f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R

Transcript

1 ΟΕΦΕ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα Α Α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ν ν και ισχύει f ν f, νν-{,} είναι παραγωγίσιμη στο R Μονάδες 7 Α Πότε η ευθεία λ β λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f στο + Μονάδες 4 Α Να διατυπώσετε το κριτήριο παρεμβολής Μονάδες 4 Α4 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη i) Αν μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α έχει αντίστροφη, τότε f f για κάθε Α, ii) Αν lim f, τότε f() > κοντά στο Μονάδες iii) Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο σημείο παραγωγίσιμη σ αυτό Μονάδες, τότε δεν είναι Μονάδες iv) Μια συνεχής στο (α,β) συνάρτηση, παίρνει σε κάθε περίπτωση στο (α,β) μια μέγιστη και μια ελάχιστη τιμή v) Αν f συνεχής συνάρτηση στο [α,β] και λr, τότε fd λ f β α β α Μονάδες λ d Μονάδες

2 Θέμα Β Δίνονται οι μιγαδικοί z, z και w με z z α β i, με α, βr τέτοιοι, ώστε ο β i να είναι φανταστικός και i Im w i w i α i Β Να αποδείξετε ότι α) Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z στο μιγαδικό επίπεδο είναι η ευθεία ε με εξίσωση + 4 = Μονάδες 6 β) Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w στο μιγαδικό επίπεδο είναι η παραβολή με εξίσωση Μονάδες 6 7 Β Να αποδείξετε ότι z w 4 Μονάδες 5 Β α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο C των εικόνων του w στο μιγαδικό επίπεδο Μονάδες β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την ευθεία + 4 = και τη γραμμή C του προηγούμενου ερωτήματος Μονάδες 5 Θέμα Γ Οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο R με f() =, g() = και ικανοποιούν τις σχέσεις: f f g και f κάθε R Γ Να αποδείξετε ότι f g, για Γ α) Να υπολογίσετε την τιμή g () Μονάδες 6 Μονάδες β) Να αποδείξετε ότι lim g Γ Αν επιπλέον g, για κάθε R, τότε Μονάδες 4

3 α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f Μονάδες 6 β) Να αποδείξετε ότι, για κάθε λr, από το σημείο Μ(,λ) άγονται το πού τρεις εφαπτόμενες στη γραφική παράσταση της συνάρτησης h με h Μονάδες 6 Θέμα Δ Η συνάρτηση g είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R με g g d g g, για κάθε R και g() = -, g g d d Δ Να αποδείξετε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα Μονάδες 6 Δ Να αποδείξετε ότι υπάρχει ρ(,), τέτοιο, ώστε g(ρ) = - (μονάδες 5) και ρ g g (μονάδες ) Μονάδες 8 Δ Να υπολογίσετε το όριο lim g g Δ4 Να λύσετε την εξίσωση g g g g, > Μονάδες 6 Μονάδες 5 Ευχόμαστε Επιτυχία

4 4 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ: Θέμα Α Α4 (i) Σωστό (ii) Σωστό (iii) Σωστό (iv) Λάθος (v) Σωστό Θέμα Β Β α) Είναι z β i β i α i α β 4 α β α i α i α i i α i Ο z είναι φανταστικός αν και μόνο αν το πραγματικό του μέρος είναι μηδέν, δηλαδή αν και μόνο αν α β 4 Κατά την τελευταία ισότητα, οι συντεταγμένες της εικόνας Μ(α,β) του z α β i επαληθεύουν την εξίσωση + 4 = Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z στο μιγαδικό επίπεδο είναι η ευθεία (ε): + 4 = β) Εάν w i,, R, τότε w i i, Imw i, i w i i, Im iimw i i, w i i

5 5 Άρα η ισότητα είναι διαδοχικά ισοδύναμη με τις, i Im w i w i,, Έπεται ότι οι συντεταγμένες της εικόνας N, του w i επαληθεύουν την εξίσωση Άρα γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w στο μιγαδικό επίπεδο είναι η παραβολή με εξίσωση Β Εάν z s i, w i, s,,,r, τότε s + 4 = και και θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε την παράσταση Γνωρίζουμε ότι (από την Α Λυκείου) ότι s z w α b α b (Πράγματι, b b b ) Με α = s και b =, παίρνουμε: z w οπότε s s , 8 8

