Ανάλυση Κυκλωμάτων Απόκριση Συχνότητας Φώτης Πλέσσας fplessas@inf.uth.gr
Εισαγωγή Η συμπεριφορά του κυκλώματος στην ημιτονοειδή μόνιμη κατάσταση ισορροπίας, καθώς μεταβάλλεται η γωνιακή συχνότητα ω, ονομάζεται απόκριση συχνότητας (frequency response) του κυκλώματος. Τα ηλεκτρικά κυκλώματα έχουν την ιδιότητα να δρουν επιλεκτικά επί του σήματος εισόδου, ανάλογα με τη γωνιακή του συχνότητα, και συμπεριφέρονται ως φίλτρα (filter) συχνοτήτων.
Επίδραση της γωνιακής συχνότητας στη σύνθετη αντίσταση εισόδου κυκλώματος C σε σειρά (/2) 2 Z(jω ) j ( ) εφ Cω Cω Cω Από την έκφραση του μέτρου συμπεραίνουμε ότι: lim Z( jω ) 90 Cω ω0 και lim Z( jω) 0 ω
Επίδραση της γωνιακής συχνότητας στη σύνθετη αντίσταση εισόδου κυκλώματος C σε σειρά (2/2) Η συχνότητα στην οποία το φανταστικό μέρος του Z ισούται με το πραγματικό μέρος του Z ονομάζεται κρίσιμη γωνιακή συχνότητα και είναι: ωω c C Στη συχνότητα αυτή: Z(jω ) 2 45 c
Κανονικοποίηση μεγεθών (/2) Αν εκφράσουμε τη σύνθετη αντίσταση εισόδου με την κρίσιμη γωνιακή συχνότητα ω c, τότε: ω ω ω ω Z( j ) ( j ) ( ) εφ ω ω ω ω c c c 2 c Z( ju ) ( j ) ( ) εφ u u u ή 2 με u = ω/ω c. H σύνθετη αντίσταση εισόδου μπορεί να κανονικοποιηθεί και ως προς το πλάτος Z( ju ) 2 ZN ( ju ) j ( ) εφ u u u
Κανονικοποίηση μεγεθών (2/2) Μεταβολή της σύνθετης αντίστασης εισόδου συναρτήσει της γωνιακής συχνότητας του κυκλώματος C σε σειρά: (α) Κανονικοποιημένο διάγραμμα του μέτρου και (β) κανονικοποιημένο διάγραμμα της φάσης.
Φίλτρο C διέλευσης χαμηλών συχνοτήτων (/3) C s s jcω 2 ( Cω) εφ Cω η συνάρτηση μεταφοράς τάσης από την πηγή στον πυκνωτή είναι: H C (jω ) C 2 s jcω ( Cω) εφ Cω
Φίλτρο C διέλευσης χαμηλών συχνοτήτων (2/3) κανονικοποιώντας: H Από αυτή προκύπτει ότι: lim H ( ju ) 0 u0 H C u C C ( ju ) εφ u ju 2 u ( j) 45 0,707 45. 2 lim H ( ju ) 0 90 C
Φίλτρο C διέλευσης χαμηλών συχνοτήτων (3/3) Απόκριση συχνότητας του φίλτρου C διέλευσης χαμηλών συχνοτήτων: (α) Κανονικοποιημένο διάγραμμα του μέτρου και (β) κανονικοποιημένο διάγραμμα της φάσης.
Φίλτρο C διέλευσης υψηλών συχνοτήτων (/3) jcω jcω jcω s s η συνάρτηση μεταφοράς τάσης από την πηγή στην αντίσταση είναι: H jcω Cω (jω) 90 εφ Cω 2 s jcω ( Cω)
Φίλτρο C διέλευσης υψηλών συχνοτήτων (2/3) κανονικοποιώντας: H Από αυτή προκύπτει ότι: lim H ( ju ) 090 u0 ju u ( ju ) 90 εφ u ju 2 u H u ( j) 45 0,707 45. 2 lim H ( ju ) 0
Φίλτρο C διέλευσης υψηλών συχνοτήτων (3/3) Απόκριση συχνότητας του φίλτρου C διέλευσης υψηλών συχνοτήτων: (α) Κανονικοποιημένο διάγραμμα του μέτρου και (β) κανονικοποιημένο διάγραμμα της φάσης.
