Πίνακες Σσμβόλων Έλαο πίνακας σσμβόλων ππνζηεξίδεη δύν βαζηθέο ιεηηνπξγίεο: Εηζαγσγή ελόο ζηνηρείνπ Αλαδήηεζε ζηνηρείνπ κε δεδνκέλν θιεηδί Άιιεο ρξήζηκεο ιεηηνπξγίεο είλαη: Δηαγξαθή ελόο θαζνξηζκέλνπ ζηνηρείνπ Επηινγή ηνπ k-νζηνύ κηθξόηεξνπ ζηνηρείνπ Ταμηλόκεζε ηνπ πίλαθα ζπκβόισλ (δηαηεηαγκέλε επίζθεςε ησλ ζηνηρείσλ ζύκθσλα κε ηα θιεηδηά ηνπο) Έλσζε δύν πηλάθσλ ζπκβόισλ
Πίνακες Σσμβόλων ρεηξόηεξε πεξίπησζε κέζε πεξίπησζε εηζαγσγή αλαδήηεζε εηζαγσγή αλαδήηεζε δηαηεηαγκέλνο πίλαθαο δηαηεηαγκέλε ιίζηα κε δηαηεηαγκέλνο πίλαθαο κε δηαηεηαγκέλε ιίζηα δέλδξν δπαδηθήο αλαδήηεζεο ηπραηνπνηεκέλν δέλδξν δέλδξν θόθθηλνπ-καύξνπ θαηαθεξκαηηζκόο (*) Σπκβαίλεη κε εμαηξεηηθά κηθξή πηζαλόηεηα
Πίνακες Σσμβόλων ρεηξόηεξε πεξίπησζε κέζε πεξίπησζε εηζαγσγή αλαδήηεζε εηζαγσγή αλαδήηεζε δηαηεηαγκέλνο πίλαθαο δηαηεηαγκέλε ιίζηα κε δηαηεηαγκέλνο πίλαθαο κε δηαηεηαγκέλε ιίζηα δέλδξν δπαδηθήο αλαδήηεζεο ηπραηνπνηεκέλν δέλδξν δέλδξν θόθθηλνπ-καύξνπ θαηαθεξκαηηζκόο (*) Σπκβαίλεη κε εμαηξεηηθά κηθξή πηζαλόηεηα Με δπαδηθή αλαδήηεζε
Δένδρα Δσαδικής Αναζήηηζης Δένδρο δσαδικής αναδήτεσες (binar search tree) : Τν θιεηδί νπνηνπδήπνηε εζσηεξηθνύ θόκβνπ είλαη κεγαιύηεξν (ή ίζν) από όια ηα θιεηδηά ηνπ αξηζηεξνύ ππνδέλδξνπ θαη κηθξόηεξν (ή ίζν) από όια ηα θιεηδηά ηνπ δεμηνύ ππνδέλδξνπ. 17 14 21 10 16 19 23 7 12 15 20 3
Δένδρα Δσαδικής Αναζήηηζης Δένδρο δσαδικής αναδήτεσες (binar search tree) : Τν θιεηδί νπνηνπδήπνηε εζσηεξηθνύ θόκβνπ είλαη κεγαιύηεξν (ή ίζν) από όια ηα θιεηδηά ηνπ αξηζηεξνύ ππνδέλδξνπ θαη κηθξόηεξν (ή ίζν) από όια ηα θιεηδηά ηνπ δεμηνύ ππνδέλδξνπ. 17 15<17 Αλαδήηεζε 15 14 21 10 16 19 23 7 12 15 20 3
Δένδρα Δσαδικής Αναζήηηζης Δένδρο δσαδικής αναδήτεσες (binar search tree) : Τν θιεηδί νπνηνπδήπνηε εζσηεξηθνύ θόκβνπ είλαη κεγαιύηεξν (ή ίζν) από όια ηα θιεηδηά ηνπ αξηζηεξνύ ππνδέλδξνπ θαη κηθξόηεξν (ή ίζν) από όια ηα θιεηδηά ηνπ δεμηνύ ππνδέλδξνπ. 15>14 17 14 21 Αλαδήηεζε 15 10 16 19 23 7 12 15 20 3
