ΜΑΘΗΜΑ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑ 7.5 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ. Θεώρηµα Rlle Αν µια συνάρτηση f είναι : Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις (Αναζητώ ρίζα) συνεχής σε κλειστό διάστηµα [α, β] αραγωγίσιµη στο ανοικτό (α, β) f (α) f (β) τότε υάρχει ξ (α, β) τέτοιο, ώστε (ξ) 0. Άλλη έκφραση του συµεράσµατος του Θ. Rlle «τότε υάρχει ρίζα της εξίσωσης () 0 στο διάστηµα (α, β)» 3. Γεωµετρική έκφραση του συµεράσµατος του Θ. Rlle «τότε υάρχει ξ (α, β) τέτοιο, ώστε η εφατοµένη της C στο σηµείο f Κ(ξ, f (ξ)) να είναι αράλληλη του άξονα. 4. Θ.Μ.Τ Αν µια συνάρτηση f είναι : συνεχής σε κλειστό διάστηµα [α, β] αραγωγίσιµη στο ανοικτό (α, β) τότε υάρχει ξ (α, β) τέτοιο, ώστε (ξ) f ( β) f ( α) β α

5. Άλλη έκφραση του συµεράσµατος του Θ. M. T f ( β) f ( α) «τότε υάρχει ρίζα της εξίσωσης () β α στο διάστηµα (α, β)» 6. Γεωµετρική έκφραση του συµεράσµατος του Θ. Μ. Τ «τότε υάρχει ξ (α, β) τέτοιο, ώστε η εφατοµένη της C στο σηµείο f Κ(ξ, f (ξ)) να είναι αράλληλη της ευθείας ΑΒ, όου Α(α, f(α)) και Β(β, f(β)) ΣΧΟΛΙΑ - ΜΕΘΟ ΟΙ. Μια χρήσιµη ρόταση, συνέεια του Θ. Rlle Μεταξύ δύο ριζών αραγωγίσιµης συνάρτησης υάρχει ρίζα της αραγώγου της. Αόδειξη Έστω, (ας είναι < ) δύο ρίζες της συνάρτησης f. f συνεχής στο [, ] αραγωγίσιµη στο (, ) f ( ) f ( ) 0 Άρα υάρχει ρίζα της εξίσωσης () 0 στο διάστηµα (, ). Για να αοδείξουµε ότι υάρχει ρίζα της εξίσωσης f () 0 οκιµάζουµε τους αρακάτω τρόους : i) Προφανής ρίζα ii) Blzan iii) Ααγωγή σε άτοο (έστω f () 0 για κάθε ) iv) Rlle σε αράγουσα της f (αράγουσα της f λέγεται συνάρτηση g τέτοια, ώστε g () f ())

3 3. Για να αοδείξουµε ότι εξίσωση f () 0 έχει µοναδική ρίζα οκιµάζουµε τους αρακάτω τρόους : i) Με το () αοδεικνύουµε ότι υάρχει µια ρίζα. ii) Για τη µοναδικότητα δοκιµάζουµε α) Μονοτονία β) Ααγωγή σε άτοο και Rlle 4. Για να αοδείξουµε ότι εξίσωση f () 0 έχει το ολύ µία ρίζα Ααγωγή σε άτοο (έστω ότι έχει δύο) και ση συνέχεια Rlle. 5. Για να αοδείξουµε ότι εξίσωση f () 0 έχει το ολύ δύο ρίζες Ααγωγή σε άτοο (έστω ότι έχει τρεις) και ση συνέχεια δύο φορές Rlle. 6. Για να αοδείξουµε ότι εξίσωση f () 0 έχει δύο ρίζες σε διάστηµα (α, β). Χωρίζουµε το διάστηµα σε δύο κατάλληλα διαστήµατα.