Επίδραση της γωνιακής συχνότητας στη σύνθετη αντίσταση εισόδου κυκλώματος LC σε σειρά (/3) Z(jω ) ( ω ) jx( ω ) j( Lω ) Cω Υπάρχει μια γωνιακή συχνότητα του σήματος διέγερσης, στην οποία η το φανταστικό μέρος του Ζ μηδενίζεται. Αυτή η γωνιακή συχνότητα λέγεται γωνιακή συχνότητα συντονισμού (resonance frequency) ή ιδιοσυχνότητα του κυκλώματος.
Επίδραση της γωνιακής συχνότητας στη σύνθετη αντίσταση εισόδου κυκλώματος LC σε σειρά (2/3) Στη γωνιακή συχνότητα συντονισμού ω n το μέτρο της σύνθετης αντίστασης εισό δου γίνεται Z(jω ) 0 n Η γωνιακή συχνότητα συντονισμού είναι: ω n LC
Επίδραση της γωνιακής συχνότητας στη σύνθετη αντίσταση εισόδου κυκλώματος LC σε σειρά (3/3) Μεταβολή της αντίδρασης συναρτήσει της γωνιακής συχνότητας Q sn Lωn Cω n Συντελεστής ποιότητας του κυκλώματος στη συχνότητα συντονισμού
Υπέρταση (/2) IL IC I I L C s Οι σχέσεις - I των στοιχείων του κυκλώματος είναι: L jlωi C j I I Cω Οπότε: s [ j( Lω )] I Cω Στον συντονισμό: I και Ln s n n Cn
Υπέρταση (2/2) I εφόσον: s n n θα ισχύει: I n s Έτσι: Lωn Ln jlωn In j και s Cn j In j s Cω Cω ή jq Ln sn s και jq n Cn sn s n με Q sn L C
Φίλτρο διέλευσης ζώνης συχνοτήτων (/3) j( Lω ) Cω s Συνάρτηση μεταφοράς τάσης από την πηγή στην αντίσταση : H (jω) s j( Lω ) Cω lim 0 lim H H H ( j) 0 ( j) 090 ( j) 0 90
Φίλτρο διέλευσης ζώνης συχνοτήτων (2/3) H (jω) s j( Lω ) Cω Υπάρχουν δύο κρίσιμες συχνότητες ω και ω 2, οπού το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της συνάρτησης του κυκλώματος γίνονται ίσα μεταξύ τους. Για τις συχνότητες αυτές ισχύει ότι: 2 2 ωn ω ω
Φίλτρο διέλευσης ζώνης συχνοτήτων (3/3) Το κύκλωμα επιτρέπει τη μεταφορά των σημάτων με γωνιακές συχνότητες, που ανήκουν σε μια ορισμένη ζώνη γωνιακών συχνοτήτων, χωρίς σημαντική εξασθένηση, ενώ τα σήματα των οποίων οι γωνιακές συχνότητες βρίσκονται εκτός της ζώνης εξασθενούν σημαντικά. Γι' αυτόν τον λόγο το κύκλωμα λέγεται φίλτρο διέλευσης ζώνης συχνοτήτων (bandpass filter).
Φίλτρο αποκοπής ζώνης συχνοτήτων (/3) j( Lω ) ωc j( Lω ) Cω L C s Συνάρτηση μεταφοράς τάσης από την πηγή στον εν σειρά συνδυασμό του πηνίου και του πυκνωτή: H LC (jω) L s C j( Lω ) ωc j( Lω ) Cω lim 0 H LC ( j) 0 lim H LC ( j) 0 H ( j ) LC n 0
j( Lω ) Cω s Φίλτρο αποκοπής ζώνης συχνοτήτων (2/3) j( Lω ) ωc j( Lω ) Cω L C s Υπάρχουν δύο κρίσιμες συχνότητες ω και ω 2, οπού το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της συνάρτησης του κυκλώματος γίνονται ίσα μεταξύ τους. Για τις συχνότητες αυτές ισχύει ότι: 2 2 ωn ω ω
j( Lω ) Cω s Φίλτρο αποκοπής ζώνης συχνοτήτων (3/3) Το κύκλωμα προκαλεί σημαντική εξασθένηση στα σήματα των οποίων η γωνιακή συχνότητα ανήκει σε μια ορισμένη ζώνη συχνοτήτων, ενώ τα σήματα με συχνότητες εκτός αυτής της ζώνης μεταφέρονται με ασήμαντη εξασθένηση. Γι' αυτό το λόγο το κύκλωμα λέγεται φίλτρο αποκοπής ζώνης συχνοτήτων (band reject filter).