Δένδρα Δσαδικής Αναζήηηζης Δένδρο δσαδικής αναδήτεσες (binar search tree) : Τν θιεηδί νπνηνπδήπνηε εζσηεξηθνύ θόκβνπ είλαη κεγαιύηεξν (ή ίζν) από όια ηα θιεηδηά ηνπ αξηζηεξνύ ππνδέλδξνπ θαη κηθξόηεξν (ή ίζν) από όια ηα θιεηδηά ηνπ δεμηνύ ππνδέλδξνπ. 17 Αλαδήηεζε 15 14 21 15<16 10 16 19 23 7 12 15 20 3
Δένδρα Δσαδικής Αναζήηηζης Δένδρο δσαδικής αναδήτεσες (binar search tree) : Τν θιεηδί νπνηνπδήπνηε εζσηεξηθνύ θόκβνπ είλαη κεγαιύηεξν (ή ίζν) από όια ηα θιεηδηά ηνπ αξηζηεξνύ ππνδέλδξνπ θαη κηθξόηεξν (ή ίζν) από όια ηα θιεηδηά ηνπ δεμηνύ ππνδέλδξνπ. 17 Αλαδήηεζε 15 14 21 10 15=15 16 19 23 7 12 15 20 3
Δένδρα Δσαδικής Αναζήηηζης Δένδρο δσαδικής αναδήτεσες (binar search tree) : Τν θιεηδί νπνηνπδήπνηε εζσηεξηθνύ θόκβνπ είλαη κεγαιύηεξν (ή ίζν) από όια ηα θιεηδηά ηνπ αξηζηεξνύ ππνδέλδξνπ θαη κηθξόηεξν (ή ίζν) από όια ηα θιεηδηά ηνπ δεμηνύ ππνδέλδξνπ. 13<17 17 Εηζαγσγή 13 14 21 10 16 19 23 7 12 15 20 3
Δένδρα Δσαδικής Αναζήηηζης Δένδρο δσαδικής αναδήτεσες (binar search tree) : Τν θιεηδί νπνηνπδήπνηε εζσηεξηθνύ θόκβνπ είλαη κεγαιύηεξν (ή ίζν) από όια ηα θιεηδηά ηνπ αξηζηεξνύ ππνδέλδξνπ θαη κηθξόηεξν (ή ίζν) από όια ηα θιεηδηά ηνπ δεμηνύ ππνδέλδξνπ. 13<14 17 14 21 Εηζαγσγή 13 10 16 19 23 7 12 15 20 3
Δένδρα Δσαδικής Αναζήηηζης Δένδρο δσαδικής αναδήτεσες (binar search tree) : Τν θιεηδί νπνηνπδήπνηε εζσηεξηθνύ θόκβνπ είλαη κεγαιύηεξν (ή ίζν) από όια ηα θιεηδηά ηνπ αξηζηεξνύ ππνδέλδξνπ θαη κηθξόηεξν (ή ίζν) από όια ηα θιεηδηά ηνπ δεμηνύ ππνδέλδξνπ. 17 Εηζαγσγή 13 13>10 14 21 10 16 19 23 7 12 15 20 3
Δένδρα Δσαδικής Αναζήηηζης Δένδρο δσαδικής αναδήτεσες (binar search tree) : Τν θιεηδί νπνηνπδήπνηε εζσηεξηθνύ θόκβνπ είλαη κεγαιύηεξν (ή ίζν) από όια ηα θιεηδηά ηνπ αξηζηεξνύ ππνδέλδξνπ θαη κηθξόηεξν (ή ίζν) από όια ηα θιεηδηά ηνπ δεμηνύ ππνδέλδξνπ. 17 Εηζαγσγή 13 14 21 10 13>12 16 19 23 7 12 15 20 3