6 6 7 7 z w 8 4 Β α) Είναι w i, με, R και Έτσι, w i i, όπου Δεδομένου ότι και, παίρνουμε, που σημαίνει ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων, παραβολή C : P του w στο μιγαδικό επίπεδο, είναι η β) Τα κοινά σημεία των (ε) και (C) έχουν συντεταγμένες τις λύσεις του συστήματος ε : 4 C : και άρα οι τετμημένες τους είναι ρίζες της εξίσωσης 4 8 Επομένως οι δύο γραμμές τέμνονται στα σημεία με τετμημένες 4 6 Οι (ε) και (C) είναι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f() = + 4 και g και η διαφορά f g 4 αντίστοιχα 8 είναι συνεχής και μη αρνητική στο διάστημα [-,4] Έτσι, το ζητούμενο εμβαδόν είναι g() = / f() = σχήμα Β(β) E 4 4 d

7 7 Θέμα Γ Γ Θεωρούμε τη συνάρτηση h f g h, R και έχουμε f g g f f f g f g h Αφού λοιπόν για κάθε R είναι h h, έπεται (εφαρμογή σχολικού βιβλίου) ότι h c, R, όπου c πραγματική σταθερά Όμως και h f g h c Αρα c = και h, R ή f g, για κάθε R Γ α) Η ισότητα ισχύει για κάθε R και για = δίνει f g f, f g f Όμως f() =, άρα Θέτουμε και έχουμε f g f Q, R []

8 8 Q f Κατά την υπόθεση είναι Q() Q(), για κάθε R, δηλαδή η Q() παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο Η Q() είναι επιπλέον παραγωγίσιμη με Q f και λόγω του θεωρήματος Frma έχουμε ότι οπότε f Έτσι, η [] δίνει g () = f, R Q, β) Μιας και +, είναι > Θέτουμε Η συνάρτηση Έχουμε άρα είναι - για > και με + έχουμε ότι, g g g lim g lim lim g g Γ α) Αν, για κάθε R, τότε ( από το Γ(α) ) είναι f, R Προφανώς είναι f, για κάθε R, άρα το πεδίο τιμών της f περιέχεται στο [,+ ) Επίσης f() = Θ αποδείξουμε ότι, f R Αρκεί ν αποδείξουμε ότι για κάθε [,+ ), υπάρχει R με f() = Εάν =, τότε = Έστω λοιπόν ότι >

9 9 Γνωρίζουμε ότι για κάθε > ισχύει η σχέση ln, η οποία με τον στη θέση του δίνει την Έτσι, για, έχουμε f Θεωρούμε τη συνάρτηση w f, για κάθε R, R Είναι και w w f f Η f() είναι συνεχής, άρα η w() είναι συνεχής και από το θεώρημα Blzan έπεται ότι υπάρχει,, με w() =, δηλαδή f Αποδείξαμε επομένως ότι για κάθε [,+), υπάρχει R με f() =, που σημαίνει ότι το σύνολο τιμών της f είναι το, f R β) Η συνάρτηση h με έχει παράγωγο h h, R,, R Έστω εφαπτόμενη στην γραφική παράσταση της h που άγεται από το σημείο (,λ) Αυτή εφάπτεται στο σημείο, h Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της h στο σημείο της, h εξίσωση h h Αφου αυτη διέρχεται από το σημείο (,λ) εχουμε λ h h, έχει ή λ

10 ή λ Προκειμένου ν αποδείξουμε το ζητούμενο, αρκεί να εξασφαλίσουμε ότι η εξισωση έχει το πολύ τρεις πραγματικές ρίζες Θεωρούμε τη συνάρτηση P λ και θ αποδείξουμε ότι η εξίσωση P() = έχει το πολύ τρεις ρίζες στο R, R, Για R, είναι P Εάν υποθέσουμε ότι η εξίσωση P() = έχει τέσσερις ρίζες ρ,ρ,ρ, ρ4 R, τότε η Ρ() ικανοποιεί το θεώρημα Rll σε καθένα από τα διαστήματα,ρ, ρ,ρ, ρ, ρ και άρα οδηγούμαστε στο συμπέρασμα ότι η εξίσωση ρ4 P έχει τρεις ρίζες ξ ρ,ρ, ξ ρ,ρ, ξ ρ, ρ4 διότι η τελευταία εξίσωση έχει ως ρίζες τους ± και μόνο Άρα η εξίσωση P() = έχει το πολύ τρεις ρίζες στο R, δηλαδή το ζητούμενο, που βέβαια είναι ΑΤΟΠΟ, Θέμα Δ Δ Στόχος μας είναι ν αποδείξουμε ότι g Με = g (), η σχέση [] της υπόθεσης, γράφεται d [] Όμως