d Cm συν( ωt φ ) συν( ωt φ ) Imσυνωt dt m Απόκριση συχνότητας κυκλώματος LC εν παραλλήλω (/2) Y(jω ) G( ω ) jb( ω ) G j(cω ) Lω Η επιδεκτικότητα μηδενίζεται στη γωνιακή συχνότητα συντονισμού του κυκλώματος, η οποία είναι και πάλι: ωn LC
d Cm συν( ωt φ ) συν( ωt φ ) Imσυνωt dt m Απόκριση συχνότητας κυκλώματος LC εν παραλλήλω (2/2) Στη γωνιακή συχνότητα συντονισμού η σύνθετη αγωγιμότητα εισόδου γίνεται ελάχιστη Y(jω ) n G Σε γωνιακές συχνότητες μικρότερες της γωνιακής συχνότητας συντονισμού ωn το κύκλωμα παρουσιάζει επαγωγική συμπεριφορά, ενώ σε μεγαλύτερες γωνιακές συχνότητες το κύκλωμα παρουσιάζει χωρητική συμπεριφορά.
Υπερένταση (/2) IL IC IG I L C G s Οι σχέσεις - I των στοιχείων του κυκλώματος είναι: s IL j C s Lω I jcω IG Gs Οπότε: I [ G j( Cω )] s Lω Στον συντονισμό: I G I n s Gn και I Ln I Cn
Υπερένταση (2/2) εφόσον: I G I n s Gn Θα ισχύει: ή Ι j j I Ln s n Lωn GLωn και I I και ICn jqpnin Ln jqpn n Cω I jcω j I G n Cn n s n με Q pn C G L
d dt m Cm συν( ωt φ ) συν( ωt φ ) I συνωt Μετρήσεις m στα κυκλώματα συντονισμού (/3) Τα στοιχεία του κυκλώματος έχουν τιμές = 0Ω, L = 0 mh και Cp = 0 nf. Το κύκλωμα βρίσκεται σε κατάσταση συντονισμού και πρέπει να μετρηθεί η τάση που αναπτύσσεται στα άκρα του πυκνωτή. Για τη μέτρηση διατίθεται ένα βολτόμετρο με εσωτερική αντίσταση p = 500 kω. Πριν συνδεθεί το βολτόμετρο, η γωνιακή συχνότητα συντονισμού του κυκλώματος είναι ω n LC p 5 0 rad / s Και ο συντελεστής υπέρτασης Q sn του κυκλώματος: Lω n Qsn 00 C pωn
d dt m Cm συν( ωt φ ) συν( ωt φ ) I συνωt Μετρήσεις m στα κυκλώματα συντονισμού (2/3) Για ενεργό τιμή τάσης εισόδου s, η ενεργός τάση του πυκνωτή θα είναι 00s. Η σύνδεση του βολτόμετρου παράλληλα προς τον πυκνωτή ισοδυναμεί με την παράλληλη σύνδεση ενός ιδανικού βολτόμετρου και μιας αντίστασης 500 kω. Ο παράλληλος συνδυασμός του πυκνωτή και της εσωτερικής αντίστασης του οργάνου μπορεί να αντικατασταθεί με τον ισοδύναμο εν σειρά συνδυασμό αυτών των στοιχείων
d dt m Cm συν( ωt φ ) συν( ωt φ ) I συνωt Μετρήσεις m στα κυκλώματα συντονισμού (3/3) p s 2 Qpn s p C C. 2 Ω Η παρεμβολή του οργάνου μέτρησης έχει ως αποτέλεσμα την αποτέλεσμα την αύξηση της αντίστασης του κυκλώματος. Ο συντελεστής υπέρτασης γίνεται: Lω ( )C ω n Q 83,33 s s s n οπότε η τάση στα άκρα του πυκνωτή θα είναι πλέον 83,33 s, που θα ταυτίζεται με την ένδειξη του βολτομέτρου
Ερωτήσεις / Απορίες ;