Δένδρα Δσαδικής Αναζήηηζης Δένδρο δσαδικής αναδήτεσες (binar search tree) : Τν θιεηδί νπνηνπδήπνηε εζσηεξηθνύ θόκβνπ είλαη κεγαιύηεξν (ή ίζν) από όια ηα θιεηδηά ηνπ αξηζηεξνύ ππνδέλδξνπ θαη κηθξόηεξν (ή ίζν) από όια ηα θιεηδηά ηνπ δεμηνύ ππνδέλδξνπ. 17 Εηζαγσγή 13 14 21 10 16 19 23 7 12 15 20 3
Δένδρα Δσαδικής Αναζήηηζης Δένδρο δσαδικής αναδήτεσες (binar search tree) : Τν θιεηδί νπνηνπδήπνηε εζσηεξηθνύ θόκβνπ είλαη κεγαιύηεξν (ή ίζν) από όια ηα θιεηδηά ηνπ αξηζηεξνύ ππνδέλδξνπ θαη κηθξόηεξν (ή ίζν) από όια ηα θιεηδηά ηνπ δεμηνύ ππνδέλδξνπ. 17 Εηζαγσγή 13 14 21 10 16 19 23 7 12 15 20 3 13
Δένδρα Δσαδικής Αναζήηηζης Εισαγωγή 10 10
Δένδρα Δσαδικής Αναζήηηζης Εισαγωγή 10, 8 10 8
Δένδρα Δσαδικής Αναζήηηζης Εισαγωγή 10, 8, 6 10 8 6
Δένδρα Δσαδικής Αναζήηηζης Εισαγωγή 10, 8, 6, 17 10 8 17 6
Δένδρα Δσαδικής Αναζήηηζης Εισαγωγή 10, 8, 6, 17, 12 10 8 17 6 12
Δένδρα Δσαδικής Αναζήηηζης Εισαγωγή 10, 8, 6, 17, 12, 13 10 8 17 6 12 13
Δένδρα Δσαδικής Αναζήηηζης Εισαγωγή 10, 8, 6, 17, 12, 13, 4 10 8 17 6 12 4 13
Δένδρα Δσαδικής Αναζήηηζης Εισαγωγή 10, 8, 6, 17, 12, 13, 4, 7 10 8 17 6 12 4 7 13
Δένδρα Δσαδικής Αναζήηηζης Εισαγωγή 10, 8, 6, 17, 12, 13, 4, 7, 15 10 8 17 6 12 4 7 13 15
Δένδρα Δσαδικής Αναζήηηζης Εισαγωγή 10, 8, 6, 17, 12, 13, 4, 7, 15, 21 10 8 17 6 12 21 4 7 13 15
Δένδρα Δσαδικής Αναζήηηζης Εισαγωγή 14, 8, 17, 6, 12, 15, 21, 4, 7, 10, 13 14 8 17 6 12 15 21 4 7 10 13
Δένδρα Δσαδικής Αναζήηηζης Εισαγωγή 4 4, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 14, 15, 17, 21 6 7 8 10 12 13 14 15 17 21
Περιζηροθές αξηζηεξή πεξηζηξνθή από ην α β γ δεμηά πεξηζηξνθή από ην α β γ link rotl(link ) { link = ->r; ->r = ->l; ->l = ; return ; } αξηζηεξή πεξηζηξνθή Η πεξηζηξνθή παίξλεη ρξόλν Ο(1) link rotr(link ) { link = ->l; ->l = ->r; ->r = ; return ; } δεμηά πεξηζηξνθή