4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να αοδείξετε ότι η εξίσωση ασυν + βσυν + γσυν3 0, α, β, γ R έχει ρίζα στο διάστηµα (0, ). Αναζητάµε ρίζα της εξίσωσης ασυν + βσυν + γσυν3 0 Σχόλιο iv Rlle στην αράγουσα α(ηµ) + β( ηµ ) + γ( 3 3 ) ( 3 αηµ +β ηµ + γηµ ) 0 ηµ 0 Θεωρούµε τη συνάρτηση h() αηµ + β ηµ + γ ηµ3, [0, ], 3 οότε αναζητάµε ρίζα της εξίσωσης h () 0. h συνεχής και αραγωγίσιµη στο διάστηµα [0, ] h(0) αηµ0 + β ηµ0 + γ 3 ηµ0 α 0 + β 0 + γ 3 0 0 h() αηµ + β ηµ + γ 3 ηµ3 α 0 + β 0 + γ 0 0 h(0) 3 Rlle η εξίσωση h () 0 έχει ρίζα στο διάστηµα (0, ). Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστηµα [α, β] και αραγωγίσιµη στο (α, β) και ισχύει f (α) f (β) α β. Να αοδείξετε ότι υάρχει ξ (α, β) ώστε να ισχύει (ξ) ξ. Αναζητάµε ρίζα της εξίσωσης () 0 στο διάστηµα (α, β) () ( ) 0 (f() ) 0 Πάµε για Rlle στη συνάρτηση h() f() h συνεχής στο [α, β] και αραγωγίσιµη στο (α, β) σα διαφορά αντίστοιχων συναρτήσεων Σχόλιο iv Rlle στην αράγουσα h(α) f(α) α h(β) f(β) β Η υόθεση f(α) f(β) α β f(α) α f(β) β Άρα h(α) h(β) Rlle η εξίσωση h () 0 έχει ρίζα στο διάστηµα (α, β)

5 3. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστηµα [α, β] και αραγωγίσιµη στο (α, β) µε f () 0 για κάθε (α, β). Να αοδείξετε ότι υάρχει ξ (α, β) ώστε ( ξ) να ισχύει f ( ξ) α ξ + β ξ Αναζητάµε ρίζα της εξίσωσης ( ) f ( ) α β στο διάστηµα (α, β) ()(α ) (β ) f() (β ) + f() (α ) ()(α ) (β ) f() (β ) f() (α ) 0 ()(α ) (β ) + f() (β ) (α ) + f() (α ) (β ) 0 (f() (α ) (β )) 0 Σχόλιο iv Πάµε για Rlle στη συνάρτηση h() f() (α ) (β ) Rlle στην αράγουσα h συνεχής στο [α, β] και αραγωγίσιµη στο (α, β) σα γινόµενο αντίστοιχων συναρτήσεων h(α) 0 h(β) Rlle η εξίσωση h () 0 έχει ρίζα στο διάστηµα (α, β)

6 4. ίνεται συνάρτηση f συνεχής στο διάστηµα [0, ] και αραγωγίσιµη στο (0, ). Να αοδείξετε ότι : i) εφαρµόζεται το Θ. Rlle για τη συνάρτηση g() ii) [0, ] η εξίσωση () σφ έχει ρίζα στο διάστηµα (0, ). i) f() Η συνάρτηση e είναι συνεχής σα σύνθεση συνεχών, οότε και f() η e ηµ είναι συνεχής σαν γινόµενο συνεχών Οµοίως, είναι αραγωγίσιµη. g(0) g() f(0) e ηµ0 f() e ηµ f(0) e 0 0 f() e 0 0 g(0) Rlle η εξίσωση g () 0 έχει ρίζα στο (0, ). () ii) f() Είναι g () ( e ηµ) ( e f() ) ηµ + f() e f() e ( f()) ηµ + f() e ()ηµ + (ηµ) f() e ηµ στο διάστηµα f() e συν f() e συν f() e ( () ηµ συν) () Αναζητάµε ρίζα της εξίσωσης () σφ () συν ηµ Προσαρµογή στο (i) () ηµ συν () ηµ συν 0 f() e ( () ηµ συν) () g () 0 ου έχει ρίζα στο (0, ), αό την ()

