df = B 8ppm 9% 8/ T S ppm (f) - -8-6 -4-2 (dbw/hz) 4 6 8 Φασματική Πυκνότητα Ισχύος PPM (M = 2, 4, 8) 2 M = 2 M = 4 M = 8 f T 2

Σύγκριση M-PPM με M-PAM ως προς εύρος ζώνης (ίδιος ρυθμό μετάδοσης bi R b ) Για να μεταδώσουμε K bi με M-PAM χρειάζονται: M = 2 K σύμβολα Διάρκεια κάθε παλμού T = K / R b Εύρος ζώνης παλμού περίπου B W = / (2 T ) = Β 95% Άρα, απαιτούμενο εύρος ζώνης καναλιού BW = R b / [2 log 2 (M)] Για να μεταδώσουμε K bi με M-PPM χρειάζονται: M = 2 K σύμβολα διάρκειας T = K / R b Διάρκεια κάθε παλμού T p = T / M = K / (Μ R b ) Εύρος ζώνης παλμού περίπου B W = M / (2 T ) Β 95% Άρα, απαιτούμενο εύρος ζώνης καναλιού BW = M R b / [2 log 2 (M)] Συνεπώς για να μεταδοθούν δεδομένα με ρυθμό R b, το M-PPM απαιτεί M φορές μεγαλύτερο εύρος ζώνης καναλιού σε σχέση με το M-PAM 3

Το εσωτερικό γινόμενο μεταξύ δύο πραγματικών κυματομορφών m () και n (), οι οποίες ορίζονται στο διάστημα [, 2 ], είναι 2 m( ), n( ) = m( ) n( ) d Αν < m (), n () > =, τα m () και n () είναι ορθογώνια Σημειώνουμε την ομοιότητα με την Ευκλείδεια γεωμετρία, όπου το εσωτερικό γινόμενο μεταξύ δύο διανυσμάτων ˆ ˆ ˆ f= if και είναι + jf2 + kf g= ig ˆ 3 + ˆjg2 + kg ˆ 3 3 fg = fn gn n = Το μέτρο ή νόρμα μιας κυματομορφής m (), η οποία ορίζεται στο διάστημα [, 2 ], είναι Η νόρμα συνδέεται με την ενέργεια της κυματομορφής ως E m = m () 2 Η Ευκλείδεια απόσταση μεταξύ δύο κυματομορφών m () και n (), οι οποίες ορίζονται στο διάστημα [, 2 ], είναι 2 2 m( ) = m( ), m( ) = m( ) d 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dm, n = m n = m n, m n = m n d 2 4

Έστω N το πλήθος κυματομορφές ψ m () με m =,,, M με την παρακάτω ιδιότητα ψ ( ), ψ ( ) Το σύνολο των N κυματομορφών αποτελούν μια ορθοκανονική βάση (orhonormal bai) Ο αριθμός N ονομάζεται διάσταση (dimenion) του χώρου των κυματομορφών Είναι χρήσιμο να μπορούμε να αναπτύξουμε οποιοδήποτε M-ιαδικό σύνολο σημάτων σε μία ορθοκανονική βάση με N M N = w ψ, k =,,, M Παρέχει σύντομο χαρακτηρισμό των σημάτων m n,αν m n =, αν m= n ( ) ( ) k ik, i i= Απλοποιεί την ανάλυση των επιδόσεων Παρέχει μια γεωμετρικού τύπου αναπαράσταση των σημάτων Η εύρεση της βάσης του χώρου είναι γενικά ένα δύσκολο πρόβλημα Ένας εύκολος τρόπος να βρεθεί μία βάση είναι με ορθογωνιοποίηση Gram-Schmid Η βάση που προκύπτει δεν είναι μοναδική 5

Διαδικασία ορθογωνιοποίησης Gram-Schmid: Η η κυματομορφή της ορθοκανονικής βάσης προκύπτει ως ψ ( ) = ( ) E Για τη 2 η κυματομορφή πρέπει πρώτα να υπολογιστεί η προβολή του () στο ψ () ως ( ) ( ) c, = ψ d Τότε η 2 η κυματομορφή προκύπτει ως ψ ( ) = ( ) c,ψ ( ) E Ομοίως, η k-ιωστή κυματομορφή προκύπτει αφού πρώτα υπολογιστεί η προβολή ( ) ψ ( ) cki, = k i d ως ψ k k k ki, i E k i= ( ) = ( ) c ψ ( ) 6