Περιζηροθές 17 14 21 10 16 19 23 7 12 15 20 3 17 δεμηά πεξηζηξνθή από ην 14 10 21 7 14 19 23 3 12 16 20 15
Ιζορροπημένα Δένδρα Μπνξνύκε λα επηηύρνπκε γηα θάζε ιεηηνπξγία; ρξόλν εθηέιεζεο Ιζνξξνπεκέλν δέλδξν : Δηαηεξεί ύςνο θάζε εηζαγσγή ή δηαγξαθή κεηά από
Ιζορροπημένα Δένδρα Μεξηθνί ηύπνη ηζνξξνπεκέλσλ δέλδξσλ Τπραηνπνηεκέλα δέλδξα Αξζξσηά δέλδξα (spla trees) Δέλδξα θόθθηλνπ-καύξνπ, δέλδξα VL, θ.α. Λίζηεο παξάιεηςεο (skip lists)
Αρθρωηά δένδρα (spla trees) Εθηειεί όιεο ηηο πξάμεηο ζηε ξίδα ηνπ δέλδξνπ. Χξεζηκνπνηεί δεύγε πεξηζηξνθώλ θαζώο κεηαθηλεί έλα θιεηδί ζηε ξίδα (ιεηηνπξγία spla) γηα λα θέξεη ην δέλδξν ζε κεγαιύηεξε ηζνξξνπία. DEMO : http://aleph0.clarku.edu/~achou/cs102/eamples/bst_animation/splatree-eample.html
Αρθρωηά δένδρα (spla trees) Εηζαγσγή 1,2,3,4,5,6,7,8 8 7 6 5 4 3 2 1
Αρθρωηά δένδρα (spla trees) spla(1) 8 8 8 7 7 7 6 6 6 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
Αρθρωηά δένδρα (spla trees) spla(1) (ζπλέρεηα) 8 8 7 1 6 6 1 4 2 4 5 7 2 5 3 3
Αρθρωηά δένδρα (spla trees) spla(1) (ζπλέρεηα) 8 1 1 8 6 6 4 7 4 7 2 5 2 5 3 3
Αρθρωηά δένδρα (spla trees) Εθηειεί όιεο ηηο πξάμεηο ζηε ξίδα ηνπ δέλδξνπ. Χξεζηκνπνηεί δεύγε πεξηζηξνθώλ θαζώο κεηαθηλεί έλα θιεηδί ζηε ξίδα (ιεηηνπξγία spla) γηα λα θέξεη ην δέλδξν ζε κεγαιύηεξε ηζνξξνπία. spla() Πεξίπησζε zig-zig: από ηνλ παππνύ ηνπ αθνινπζνύκε δύν αξηζηεξνύο ή δύν δεμηνύο ζπλδέζκνπο γηα λα πάκε ζην z D z D
Αρθρωηά δένδρα (spla trees) Εθηειεί όιεο ηηο πξάμεηο ζηε ξίδα ηνπ δέλδξνπ. Χξεζηκνπνηεί δεύγε πεξηζηξνθώλ θαζώο κεηαθηλεί έλα θιεηδί ζηε ξίδα (ιεηηνπξγία spla) γηα λα θέξεη ην δέλδξν ζε κεγαιύηεξε ηζνξξνπία. spla() Πεξίπησζε zig-zig: από ηνλ παππνύ ηνπ αθνινπζνύκε δύν αξηζηεξνύο ή δύν δεμηνύο ζπλδέζκνπο γηα λα πάκε ζην. Πξνζνρή ζηε ζεηξά ησλ πεξηζηξνθώλ! 1 z 2 D z D z D