7 5. Οι συναρτήσεις f, g είναι συνεχείς στο [α, β] και αραγωγίσιµες στο (α, β) µε g(α) g(β) και g () 0 για κάθε (α, β). Να αοδείξετε ότι υάρχει ξ (α, β) ώστε να ισχύει ( ξ) g ( ξ) f ( β) f ( g( β) g( α) Αναζητάµε ρίζα της εξίσωσης ( ) f ( β) f ( g ( ) g( β) g( α) () [g(β) g(α)] g ()[ f(β) f(α)] Οότε, άµε για Rlle στη συνάρτηση Η() f() [g(β) g(α)] g() [f(β) f(α)] () [g(β) g(α)] g ()[ f(β) f(α)] 0 [f() [g(β) g(α)] g()[ f(β) f(α)]] 0 Η συνάρτηση Η είναι συνεχής στο [α, β] σα διαφορά συνεχών Η συνάρτηση Η είναι αραγωγίσιµη στο (α, β) σα διαφορά αραγωγίσιµων και Η(α) f(α) [g(β) g(α)] g(α)[ f(β) f(α)] f(α) g(β) f(α)g(α) g(α) f(β) + g(α) f(α) f(α) g(β) g(α) f(β) () Η(β) f(β) [g(β) g(α)] g(β)[ f(β) f(α)] Αό (), () f(β) g(β) f(β)g(α) g(β) f(β) + g(β) f(α) f(β)g(α) + g(β)f(α) () Η(α) Η(β) Rlle η εξίσωση Η () 0 έχει ρίζα στο (α, β)

8 6. Η συνάρτηση f είναι αραγωγίσιµη στο διάστηµα, µε f() 0 για κάθε (, ). Να αοδείξετε ότι υάρχει ξ (, ) ώστε να ( ξ) ισχύει εφξ. f ( ξ) Αναζητάµε ρίζα της εξίσωσης ( ) f ( ) ( ) f ( ) εφ στο διάστηµα (, ) ηµ συν ()συν f()ηµ ()συν f()ηµ 0 ()συν + f()(συν) 0 (f()συν) 0 Οότε, άµε για Rlle στη συνάρτηση h() f()συν h αραγωγίσιµη στο, άρα και συνεχής h( ) f( ) συν( ) f( ) 0 0 h( ) f ( ) συν f ( ) 0 0 δηλαδή h ( ), h( ) Rlle η εξίσωση h () 0 έχει ρίζα στο ( )

9 7. Για την αραγωγίσιµη συνάρτηση f: [α, β] (0, + ) δίνεται ότι ln f(β) ln f(α) β α. Να αοδείξετε ότι υάρχει ξ (α, β) τέτοιο, ώστε (ξ) f(ξ) Αναζητάµε ρίζα της εξίσωσης () f() στο διάστηµα (α, β) () f() 0 () e f() e 0 () e f() ( e ) 0 ( ) e f ( )(e ) 0 e ( ) f ( ) e 0 Οότε, άµε για Rlle στη συνάρτηση f ( ) h() e h αραγωγίσιµη στο [α, β] άρα και συνεχής f ( α) f h(α) α () ( β) και h(β) β e e () Η υόθεση ln f(β) ln f(α) β α f ln ( β ) ln eβ α f ( α ) f ( β) f ( α ) f ( β) f ( α ) β α e f ( β) f ( α) β α e e Αό τις (), (), (3) συµεραίνουµε h(α) h(β) Rlle η εξίσωση h () 0 έχει ρίζα στο (α, β). Κι ένας άλλος τρόος Αναζητάµε ρίζα της εξίσωσης () f() στο διάστηµα (α, β) ( ) f ( ) ( ) 0 f ( ) ( ln f() ) 0 ( ln f() ) 0 Rlle για τη συνάρτηση h() ln f() κ. λ. Για τη διαφορά () f (), Πρέει να θυµόµαστε αυτή την ενέργεια (3)

