2.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ R

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 5 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ R Εισαγωγή Η επίλυση τω εξισώσεω ου και 4ου βαθμού, η ααγκαστική επαφή με τους μιγαδικούς αριθμούς για τη έκφραση τω πραγματικώ ριζώ και η εξέλιξη του αλγεβρικού λογισμού δημιούργησα στις αρχές του 7ου αιώα τις προϋποθέσεις για τη αάπτυξη μιας γεικής θεωρίας τω πολυωυμικώ εξισώσεω στη Άλγεβρα Βασικά στοιχεία αυτής της θεωρίας δε ήτα μόο οι μέθοδοι επίλυσης, αλλά και δομικά ζητήματα, όπως οι σχέσεις ριζώ και συτελεστώ μιας εξίσωσης, καθώς και η σχέση αάμεσα στο βαθμό και στο πλήθος τω ριζώ Το τελευταίο, που καθιερώθηκε αργότερα ως Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας κάθε πολυωυμική εξίσωση βαθμού έχει στο σύολο τω μιγαδικώ ακριβώς ρίζες, διατυπώεται στη αρχή διστακτικά, καθώς οι μιγαδικοί δε θεωρούται ακόμη ισότιμοι προς τους υπόλοιπους αριθμούς Ο R Descartes, στο βιβλίο ΙΙΙ της La Geometrie (67) γράφει ότι: κάθε εξίσωση μπορεί α έχει τόσες διαφορετικές ρίζες όσες και οι διαστάσεις [δηλ ο βαθμός] της άγωστης ποσότητας στη εξίσωση, αλλά οομάζει τις θετικές ρίζες αληθιές, τις αρητικές ψεύτικες και εισάγει για πρώτη φορά το όρο φαταστικές για τις υπόλοιπες: εώ μπορούμε α θεωρήσουμε ότι η εξίσωση x 6x + x έ- χει τρεις ρίζες, ε τούτοις υπάρχει μία μόο πραγματική ρίζα, το, εώ οι άλλες δύο παραμέου φαταστικές Το θεμελιώδες θεώρημα της Άλγεβρας άρχισε α αποκτά εξαιρετική σημασία με τη αάπτυξη της Αάλυσης, καθώς η παραγοτοποίηση τω πολυωύμω έπαιζε πρωταρχικό ρόλο στο υπολογισμό ολοκληρωμάτω (διάσπαση ρητώ κλασμάτω σε απλά κλάσματα) Ο GW Leibni έθεσε το 7 αυτό το ζήτημα ι- 4 4 σχυριζόμεος (λαθεμέα) ότι το πολυώυμο x + α δε ααλύεται σε γιόμεο παραγότω ου ή ου βαθμού με πραγματικούς συτελεστές Το γεγοός αυτό οδήγησε στις πρώτες συστηματικές προσπάθειες α αποδειχτεί ότι κάθε πολυώυμο με πραγματικούς συτελεστές ααλύεται σε γιόμεο παραγότω ου ή ου βαθμού, που αποτελεί μια άλλη ισοδύαμη μορφή του θεμελιώδους θεωρήματος Ύστερα από ορισμέες ημιτελείς προσπάθειες τω d Alembert (746), L Euler (749) και JL Lagrange (77), ο CF Gauss έδωσε τη πρώτη αυστηρή απόδειξη το 799 (σε ηλικία χροώ), στη διδακτορική του διατριβή που είχε τίτλο: Νέα απόδειξη του θεωρήματος ότι κάθε ακέραια ρητή συάρτηση μιας μεταβλητής μπορεί α ααλυθεί σε πραγματικούς παράγοτες πρώτου και δεύτερου βαθμού

