ÏÑÏÓÇÌÏ ÇÑÁÊËÅÉÏ ( )( ) ( )( ) Γ' ΤΑΞΗ ΓΕΝ.ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. w w + 1= + 1. α= α.

Transcript

1 Γ' ΤΑΞΗ ΓΕΝΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ ο Α Σχολικό βιβλίο σελ Β σελ Β σελ Γ α Λ β Σ γ Λ δ Λ ε Σ ΘΕΜΑ ο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ + w z = w z w = + w z zw = + w w w + zw = z w( + z) = z z z w = ( z ) w + = + z + z + z + z + z + w + = = z + z + Από την υπόθεση w+ = Άρα z + w + = = z + = z + z + α) Έχουµε z + = z + z + z + = z + z + zz + z + z + = zz + z + z + z = z = β) i) Έχουµε z = z = zz = z =, z =, z = z z z Επειδή z R z = z (Πρέπει να αποδειχθεί) αρκεί να δείξουµε ότι α= α

2 ii) Οπότε γ) ος Τρόπος z z z z z z z z z z z z α ɶ z z z z z z z = = z z z z z = z z z z z z z z z z z z z+ z z+ z z+ z = + + = α z z z z z z z z z z z z z z z z z z Έχουµε Re + + = = z z z z z z z z z z+ z z z z z z z z z z z z z z = = z z z z z z = = = + + = = z z z z z z z z z Έχουµε ( ) + 0 d ( Kε, ) = = = + Οπότε Ελάχιστη απόσταση είναι: AM = d K, ε ρ = = και µέγιστη BM = d K, ε + ρ= + = ος Τρόπος ε δ λ δ βρούµε το Μ λύνουµε το σύστηµα Έχουµε = Άρα + y = 0 (, y) =, άρα y + = 0 ( KM ) = = = δ : y = + y + = 0 Για να M,

3 Οπότε ΘΕΜΑ ο Ελάχιστη απόσταση είναι: ( AM ) = ( KM ) ρ = = και µέγιστη ( BM ) = ( KM ) + ρ = + = α) Είναι g = e + () Τότε g e 0 Άρα η συνάρτηση g είναι ως γνησίως αύξουσα = + > για κάθε ( 0, ) β) Έχουµε + f f = f ( e + ) = + f e + f f e f f + = + ( e + f ) = ( + ln ) f e + f = + ln + c Για = έχουµε f () e + f () = + c µε c = 0 Άρα f ln ln ln ( ) = ( ln ) Αλλά η g είναι - Άρα f ln e + f = + = e + και λόγω της () έχουµε g f g γ) Είναι h Τότε h f = ( ln ln ) ln = = = h = ή ln = 0 ή ln= ή = e Αν 0 0 e h () h() = + Έχουµε h h( e ) + + H h είναι γνησίως αύξουσα για κάθε ( 0, e H h είναι γνησίως φθίνουσα για κάθε [ e, + ) lne ma = = = e e Πεδίο τιµών : lim h = lim ( ln ) = ( + )( ) =

4 ln ( ln ) lim h = lim = lim = lim = ( ( ( ) h A = lim h, h e lim h, h e =, 0,, = e e e συν ηµ ηµ συν δ) Έχουµε = e e π Για κάθε 0, ισχύει ηµ 0, συν > > e e 0 Λογαριθµίζουµε τη σχέση και έχουµε: συν ηµ ηµ συν ηµ συν ln = ln συν ln = ηµ ln e e e e ln( ηµ ) ln( συν) συν ( ln( ηµ ) lne) = ηµ ( ln( συν) lne) = ηµ συν h( ηµ ) = h( συν ) () π Για κάθε 0, ισχύουν οι σχέσεις 0 < ηµ <, 0 < συν < και ( 0,) ( 0,e ) Η h είναι - ως γνησίως αύξουσα στο διάστηµα ( 0,e Από τη () έχουµε π ηµ = συν ή εφ = ή = ln h = και ( ln ) ln ( ln ) ln h + = = = = ε) Έχουµε h = 0 ή ln = 0 ή ln= ή = e / Η h είναι κοίλη στο διάστηµα ( 0,e 0 e / h () ++ Η h είναι κυρτή στο διάστηµα e /, + ) h () / / ln e h min ( e ) = = = e e / ( e )

5 Τότε ΘΕΜΑ ο h για κάθε > 0 e, ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων Η h είναι συνεχής στο [ ] Η h είναι παραγωγίσιµη στο (, ) ως πηλίκο παραγωγίσιµων ln συναρτήσεων µε h = Από το ΘΜΤ υπάρχει ένα τουλάχιστον h h( ) ξ (, ) ώστε h ( ξ ) = () Αλλά για κάθε > 0 εποµένως και για το ξ > 0 ισχύει h ( ξ ) () e h h Από τις () και () έχουµε e u α) Θεωρούµε την συνάρτηση g = f ( t) dt du g g και η g παρουσιάζει ελάχιστο για = Έχουµε g() = 0 Τότε Από το Θεώρηµα Fermat ισχύει g = 0 Αλλά και για = έχουµε g = f ( t) dt - = 0 ή β) Για = 0 και y = f(0) έχουµε 0 + f ( 0) = 0 f ( 0) = και f ( 0) = Έχουµε : ( ) g = f t dt f t dt= 0 t f ( t) dt t f t dt f - lim lim lim 0 DLH 0 0 = = = f f f (0) = lim = lim = f ( 0) = = 0 0 γ) ος Τρόπος Για κάθε > η ανίσωση γίνεται: h > h h h > 0

6 6 Θέτουµε K = ( ) h h = ( ) f h για [, ) + Έτσι έχουµε K = f + ( ) f h = f + ( ) f f = = f > 0 για κάθε > Άρα η K είναι γνησίως αύξουσα στο [,+ ) αφού είναι συνεχής στο [,+ ) Εποµένως K K ( ) h h ος τρόπος > > > 0 u Θεωρούµε την συνάρτηση h( u) = f ( t) dt, u [, ] Η h είναι συνεχής στο [, ] και παραγωγίσιµη στο (, ) µε h ( u) f ( u) Από το ΘΜΤ υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ) ώστε h ( ξ ) Αλλά f t dt οπότε h ( ξ ) h() = = 0 και h f 0 για ξ< έχουµε h ( ξ ) h h = h h() = = = () Επίσης h f = > Άρα η h είναι γνησίως αύξουσα για κάθε και h h > δ) Θεωρούµε την συνάρτηση < () Από τις σχέσεις () και () έχουµε, ϕ = f t dt + R Η φ είναι συνεχής στο [, ] ως άθροισµα συνεχών συναρτήσεων Η φ είναι παραγωγίσιµη στο (, ) ως άθροισµα παραγωγίσιµων συναρτήσεων µε ϕ = f + ϕ = = = f t dt + = Είναι ϕ() ϕ() ϕ 9 9 Από το Θεώρηµα Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον (,) ϕ ( ξ ) = 0 f ( ξ ) + ξ = 0 f ( ξ ) + = ξ ξ ώστε 6