0 8. Έστω συνάρτηση f αραγωγίσιµη στο R µε () 0 για κάθε R. i) Να αοδείξετε ότι η f είναι. ii) Αν η C διέρχεται αό τα σηµεία Α(, 0) και Β( 3, ), να λύσετε την f εξίσωση f ( 00 + f( 3)) 3 iii) Να αοδείξετε ότι υάρχει εφατοµένη της C αράλληλη στην ευθεία f y 005 + 005 i) Ααγωγή σε άτοο Έστω ότι η f δεν είναι. Θα υάρχουν ώστε f ( ) f ( ) Rlle στο διάστηµα [, ] υάρχει ξ (, ) ώστε (ξ) 0 ου είναι άτοο. ii) A C f f() 0 B C f f( 3) f είναι υάρχει η συνάρτηση f ( 00 + f( 3)) 3 00 + f( 3) f( 3) iii) f 00 + f( 3) f( 3) 0 f( 3) f() 3 4 ή Αρκεί να αοδείξουµε ότι υάρχει τέτοιο, ώστε ( ) 005. Αναζητάµε, λοιόν, ρίζα της εξίσωσης () 005 () 005 () 005 0 ( f() 005) 0 () Θεωρούµε h() f() 005 H h είναι συνεχής στο [ 3, ] σα διαφορά αντίστοιχων συναρτήσεων αραγωγίσιµη στο ( 3, )»» h( 3) f( 3) 005( 3) + 305 307 h() f() 005 0 005 40 005 307 h( 3) Rlle η εξίσωση h () 0 έχει ρίζα στο διάστηµα ( 3, ) Αό την (), η εξίσωση ( f() 005) 0 έχει ρίζα στο διάστηµα ( 3, )

9. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] και αραγωγίσιµη στο (α, β) µε f(α) β και f(β) α και 0 < α < β. Να αοδείξετε ότι υάρχει Κ( (α, β) ώστε η εφατοµένη της, f( )) να διέρχεται αό το Λ(α + β, 0). Η εφατοµένη ε στο Κ θα έχει εξίσωση y f( ) ( )( ). Για να διέρχεται αό Λ(α + β, 0), θα ρέει να ισχύει 0 f( ) ( )(α + β ) f( ) ( )(α + β ) Αναζητάµε, λοιόν, ρίζα της εξίσωσης f() ()(α + β ) C στο σηµείο f (α + β ) f() ()(α + β ) ()(α + β ) (α + β ) f() 0 ( )( α + β ) ( α + β ) f ( ) 0 ( α + β ) f ( ) α+β 0 f ( ) Θεωρούµε τη συνάρτηση h(), [α, β] α+β Οότε, αναζητάµε ρίζα της εξίσωσης h () 0 Είναι h συνεχής και αραγωγίσιµη στο [α, β] σα λόγος αντίστοιχων συναρτήσεων f ( α) h(α) α+β α f ( α) β β β f ( β) h(β) α+β β f ( β) α α α Rlle η εξίσωση h () 0 έχει ρίζα στο διάστηµα (α, β)

0. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β], αραγωγίσιµη στο (α, β) και για κάθε [α, β] ισχύει f() > 0. Να αοδείξετε ότι υάρχει ξ (α, β) τέτοιο, ώστε ( ξ) ( α β) f( ξ) f(β) e f(α) ( ξ) ( α β) f( ξ) f(β) e f(α) Αναζητάµε ρίζα της εξίσωσης ( ξ) ( α β) f( ξ) f e ( α) f ( β) ( ξ) ( α β) f( ξ) f lne ln ( α ) f ( β) ( ξ) (α β) lnf(α) lnf(β) f ( ξ) ( ξ) f ( ξ) ( ) f ( ) ( lnf() ) ln f ( β) ln f ( α) β α ln f ( β) ln f ( α) β α ln f ( β) ln f ( α) β α στο διάστηµα [α, β] Πάµε για Θ.Μ.Τ στη συνάρτηση h() lnf() στο διάστηµα [α, β] Η συνάρτηση h είναι συνεχής στο [α, β] σα σύνθεση συνεχών και αραγωγίσιµη στο (α, β) σα σύνθεση αραγωγίσιµων Άρα υάρχει ξ (α, β) τέτοιος, ώστε h (ξ) ( lnf(ξ) ) ln f ( β) ln f ( α) β α ln f ( β) ln f ( α) β α

