.5 Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 49 5 A Οµάδας.i Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f() + ικανοοιεί τις υοθέσεις του θεωρήµατος Rolle στο διάστηµα [, ], και αν ναι στη συνέχεια να βρείτε όλα τα ξ (α, β) για τα οοία ισχύει f (ξ). f συνεχής στο [, ] αραγωγίσιµη στο (, ) Rolle υάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α, β) f() f() τέτοιο, ώστε f (ξ). Είναι f () f (ξ) ξ ξ.ii Να εξετάσετε αν η συνάρτηση θεωρήµατος Rolle στο διάστηµα f() ηµ ικανοοιεί τις υοθέσεις του, τα ξ (α, β) για τα οοία ισχύει f (ξ). f συνεχής στο, αραγωγίσιµη στο (, ) f() f( ), και αν ναι, στη συνέχεια να βρείτε όλα Rolle υάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ) τέτοιο, ώστε f (ξ). Είναι f () συν f (ξ) συνξ συνξ και εειδή < ξ < δηλαδή < ξ <, θα είναι ξ ή ξ άρα ξ ή ξ 6
.iii Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f() + συν ικανοοιεί τις υοθέσεις του θεωρήµατος Rolle στο διάστηµα [, ], και αν ναι, στη συνέχεια να βρείτε όλα τα ξ (α, β) για τα οοία ισχύει f (ξ). f συνεχής στο [, ] αραγωγίσιµη στο (, ) Rolle υάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α, β) f() f() τέτοιο, ώστε f (ξ). Είναι f () ηµ f (ξ) ηµξ ηµξ και εειδή < ξ < δηλαδή < ξ <, θα είναι ξ άρα ξ.iv Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f() ικανοοιεί τις υοθέσεις του θεωρήµατος Rolle στο διάστηµα [, ] και αν ναι στη συνέχεια να βρείτε όλα τα ξ (α, β) για τα οοία ισχύει f (ξ). f() +, <, f() f() f() f() + ( ) + Άρα η f δεν είναι αραγωγίσιµη στο, εοµένως δεν είναι αραγωγίσιµη και στο διάστηµα [, ], άρα δεν ισχύουν οι ροϋοθέσεις του θεωρήµατος Rolle στο διάστηµα [, ]
.i Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f() + ικανοοιεί τις υοθέσεις του θεωρήµατος Μέσης Τιµής στο διάστηµα [, 4] και αν ναι στη συνέχεια να βρείτε όλα τα ξ (, 4) για τα οοία ισχύει f (ξ) f( β) f( α) βα f συνεχής στο [, 4] Θ.Μ.Τ υάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, 4) f( 4) f( ) αραγωγίσιµη στο (, 4) τέτοιο,ώστε f (ξ) 4 4 6 4 Είναι f () + f (ξ) 6 ξ + 6 ξ 4 ξ.ii Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f() ηµ ικανοοιεί τις υοθέσεις του θεωρήµατος Μέσης Τιµής στο διάστηµα, και αν ναι, στη συνέχεια να f βρείτε όλα τα ξ (, ) για τα οοία ισχύει f (ξ) ( ) f( ) f συνεχής στο, και αραγωγίσιµη στο (, ), αό Θ.Μ.Τ f υάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ) ( ) f( ) τέτοιο, ώστε f (ξ) ηµ ηµ Είναι f () 6συν f (ξ) 6συνξ συνξ και εειδή < ξ <, δηλαδή < ξ <, αίρνουµε ξ άρα ξ 4
4.iii +, Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f() ικανοοιεί τις υοθέσεις, > του θεωρήµατος Μέσης Τιµής στο διάστηµα [, ] και αν ναι στη συνέχεια να f( ) f( ) βρείτε όλα τα ξ (, ) για τα οοία ισχύει f (ξ) ( ) Η f είναι συνεχής στο διάστηµα [, ), αφού f() + () Η f είναι συνεχής στο διάστηµα (, ], αφού f() f() + f() ( + ) ( ) + () + ( ) ( ) ( ) + (4) f( ) ( ) + + (5) Αό τις (), (4), (5) f συνεχής στο (6) () Αό τις (), (), (6) f συνεχής στο διάστηµα [, ] (7) Η f είναι αραγωγίσιµη στο διάστηµα (, ), αφού f() +, µε f () Η f είναι αραγωγίσιµη στο διάστηµα (, ), αφού f(), µε f () f() f( ) ( ) + + ( ) ( ) (+ ) + ( ) + f() f( ) ( ) + + + ( ) + + ( )(+ ) + + [( )] ( )( ) Αό τις ( ), (4 ) f αραγωγίσιµη στο µε f ( ) (4 ) (5 ) Αό τις ( ), ( ), (5 ) f αραγωγίσιµη στο διάστηµα (, ) (6 ) Αό τις (7), (6 ) ικανοοιούνται οι υοθέσεις του Θ.Μ.Τ άρα υάρχει ξ (, ) f( ) f( ) τέτοιο, ώστε f (ξ) ( ) ( ) [( ) + ] + 5
