x (t) u (t) = x 0 u 0 e 2t,

Κεφάλαιο 7 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ Η ευαισθησία της λύσης μιας ΔΕ σε μεταβολές της αρχικής τιμής είναι έ- να θεμελιώδες ζήτημα στη θεωρία αλλά και στις εφαρμογές των διαφορικών εξισώσεων. Παράδειγμα 7.0.3. Για τη ΔΕ ẋ = 2x, t 0 και x (0) = x 0 η λύση είναι x (t) = x 0 e 2t. Άρα η λύση x (t; x 0 ) εξαρτάται κατά συνεχή τρόπο από το x 0. Για κάθε άλλη λύση u (t) με u (0) = u 0 θα έχουμε x (t) u (t) = x 0 u 0 e 2t, δηλαδή για t > 0 οι τιμές των λύσεων απέχουν λιγότερο από ότι οι αρχικές τιμές, x (t) u (t) x 0 u 0. Ακριβέστερα, για κάθε ε > 0 υπάρχει δ > 0 : x 0 u 0 < δ x (t) u (t) < ε, (στο παράδειγμα αρκεί να πάρουμε δ = ε). Λέμε ότι οι λύσεις της ΔΕ είναι ευσταθείς για t > 0. Για t < 0 η αρχική διαφορά x 0 u 0 μεγενθύνεται κατά τον μεγάλο παράγοντα e 2t. Παρ ότι η λύση είναι συνεχής συνάρτηση του x 0, μικρές αλλαγές στο x 0 επιφέρουν μεγάλες αλλαγές στο x (t). Π.χ. αν x 0 u 0 = 10 3, τότε x ( 7) u ( 7) = 10 3 e 14 1200. Παράδειγμα 7.0.4. Για τη ΔΕ ẋ = x, t 0 θα έχουμε x (t) u (t) = x 0 u 0 e t, δηλαδή όσο μικρό και αν είναι το x 0 u 0, για κάθε ε υπάρχει t > 0 : x (t) u (t) > ε, επομένως οι λύσεις της ΔΕ απέχουν πολύ περισσότερο από τις αρχικές τιμές x 0, u 0. Λέμε ότι οι λύσεις είναι ασταθείς. Η λύση x (t) είναι πολύ ευαίσθητη σε μεταβολές της αρχικής τιμής για t > 0, αλλά αναίσθητη για t < 0. 133

134 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ Συνήθως ενδιαφερόμαστε για την ευστάθεια των λύσεων για t > 0 ως εάν t αντιστοιχεί στο χρόνο ενός φυσικού προβλήματος. Οπως έχει τονισθεί αλλού, ένα πρόβλημα αρχικών τιμών που περιγράφει το μέλλον ενός φυσικού συστήματος πρέπει να είναι αναίσθητο σε μεταβολές των αρχικών τιμών. 7.1 Βασικοί ορισμοί Η έννοια της ευστάθειας ποσοτικοποιείται ως εξής. Θεωρούμε τη ΔΕ ẋ = f (x). (7.1.1) Μία λύση, u (t), της (7.1.1) θα λέγεται ευσταθής αν λύσεις που ξεκινούν κοντά στην u (t) κάποια στιγμή t 0 παραμένουν κοντά στην u (t) για κάθε t > t 0. Η απαίτηση αυτή διατυπώνεται ακριβέστερα στον επόμενο ορισμό και μάλιστα σε περισσότερες διαστάσεις. Θεωρούμε τη ΔΕ ẋ = f (x), x R n. (7.1.2) Ορισμός 7.1.1. Η λύση u (t) της (7.1.2) λέγεται ευσταθής (κατά Liapunov) αν ε > 0 δ (ε) > 0 : κάθε λύση x (t) με x (0) u (0) < δ ικανοποιεί την x (t) u (t) < ε t > 0. Οπως