3. Έστω συνάρτηση f: [α, β] R δύο φορές αραγωγίσιµη και (α) f(β) f(α) (β). Να αοδείξετε ότι υάρχει ξ (α, β) τέτοιο, ώστε [ (ξ) ] f(ξ) (ξ) Αναζητάµε ρίζα της εξίσωσης [ () ] f() () στο διάστηµα [α, β] () () f() () f() ) () () 0 ( ()) f() () () 0 ( ( ) ) f ( ) ( ) ( ) 0 f ( ) ( ) f ( ) 0 Πάµε για Θ. Rlle στη συνάρτηση h() [ ] ( ) f ( ) στο διάστηµα [α, β] Η συνάρτηση h είναι συνεχής στο [α, β] σα λόγος συνεχών, και είναι αραγωγίσιµη στο (α, β) σα λόγος αραγωγίσιµων. h(α) ( α) f ( α) () και h(β) ( β) f ( β) () Η υόθεση (α) f(β) f(α) (β) ( α) f ( α) ( β) f ( β) (3) Αό τις (), (), (3) h(α) h(β) Rlle η εξίσωση h () 0 έχει ρίζα στο διάστηµα (α, β)

4. Οι συναρτήσεις f, g είναι αραγωγίσιµες στο διάστηµα [α, β] µε f(α) f(β) 0. Να αοδείξετε ότι υάρχει ξ (α, β) τέτοιο, ώστε (ξ) f(ξ) g (ξ) Αναζητάµε ρίζα της εξίσωσης () f() g () στο διάστηµα [α, β] Μια δύσκολη ενέργεια Πάµε για Θ. Rlle στη συνάρτηση () f() g () 0 g() () e () (f() g() f() e g () 0 g() e + f() ( e g() ) 0 g() e ) 0 g() h() f() e στο διάστηµα [α, β] Η συνάρτηση h είναι ραγωγίσιµη, άρα και συνεχής στο [α, β] σα γινόµενο αντίστοιχων συναρτήσεων h(α) f(α) g(α) e 0 g(α) e 0 και h(β) f(β) g(β) e g(β) 0 e 0 δηλαδή h(α) h(β)

5 3. Η συνάρτηση f είναι δύο φορές αραγωγίσιµη στο διάστηµα [α, β] και ισχύει (α) (β) 0. Να αοδείξετε ότι υάρχει ξ (α, β) τέτοιο, ώστε (ξ) [ (ξ)] Αναζητάµε ρίζα της εξίσωσης () [ ()] στο διάστηµα [α, β] () [ ()] 0 Πάµε για Θ. Rlle στη συνάρτηση () ( ()) ( () f() e [ ()] e f() 0 f() e + () ( e f() ) 0 f() e ) 0 h() () f() e στο διάστηµα [α, β] Η συνάρτηση h είναι ραγωγίσιµη, άρα και συνεχής στο [α, β] σα γινόµενο αντίστοιχων συναρτήσεων h(α) (α) h(β) (β) f(α) e f(β) e f(α) 0 e 0 και f(β) 0 e 0 δηλαδή h(α) h(β) Rlle η h έχει ρίζα στο διάστηµα (α, β)

6 4. Συνάρτηση f είναι δύο φορές αραγωγίσιµη στο R και η εξίσωση έχει ρίζες τους αριθµούς 0,,. Να αοδείξετε ότι η εξίσωση έχει ραγµατική ρίζα στο διάστηµα (0, ). Ο 0 ρίζα της εξίσωσης Ο ρίζα της εξίσωσης Ο ρίζα της εξίσωσης e f() e f() e f() 0 e f(0) f(0) e f() f() e f() f() e f() e () e e Αναζητάµε ρίζα της εξίσωσης e () στο διάστηµα (0, ). () e () () e e 0 ( ()) + ( e ) 0 ( () + ( () ( (f() e ) 0 e ) ) 0 e ) 0 Θεωρούµε τη συνάρτηση h() f() e, R. Οότε, αναζητάµε ρίζα της εξίσωσης h () 0 στο (0, ] [, ). h συνεχής και αραγωγίσιµη στο [0, ] h(0) f(0) h() f() 0 e 0 e e e 0 ηλαδή h(0) h() Rlle η εξίσωση h () 0 έχει ρίζα ξ (0, } Οµοίως, η εξίσωση h () 0 έχει ρίζα ξ (, } h συνεχής και αραγωγίσιµη στο [ ξ, ξ ] h ( ξ ) h ( ξ ) 0 Rlle η εξίσωση h () 0 έχει ρίζα ξ ( ξ, ξ ) Μεταξύ δύο ριζών συνάρτησης υάρχει ρίζα της αραγώγου της

