HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

Transcript

1 HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #2 Σειρές Fourier και ΓΧΑ Συστήματα Απόκριση Συχνοτήτων και Φιλτράρισμα

2 Σειρές Fourier: Σειρές Fourier και ΓΧΑ Συστήματα jk( 2π ) Τ k k x () FS.. ak k= k= jkω0 x () = ae = ae Αναπαράσταση (σχεδόν) κάθε περιοδικού σήματος συνεχούς χρόνου Απόκριση ΓΧΑ Συστημάτων σε μιγαδικά εκθετικά σήματα ( ) y () h( ) e s τ τ d = τ = sτ s = h( τ) e dτ e = H( s) x( ) n yn [ ] = hmz [ ] m = m= = hmz [ ] z = H ( z ) z m= m n n

3 Σειρές Fourier και ΓΧΑ Συστήματα Απόκριση ΓΧΑ Συστημάτων σε γραμμικό συνδυασμό μιγαδικών εκθετικών σήμάτων: x() () ΓΧΑ σύστημα y() () Εδ Ειδική περίπτωση: s=jω (φανταστικός ό αριθμός) ) περιοδικό σήμα με γωνιακή συχνότητα ω: s τ jωτ H() s = h() s e d τ H ( j ω ) = h () τ e d τ Για συστήματα διακριτού χρόνου: Απόκριση συχνοτήτων (F ) (Frequency response) j z = z = e ω m H( z) = h[ m] z m= jω He ( ) = hne [ ] n= jωn

4 Σειρές Fourier και ΓΧΑ Συστήματα x () jk 0 ae ω = ΓΧΑ 0 k y = ah k jkω0 e ω σύστημα k = k = x() y() () ( ) jk FS.. ΓΧΑ y F. S. k 0 x () ak x() σύστημα y() () ah( jkω ) H έξοδος του ΓΧΑ συστήματος στο περιοδικό σήμα x() με την ανωτέρω αναπαράσταση είναι επίσης περιοδικό σήμα με περίοδο Τ=2π/ω 0 και συντελεστές Fourier H( jkω0) a k H( jkω ) H( jkω ) H( jkω ) a H( jkω ) a k 0 k Η ισχύς της συνιστώσας k μετασχηματίζεται ανάλογα Με την απόκριση συχνοτήτων του ΓΧΑ συστήματος

5 Παράδειγμα 3 x () = a a a a 0 a k = 3 = = = 4 = a = 2 = a = ae k jk2π x() h () = e u() y() jωτ τ jωτ H( jω) = h( τ) e dτ = e e dτ = 0 + jω b0 = H( j0) = b = H( j2 π ) =, b = 4+ j2π 4 j2π b =, b =, j4π 2 j4π 2 2

6 x () ak Φιλτράρισμα (Filering) x() FS.. y FS.. k 0 ΓΧΑ σύστημα () ah( jkω ) Επιλέγοντας τη μορφή της απόκρισης συχνοτήτων Η(jω) ως συνάρτηση του ω μπορούμε να μορφοποιήσουμε/ σχηματοποιήσουμε το φάσμα συχνοτήτων του σήματος εξόδου y() (frequency shaping) Επιλεκτική ενίσχυση (amplificaion) Επιλεκτικό φιλτράρισμα (filering) των συχνοτήτων του σήματος εισόδου Παράδειγμα: Ηχητικό σύστημα y()

7 Φιλτράρισμα (Filering) Συστήματα που αλλάζουν τη μορφή του φάσματος συχνοτήτων της εισόδου: Μορφοποίηση συχνοτήτων (Frequency shaping filers) Συστήματα που δεν παραμορφώνουν κάποιες συχνότητες και εξασθενούν/ εξουδετερώνουν άλλες συχνότητες: Επιλογή συχνοτήτων (Frequency selecive filers) dx() Παράδειγμα: Διαφοροποιητής (differeniaor) y () = H( jω) = jω d π/2 π/2

8 Φιλτράρισμα (Filering) Παράδειγμα διαφοροποιητή: Ανίχνευση περιγράμματος σε εικόνα (δισδιάστατο φίλτρο)

9 Φίλτρα επιλογής συχνοτήτων Ιδεατά φίλτρα (Ideal filers) Αφαίρεση θορύβου, ηχητικά σήματα Συστήματα Τηλεπικοινωνιών (Διαμόρφωση/ Αποδιαμόρφωση) Βαθυπερατό φίλτρο (Lowpass filer), ω ωc H ( jωω ) =, ωc 0, ω > ωc Συχνότητα αποκοπής (cuoff frequency) Ζώνη φραγής (sopband) Ζώνη διελεύσεως (passband) Υψιπερατό φίλτρο (Highpass filer) Ζώνη φραγής (sopband) Ζώνη διελεύσεως (passband) Ζώνη φραγής (sopband) Ζώνη διελεύσεως (passband)

10 Ιδεατά φίλτρα (Ideal filers) Ζωνοπερατό φίλτρο (Bandpass filer) Ζώνη διελεύσεως (passband) Ζώνη διελεύσεως (passband) Ζώνη φραγής (sopband) Ζώνη φραγής (sopband)

11 Παράδειγμα Κύκλωμα RC Ηλεκτρικά κυκλώματα: Φίλτρα συνεχούς χρόνου V () x(), v () y() a x () = Ri () + y () dy() i () = C d dy() RC + y() = x() d Απόκριση συχνοτήτων: C jω jω jω RCjωH ( jω) e + H ( jω) e = e H( jω) = + RCjω ( RCω ) 2 i() () j ω x = e y () = H( jω) e H( jω) =, H( jω) = arcan( RCω) + + v C () - jω

12 Απόκριση συχνοτήτων Παράδειγμα Κύκλωμα RC

13 Παράδειγμα Κύκλωμα RC Κρουστική/ Βηματική απόκριση? dy() RC + y() = x() d x () = u (), x(0) = 0 RCλλ + = 0 λ = y () P = K K = RC s () = y () + Cy () = + Ce P H s(0) = 0 C = RC i() + v C () - RC s () = [ e ] u () ds() h () = = e RC u () d RC

14 Παράδειγμα Κύκλωμα RC Αν θέλουμε πολύ χαμηλές συχνότητες (RC μεγάλο) ) >αργή απόκριση -/e /eτ τ=rc τ=rc

15 Έξοδος: Τάση της αντίστασης Παράδειγμα Κύκλωμα RC Va() x(), vr() y() x () = y () + id () + C dy () dx () RC + y() = RC d d jω jω jω RCj ω H ( j ω ) e + H ( j ω ) e = RCj ω e H( jω) jωrc = + j ω RC RCω π H( jω) =, H( jω) = sgn( ω) arcan( RCω) RCω 2 + ( RCω ) 2 i() v R () -

16 Παράδειγμα Κύκλωμα RC