5 Αό την (5 ) είναι f ( ), άρα ζητούµενος ξ είναι ο Λύνουµε την εξίσωση f () στο διάστηµα (, ) f () ( ) για κάθε, άρα ζητούµενος ξ είναι κάθε ξ (, ) Λύνουµε την εξίσωση f () στο διάστηµα (, ) f () ( ), άρα ζητούµενος ξ είναι ο
6. Αν α < β, να αοδείξετε ότι οι συναρτήσεις f() e και g() ln ικανοοιούν τις υοθέσεις του Θ. Μ. Τ στο διάστηµα [α, β] και στη συνέχεια ότι : e α < e β e α βα < eβ και β < lnβ lnα < βα α Για τη συνάρτηση g() ln υοθέτουµε ειλέον ότι < α < β f συνεχής στο [α, β], αφού είναι συνεχής στο R f αραγωγίσιµη στο (α, β) αφού είναι αραγωγίσιµη στο R f(β) f( α) Αό το Θ.Μ.Τ, υάρχει ξ (α, β) τέτοιο, ώστε f (ξ) βα Αλλά f () e f (ξ) e ξ, οότε e ξ e β e α α < ξ < β e α < e ξ < e β () βα () e α < β α e e βα < eβ g συνεχής στο [α, β], αφού είναι συνεχής στο (, + ) g αραγωγίσιµη στο (α, β) αφού είναι αραγωγίσιµη στο (, + ) g( β) g( α) Αό το Θ.Μ.Τ, υάρχει ξ (α, β) τέτοιο, ώστε g (ξ) βα Αλλά g () g (ξ) ξ, οότε ξ lnβ lnα () βα < α < ξ < β β < ξ < α () β < lnβ lnα βα < α
7 Β Οµάδας. 4 ίνεται η συνάρτηση f() 5 + i) Να αοδείξετε ότι η εξίσωση f() έχει µία τουλάχιστον ρίζα στο διάστηµα (, ) και µία τουλάχιστον στο διάστηµα (, ) ii) Να αοδείξετε ότι η εξίσωση 4 6 5 έχει µία τουλάχιστον ρίζα στο διάστηµα (, ) i) f συνεχής στο R, αφού είναι ολυωνυµική 4 f( ) ( ) ( ) 5 ( ) ( ) + + 5 + + f() Άρα f( ) f() < Εοµένως, κατά το θεώρηµα Bolzano, η εξίσωση f() έχει µία τουλάχιστον ρίζα ξ στο διάστηµα (, ) Οµοίως, η εξίσωση f() έχει µία τουλάχιστον ρίζα ξ στο διάστηµα (, ) ii) Είναι f () 4 6 5 Έτσι, αρκεί να αοδείξουµε, ότι η εξίσωση f () έχει µία τουλάχιστον ρίζα στο διάστηµα ( ξ, ξ ). f συνεχής στο διάστηµα [ ξ, ξ ] f αραγωγίσιµη στο ( ξ, ξ ) Rolle η εξίσωση f () έχει µία f( ξ ) f( ξ ) τουλάχιστον ρίζα στο ( ξ, ξ )
8. ίνεται η συνάρτηση f() ( )ηµ. Να αοδείξετε ότι : i) H εξίσωση f () έχει µία τουλάχιστον ρίζα στο ανοικτό διάστηµα (, ) ii) H εξίσωση εφ έχει µία τουλάχιστον ρίζα στο ανοικτό διάστηµα (, ) i) f συνεχής στο διάστηµα [, ] σα γινόµενο συνεχών f αραγωγίσιµη στο (, ) σα γινόµενο αραγωγίσιµων f() ( )ηµ και f() ( )ηµ ηµ Rolle η εξίσωση f () έχει µία τουλάχιστον ρίζα ξ (, ) ii) Είναι f () ηµ + ( )συν Για κάθε (, ), η εξίσωση εφ γράφεται ηµ συν ηµ ( )συν ηµ + ( )συν f (), η οοία, αό το (i), έχει µία τουλάχιστον ρίζα ξ (, )
9. i) ίνεται µια συνάρτηση f µε f () για κάθε R. Να αοδείξετε ότι η εξίσωση f() έχει το ολύ µία ραγµατική ρίζα. ii) Να αοδείξετε ότι η εξίσωση ηµ i) Η εξίσωση f() γράφεται f(). Θέτουµε g() f(), R Τότε g () f (). () αληθεύει µόνο για Θα αοδείξουµε ότι η εξίσωση g() έχει το ολύ µία ραγµατική ρίζα. Έστω ότι έχει δύο ραγµατικές ρίζες,. g συνεχής στο [, ]. αραγωγίσιµη στο (, ) Rolle η εξίσωση g () έχει ρίζα στο g ( ) g( ) διάστηµα (, ), ου είναι άτοο αό την () ii) Η εξίσωση ηµ αληθεύει για, αφού ηµ Θέτουµε f() ηµ, R Τότε f () συν Είναι f (), διότι, αν ήταν f () τότε συν δηλαδή συν ου είναι άτοο. Εοµένως ισχύουν οι ροϋοθέσεις του ερωτήµατος (i), άρα η εξίσωση ηµ έχει το ολύ µία ραγµατική ρίζα, ου είναι η.