7 5. Συνάρτηση f: [0, ] R έχει συνεχή ρώτη αράγωγο και ισχύουν f(0) 0, f(), f(). Να αοδείξετε ότι i) υάρχει ξ (0, ) τέτοιο, ώστε ( ξ ) ii) υάρχει ξ (, ) τέτοιο, ώστε ( ξ ) 0 iii) υάρχει ξ (0, ) τέτοιο, ώστε ( ξ 3 3 ) 4 iv) αν η f είναι δύο φορές αραγωγίσιµη, τότε υάρχει ξ (0, ) τέτοιο, ώστε (ξ) < 0. i) f συνεχής και αραγωγίσιµη στο [0, ], µε Θ.Μ.Τ f ( ) f ( 0) υάρχει ξ (0, ) τέτοιο, ώστε ( ξ ) ii) 0 ξ ξ 0 0 f συνεχής και αραγωγίσιµη στο [, ], µε Θ.Μ.Τ f ( ) f ( ) υάρχει ξ (, ) τέτοιο, ώστε ( ξ ) 0 iii) Εειδή είναι ( ξ ) 0, ( ξ ) και συνεχής, το σύνολο τιµών της θα είναι τουλάχιστον το διάστηµα [0, ]. Και εειδή (0, ), κατά το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών, θα υάρχει 4 ξ ( ξ 3, ξ ), άρα και στο (0, ) ώστε να ισχύει ( ξ ) 3 4. iv) Εειδή συνεχής και αραγωγίσιµη στο διάστηµα [ ξ, ξ ], κατά το Θ.Μ.Τ, 3 θα υάρχει ξ ( ξ, ξ ), άρα και στο 3 (ξ) ( ξ ) f ( ξ ) ξ ξ 3 3 4 ξ ξ 3 3 4 ξ ξ (0, ), ώστε να ισχύει 3 < 0, αφού ξ ξ > 0 3

8 6. Έστω συνάρτηση f δύο φορές αραγωγίσιµη στο διάστηµα [, 3]. Αν ισχύει f() f() + f(3), να αοδείξετε ότι υάρχει ξ (, 3) τέτοιο, ώστε (ξ) 0 ξ ξ 3 f αραγωγίσιµη, άρα και συνεχής στο [, ], οότε, αό Θ.Μ.Τ υάρχει ξ (, ) ώστε ( ξ ) f ( ) f ( ) f() f() () f αραγωγίσιµη, άρα και συνεχής στο [, 3], οότε, αό Θ.Μ.Τ υάρχει ξ (, 3) ώστε ( ξ ) f ( 3) f ( ) 3 f(3) f() () Η υόθεση f() f() + f(3) f() f() f(3) f(), οότε, αό τις (), () συµεραίνουµε ( ξ ) ( ξ ) Εειδή, όµως, αραγωγίσιµη, άρα και συνεχής στο [, 3], άρα και στο [ ξ, ξ ], µε Rlle συµεραίνουµε ότι υάρχει ξ ( ξ, ξ ), άρα και ξ (, 3) τέτοιο, ώστε (ξ) 0 Σχόλιο 6 7. Έστω συνάρτηση f δύο φορές αραγωγίσιµη στο διάστηµα [α, β] και γ (α, β). Αν οι αριθµοί α, γ, β είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής ροόδου, όως είσης και οι αριθµοί f(α), f(γ), f(β), να αοδείξετε ότι υάρχει ξ (α, β) τέτοιο, ώστε (ξ) 0 Υόδειξη Ακολούθησε την άσκηση 6