Αρθρωηά δένδρα (spla trees) Εθηειεί όιεο ηηο πξάμεηο ζηε ξίδα ηνπ δέλδξνπ. Χξεζηκνπνηεί δεύγε πεξηζηξνθώλ θαζώο κεηαθηλεί έλα θιεηδί ζηε ξίδα (ιεηηνπξγία spla) γηα λα θέξεη ην δέλδξν ζε κεγαιύηεξε ηζνξξνπία. spla() Πεξίπησζε zig-zag: από ηνλ παππνύ ηνπ αθνινπζνύκε πξώηα έλαλ αξηζηεξό θαη κεηά έλα δεμηό ζύλδεζκν ή πξώηα έλαλ δεμηό θαη κεηά έλα αξηζηεξό ζύλδεζκν γηα λα πάκε ζην z D z D
Αρθρωηά δένδρα (spla trees) Εθηειεί όιεο ηηο πξάμεηο ζηε ξίδα ηνπ δέλδξνπ. Χξεζηκνπνηεί δεύγε πεξηζηξνθώλ θαζώο κεηαθηλεί έλα θιεηδί ζηε ξίδα (ιεηηνπξγία spla) γηα λα θέξεη ην δέλδξν ζε κεγαιύηεξε ηζνξξνπία. spla() Πεξίπησζε zig-zag: από ηνλ παππνύ ηνπ αθνινπζνύκε πξώηα έλαλ αξηζηεξό θαη κεηά έλα δεμηό ζύλδεζκν ή πξώηα έλαλ δεμηό θαη κεηά έλα αξηζηεξό ζύλδεζκν γηα λα πάκε ζην z 2 z 1 D D z D
Αρθρωηά δένδρα (spla trees) Εθηειεί όιεο ηηο πξάμεηο ζηε ξίδα ηνπ δέλδξνπ. Χξεζηκνπνηεί δεύγε πεξηζηξνθώλ θαζώο κεηαθηλεί έλα θιεηδί ζηε ξίδα (ιεηηνπξγία spla) γηα λα θέξεη ην δέλδξν ζε κεγαιύηεξε ηζνξξνπία. spla() Αλ ν παηέξαο ηνπ είλαη ε ξίδα ηόηε εθηεινύκε κηα απιή πεξηζηξνθή
Αρθρωηά δένδρα (spla trees) Εθηειεί όιεο ηηο πξάμεηο ζηε ξίδα ηνπ δέλδξνπ. Χξεζηκνπνηεί δεύγε πεξηζηξνθώλ θαζώο κεηαθηλεί έλα θιεηδί ζηε ξίδα (ιεηηνπξγία spla) γηα λα θέξεη ην δέλδξν ζε κεγαιύηεξε ηζνξξνπία. Ιδιότετα: Έλα αξζξσηό δέλδξν κε αληηζηαζκηζηηθό ρξόλν θόκβνπο εθηειεί νπνηαδήπνηε ιεηηνπξγία ζε
Αρθρωηά δένδρα (spla trees) Εθηειεί όιεο ηηο πξάμεηο ζηε ξίδα ηνπ δέλδξνπ. Χξεζηκνπνηεί δεύγε πεξηζηξνθώλ θαζώο κεηαθηλεί έλα θιεηδί ζηε ξίδα (ιεηηνπξγία spla) γηα λα θέξεη ην δέλδξν ζε κεγαιύηεξε ηζνξξνπία. Ιδιότετα: Έλα αξζξσηό δέλδξν κε αληηζηαζκηζηηθό ρξόλν θόκβνπο εθηειεί νπνηαδήπνηε ιεηηνπξγία ζε Εδώ ζα δείμνπκε κόλν όηη ε ιεηηνπξγία spla εθηειείηαη ζε ρξόλν αληηζηαζκηζηηθό
Αρθρωηά δένδρα (spla trees) Ιδιότετα: Σε έλα αξζξσηό δέλδξν κε αληηζηαζκηζηηθό ρξόλν θόκβνπο ε ιεηηνπξγία spla εθηειείηαη ζε