6 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η Eξίσωση Γωρίζουμε ότι στο σύολο τω πραγματικώ αριθμώ η εξίσωση έχει μια λύση, τη, α ο είαι περιττός και δύο λύσεις, τις και, α ο είαι άρτιος Ας λύσουμε τώρα στο σύολο R τω μιγαδικώ αριθμώ μερικές εξισώσεις της μορφής, όπου θετικός ακέραιος Έχουμε: ( )( + + ) ή + + ή + i ή i, δηλαδή η εξίσωση έχει στο R τρεις ρίζες 4 4 ( )( + ) ή + ή i ή i ή i, δηλαδή η εξίσωση έχει στο σύολο R τέσσερις λύσεις Γεικά ισχύει το επόμεο θεώρημα: ΘΕΩΡΗΜΑ Στο σύολο τω μιγαδικώ αριθμώ η εξίσωση, όπου θετικός ακέραιος, έχει ακριβώς διαφορετικές λύσεις, οι οποίες δίοται από το τύπο: κπ κπ κ συ, κ,,,,, ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω r ( συθ θ) μια λύση, σε τριγωομετρική μορφή, της εξίσωσης Τότε, [ r(συθ θ)], οπότε r ( συ( θ) ( θ)) συ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 7 Άρα, r και θ κπ, για κάποιο κ, οπότε r και κπ θ Επομέ- ως, οι λύσεις της εξίσωσης, θα είαι της μορφής κπ κπ κ συ, κ () κπ κπ Αλλά και ατιστρόφως, κάθε μιγαδικός της μορφής κ συ, κ είαι λύση της εξίσωσης, αφού κπ κπ συ συ(κπ) (κπ) κ Άρα, οι λύσεις της εξίσωσης είαι όλοι οι αριθμοί της μορφής Για κ έχουμε τη προφαή λύση Α θέσουμε κπ κπ κ συ, κ () π π συ ω, τότε για τις ρίζες της, θα ισχύει: κ κπ κπ π π κ συ συ ω, κ κ Είαι λοιπό: ω + ω + ω ω ω ω + ω + ω ω ω ω M M ω ω ω ω ω κτλ Παρατηρούμε, λοιπό, ότι οι λύσεις της που δίοται από τη () δε είαι όλες διαφορετικές μεταξύ τους Θα εξετάσουμε για ποιες τιμές του κ έχουμε διαφορετικές λύσεις Επειδή για κάθε κ υπάρχου ακέραιοι ρ και υ τέτοιοι, ώστε α ισχύει κ ρ + υ με υ <, έχουμε: κ ρ+ υ ρ υ υ υ ω ω ( ω ) ω ω ω Δηλαδή, για κάθε κ η λύση ταυτίζεται με μια από τις, κ ω, ω, ω,, ω

8 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Θα δείξουμε τώρα ότι οι λύσεις ω μεταξύ τους Έστω ότι δε συμβαίει αυτό Τότε θα υπάρχου φυσικοί λ λ λ < λ <, τέτοιοι, ώστε ω ω, οπότε θα έχουμε διαδοχικά:, ω, ω, ω,, ω λπ λπ λπ λπ συ συ λπ λπ μ π, για κάποιο μ λ λ μ, για κάποιο μ είαι διαφορετικές λ, λ Από τη τελευταία ισότητα προκύπτει ότι ο ακέραιος διαιρεί τη διαφορά λ λ Αυτό όμως είαι άτοπο, αφού < λ λ < Επομέως, οι λύσεις της εξίσωσης είαι οι διαφορετικοί αριθμοί, π π ω συ ω, ω, ω,, ω, όπου Οι λύσεις αυτές λέγοται και ιοστές ρίζες της μοάδας ΣΧΟΛΙΟ Οι εικόες A, A, A,, A τω λύσεω, ω, ω, ω,, ω της εξίσωσης είαι κορυφές καοικού πολυγώου με πλευρές, εγγεγραμμέου σε κύκλο με κέτρο O(,) και ακτία r Πιο συγκεκριμέα: A 4 y A A A A 5 Ο x με Η κορυφή A παριστάει τη λύση A 5 A 6 A 7 Η επόμεη κορυφή A παριστάει τη λύση π π ω συ Η κορυφή παριστάει τη ω και προκύπτει από τη ω με στροφή του διαύσματος A OA κατά γωία γωία του καοικού -γωου π, δηλαδή κατά γωία ίση με τη κετρική H κορυφή παριστάει τη ω και προκύπτει από τη ω με στροφή του διαύσματος A OA κατά γωία Η Eξίσωση a, a π κτλ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 9 Έστω a ρ ( συθ θ) μια τριγωομετρική μορφή του μιγαδικού a Τότε από το τύπο του de Moivre έχουμε: θ θ a ρ συ θ θ Α θέσουμε ρ συ, τότε η εξίσωση a γράφεται ή, ισοδύαμα, Επομέως, το, οπότε οι λύσεις της εξίσωσης μπορεί α πάρει τις διαφορετικές τιμές π π ω συ, ω, ω, ω,, ω, όπου a είαι οι αριθμοί κ ω κ ρ συ θ θ κπ συ + κπ iημ Αποδείξαμε λοιπό ότι: κπ + θ κπ + θ ρ συ, κ,,,, Στο σύολο τω μιγαδικώ αριθμώ η εξίσωση a, όπου θετικός ακέραιος και a ρ ( συθ θ), ρ α, έχει διαφορετικές λύσεις οι οποίες δίοται από το τύπο: κπ + θ κπ + θ ρ συ, κ,,,, κ Οι εικόες τω λύσεω της εξίσωσης a στο μιγαδικό επίπεδο είαι κορυφές καοικού πολυγώου με πλευρές, εγγεγραμμέου σε κύκλο με κέτρο O(,) και ακτία ρ, όπου ρ a Έστω για παράδειγμα η εξίσωση 5 6( + i) ()