11 d Η [] λοιπόν ισοδυναμεί με την d d d d ή την d [] Με δεδομένη την τελευταία λοιπόν, αρκεί ν αποδειχθεί ότι είναι > Αν είναι =, τότε η [] δίνει >, άτοπο Αν είναι <, τότε ω = > και η [] γίνεται ή ω d ω d ω ω [4] Θα έχουμε ολοκληρώσει την απόδειξη εάν από την τελευταία οδηγηθούμε σε αντίφαση Για είναι, άρα και ή που αντίκειται στην [4] ω ω d ω d ω d Με την αντίφαση αυτή ολοκληρώνεται η απόδειξη Δ Δίνεται ότι g g d d, άρα το ένα ολοκλήρωμα είναι θετικός και το άλλο αρνητικός αριθμός Επειδή είναι g(), g() >, για κάθε R, προκύπτει ότι ο - θα βρίσκεται μεταξύ των

12 Επειδή δε η g είναι συνεχής, λόγω του θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών, η g θα λαμβάνει όλες τις τιμές τις ενδιάμεσες στους g(), g(), άρα και την τιμή - Επομένως, υπάρχει ρ(,) με g(ρ) = - Δίνεται επίσης ότι g() = - Εφόσον η g είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R, είναι συνεχής στο [ρ,] και παραγωγίσιμη στο (ρ,) Επιπλέον g(ρ) = - = g() Από το θεώρημα Rll προκύπτει ότι υπάρχει ξ(ρ,) με g (ξ) = Έχουμε και την g γνησίως αύξουσα Συνεπώς ή ρ < ξ < g (ρ) < g (ξ) < g () g (ρ) < < g () Δ Η g είναι δύο φορές παραγωγίσιμη, άρα η g είναι συνεχής Στο Δ αποδείξαμε ότι g () >, οπότε είναι g () >, για κοντά στο Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα κοντά στο Αναζητούμε ένα όριο για Για κοντά στο λοιπόν και για <, έχουμε: g() < g() Δίνεται ότι g() = -, άρα η προηγούμενη σχέση δίνει ή Συνεπώς, για g() < - g() + < είναι g Επίσης, για είναι, οπότε g Επειδή η g είναι συνεχής, μπορούμε να γράψουμε

13 lim g g lim g lim g Στο Δ αποδείξαμε ότι είναι g () >, άρα η g είναι κυρτή Έτσι, η γραφική παράσταση της g βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη της στο, δηλαδή Δεδομένου ότι g () >, είναι g lim g g g g οπότε από την [6] έπεται ότι lim g Τελικά, η [5] δίνει lim g g, [5] [6] Δ4 Ο είναι προφανής ρίζα της εξίσωσης g g g g, > Θα αποδείξουμε ότι είναι και η μοναδική ρίζα της Ας υποθέσουμε ότι, αντιθέτως, η [Ε] που ισοδυναμεί με την έχει ως δεύτερη ρίζα τον ρ > Διακρίνουμε περιπτώσεις Α) ρ> Εχουμε g g g g, > g ρ ρ g gρ gρ Η g, ως δύο φορές παραγωγίσιμη, ικανοποιεί το ΘΜΤ σε καθένα από τα διαστήματα ρ ρ, και,ρ ρ ρ ) [Ε] [Ε ] [7] ρ (Για ρ > εύκολα προκύπτει ότι

14 4 Άρα υπάρχουν θ ρ ρ, και θ ρ, ρ τέτοιοι, ώστε g θ ρ ρ g ρ ρ g και g θ ρ ρ gρ g Τότε η [7] γράφεται με θ ρ θ Ισοδύναμα παίρνουμε ότι g θ ρ = g θ ρ ρ και με την g γνησίως αύξουσα, ότι θ g g, θ θ θ, που βέβαια είναι ΑΤΟΠΟ, αφού θ ρ θ Β) <ρ<, ρ Εργαζόμενοι ανάλογα στα διαστήματα, ρ ρ επίσης σε άτοπο Τελικά ο είναι η μοναδική ρίζα της [Ε] ρ και ρ,ρ, καταλήγουμε