έχει τονισθεί μία ειδική μορφή λύσεων της (7.1.2) είναι τα σημεία ισορροπίας. Θέλουμε να επαναλάβουμε τον παραπάνω ορισμό για σημεία ι- σορροπίας. Διαισθητικά περιμένουμε ότι τροχιές που ξεκινούν σε μία περιοχή ενός ευσταθούς σημείου ισορροπίας x 0, παραμένουν σ αυτήν για κάθε t > 0. Υπενθυμίζουμε πρώτα ότι μία ε περιοχή του σημείου x 0 είναι η ανοιχτή μπάλλα B ε (x 0 ) = {x R n : x x 0 < ε}, βλ. Παράρτημα. Εστω φ t (x) η λύση της (7.1.2) με αρχική τιμή x, δηλαδή φ 0 (x) = x. Θα λέμε ότι το x 0 είναι ευσταθές σημείο ισορροπίας της (7.1.2) αν ε > 0 υπάρχει δ > 0 : για κάθε x B δ (x 0 ) και t > 0 να έχουμε φ t (x) B ε (x 0 ). Για παράδειγμα το σύστημα ẋ = y, ẏ = x,

7.1. ΒΑΣΙΚΟ Ι ΟΡΙΣΜΟ Ι 135 έχει σημείο ισορροπίας την αρχή (0, 0) και κάθε άλλη λύση γράφεται x (t) cos t sin t x (0) x (t) = =, y (t) sin t cos t y (0) δηλαδή οι τροχιές είναι ομόκεντροι κύκλοι. Άρα για δοθέν ε > 0 αρκεί να επιλέξουμε δ = ε/2, οπότε εξασφαλίζουμε ότι τροχιές που ξεκινούν μέσα στο δίσκο x 2 + y 2 < δ 2 παραμένουν μέσα στο δίσκο x 2 + y 2 < ε 2 για κάθε t > 0. Το σημείο ισορροπίας x 0 είναι ασταθές αν δεν είναι ευσταθές. Τούτο σημαίνει ότι: Το x 0 είναι ασταθές σημείο ισορροπίας της (7.1.2), αν υπάρχει ε > 0 ώστε για κάθε δ > 0 υπάρχει x B δ (x 0 ) τέτοιο ώστε, για κάποιο t > 0 να έχουμε φ t (x) / B ε (x 0 ). Παράδειγμα 7.1.1. Το σύστημα ẋ = y x 3 xy 2, ẏ = x y 3 x 2 y, έχει σημείο ισορροπίας την αρχή (0, 0), δηλαδή έχει λύση την u (t) = 0 t 0 που ικανοποιεί την αρχική συνθήκη u (0) = 0. Εστω x (t) = (x (t), y (t)) μία άλλη λύση. Το σύστημα γράφεται σε πολικές συντεταγμένες ως ṙ = r 3, θ = 1. (7.1.3) Ως γνωστόν r (t) εκφράζει την απόσταση της λύσης x (t) από την αρχή, δηλαδή από τη μηδενική λύση r (t) = x (t) u (t) = x (t) 0 = x 2 (t) + y 2 (t). Η λύση του (7.1.3) είναι r (t) = r 0 1 + 2r 2 0 t, θ (t) = θ 0 + t, δηλαδή η απόσταση x (t) 0 είναι φθίνουσα συνάρτηση του χρόνου, άρα κατά τον προηγούμενο ορισμό το (0, 0) είναι ευσταθές (ευσταθής εστία). Λύστε τη λογιστική εξίσωση ẋ = x (1 x) και αποδείξτε ότι το σημείο 1 είναι ευσταθές σημείο ισορροπίας και μάλιστα για κάθε λύση x (t) με x (0) > 0 ισχύει lim t x (t) = 1. Παράδειγμα 7.1.2. Το σύστημα ẋ = y + x 3 xy 2, ẏ = x + y 3 + x 2 y,