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ π π Επειδή 6( + i ) συ, οι λύσεις κ της εξίσωσης () δίδοται 6 6 από το τύπο π π κπ + κπ + 5 6 6 + συ ημ κπ π κπ + π κ + i συ, κ 5 5 Πιο συγκεκριμέα οι λύσεις είαι: y π π A συ, π π A συ, 5π 5π Ο συ, 7π 7π συ, A A 4 49π 49π 4 συ,,,, 4 Οι λύσεις αυτές είαι κορυφές καοικού πεταγώου εγγεγραμμέου σε κύκλο ακτίας ρ Πολυωυμικές Εξισώσεις με Πραγματικούς Συτελεστές P( ), ιο- Όπως ααφέρθηκε στη εισαγωγή, κάθε πολυωυμική εξίσωση στού βαθμού, δηλαδή κάθε εξίσωση της μορφής α + α + L + α + α, α, A 6 x έχει στο σύολο τω μιγαδικώ αριθμώ ακριβώς ρίζες Α,,, είαι οι ρίζες του πολυωύμου P() (οι οποίες δε είαι καταάγκη διαφορετικές), τότε αποδεικύεται ότι το πολυώυμο ααλύεται σε γιόμεο παραγότω ως εξής: P( ) α ( )( ) ( ) Επομέως, η επίλυση πολυωυμικώ εξισώσεω στο R γίεται με τις ίδιες μεθόδους που χρησιμοποιούται και στο σύολο τω πραγματικώ αριθμώ Στη συέχεια θα περιοριστούμε σε πολυωυμικές εξισώσεις με πραγματικούς μόο συτελεστές Έχουμε ήδη λύσει τη δευτεροβάθμια εξίσωση, η οποία, όπως είδαμε, έχει δύο ρίζες, οι οποίες, α δε είαι πραγματικές, είαι μιγαδικές συζυγείς Ας λύσουμε τώρα μία αωτέρου βαθμού, για παράδειγμα τη + 5, που είαι πολυωυμική τρίτου βαθμού Με σχήμα Horner έχουμε:

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ + 5 ( + )( ) + ή Όμως, + + i ή i Άρα, οι ρίζες της εξίσωσης είαι + i, i και Και στη περίπτωση αυτή παρατηρούμε ότι οι μιγαδικές ρίζες της εξίσωσης είαι συζυγείς Το συμπέρασμα αυτό γεικεύεται για οποιαδήποτε πολυωυμική εξίσωση με πραγματικούς συτελεστές ΘΕΩΡΗΜΑ Α ο μιγαδικός αριθμός α + βi είαι ρίζα μιας πολυωυμικής εξίσωσης με πραγματικούς συτελεστές, τότε και ο συζυγής του α βi είαι ρίζα της εξίσωσης αυτής ΑΠΟΔΕΙΞΗ Μια πολυωυμική εξίσωση, όπως γωρίζουμε, έχει τη μορφή: Αφού ο αριθμός α + α + L + α + α, όπου α, α,, α με α είαι ρίζα της εξίσωσης, έχουμε κατά σειρά: α α α α + α + L+ α + α + α + L + α + α + α + L + α + a + α + L + α + α α + α + L + α + α, αφού α, α,, α Άρα, ο είαι και αυτός ρίζα της εξίσωσης ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ π π Α ω συ, α αποδειχτεί ότι: α) + ω + ω + ω + L+ ω β) ω ω ω ω ( ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ω α) Έχουμε + ω + ω + ω + + ω ω ω β) ω ω ω ω ω ω + + + + ( ) ( ) π π συ ( ) π( ) π( ) συ συ( ) π ( ) π (συπ π) ( ) Να λυθεί η εξίσωση x συθ x + Α x, x είαι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής, α κατασκευαστεί εξίσωση ου βαθμού που α έχει ρίζες τις x x, ΛΥΣΗ Έχουμε Δ 4συ θ 4 4(συ θ ) 4ημ θ Επομέως, Η ζητούμεη εξίσωση θα είαι η x συθ ± ημθ i συθ iημθ, ± Έχουμε και ( x x + x ) x+ x x x (συθ θ) συ( θ) ( θ) x (συθ iημθ) [συ( θ) (-θ )] συ(-θ) (-θ) συ( θ) iημ( θ) Επομέως: και x + x συ( θ) ( θ) + συ( θ) iημ( θ) συ( θ)

