Τυχαίοι γράφοι Η διάμετρος του G(n, 2 ln n/n) Ioannis Giotis

Τυχαίοι γράφοι Η διάμετρος του G(n, 2 ln n/n) Ioannis Giotis

Θεώρημα για σφαίρες Θα δείξουμε ότι το γράφημα G(n, 2 ln n n 1 ) έχει μικρή διάμετρο Θα ξεκινήσουμε με ένα θεώρημα για το μέγεθος μιας σφαίρας γύρω από μία κορυφή. Έστω (r, a) η μπάλα ακτίνας r γύρω από μια κορυφή a (όλες οι κορυφές σε απόσταση r) και S(r, a) η σφαίρα ακτίνας r (όλες οι κορυφές σε απόσταση ακριβώς r) Theorem Έστω a μια κορυφή του γραφήματος και r ένας ακέραιος. Αν B(r, a) n/12 ln n και s = S(r, a), τότε Pr[ S(r + 1, a) (1/5)s ln n] n 1,2 1 / 15

Σφαίρες: Απόδειξη Έστω b = B(r, a). Ας κοιτάξουμε τις κορυφές εκτός του B(r, a) και ας δούμε την πιθανότητα να συνδέονται με την σφαίρα S(r, a).κάθε κορυφή έχει πιθανότητα να ΜΗΝ συνδέεται ( ) s (1 p) s 1 ps + p 2, από εγκλεισμό-αποκλεισμό 2 Άρα η πιθανότητα που ψάχνουμε είναι Ας απλοποιήσουμε 1 (1 p) s ps(1 ps/2) ps 2 ln n n Άρα ps(1 ps/2) (11/12)ps. n 12 ln n = 1 6 2 / 15

Σφαίρες: Απόδειξη Η μέση τιμή του αριθμού κορυφών στο S(r + 1, a) είναι τουλάχιστον (11/12)ps(n b) (11/12) 2 psn (10/12)psn = s(20/12) ln n Πόσο μακριά από τη μέση τιμή μπορούμε να βρεθούμε; Από φράγμα Chernoff ( e δ ) µ Pr[X (1 δ)µ] (1 δ) 1 δ e µδ2 /2 για δ = 46/50 η πιθανότητα του θεωρήματος είναι Theorem (0, 3022) s ln n n 1,2s Pr[ S(r + 1, a) (1/5)s ln n] n 1,2 3 / 15

Τι συμβαίνει με τις σφαίρες; Για ευκολία ας θέσουμε γ = (1/5) ln n και ας θεωρήσουμε αρκετά μεγάλο n ώστε γ > 2. Ας δούμε το προηγούμενο θεώρημα. Έστω κάποια κορυφή a και r a η μεγαλύτερη ακτίνα ώστε B(r a, a) n/12 ln n. Ας θεωρήσουμε ότι για όλα τα r r a ότι S(r + 1, a) γ S(r, a). B(r, a) = r S(r, a) S(r, a) (1 + t=1 r (1/γ) t ) t=1 γ S(r, a) γ 1 S(r, a) γ 1 B(r, a) γ Υποθέσαμε ότι γ > 2 άρα το S(r, a) έχει τις περισσότερες κορυφές του B(r, a).... αρκεί να ισχύει το θεώρημα σφαιρών για όλα τα r r a. Αφού γ > 2, r a log 2 n. Η πιθανότητα να ισχύει το θεώρημα για όλες τις κορυφές και όλα τα r (n log n) είναι τουλάχιστον 1 log n/n 1/5 που τείνει στο 1. 4 / 15

Διάμετρος Θα δείξουμε ότι με την προηγούμενη πιθανότητα το γράφημά μας θα (πιθανά) έχει διάμετρο το πολύ 2 log 2 n + 3. Η υπόθεση μας είναι ότι για κάθε κορυφή a έχουμε, S(r a + 1, a) 1 2 B(r a + 1, a) n 24 ln n. όπου χρησιμοποιήσαμε ότι r a είναι η μεγαλύτερη ακτίνα ώστε B(r a, a) n/12 ln n. Θα δείξουμε ότι για κάθε ζευγάρι κορυφών a και b υπάρχει ένα σύντομο μονοπάτι ανάμεσα στις σφαίρες S(r a + 1, a) και S(r b + 1, b). 5 / 15

Διάμετρος Η πιθανότητα μια κορυφή που δεν είναι στο B(r a + 1, a) να ΜΗΝ είναι γείτονας του S(r a + 1, a) είναι ( (1 p) S(ra+1,a) exp( p S(r a + 1, a) ) exp 2 ln n ) n n 24 ln n = exp(1/12) 1 1/13 Άρα κάθε κορυφή έχει τουλάχιστον 1/13 πιθανότητα να είναι γείτονας του B(r a + 1, a). 6 / 15