136 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ έχει σημείο ισορροπίας την αρχή (0, 0), δηλαδή έχει λύση την u (t) = 0 t 0 που ικανοποιεί την αρχική συνθήκη u (0) = 0. Εστω x (t) = (x (t), y (t)) μία άλλη λύση. Το σύστημα γράφεται σε πολικές συντεταγμένες ως ṙ = r 3, θ = 1, με λύση r (t) = r 0 1 2r 2 0 t, t < 1 2r0 2, θ (t) = θ 0 + t, δηλαδή η απόσταση x (t) 0 είναι αύξουσα συνάρτηση του χρόνου, άρα κατά τον προηγούμενο ορισμό το (0, 0) είναι ασταθές (ασταθής εστία). Και στα δύο παραπάνω παραδείγματα μπορούσαμε να αποφανθούμε για την ευστάθεια του σημείου ισορροπίας χωρις να λύσουμε το σύστημα. Π.χ. στο τελευταίο σύστημα είναι ṙ = r 3, επομένως ṙ > 0 άρα r (t) αύξουσα, δηλαδή η απόσταση της τροχιάς από την αρχή αυξάνει. Να εξετάσετε ως προς την ευστάθεια το σύστημα ẋ = x + x x 2 + y 2, ẏ = y + y x 2 + y 2. Ορισμός 7.1.2. Το x 0 είναι ασυμπτωτικά ευσταθές σημείο ισορροπίας της (7.1.2) αν είναι ευσταθές και επιπλέον υπάρχει δ > 0 : για κάθε x B δ (x 0 ), lim φ t (x) = x 0. t Από τον ορισμό προκύπτει ότι δεν αρκεί μόνο η λύση να τείνει ασυμπτωτικά στο x 0, αλλά απαιτείται να παραμένει σε μία περιοχή του x 0 για κάθε t > 0. Αντιπαράδειγμα όπου η λύση πλησιάζει ασυμπτωτικά το x 0, αλλά δεν είναι ευσταθής μπορείτε να βρείτε στο Πρόβλημα 7 σελ. 253 του βιβλίου [5]. Πρόκειται για ένα σύστημα όπου μία ή περισσότερες τροχιές ξεκινούν κοντά σε ένα σημείο ισορροπίας, απομακρύνονται από αυτό και στη συνέχεια επανέρχονται και τείνουν ασυμπτωτικά προς το σημείο ισορροπίας. Παράδειγμα 7.1.3. Το (0, 0) είναι ασυμπτωτικά ευσταθές σημείο ισορροπίας του συστήματος ẋ = x, ẏ = 2y, (ευσταθής κόμβος). Το (0, 0) είναι ευσταθές σημείο ισορροπίας του συστήματος ẋ = y, ẏ = x, αλλά όχι ασυμπτωτικά ευσταθές (κέντρο).

7.2. ΕΥΣΤ ΑΘΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚ ΩΝ ΣΥΣΤΗΜ ΑΤΩΝ 137 7.2 Ευστάθεια γραμμικών συστημάτων Το παρακάτω θεώρημα δείχνει ότι για γραμμικά συστήματα η ευστάθεια του σημείου ισορροπίας καθορίζεται από τις ιδιοτιμές του πίνακα A. Θεώρημα 7.2.1. Για το γραμμικό σύστημα ẋ = Ax, x R n, α) αν όλες οι ιδιοτιμές του πίνακα A έχουν αρνητικό πραγματικό μέρος, τότε το σημείο ισορροπίας 0 είναι ασυμπτωτικά ευσταθές (επομένως για κάθε λύση ισχύει lim t x (t) = 0). β) αν μία ιδιοτιμή έχει θετικό πραγματικό μέρος, τότε το σημείο ισορροπίας 0 είναι ασυμπτωτικά ασταθές. γ) αν όλες οι ιδιοτιμές του πίνακα A έχουν πραγματικό μέρος