Αρθρωηά δένδρα (spla trees) Ιδιότετα: Σε έλα αξζξσηό δέλδξν κε αληηζηαζκηζηηθό ρξόλν θόκβνπο ε ιεηηνπξγία spla εθηειείηαη ζε Θα ρξεζηκνπνηήζνπκε ηελ ελεξγεηαθή κέζνδν. Έζησ απνγόλσλ ηνπ θόκβνπ ζην αξζξσηό δέλδξν. ην πιήζνο ησλ Οξίδνπκε ηελ «ηάμε» ηνπ σο e d i b f j a c g h
Αρθρωηά δένδρα (spla trees) Ιδιότετα: Σε έλα αξζξσηό δέλδξν κε αληηζηαζκηζηηθό ρξόλν θόκβνπο ε ιεηηνπξγία spla εθηειείηαη ζε Θα ρξεζηκνπνηήζνπκε ηελ ελεξγεηαθή κέζνδν. Έζησ απνγόλσλ ηνπ θόκβνπ ζην αξζξσηό δέλδξν. ην πιήζνο ησλ Οξίδνπκε ηελ «ηάμε» ηνπ σο e 3 2 d i 2 1 b 1 f j 0 0 a c 0 g 1 h 0
Αρθρωηά δένδρα (spla trees) Ιδιότετα: Σε έλα αξζξσηό δέλδξν κε αληηζηαζκηζηηθό ρξόλν θόκβνπο ε ιεηηνπξγία spla εθηειείηαη ζε Θα ρξεζηκνπνηήζνπκε ηελ ελεξγεηαθή κέζνδν. Έζησ απνγόλσλ ηνπ θόκβνπ ζην αξζξσηό δέλδξν. ην πιήζνο ησλ Οξίδνπκε ηελ «ηάμε» ηνπ σο Δπλακηθό δέλδξνπ e 3 2 d i 2 1 b 1 f j 0 0 a c 0 g 1 h 0
Αρθρωηά δένδρα (spla trees) Ιδιότετα: Σε έλα αξζξσηό δέλδξν κε αληηζηαζκηζηηθό ρξόλν θόκβνπο ε ιεηηνπξγία spla εθηειείηαη ζε Θα ρξεζηκνπνηήζνπκε ηελ ελεξγεηαθή κέζνδν. Έζησ απνγόλσλ ηνπ θόκβνπ ζην αξζξσηό δέλδξν. ην πιήζνο ησλ Οξίδνπκε ηελ «ηάμε» ηνπ σο Δπλακηθό δέλδξνπ : Αλαιύνπκε ηελ επίδξαζε ηνπ θάζε βήκαηνο πεξηζηξνθώλ ζην δπλακηθό ηνπ δέλδξνπ Παξαηεξνύκε όηη ζε θάζε πεξίπησζε αιιάδεη ε ηάμε δύν ή ηξηώλ θόκβσλ ( θαη ) z z D D
Αρθρωηά δένδρα (spla trees) Ιδιότετα: Σε έλα αξζξσηό δέλδξν κε αληηζηαζκηζηηθό ρξόλν θόκβνπο ε ιεηηνπξγία spla εθηειείηαη ζε Θα ρξεζηκνπνηήζνπκε ηελ ελεξγεηαθή κέζνδν. Έζησ απνγόλσλ ηνπ θόκβνπ ζην αξζξσηό δέλδξν. ην πιήζνο ησλ Οξίδνπκε ηελ «ηάμε» ηνπ σο Δπλακηθό δέλδξνπ : Αο αλαιύζνπκε ηελ πεξίπησζε zig-zig z D z D Έζησ θαη νη ηηκέο κεηά ηε δηπιή πεξηζηξνθή Ιζρύνπλ θαη
Αρθρωηά δένδρα (spla trees) Ιδιότετα: Σε έλα αξζξσηό δέλδξν κε θόκβνπο ε ιεηηνπξγία spla εθηειείηαη ζε αληηζηαζκηζηηθό ρξόλν Αο αλαιύζνπκε ηελ πεξίπησζε zig-zig z D z D Ιζρύνπλ θαη
