ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 18 MAΪΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 18 MAΪΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ"

Φόβος Γεωργίου
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Γκύζη -Αθήνα Τηλ : ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 8 MAΪΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ A. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελίδα 6-6 Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελίδα Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελίδα 6 Α. α) Λάθος β) Σωστό γ) Λάθος δ) Σωστό ε) Σωστό ΘΕΜΑ Β Β. H f είναι αραγωγίσιμη ως ρητή στο IR με Έχουμε λοιόν τον ακόλουθο ίνακα: f () f () f() Άρα: η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (,] η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, ) η f έχει ελάχιστο (ολικό) στο Ο(,) Β. Για κάθε IR έχουμε: f () και συνεώς έχουμε τον ακόλουθο ίνακα: f f f () Άρα: f() η f είναι κυρτή στο, Σ.Κ. Σ.Κ. η f είναι κοίλη στα, και,

2 Γκύζη -Αθήνα Τηλ : η f έχει σημεία καμής τα Α,, Β, Β. Η C f δεν έχει κατακόρυφη ασύμτωτη αφού η f είναι συνεχής στο IR. Είσης: lim f() lim lim και lim f() lim lim Συνεώς η f έχει οριζόντια ασύμτωτη την ευθεία y στο και στο. Πλάγια ασύμτωτη δεν έχει, αφού έχει οριζόντια. Β. Με βάση τα αραάνω έχουμε τον ακόλουθο ίνακα μεταβολών: f () f () f() Σ.Κ. και την ακόλουθη γραφική αράσταση: Σ.Κ. ΘΕΜΑ Γ Γ. Έστω η συνάρτηση f με f() e, IR. H f είναι αραγωγίσιμη στο IR με f () e e f () e. Είναι: ή e e e e εειδή e e e e είναι f (). Έχουμε λοιόν τον ακόλουθο ίνακα: και

3 Γκύζη -Αθήνα Τηλ : f () f() Γ. Αό την σχέση f () e Η f έχει ολικό ελάχιστο για το f(). Άρα ισχύει f() για κάθε IR με την ισότητα να ισχύει μόνο για και συνεώς η εξίσωση f() έχει μοναδική λύση την. έχουμε ισοδύναμα f() e και εειδή (αό ερώτημα Γ) e τελικά έχουμε: f() e Εειδή η συνάρτηση f είναι συνεχής στο (,) και δε μηδενίζεται σε αυτό, θα διατηρεί σταθερό ρόσημο. Εομένως: Αν (,) και f() f() e τότε στο διάστημα αυτό είναι Αν (,) και f() τότε στο διάστημα αυτό είναι f() e Εειδή η συνάρτηση f είναι συνεχής στο (, ) και δε μηδενίζεται σε αυτό, θα διατηρεί σταθερό ρόσημο. Εομένως: Αν (, ) και f() f() e τότε στο διάστημα αυτό είναι Αν (, ) και f() τότε στο διάστημα αυτό είναι f() e Άρα έχουμε τους ακόλουθους συνδυασμούς για τον τύο της f, IR ή f() e f() e e, f() e, ή, IR ή f() e, e, Γ. Για κάθε IR έχουμε f () e e e e Ισχύει ότι: e e e e και εειδή e τελικά έχουμε f () με την ισότητα να ισχύει μόνο για, οότε η f κυρτή στο IR. Γ. Θεωρούμε τη συνάρτηση g με g() f( ) f() στο [, ). Η g είναι αραγωγίσιμη ως διαφορά και σύνθεση αραγωγίσιμων συναρτήσεων στο [, ) με g () f ( )( ) f () f ( ) f () Ισχύει f f () f ( ) f ( ) f () [, ) συνεώς η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα, άρα και "-". Η αρχική εξίσωση λοιόν γίνεται: g:, οότε g () και f ημ f ημ f() f() g ημ g() ημ εειδή αό τη θεωρία γνωρίζουμε ότι ημ να ισχύει μόνο για και για κάθε ισχύει ημ με την ισότητα

4 Γκύζη -Αθήνα Τηλ : ΘΕΜΑ Δ Δ. Αό τη σχέση f() f () ημ d ισοδύναμα έχουμε: f() f () ημ d f()ημ d f ()ημ d f()( συν) d f () ημ d f()συν f ()συν d f ()ημ f ()συν d f()συν f()συνf ()ημ f ()ημ f() f() () Εειδή η f είναι αραγωγίσιμη στο IR, είναι και συνεχής στο IR, άρα και στο. f() f() Αό τη δοσμένη σχέση lim, θέτουμε g() f() g()ημ με ημ ημ lim g(). Οότε: lim f() lim g()ημ και εειδή η f είναι συνεχής στο τελικά lim f() f() f() Αό την () τελικά έχουμε: f() f() f() f() f() f() f() ημ Για το f () έχουμε: f () lim lim lim lim ημ Δ. α) Έστω ότι η f έχει ακρότατο στη θέση IR. Εειδή η f είναι αραγωγίσιμη στο εσωτερικό σημείο IR αό το θεώρημα Fermat έχουμε: f () Παραγωγίζοντας τη δοσμένη σχέση έχουμε: f() f() e f(f()) e e f () f (f()) f () e, IR f Για γίνεται: e f f (f ) f e e, οότε αό την () έχουμε: f () ΑΤΟΠΟ, διότι f () Άρα η f δεν έχει ακρότατα. β) Εειδή η f δεν έχει ακρότατα στο IR θα ισχύει f () για κάθε IR. Είσης η f είναι συνεχής στο IR, ως αραγωγίσιμη και εομένως η f διατηρεί σταθερό ρόσημο στο IR. Ειλέον εειδή f () άρα f (), οότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο IR. Δ. Εειδή η f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο IR, έχουμε: f(ir)ir limf(),limf() (, ), δηλαδή lim f() ημ συν ημ συν Ισχύει: f() f() f() f() f() f() Εειδή ημ συν lim lim, αό κριτήριο αρεμβολής lim. f() f() f() ()

5 Γκύζη -Αθήνα Τηλ : ln f Δ. Έχουμε: e lnln lne ln f() f(ln) f() f(ln) f(ln) f(ln) To f(ln) f() για e αίρνει τιμή, άρα δεν είναι αντού μηδέν, e e e οότε f(ln) d f(ln) f(ln) Για η f(ln) αίρνει τιμή f(), άρα δεν είναι αντού μηδέν, οότε e e e e f(ln) f(ln) d d d d e e e f(ln ) e f(ln ) f(ln ) d ln d ln e d e f(ln) Άρα τελικά d 5

Σχετικά έγγραφα

(Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α. Α1. Βλέπε απόδειξη Σελ. 262, σχολικού βιβλίου. Α2. Βλέπε ορισμό Σελ. 141, σχολικού βιβλίου

(Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α. Α1. Βλέπε απόδειξη Σελ. 262, σχολικού βιβλίου. Α2. Βλέπε ορισμό Σελ. 141, σχολικού βιβλίου ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 18 ΜΑΪΟΥ 16 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) (Ενδεικτικές Ααντήσεις)