ΘΕΜΑ 1 ο Α. α) Να δώσετε τον ορισµό της ισότητας δύο συναρτήσεων. β) Να δώσετε τον ορισµό της γνησίως αύξουσας συνάρτησης σ ένα διάστηµα.

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΘΕΜΑ 1 ο Α. α) Να δώσετε τον ορισµό της ισότητας δύο συναρτήσεων. β) Να δώσετε τον ορισµό της γνησίως αύξουσας συνάρτησης σ ένα διάστηµα."

Τιτάνος Μιχαηλίδης
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΘΕΜΑ ο Α α) Να δώσετε τον ορισµό της ισότητας δύο συναρτήσεων β) Να δώσετε τον ορισµό της γνησίως αύξουσας συνάρτησης σ ένα διάστηµα γ) Να δώσετε τον ορισµό της - συνάρτησης Β Σε καθεµιά αό τις αρακάτω εριτώσεις να γράψετε το γράµµα Α, αν ο ισχυρισµός είναι αληθής και το γράµµα Ψ, αν ο ισχυρισµός είναι ψευδής, αιτιολογώντας συγχρόνως την αάντησή σας Αν ln και g e o g, α) ( g o ), R β) R, τότε Αν l R, τότε Αν, τότε 4 Αν l και τότε κατ ανάγκη θα είναι: α) l < m β) l m γ) l m δ) l m ε) m< l g m l, και g µε m R < κοντά στο µονάδες Τηλ/Fa: 697, Τηλ: wwwapolitogr ino@apolitogr

2 ΘΕΜΑ ο α) Έστω η συνάρτηση : R R R () Να δείξετε ότι: i η είναι -, ii ισχύει ( 4 + ) 4 + για κάθε R, για την οοία ισχύει ( ) 4 + για κάθε 7 µονάδες β) Να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση της ln( e ), εφόσον υάρχει µονάδες 4 γ) Έστω η συνάρτηση + +, R i Να δείξετε ότι η δεν είναι - ii Να βρείτε το ελάχιστο της 8 µονάδες ΘΕΜΑ ο α) Έστω η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση : R R i Να δείξετε ότι η συνάρτηση g, R, είναι γνησίως φθίνουσα λ ii Να βρείτε κάθε λ R, ώστε να ισχύει λ 6 λ e e ( λ λ) ( λ 6) () µονάδες β) Να υολογίσετε τα όρια: i ii iii iv + ηµ ηµ + ηµ 4 ηµ + ηµ 8 8 µονάδες Τηλ/Fa: 697, Τηλ: wwwapolitogr ino@apolitogr

3 γ) Έστω η συνάρτηση : R R για κάθε R () Να βρείτε το όριο ηµ +συν για την οοία ισχύει 7 µονάδες ΘΕΜΑ 4 ο ηµ α) Να υολογίσετε το όριο l ηµ 8 µονάδες β) Έστω οι γνησίως αύξουσες συναρτήσεις,g : R R, για τις οοίες ισχύουν οι σχέσεις: o gog () και o g go () Να δείξετε ότι g 7 µονάδες γ) Έστω η συνάρτηση : R R κάθε R για κάθε R i Να δείξετε ότι ii Να βρείτε το όριο, για την οοία ισχύει ότι: + + για ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΠΑΤΖΑΚΑΣ ΜΙΧΑΛΗΣ ΠΕΤΡΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ Τηλ/Fa: 697, Τηλ: wwwapolitogr ino@apolitogr