Αρθρωηά δένδρα (spla trees) Ιδιότετα: Σε έλα αξζξσηό δέλδξν κε θόκβνπο ε ιεηηνπξγία spla εθηειείηαη ζε αληηζηαζκηζηηθό ρξόλν Αο αλαιύζνπκε ηελ πεξίπησζε zig-zig z D z D Ιζρύνπλ θαη Επηπιένλ
Αρθρωηά δένδρα (spla trees) Ιδιότετα: Σε έλα αξζξσηό δέλδξν κε θόκβνπο ε ιεηηνπξγία spla εθηειείηαη ζε αληηζηαζκηζηηθό ρξόλν Αο αλαιύζνπκε ηελ πεξίπησζε zig-zig z D z D Ιζρύνπλ θαη Επηπιένλ
Αρθρωηά δένδρα (spla trees) Ιδιότετα: Σε έλα αξζξσηό δέλδξν κε θόκβνπο ε ιεηηνπξγία spla εθηειείηαη ζε αληηζηαζκηζηηθό ρξόλν Αο αλαιύζνπκε ηελ πεξίπησζε zig-zig z D z D Ιζρύνπλ θαη
Αρθρωηά δένδρα (spla trees) Ιδιότετα: Σε έλα αξζξσηό δέλδξν κε θόκβνπο ε ιεηηνπξγία spla εθηειείηαη ζε αληηζηαζκηζηηθό ρξόλν Αο αλαιύζνπκε ηελ πεξίπησζε zig-zig z D z D Άξα Πξαγκαηηθό θόζηνο πεξηζηξνθώλ Αληηζηαζκηζηηθό θόζηνο πεξηζηξνθώλ
Αρθρωηά δένδρα (spla trees) Ιδιότετα: Σε έλα αξζξσηό δέλδξν κε θόκβνπο ε ιεηηνπξγία spla εθηειείηαη ζε αληηζηαζκηζηηθό ρξόλν z Οκνίσο αλαιύεηαη ε πεξίπησζε zig-zag D z D Άξα Πξαγκαηηθό θόζηνο πεξηζηξνθώλ Αληηζηαζκηζηηθό θόζηνο πεξηζηξνθώλ
Αρθρωηά δένδρα (spla trees) Ιδιότετα: Σε έλα αξζξσηό δέλδξν κε θόκβνπο ε ιεηηνπξγία spla εθηειείηαη ζε αληηζηαζκηζηηθό ρξόλν Τεξκαηηθή πεξίπησζε Ιζρύνπλ θαη
Αρθρωηά δένδρα (spla trees) Ιδιότετα: Σε έλα αξζξσηό δέλδξν κε θόκβνπο ε ιεηηνπξγία spla εθηειείηαη ζε αληηζηαζκηζηηθό ρξόλν Τεξκαηηθή πεξίπησζε Ιζρύνπλ θαη
Αρθρωηά δένδρα (spla trees) Ιδιότετα: Σε έλα αξζξσηό δέλδξν κε θόκβνπο ε ιεηηνπξγία spla εθηειείηαη ζε αληηζηαζκηζηηθό ρξόλν Τεξκαηηθή πεξίπησζε Άξα Πξαγκαηηθό θόζηνο πεξηζηξνθώλ Αληηζηαζκηζηηθό θόζηνο πεξηζηξνθώλ
Αρθρωηά δένδρα (spla trees) Ιδιότετα: Σε έλα αξζξσηό δέλδξν κε αληηζηαζκηζηηθό ρξόλν θόκβνπο ε ιεηηνπξγία spla εθηειείηαη ζε Έζησ ινηπόλ όηη ε ιεηηνπξγηά spla πξαγκαηνπνηείηαη ζε βήκαηα Έζησ θαη νη ηηκέο κεηά ηo i-νζηό βήκα Τν ζπλνιηθό αληηζηαζκηζηηθό θόζηνο είλαη