αρνητικό ή μηδέν, τότε το σημείο ισορροπίας 0 είναι ευσταθές. Η απόδειξη προκύπτει από τη θεωρία που αναπτύξαμε στο Κεφάλαιο 5, βλ. Παράγραφο 5.3. Παράδειγμα 7.2.1. Το σύστημα ẋ = Ax, με A = a b 0 b a 0 0 0 c, a, b, c > 0, έχει ιδιοτιμές λ 1,2 = a ± ib, λ 3 = c. Επομένως η αρχή είναι ασταθής. Ειδικότερα, τροχιές που ξεκινούν στο επίπεδο x 1 x 2 παραμένουν σε αυτό και απομακρύνονται σπειροειδώς απο το 0. Τροχιές που ξεκινούν επί του άξονα x 3 παραμένουν σε αυτόν και πλησιάζουν ασυμπτωτικά το 0. Δηλαδή το επίπεδο x 1 x 2 είναι ο ασταθής υπόχωρος E u και ο άξονας x 3 είναι ο ευσταθής υπόχωρος E s. Το πορτραίτο φάσεων του συστήματος φαίνεται στο Σχήμα 7.1. Σχηματοποιούμε τις έννοιες του παραπάνω παραδείγματος κατά ακριβή τρόπο. Εστω E s ο υπόχωρος του R n που παράγεται από τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν σε ιδιοτιμές με αρνητικό πραγματικό μέρος, E u ο υπόχωρος που παράγεται από τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν σε ιδιοτιμές με θετικό πραγματικό μέρος και E c ο υπόχωρος που παράγεται από τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν σε ιδιοτιμές με πραγματικό μέρος μηδέν. Παράδειγμα 7.2.2. Ο πίνακας A = 2 1 0 1 2 0 0 0 3

138 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ 0 2 0 1 0 0 Σχήμα 7.1: Οι υπόχωροι E u (το επίπεδο x 1, x 2 ) και E s (ο άξονας x 3 ). 0 1 έχει ιδιοδιάνυσμα w 1 = u 1 + iv 1 = 1 + i 0 που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ 1 = 2 + i και u 2 = 0 0 0 1 υπόχωρος E s είναι το επίπεδο x 1, x 2 και ο ασταθής υπόχωρος είναι ο άξονας x 3. Παράδειγμα 7.2.3. Ο πίνακας 0 1 0 A = 1 0 0 0 που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ 2 = 3. Ο ευσταθής 0 0 2 έχει λ 1 = i, u 1 = (0, 1, 0) T, v 1 = (1, 0, 0) T, λ 2 = 2, u 2 = (0, 0, 1) T. Ο υπόχωρος κέντρου E c είναι το επίπεδο x 1, x 2 και ο ασταθής υπόχωρος είναι ο άξονας x 3. Για το γραμμικό σύστημα ẋ = Ax, [5]) το παρακάτω θεώρημα. x R n αποδεικνύεται (βλέπε π.χ. Θεώρημα 7.2.2. Ο R n είναι το ευθύ άθροισμα των υποχώρων E s, E u, E c, δηλαδή R n = E s E u E c. Οι υπόχωροι E s, E u, E c είναι αναλλοίωτοι υπό την ροή της ΔΕ με την έννοια ότι τροχιές που ξεκινούν σε κάποιον υπόχωρο παραμένουν σε αυτόν για κάθε t. Επιπλέον, x E s συνεπάγεται ότι lim t + φ (t, x) = 0, και x E u συνεπάγεται ότι lim t φ (t, x) =.

