και g(x) =, x ΙR * τότε

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "και g(x) =, x ΙR * τότε"

Ακακαλλις Αναγνωστάκης
4 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΠΟΥ ΥΠΗΡΕΤΟΥΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο θεωρία σελ. Α. Σχολικό βιβλίο θεωρία σελ. 5 Α. Η Τ είναι αράγωγος της f Η H είναι αράγωγος της g Α. α) Ψευδής β) Αν f() =, ΙR * και g() =, ΙR * τότε lim f () = και lim g() =. ενώ f() g() = = και lim ( f g) = Α5. α) Σωστό, β) Σωστό, γ) Λάθος. ΘΕΜΑ Β, > f() = Α = ΙR α, Β. Η f είναι συνεχής στο (,) ως ολυωνυμική και στο (, ) ως ρητή για κάθε α ΙR. Αρκεί να είναι συνεχής και στο o =. Δηλαδή lim f () = lim f () = f () lim ( α) = lim = α α= α= Β., > Για α = f() = και στο,,, < Είναι f() =,

2 Η f είναι συνεχής στο ΙR άρα και στο, ΙR Η f είναι αραγωγίσιμη στο, με f () = ( ) = και στο (,) με f () = = = f () f () ( )( ) Στο o = lim = lim = lim = f () f () και ( ) lim = lim = lim = lim = ( ) = lim = f() f() f() f() Εειδή lim lim η f δεν είναι αραγωγίσιμη στο o =. Άρα η F δεν ικανοοιεί όλες τις υοθέσεις του θεωρήματος Roll στο,. Β. Αν A(,f( )) o o cf η εφατομένη της c f στο Α έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = f ( o). Η ευθεία y = έχει συντελεστής διεύθυνσης λ =. Αν o (,) f 65 ( o) = o = o =. Άρα A, 6 Αν o (, ) o = f ( o) = = o = ή o = (αορ.) Άρα Α=, o Β. Για f() = και δεν υάρχουν ασύμτωτες.

3 Για > lim f () = lim = lim =. Άρα η ευθεία y= είναι οριζόντια ασύμτωτη c f στο. Για < f () = () = >. Η f κυρτή στο (,). Για > f () = = >. Η f κυρτή στο (, ). Πίνακας ροσήμου της f () f() - y Πίνακας μεταβολών f() - ΘΕΜΑ Γ e f : (, ) ΙR f() = e e ( )e Γ. Είναι f () = = > για κάθε >. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, ), εομένως " " και αντιστρέφεται. Είναι A = f(a) = lim f(), lim f() (e, ) f = e ( ) ( e ) Εειδή lim f () = lim = e και lim f () = lim = lim e =. () Γ. Θεωρούμε τη συνάρτηση g() = ( )f(α) ( )f (α) ( )( )(ημα ), ΙR., ΙR ως ολυωνυμική. η g είναι συνεχής στα διαστήματα [,] και [ ] g() = (ημα ) = ( ημα) > (αφού ημα ) g() = f (α) < (αφού f(α) > e)

4 g() = f (α) > (αφού f (α) A f = (, ) ). Άρα g() g() < και g() g() <. Σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano η εξίσωση g() = ( )f(α) ( )f (α) ( )( )(ημα ) = f(α) f (α) ημα = έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (,) και μία τουλάχιστον στο (,) ου είναι μοναδικές γιατί η εξίσωση είναι ου βαθμού, άρα έχει το ολύ ρίζες. Γ. Αρκεί να δείξουμε ότι f() e f() > e lnf() lnf() < f() e f() < e f() f() e e e f f() < e e > e f( f() ) > f(e) f() > e (ισχύει) f() ΘΕΜΑ Δ f :[,] ΙR f() = ημ Δ. f () = (ημ ) = συν, [, ] f () = συν = συν = = [, ] Η f είναι συνεχής συνάρτηση, άρα διατηρεί ρόσημο στα διαστήματα, και, Με τη μέθοδο των ειλεγμένων τιμών βρίσκουμε το ρόσημο της f. Για = f = συν = > f () > για, Για = f = συν = < f () < για, - f() Η f είναι γνησίως αύξουσα στο, και γνησίως φθίνουσα στο,. Παρουσιάζει μέγιστο (ολικό) για = το f = και τοικά ελάχιστα για = το f() = και για = το f() =.

5 5 Εειδή η f είναι συνεχής στο [,] το f() = είναι ολικό ελάχιστο της f. Δ. Είναι f () = (συν ) = ημ < για κάθε (, ). Άρα η f είναι κοίλη στο [,]. Συνεώς η c f έχει σε κάθε σημείο της μοναδικό κοινό σημείο με την εφατομένη το σημείο εαφής. (Η c f βρίσκεται "κάτω" αό την εφατομένη για κάθε, με εξαίρεση το σημείο εαφής). Δ. I = f()συνd = (ημ - )συνd = ημσυνd συνd I I συν συν συν I = ημd = = = = I = συνd = (ημ) d = [ ημ] ημd = [ συν] = = συν συν = Άρα Ι = ( ) =. f() ημ ημ Δ.α) lim = lim = lim = = β) f() f()ln = ημ (ημ ) ln lim(ημ ) = ημ lim(ημ ) ln = lim ( ln ) = = ημ ημ lim = lim = = ( ln ) και lim( ln ) = lim = lim = lim( ) =. DLH γιατί: ΚΟΥΡΤΟΓΛΟΥ ΘΕΑΓΕΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΣ SCIENCE PRESS

Σχετικά έγγραφα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. και g(x) =, x ΙR * τότε

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. και g(x) =, x ΙR * τότε ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο θεωρία