Διάμετρος E[ B(r a + 2, a) ] n/13 Από φράγμα Chernoff μπορούμε πάλι να πούμε ότι πολύ μεγάλη πιθανότητα B(r a + 2, a n/14 Το ίδιο ισχύει και για B(r b + 2, b). Αν δεν επικαλύπτονται, τότε υπάρχουν τουλάχιστον (n/14) 2 πιθανές ακμές μεταξύ τους. Θα δείξουμε ότι είναι αρκετά απίθανο να μην υπάρχει καμία από αυτές τις ακμές. 7 / 15

Διάμετρος Η πιθανότητα να μην υπάρχει καμία από (n/14) 2 πιθανές ακμές είναι ( (1 p) (n/14)2 = 1 2 ln n ) (n/14) 2 exp( n ln n n 98 ) Πόσες τέτοιες σφαίρες μπορεί να υπάρχουν; ( ) n 2 n/14 Από union-bound ( ) n 2 exp( n ln n n/14 98 ) (14e)2(n/14) exp( n ln n 98 ) = exp( n ln n + (n/7) ln(14e)) 98 exp( n( ln n 98 ln(14e) ) 7 8 / 15

Διάμετρος: Ανακεφαλαίωση Δείξαμε ότι οποιεσδήποτε σφαίρες* ενώνονται. Άρα μπορούμε να φτάσουμε από οποιαδήποτε κορυφή στην αντίστοιχη σφαίρα σε το πολύ log n + 1 βήματα, να περάσουμε στην άλλη σφαίρα και να φτάσουμε στην κορυφή-στόχο. Διάμετρος 2 log n + 3. 9 / 15

Άσκηση 1 Δείξτε ότι ένα γράφημα G(n, p) με p = o(1/n) σχεδόν σίγουρα δεν έχει κύκλο. 10 / 15

Άσκηση 1: Λύση Ας ορίσουμε τυχαία μεταβλητή X τον αριθμό των κύκλων στο γράφημα. Έχουμε Pr[X > 0] E[X] που από τη γραμμικότητα της μέσης τιμής και την ομοιομορφία των κορυφών αυτό ισούται με τον αριθμό των πιθανών κύκλων επί την πιθανότητας ύπαρξης ενός συγκεκριμένου κύκλου. Επειδή είναι δύσκολο αυτά να υπολογιστούν απευθείας θα ομαδοποιήσουμε κατά το μήκος των κύκλων. 11 / 15

Άσκηση 1: Λύση Ένας συγκεκριμένος κύκλος μήκους k έχει πιθανότητα να υπάρχει ακριβώς p k καθώς κάθε μία από τις ακμές του υπάρχει με πιθανότητα p. Υπάρχουν ( n k) τρόποι να επιλεγούν οι k κορυφές ενός κύκλου μήκους k. Στη συνέχεια, ας ορίσουμε ως πρώτη κορυφή οποιαδήποτε, υπάρχουν k 1 τρόποι να επιλεγεί η δεύτερη κορυφή του κύκλου, k 2 η επόμενη κτλ. Μετράμε όμως έτσι κάθε κύκλο δύο φορές καθώς και η αντίστροφη διάταξη των κορυφών παράγει τον ίδιο κύκλο. Συνολικά έχουμε E[X] = n k=3 ( ) n (k 1)! p k k 2 n k=3 n k 2k pk n (np) k Όταν p = o(1/n) τότε E[X] τείνει στο 0 καθώς το n τείνει στο άπειρο. k=3 12 / 15

Άσκηση 2 Δείξτε ότι ένα γράφημα G(n, 1/2) σχεδόν σίγουρα δεν έχει κλίκα μεγέθους (2 + ε) log 2 n. 13 / 15

Άσκηση 2: Λύση Ας θεωρήσουμε κάποιες (2 + ε) log 2 n κορυφές. Η πιθανότητα να υπάρχουν όλες οι ακμές μεταξύ αυτών είναι (1/2) ((2+ε) log 2 n 2 ) = 2 ((2+ε) log 2 n)(2+ε) log 2 n 1)/2 2 (2+ε) log2 2 n για n αρκετά μεγάλο ώστε ε log 2 n 1. 14 / 15

Άσκηση 2: Λύση Υπάρχουν ( ) n (2+ε) log 2 n 2 (2+ε) log2 2 n ((2+ε) log 2 n)! τέτοια σύνολα κορυφών στο γράφημα. Από union-bound η πιθανότητα να υπάρχει τουλάχιστον ένα τέτοιο σύνολο με όλες τις ακμές μεταξύ τους είναι το πολύ 2 (2+ε) log2 2 n 2 (2+ε) log2 2 n ((2 + ε) log 2 n)! 1 ((2 + ε) log 2 n)! που τείνει στο 0 όπως το n τείνει στο άπειρο. 15 / 15