Παράδειγμα ορθογωνιοποίησης Gram-Schmid τετραδικού σήματος (M = 4) Η ορθοκανονική βάση έχει διάσταση N = 3 Τα m () εκφράζονται ως γραμμικός συνδυασμός των ψ m () μέσω των διανυσμάτων = ( 2,, ), = (, 2, ), = (, - 2, ) και = ( 2,, ) ψ () 2 3 / 2 2 3 () 2 () ψ () - () - 2 3 2 3-3 () - 2 3 2 3 ( ) = 2ψ ( ) ( ) = 2ψ ( ) ( ) = 2ψ ( ) + ψ ( ) ( ) = 2ψ ( ) + ψ ( ) 2 2 3 2 / 2 - / 2 ψ 2 () 2 3 2 3 Τετραδικό σήμα (M = 4) Ορθοκανονική βάση με N = 3 7

Παράδειγμα ορθογωνιοποίησης Gram-Schmid τετραδικού σήματος (M = 4) Τα m () εκφράζονται ως γραμμικός συνδυασμός των ψ m () μέσω των διανυσμάτων = ( 2,, ), = (, 2, ), = (, - 2, ) και = ( 2,, ) 2 Τα σημεία στα οποία καταλήγουν τα διανύσματα απαρτίζουν το διάγραμμα αστερισμού (conellaion diagram) του τετραδικού σήματος 3 ( ) = 2ψ ( ) ( ) = 2ψ ( ) ( ) = 2ψ ( ) + ψ ( ) ( ) = 2ψ ( ) + ψ ( ) 2 2 3 2 O ψ 2 2-2 3 2 ψ 2 ψ 8

Ορθογωνιοποίηση Gram-Schmid M-ιαδικού PAM Τα M-ιαδικά σύμβολα του PAM μπορούν να αναπαρασταθούν ως g T () m () = A m g T (), < T με A m = A (2 m + M), m =,,, M, και την ενέργεια των παλμών g T () να είναι T 2 Ep = gt ( ) d Πραγματοποιώντας ορθογωνιοποίηση Gram-Schmid, εύκολα προκύπτει ότι: Η ορθοκανονική βάση έχει διάσταση N = T Η συνάρτηση βάσης έχει μορφή ψ () = g T () / E p, < T Τα M-ιαδικά σύμβολα εκφράζονται μέσω της συνάρτησης βάσης ως m () = m ψ (), < T με m = A m E p Δεδομένου ότι η διάσταση της ορθοκανονικής βάσης είναι N =, το διάγραμμα αστερισμού είναι μονοδιάστατό (θεωρώντας E p = ) -5A -3A -A A 3A 5A ψ () 9

Ορθογωνιοποίηση Gram-Schmid M-ιαδικού PPM Τα M-ιαδικά σύμβολα του PPM μπορούν να αναπαρασταθούν ως m () = A g T ( m T / M), m T / M < (m + ) T / M, με m =,,, M ( m+ ) T M με την ενέργεια των παλμών g T () να είναι 2 m Ep = gt T d mt M M Πραγματοποιώντας ορθογωνιοποίηση Gram-Schmid, εύκολα προκύπτει ότι: Η ορθοκανονική βάση έχει διάσταση N = M Η συναρτήσεις βάσης έχουν μορφή ψ m () = g T ( m T / M) / E p, m T / M < (m + ) T / M Τα σύμβολα εκφράζονται μέσω των συναρτήσεων βάσης ως m m+ m( ) = Eψ m( ), T < T M M με E να είναι η ενέργεια ανά σύμβολο E = A 2 E p Δεδομένου ότι N = M, το διάγραμμα αστερισμού δε μπορεί να αναπαρασταθεί γραφικά όταν M > 3 E,,, =,,, και =, E,,, M M E ψ g T () ψ 2 E 2 T / M Διάγραμμα αστερισμού για M = 3 M =,,,, E M O E ψ 2