7.3. ΕΥΣΤ ΑΘΕΙΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚ ΩΝ ΣΥΣΤΗΜ ΑΤΩΝ 139 7.3 Ευστάθεια μη γραμμικών συστημάτων Οπως έχουμε σχολιάσει και αλλού, το Θεώρημα Hartman-Grobman δεν μας επιτρέπει να αποφανθούμε για την ευστάθεια μη υπερβολικών σημείων ισορροπίας. Στην περίπτωση που κάποια ιδιοτιμή είναι μηδέν ή είναι καθαρώς φανταστική δεν υπάρχει γενική μέθοδος αντιμετώπισης του προβλήματος. Μία προσέγγιση στο ζήτημα της ευστάθειας μη υπερβολικών σημείων ισορροπίας είναι η μέθοδος Liapunov. Ορισμός 7.3.1. Εστω f (x 0 ) = 0 και E ένα ανοιχτό υποσύνολο του R n που περιέχει το x 0. Μία διαφορίσιμη συνάρτηση V : E R λέγεται συνάρτηση Liapunov αν έχει τις εξής ιδιότητες: (α) V (x 0 ) = 0 και (β) V (x) > 0 για x = x 0. Από τον κανόνα της αλυσίδας προκύπτει ότι η παράγωγος της βαθμωτής συνάρτησης V κατά μήκος της λύσης φ t (x) δίνεται από τον τύπο V (x) = d dt V (φ t (x)) t=0 = V (x) ẋ = V (x) f (x), βλ. (12.4.5) και (12.4.6) στο Παράρτημα. Επομένως αν V (x) είναι αρνητική, τότε η V ελαττώνεται κατά μήκος της τροχιάς. Θεώρημα 7.3.1 (Liapunov). Εστω x 0 R n ένα σημείο ισορροπίας της ẋ = f (x) και V μία συνάρτηση Liapunov. (α) Αν V (x) 0, τότε το x 0 είναι ευσταθές. (β) Αν V (x) < 0 εκτός του σημείου x 0, τότε το x 0 είναι ασυμπτωτικά ευσταθές. (γ) Αν V (x) > 0, τότε το x 0 είναι ασταθές. Στον R 2 μπορούμε να δώσουμε μία γεωμετρική ερμηνεία στο θεώρημα. Οι ιδιότητες της V δείχνουν ότι κοντά στο x 0 το γράφημα της V είναι μία επιφάνεια που μοιάζει με παραβολοειδές. Επομένως οι ισοσταθμικές καμπύλες της είναι κλειστές, ακριβέστερα για μικρά c > 0, η εξίσωση V (x) = c παριστάνει μία οικογένεια κλειστών καμπυλών που περικυκλώνουν το x 0. Οταν V (x) < 0, μία τροχιά που τέμνει μία τέτοια καμπύλη οδεύει προς το εσωτερικό. Παράδειγμα 7.3.1. Για να κατανοήσουμε την κεντρική ιδέα της μεθόδου θεωρούμε πάλι τον αρμονικό ταλαντωτή με απόσβεση mẍ + bẋ + kx = 0, ή ẋ = y ẏ = k m x b m y.

140 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ Οπως γνωρίζουμε από την ανάλυση του πορτραίτου των φάσεων του συστήματος, το σημείο ισορροπίας (0, 0) είναι ευσταθές. Στο συμπέρασμα αυτό καταλήγουμε και ως εξής. Η ενέργεια του ταλαντωτή E (x, y) = 1 2 my2 + 1 2 kx2, είναι μία συνάρτηση Liapunov (ελέγξετε το). Κατά μήκος μιας λύσης (x (t), y (t)) έχουμε d E E (x, y) = dt x ẋ + E y ẏ = by2 0. Σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα, το (0, 0) είναι ευσταθές. Η γεωμετρική ερμηνεία είναι ότι αφού η E είναι φθίνουσα συνάρτηση του χρόνου, το άθροισμα my 2 + kx 2 διαρκώς ελαττώνεται, επομένως και η απόσταση του (x (t), y (t)) από το (0, 0) ελαττώνεται. Παράδειγμα 7.3.2. Για το σύστημα η αρχή είναι σημείο ισορροπίας και Df (0) = ẋ = 2y + yz ẏ = x xz ż = xy 0 2 0 1 0 0 0 0 0 Ο Df (0) έχει ιδιοτιμές λ 1 = 0, λ 2,3 = ±2i, δηλαδή η αρχή x = 0 είναι μη υπερβολικό σημείο ισορροπίας και κατά συνέπεια το θεώρημα Hartman-Grobman δεν μας επιτρέπει να αποφανθούμε για την ευστάθεια του. Αναζητούμε μία κατάλληλη. συνάρτηση Liapunov. Δοκιμάζουμε μία συνάρτηση της μορφής V (x) = ax 2 + by 2 + cz 2, a, b, c > 0. Η παράγωγός της κατά μήκος των τροχιών V (x) = V (x) f (x) υπολογίζεται εύκολα V (x) = 2 (a b + c) xyz + 2 ( 2a + b) xy. Αν λοιπόν επιλέξουμε b = 2a και c = a θα έχουμε V (x) > 0 για x = 0 και V (x) = 0 για κάθε x. Σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα το 0 είναι ευσταθές. Επιπλέον διαλέγοντας c = a = 1 και b = 2 βλέπουμε ότι οι τροχιές του συστήματος κείνται στις επιφάνειες των ελλειψοειδών x 2 + 2y 2 + z 2 = C 2.

