x (x ) (x + 1) - x (x + 1)

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "x (x ) (x + 1) - x (x + 1)"

Πλούτων Μαρής
5 χρόνια πριν
Προβολές:

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΜΑΪΟΥ 6 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

1 ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΜΑΪΟΥ 6 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΘΕΜΑ Α A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 6 A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 4 A. Σχολικό βιβλίο σελίδες Α4. α. Λάθος, β. Σωστό, γ. Λάθος, δ. Σωστό, ε. Σωστό. ΘΕΜΑ Β ( ) ( + ) - ( + ) Β. f () = = + ( + ) ( + ) = = = ( + ) ( + ) ( + ) - + f () - + H f είναι γνσίως φθίνουσα στο (-, ], ενώ είναι γνσίως αύξουσα στο [, +). Η f αρουσιάζει τοικό (και ολικό) ελάχιστο για = τν τιμή f () =.

2 () ( + ) - ( + ) Β. f () = = 4 ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) - 8 ( + ) - ( + ) = = 4 ( + ) = = ( + ) ( + ) f () = - 6 = = = ( + ) f () H f είναι κοίλ στα (-, -, -,. - f - = = = = , +), ενώ είναι κυρτή στο f = = = = Η C f έχει σμεία καμής τα Α -, και Β,. 4 4

3 Β. Β4. im = im = im = άρα C έχει οριζόντια ασύμτωτ στο - τν y = f im = im = im = + άρα C έχει οριζόντια ασύμτωτ στο + τν y = f f H C είναι συνεχής στο IR, άρα δεν έχει κατακόρυφες ασύμτωτες.5 y.5 y = A.5 B O ΘΕΜΑ Γ Γ. λύσ Θεωρούμε συνάρτσ g, με g () = e - + g () = (e - + ) = e - = (e - ) g () = (e - ) = = ή e = = e g () - + g ()

4 λύσ g < g () > g () g () > g > g () > g () g () > g () = Eομένως εξίσωσ e - + = έχει μοναδική ρίζα το =. Αό εφαρμογή σχολικού βιβλίου είναι ny y -, για κάθε y > και το "=" ισχύει μόνο για y =. Για y = e έχουμε : n e e - και το "=" ισχύει μόνο για e = e - και το "=" ισχύει μόνο για = e - + και το "=" ισχύει μόνο για =. Eομένως εξίσωσ e - + = έχει μοναδική ρίζα το =. Γ. = (e - - ) f () = g () Έστω ρ ρίζα τς f, άρα f (ρ) = = g () Είναι f (ρ) = g (ρ) = g (ρ) g (ρ) = ρ = Η συνεχής f δεν έχει ρίζες σε καθένα αό τα (-, ) και ερίτωσ : Αό συνέειες θ. Bolzano f διατρεί σταθερό ρόσμο σε καθένα αό τα (-, ) και (, + ) Διακρίνουμε 4 εριτώσεις : ερίτωσ : > στα (-, ) και (, + ) άρα = e - -, άρα = -(e - - ) IR < στα (-, ) και (, + ) = - e + +, IR (, + )..

5 ερίτωσ : 4 ερίτωσ : λύ > στo (-, ) και < στο (, + ) άρα = e - -, < -e + +, < στo (-, ) και > στο (, + ) άρα Γ. = e - + f () = (e - ) σ = -e + +, < e - -, f () = (e - ) = (e - ) + e = (e - ) + 4 e f () = Για είναι e > άρα f () > > e > e - >, - + f () + + Εομένως f είναι κυρτή στο IR. λύσ f () = (e e ) = 4e + 8e + 8 e = e + 8 e = 4 e ( + ) - + f () - + f ()

6 Άρα f αρουσιάζει ολικό ελάχιστο για = τν τιμή f () =. f < f () > f () f () > f > f () > f () f () > - + f () + + Εομένως f είναι κυρτή στο IR. Γ4. λύσ f ( μ + ) - f ( μ ) = f ( + ) - Θεωρούμε τ συνάρτσ h, με h () = f ( + ) -, h () = f ( + ) - f (), f + > f ( + ) > f () f ( + ) - f () > h () > f κυρτή άρα h είναι γνσίως αύξουσα στο [, + ), άρα και "-" Η εξίσωσ γράφεται ισοδύναμα h ( μ ) = h () - μ = Ισχύει μ, για κάθε ΙR και το " = " ισχύει μόνο για = Εομένως μοναδική ρίζα =.