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ x x (συ( θ) ( θ))(συ(-θ) (-θ) συ Άρα, η ζητούμεη εξίσωση είαι η: x συ( θ) x + Να ααλυθεί σε γιόμεο πολυωύμω το πολυώυμο ΛΥΣΗ P ( x) x + 4x + 5x + 6, α γωρίζουμε ότι έχει ρίζα το μιγαδικό αριθμό Αφού το P(x) έχει ρίζα το αριθμό + i x i, θα έχει ρίζα και το συζυγή του, + x i Επομέως, το πολυώυμο P(x) διαιρείται με το γιόμεο ( x) ( x x)( x x Q ), για το οποίο έχουμε Q ( x) [ x ( + i)][ x ( i)] [( x ) i][( x ) + i] ( x ) ( i) x + x + x x + Α κάουμε τη διαίρεση του πολυωύμου P (x) με το πολυώυμο Q(x), βρίσκουμε πηλίκο x + Επομέως είαι P ( x) ( x x + )(x + ) ΣΧΟΛΙΟ Γεικά, όπως ααφέρθηκε και στη εισαγωγή, κάθε πολυώυμο με πραγματικούς συτελεστές μπορεί α γραφεί ως γιόμεο πρωτοβάθμιω και δευτεροβάθμιω παραγότω με πραγματικούς συτελεστές, όπου οι δευτεροβάθμιοι παράγοτες (α υπάρχου) έχου αρητική διακρίουσα ΑΣΚΗΣΕΙΣ

4 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α ΟΜΑΔΑΣ Να λύσετε τις εξισώσεις και α παραστήσετε τις λύσεις στο μιγαδικό επίπεδο: α) β) 4 γ) 6 Να λύσετε τις εξισώσεις: α) i β) γ) 5 5π 5 4 συ π 6 6 Να λύσετε τις εξισώσεις: α) ( + ) β) i 4π 4 6 συ 4 π 6 γ) 64 4 i 4 Να λύσετε τις εξισώσεις: α) + + 4 8 β) 4 + 5 + 4 5 Α ο μιγαδικός + i είαι ρίζα της εξίσωσης x x + 7x +, α βρείτε και τις άλλες ρίζες της 6 Α w είαι μια κυβική ρίζα της μοάδος, με w, α βρείτε τη τιμή της παράστασης ( w + w )( + w w ) 7 Να λύσετε τη εξίσωση 4 5 + x + x + x + x + x 8 Να λύσετε τη εξίσωση + + + 9 και α δείξετε ότι οι εικόες τω ριζώ είαι κορυφές ισόπλευρου τριγώου Β ΟΜΑΔΑΣ Να λύσετε τις εξισώσεις: α) i β) ( ) ( i)( + ) 6 5 4 Να λύσετε τη εξίσωση + + + + + ( + ) 7 Να λύσετε τη εξίσωση + και στη συέχεια α βρείτε τα τριώυμα με πραγματικούς συτελεστές που είαι παράγοτες του πολυωύμου + + + 6 5 4

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 5 4 Στο σύολο τω μιγαδικώ αριθμώ α βρείτε τις κοιές λύσεις τω εξισώσεω ( + ) + + και 6 + 4 + 5 Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς, για τους οποίους ισχύει 7 6 Α η εξίσωση ( + i) p( i), * έχει πραγματική ρίζα, α αποδείξετε ότι p 7 Δίεται η εξίσωση x x + 4 με ρίζες τις x και x α) Να υπολογίσετε τις τιμές τω παραστάσεω x + x, x x και x + x β) Α η εξίσωση x + px + q έχει ως ρίζες τις x και x, α βρείτε τις τιμές τω p και q 8 α) Να λύσετε τη εξίσωση π π συ θ συθ + (5 4συ θ), < θ < β) Να αποδείξετε ότι καθώς το θ μεταβάλλεται στο διάστημα π π,, οι εικόες τω λύσεω της εξίσωσης κιούται σε μια υπερβολή 8 Να λύσετε τη εξίσωση 9 5 4 x x + x ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( )( + ) Δίεται η συάρτηση f με f ( ) με και Re( ) + α) Να αποδείξετε ότι f f ( ) β) Έστω α, β δυο (σταθεροί) πραγματικοί αριθμοί διαφορετικοί από το Να βρείτε το είδος της καμπύλης στη οποία αήκου τα ση-