4. i) Να αοδείξετε ότι, για κάθε R + ii) Αν f είναι µία συνάρτηση αραγωγίσιµη στο R, µε f () + να αοδείξετε ότι για όλα τα α, β R ισχύει : i) + ii) f(β) f(α) β α + Αρκεί να αοδείξουµε ότι ή ότι + + + ( ) ου ισχύει f( β) f( α) βα f( β) f( α) βα, ε βλάτεται η γενικότητα θεωρώντας α < β f συνεχής στο [α, β] και αραγωγίσιµη στο (α, β), µε Θ.Μ.Τ f( β) f( α) υάρχει ξ (α, β) τέτοιο, ώστε f (ξ) βα f( β) f( α) f (ξ) () βα Η υόθεση f () + f () + f (ξ) f( β) f( α) βα () (i) και για ξ
5. Έστω µια συνάρτηση f η οοία είναι συνεχής στο [, 4] και ισχύει f () 5 για κάθε (, 4). Αν f() να αοδείξετε ότι 9 f(4) f συνεχής στο [, 4] και αραγωγίσιµη στο (, 4), µε το Θ.Μ.Τ f( 4) f( ) f( 4) υάρχει ξ (, 4) τέτοιο, ώστε f (ξ) 4 4 Η υόθεση f () 5 για ξ γίνεται f (ξ) 5 f( 4) 5 4 8 f(4) 9 f(4) () () 6. Έστω µια συνάρτηση f η οοία είναι συνεχής στο [, ] και ισχύει f () για κάθε (, ). Αν f( ) και f(), να αοδείξετε ότι f(), εφαρµόζοντας το Θ.Μ.Τ για την f σε καθένα αό τα διαστήµατα [, ] και [, ]. f συνεχής στο [, ] και αραγωγίσιµη στο (, ), µε το Θ.Μ.Τ f( ) f( ) υάρχει ξ (, ) τέτοιο, ώστε f (ξ) ( ) f( ) ( ) f () + Εειδή όµως f () για κάθε (, ), θα είναι και f (ξ) Άρα f() + f() () f συνεχής στο [, ] και αραγωγίσιµη στο (, ), µε το Θ.Μ.Τ f( ) f( ) υάρχει η (, ) τέτοιο, ώστε f (η) f() Εειδή όµως f () για κάθε (, ), θα είναι και f (η) Άρα f() f() () Αό τις (), () f()
7. Να αοδείξετε µε το θεώρηµα του Rolle ότι οι γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων f() και g() + + έχουν ακριβώς δύο κοινά σηµεία τα Α(, ), Β(, ) Είναι D D R f g Θεωρούµε τη συνάρτηση h() f() g(), R h() ( + + ) h() + άρα h () ln + και h () (ln ) + > για κάθε R () Είναι h() και h() +. το Α είναι κοινό σηµείο +. + το Β είναι κοινό σηµείο Ας υοθέσουµε, τώρα, ότι οι C, f C έχουν και τρίτο κοινό σηµείο Γ(ρ, σ) g και, χωρίς να βλάτεται η γενικότητα, ας υοθέσουµε ότι ρ > των και. Τότε f(ρ) g(ρ) σ, άρα h(ρ) Για την h, ισχύουν οι ροϋοθέσεις του θ. Rolle στο διάστηµα [, ], άρα υάρχει ξ (, ) τέτοιο ώστε h ( ξ ) Οµοίως, στο διάστηµα [, ρ], υάρχει ξ (, ρ) τέτοιο ώστε h ( ξ ) Για την h, ισχύουν οι ροϋοθέσεις του θ. Rolle στο διάστηµα [ ξ, ξ ], άρα υάρχει ξ ( ξ, ξ ) τέτοιο ώστε h (ξ) ου είναι άτοο αό την () Άρα οι C, f C δε µορούν να έχουν και τρίτο κοινό σηµείο g