7 λύσ Εξίσωσ : f ( μ + ) - f ( μ ) = f ( + ) - Το είναι ροφανής ρίζα τς εξίσωσς. Έστω ότι υάρχει ρίζα >, δλαδή ισχύει f ( μ + ) - f ( μ ) = f ( + ) - f ( ) Για > ισχύουν : + > μ + > μ () > μ + > μ + ερίτωσ : + > > μ + > μ Η f είναι αραγωγίσιμ στα [, + ], [ μ, μ + ] Αό Θ.Μ.Τ. υάρχουν : f f κυρτή f ( + ) - f ( ) ξ (, + ), τέτοιo ώστε f (ξ ) = και f ( μ + ) - f ( μ ) ξ ( μ, μ + ), τέτοιo ώστε f (ξ ) = Aό () είναι f (ξ ) = f (ξ ) ΑΤΟΠΟ διότι + > ξ > ερίτωσ : ξ = ξ > μ + > ξ > μ + > μ + > μ () f ( ) - f ( μ ) = f ( + ) - f ( μ + ) Η f είναι αραγωγίσιμ στα [ μ, ], [ μ +, + ] Αό Θ.Μ.Τ. υάρχουν : () ξ ( μ, ), τέτοιo ώστε f (ξ ) = και μ - ξ ( μ +, + ), τέτοιo ώστε f (ξ ) = Aό () είναι f (ξ ) = f (ξ ) f ξ = ξ f κυρτή f ( μ ) - f ( ) ΑΤΟΠΟ διότι + > ξ > μ + > ξ > μ f ( μ + ) - f ( + ) μ - Εομένως μοναδική ρίζα =.

8 ΘΕΜΑ Δ Δ. λύσ Θεωρούμε συνάρτσ g, με g () =, (-, ) (, ) μ Είναι = g () μ, (-, ) (, )και im g () =. f συνεχής f () = im = img () μ = im g () imμ = = λύσ - f () g () μ μ im = im = img () im = = - άρα f () = f συνεχής f f () = im = im μ () = im μ imμ = = μ - f () μ μ im = im = im = im im - μ μ = =, άρα f () = λύσ f συνεχής f () = im = im μ = im imμ = = μ μ f () f συνεχής f () = im = im = = f (), άρα μ DL'H συν συν ( + f ())μ d = μ d + f () μ d = (-συν) d + f () μ d = f () = ( μ + f () μ) d = -συν + f ()συν d + f ()μ - f ()συν d -f () συν - f () συν = -f () (-) - = = f () =

9 Δ. α) Η σχέσ e + = f () + e αοτελείται αό ράξεις αραγωγίσιμων συναρτήσεων. Παραγωγίζουμε κατά μέλ και έχουμε e f () + = f () f () + e, IR () Έστω ότι f αρουσιάζει ακρότατο στο. H f είναι αραγωγίσιμ στο, άρα αό Θ.Fermat, f ( ) =. Στ σχέσ () για = έχουμε : f ( ) e f ( ) + = f (f ( )) f ( ) + e f ( ) = f ( ) e + = f (f ( )) + e e = e = ΑΤΟΠΟ διότι f () = Εομένως f δεν αρουσιάζει ακρότατα στο IR. β) Η συνεχής f δεν έχει ρίζες στο IR. Aό συνέειες Θ.Bolzano f διατρεί σταθερό ρόσμο στο IR και εειδή f () = >, θα είναι f () >, για κάθε ΙR. Eομένως f είναι γνσίως αύξουσα στο IR. Δ. Είναι - μ και - συν, άρα - μ + συν f Για > > f () > Εομένως - μ + συν H γνσίως αύξουσα f έχει σύνολο τιμών το IR, άρα im = και im = im = + + Εομένως αό κριτήριο αρεμβολής μ + σ im + + υν =

10 Δ 4. λ ύσ f e f () f ( ) f () n n > f ( n) f ( n) f ( n) Eίναι και το "=" ισχύει μόνο για = e f ( n) άρα d > () f ( n) f ( n) Eίναι - και το "=" ισχύει μόνο για = e f ( ) e e f ( ) άρα n - n d > d - d > e e f ( n) e f ( n) n > d d < () e f ( n) Αό () και () έχουμε : < d < λύσ n = u d = du e e f ( n) d = f ( n) d = f (u) du f =e u= = u= u f () f (u) f () f (u) Eίναι f (u) και το "=" ισχύει μόνο για άρα f (u) du > (4) άρα - f (u) du > du - f (u) du > u > f (u) du f (u) du < (5) u = Eίναι f (u) - f (u) και το "=" ισχύει μόνο για u = Αό (4) και (5) : < f (u) du < e f ( n) < d <

11 λύσ Έστω F μια αράγουσα τς f στο ΙR. e f ( n) Θα αοδείξουμε ότι < d < e e < F ( n) d < < F ( n) ( n) d < e e < (F ( n)) d < < F ( n) < < F ( ne ) - F ( n) < < F () - F () < F () - F () < < - (4) F συνεχής στο [, ] ως αραγωγίσιμ F αραγωγίσιμ στο (, ) με F () = αό Θ.Μ.Τ. υάρχει ξ (, ), F () - F () F () - F () τέτοιο ώστε F (ξ) = f (ξ) = - - Aό τν (4) ισοδύναμα θα δείξουμε < f (ξ) < f f () < f (ξ) < f () < ξ <, ου ισχύει αφού ξ (, ). Εομένως e f ( n) < d <

Σχετικά έγγραφα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ~σελίδα αό ~ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 8 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 45 A. Σχολικό βιβλίο