9 8. Έστω συνάρτηση f δύο φορές αραγωγίσιµη στο διάστηµα [, e] και ισχύει f(), f() 4 ln, f(e) e. Να αοδείξετε ότι υάρχει ξ (, e) τέτοιο, ώστε (ξ) ξ + Αναζητάµε ρίζα της εξίσωσης () + στο διάστηµα [, e] () 0 ( ()) + ( ) () 0 ( () + ) 0 ( () + (ln) ( (f() + ln ) ) 0 ) 0 Θεωρούµε τη συνάρτηση h() f() + ln, [, e] Οότε, Αναζητάµε ρίζα της εξίσωσης h () 0 στο διάστηµα [, e] h αραγωγίσιµη, άρα και συνεχής, στο [, ] σαν άθροισµα αραγωγίσιµων Θ.Μ.Τ υάρχει ξ (, ) ώστε h( ) h( ) h ( ξ ) [f() + ln ] [f() + ln [4 ln + ln 4] [ + 0 ] 0 () h αραγωγίσιµη, άρα και συνεχής, στο [, e] σαν άθροισµα αραγωγίσιµων Θ.Μ.Τ υάρχει ξ (, e) ώστε h( e) h( ) h ( ξ ) e [[f(e) + lne e [ e + e ] e ] [f() + ln ]] e ] [4 ln + ln 4]] 0 () h αραγωγίσιµη, άρα και συνεχής, στο [ ξ, ξ ] σαν άθροισµα αραγωγίσιµων και αό (), () έχουµε h ( ξ ) h ( ξ ), οότε µε θεώρηµα Rlle στο [ ξ, ξ ], υάρχει ρίζα της εξίσωσης h () 0 στο ( ξ, ξ ), άρα και στο (, e)

0 9. Να δείξετε ότι η εξίσωση 4 + α + β + γ 0, α > 0 το ολύ δύο ραγµατικές ρίζες µορεί να έχει. Προτεινόµενη Λύση Έστω ότι η εξίσωση έχει τρείς ρίζες ρ, ρ, ρ 3 µε ρ < ρ < ρ 3 τότε σε κάθε ένα αό τα διαστήµατα [ρ, ρ ], [ρ, ρ 3 ] εύκολα αοδεικνύεται ότι για την συνάρτηση f() 4 + α + β + γ ισχύει το θ. Rlle. Συνεώς θα υάρχουν ξ (ρ, ρ ) και ξ (ρ, ρ 3 ) έτσι ώστε f (ξ ) 0 και f (ξ ) 0 Τώρα Η συνάρτηση f () 4 3 + α + β είναι φανερό ότι ικανοοιεί το θ. Rlle, στο [ξ, ξ ]οότε θα υάρχει ένα ο (ξ, ξ ) έτσι ώστε ( ο ) 0 δηλαδή +α 0 ράγµα άτοο αφού α>0. Σχόλιο 5 Εοµένως η αρχική εξίσωση δεν µορεί να έχει ερισσότερες αό δύο ρίζες.

0. Συνάρτηση f είναι δύο φορές αραγωγίσιµη στο διάστηµα [α, β] µε f(α) > f(β), (α) > 0 και (β) > 0. Να αοδείξετε ότι η εξίσωση () 0 έχει ρίζα στο διάστηµα (α, β). f αραγωγίσιµη άρα και συνεχής, στο [α, β] f ( β) f ( α) Θ.Μ.Τ υάρχει ξ (α, β) ώστε (ξ) < 0 αφού ο αριθµητής β α είναι αρνητικός και ο αρανοµαστής θετικός. α ξ ξ ξ β συνεχής στο [α, ξ] και (α) (ξ) < 0, κατά Blzan υάρχει ξ (α, ξ) τέτοιο, ώστε ( ξ ) 0 Οµοίως, υάρχει ξ (ξ, β) τέτοιο, ώστε ( ξ ) 0 Rlle για την στο διάστηµα ( ξ, ξ ) η εξίσωση () 0 έχει ρίζα στο διάστηµα ( ξ, ξ ), άρα και στο (α, β). Σχόλιο 6