7.3. ΕΥΣΤ ΑΘΕΙΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚ ΩΝ ΣΥΣΤΗΜ ΑΤΩΝ 141 Η μέθοδος Liapunov εφαρμόζεται επιτυχώς στα λεγόμενα δυναμικά συστήματα βαθμίδας (gradient dynamical systems). Θεωρούμε το δυναμικό σύστημα ẋ = V (x), όπου V είναι βαθμωτή συνάρτηση κλάσεως C 2 σε ένα ανοιχτό υποσύνολο E του R n. Είναι προφανές ότι τα σημεία ισορροπίας του συστήματος ταυτίζονται με τα κρίσιμα σημεία της V, δηλαδή τα σημεία όπου V (x) = 0, βλ. Παράγραφο 12.6. Η ροή του συστήματος είναι σχετικώς α- πλή διότι οι τροχιές είναι εφαπτόμενες στο V (x), επομένως είναι κάθετες στις ισοσταθμικές επιφάνειες της V, δηλαδή στις επιφάνειες V (x) = C. Πρόταση 7.3.2. Για κάθε σύστημα της μορφής ẋ = V (x), η V είναι φθίνουσα συνάρτηση κατά μήκος των τροχιών, δηλαδή V (x) 0 στο E. Είναι V (x) = 0 αν και μόνο αν το x είναι σημείο ισορροπίας του συστήματος. Αν x 0 είναι ένα απομονωμένο σημείο ελαχίστου της V, τότε το x 0 είναι ασυμπτωτικά ευσταθές. Απόδειξη. Οι δύο πρώτοι ισχυρισμοί προκύπτουν αμέσως παραγωγίζοντας την V κατά μήκος μιας τροχιάς του συστήματος V (x) = V (x) ẋ = V (x) V (x) = V (x) 2. Για τον τρίτο ισχυρισμό αρκεί να παρατηρήσουμε ότι η V (x) V (x 0 ) είναι μία συνάρτηση Liapunov σε μία περιοχή του x 0 γνησίως φθίνουσα κατά μήκος των τροχιών του συστήματος. Ασκήσεις 1. Προσδιορίστε την ευστάθεια των σημείων ισορροπίας για το ẋ = f (x) όπου f (x) δίνεται από x 2 y 2 1 y x 2 + 2 4y + x 2 (a), (b), (c). 2y 2y 2 2xy 4x + y 2 2. Βρείτε κατάλληλη συνάρτηση Liapunov για να εξετάσετε την ευστάθεια της αρχής για το σύστημα ẋ ẏ = ż y xy 2 + z 2 x 3 x + z 3 x 3 xz zx 2 yz 2 z 5 Τι πληροφορίες παίρνουμε από την ανάλυση του γραμμικού συστήματος ẋ =Df (0) x;.