4 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Θεωρία Σχολικού Β Ψ, Α Α Α 4 β ΘΕΜΑ ο α)i) Με, R και ( ) βρίσκουµε: ( ) ( ) ii) Θέτουµε στην () όου το και έχουµε: ( ( )) 4 + ( 4+ ) 4 + β) Ισχύει { R / e > } (, + ) D Έστω τυχαίο στοιχείο του συνόλου τιµών ((,+ ) ) Θεωρούµε την εξίσωση ως ρος ln( e ), >, (, + ) e e ln Άρα έχουµε:, >, ((, + ) ) (, + ) ( e + ), >, της D Τη λύνουµε και έχουµε: Εειδή το εκφράζεται µονοσήµαντα συναρτήσει του, αφού ln ( e +) η συνάρτηση είναι -, άρα έχει αντίστροφη, έστω την Οι εριορισµοί για το είναι: e +> και ln ( e + ) > e > και e +>, ου ισχύουν R,+ Οότε () R Αό τα αραάνω έχουµε ln ( e + ), R, δηλαδή ( ) ln( e + ), R, οότε: ln( e + ), R, Τηλ/Fa: 697, Τηλ: wwwapolitogr ino@apolitogr

5 γ) Ισχύει για κάθε R ( + ) + ( ) + () i) Αό την () έχουµε ( ) Άρα η δεν είναι - ii) Αό την () έχουµε: + για κάθε R Άρα η έχει ελάχιστο το ΘΕΜΑ ο α) i) Έστω, R, µε < Ισχύει > ( ), αφού γνησίως φθίνουσα, και > Άρα ροσθέτοντας κατά µέλη βρίσκουµε: >, δηλαδή g > g( ) Οότε η g είναι γνησίως φθίνουσα ii) Ισχύει: e λ λ λ 6 e λ λ e λ 6 g ( λ λ) g( λ 6) λ λ λ 6 λ 5λ+ 6 λ, λ g g ' ' β) Τα όρια είναι της αροσδιόριστης µορφής Με ειδικό τέχνασµα στο κάθε ένα, για άρση της αροσδιοριστίας, έχουµε: + + i ( + + ) ii ( ) + + ( ) iii u ηµ ηµ ηµ u u u ηµ ηµ 4 ηµ ηµ 4 : ηµ + ηµ iv : 8 ηµ ηµ ηµ ηµ ηµ ηµ Τηλ/Fa: 697, Τηλ: wwwapolitogr ino@apolitogr

6 γ) Η () γράφεται για κάθε R διαδοχικά: ηµ συν ηµ ηµ + ηµ συν ( ηµ ) συν ηµ συν συν ηµ συν ηµ συν ηµ + συν Για τη () έχουµε ( ηµ συν) και ( ηµ + συν) Τηλ/Fa: 697, Τηλ: wwwapolitogr ino@apolitogr Άρα αό το κριτήριο αρεµβολής έχουµε και ΘΕΜΑ 4 ο ηµ α) Ισχύει: l (διαιρέσαµε αριθµητή-αρανοµαστή µε ηµ ηµ ηµ ηµ + ή: l ηµ ηµ ηµ + + ηµ ηµ + + άρα: l ηµ ηµ β) Με εαγωγή σε άτοο, θεωρούµε ότι υάρχει R, ώστε g( ) Έστω ότι ( ) > g (), και ανάλογα βρίσκουµε αν ( ) g Ισχύει αό την (): > g ( ) > ( g ) () g ( g( )) > g( ( )) () g g > ( ), άτοο αό την < )

7 γ)i) Αό την υόθεση έχουµε για κάθε +, άρα + R : + +, οότε ii) Αό το ερώτηµα (i) βρίσκουµε: Κι εειδή ( + ) αρεµβολής µας δίνει και (), η σχέση () αό το κριτήριο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ ΜΠΑΤΖΑΚΑΣ ΜΙΧΑΛΗΣ ΠΕΤΡΟΠΟΥΛΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ Τηλ/Fa: 697, Τηλ: wwwapolitogr ino@apolitogr

Σχετικά έγγραφα

Εκφωνήσεις των θεμάτων των εξετάσεων Επεξεργασμένες ενδεικτικές απαντήσεις Ενδεικτική κατανομή μονάδων ανά ερώτημα

. Εκφωνήσεις των θεμάτων των εξετάσεων Εεξεργασμένες ενδεικτικές ααντήσεις Ενδεικτική κατανομή μονάδων ανά ερώτημα Εεξεργασία: Δημήτριος Σαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Συντονιστής βαθμολογητών