6 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ μεία M ( x, y), με x, για τα οποία οι μιγαδικοί αριθμοί αx + βyi ικαοποιού τη σχέση Re( f ( )) Θεωρούμε τους μιγαδικούς, w και w, για τους οποίους ισχύου: w i και w αi α +, όπου α Να δείξετε ότι α το α μεταβάλλεται στο και ισχύει w w, τότε η εικόα P του στο μιγα- * δικό επίπεδο κιείται σε μια υπερβολή Θεωρούμε τους μιγαδικούς λ + + (λ ) i, λ α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο τω εικόω του μιγαδικού β) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο τω εικόω του μιγαδικού w για το οποίο ισχύει w + ( + i) γ) Να βρείτε το μιγαδικό που έχει τη πλησιέστερη εικόα στη αρχή O(,) 4 Να γραμμοσκιάσετε το τμήμα του μιγαδικού επιπέδου που ορίζου οι εικόες τω μιγαδικώ, για τους οποίους ισχύει: α) + < + i β) + Re( ) 5 Να αποδείξετε ότι α οι μιγαδικοί,,, κ έχου τις εικόες τους στο ίδιο ημιεπίπεδο μιας ευθείας που διέρχεται από τη αρχή O (,), τότε ισχύει + + + κ 6 Να αποδείξετε ότι οι εικόες τω λύσεω της εξίσωσης είαι σημεία της ευθείας x ( ) 7 Α το τριώυμο α x + β x + γ με πραγματικούς συτελεστές και α δε έχει πραγματικές ρίζες, α αποδείξετε ότι: α) Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς κ και λ ισχύει ( ακ + βκ + γ )( αλ + βλ + γ ) > β) Για οποιουσδήποτε συζυγείς μιγαδικούς και διαφορετικούς από τις ρίζες του τριωύμου ισχύει επίσης α + β + γ )( α + β + γ ) ( > 8 Γωρίζοτας ότι για τις ιοστές ρίζες της μοάδας,,,, ι- σχύει + + +, α αποδείξετε τις ταυτότητες: +

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 7 α) π 4π 6π ( ) π ημ + ημ + ημ + + ημ, β) π 4π 6π ( ) π συ + συ + συ + + συ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Να βάλετε σε κύκλο τη σωστή απάτηση: (i) Α στο σύολο τω μιγαδικώ αριθμώ ισχύει u + v, τότε : Α u Β v Γ u v Δ Τίποτα από τα προηγούμεα (ii) Ο αριθμός ( + 5i) + ( 5i) είαι: Α Φαταστικός Β Μηδέ Γ Πραγματικός Δ Τίποτα από τα προηγούμεα Ποιες από τις επόμεες ισότητες αληθεύου για κάθε μιγαδικό : Α Β Γ Δ Ε Σύμφωα με τη συθήκη που ικαοποιού οι μιγαδικοί και ααφέρεται στη πρώτη στήλη, α τους ατιστοιχίσετε στη ευθεία της δεύτερη στήλης που αήκει η εικόα τους: Συθήκη Ευθεία A i + i α x B + β y y Γ i γ y x δ y x Δ + + i ε x x 4 Να ατιστοιχίσετε κάθε μιγαδικό της πρώτης στήλης στο όρισμά του της δεύτερης στήλης:

8 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Μιγαδικός ( k > ) Όρισμα Α k + ki α -45 Β k ki β 5 Γ k ki γ 45 Δ k + ki δ 8 ε 6 ζ 5 5 Να βάλετε σε κύκλο τις σωστές απατήσεις Ό αριθμός τω πραγματικώ ριζώ μιας πολυωυμικής εξίσωσης 5 ου βαθμού με πραγματικούς συτελεστές μπορεί α είαι: Α Β Γ Δ 4 Ε 5 y 6 Να γράψετε τους μιγαδικούς που έχου ως εικόες τα σημεία Α, Β, Γ και Δ του διπλαού σχήματος: Α: Β: B Γ O 45 A Δ x Γ: Δ: 7 Α είαι ο μιγαδικός που έχει ως εικόα το Α, α ατιστοιχίσετε κάθε μιγαδικό της πρώτης στήλης στη εικόα του που ααφέρεται στη δεύτερη στήλη και σημειώεται στο παρακάτω σχήμα:

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 9 Μιγαδικός Εικόα Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ y B A Ε Η θ O 5 x Θ -θ Ζ Γ Δ