ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Παύλος Βασιλείου

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Παύλος Βασιλείου

2 Σε όλους αυτούς που παλεύουν για έναν καλύτερο κόσμο

3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο τουr Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο A αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό y Το y ονομάζεται τιμή της f στο και συμβολίζεται με f () Πότε δύο συναρτήσεις f και g είναι ίσες Δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες όταν: έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και για κάθε A ισχύει f ( ) = g( ) Για να δηλώσουμε ότι δύο συναρτήσεις f και g είναι ίσες γράφουμε g f = 3 Πως ορίζονται οι πράξεις των συναρτήσεων; Ορίζουμε ως άθροισμα f + g, διαφορά f - g, γινόμενο fg και πηλίκο f g δύο συναρτήσεων f, g τις συναρτήσεις με τύπους ( f + g)( ) = f ( ) + g( ) ( f g)( ) = f ( ) g( ) ( fg )( ) = f ( ) g( ) f g ( ) = f ( ) g( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

4 Το πεδίο ορισμού των f + g, f g και fg είναι η τομή A B των πεδίων ορισμού Α και Β των συναρτήσεων f και g αντιστοίχως, ενώ το πεδίο ορισμού της g f είναι το που μηδενίζουν τον παρονομαστή g () A B, εξαιρουμένων των τιμών του, δηλαδή το σύνολο { A και B, με g ( ) } 4 Τι ονομάζουμε σύνθεση της f με την g; Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β αντιστοίχως, τότε ονομάζουμε σύνθεση της f με την g, και τη συμβολίζουμε με gof, τη συνάρτηση με τύπο ( gof )( ) = g( f ( )) f(a) B A f f() g(b) g f g g(f()) A Το πεδίο ορισμού της gof αποτελείται από όλα τα στοιχεία του πεδίου ορισμού της f για τα οποία το f () ανήκει στο πεδίο ορισμού της g Δηλαδή είναι το σύνολο A = { A f ( ) } B Είναι φανερό ότι η gof ορίζεται αν f ( A) B A, δηλαδή αν ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

5 ΣΧΟΛΙΑ Γενικά, αν f, g είναι δύο συναρτήσεις και ορίζονται οι gof και fog, τότε αυτές δ ε ν ε ί ν α ι υ π ο χ ρ ε ω τ ι κ ά ίσες Αν f, g, h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η ho (gof ), τότε ορίζεται και η ( hog) of και ισχύει ho ( gof ) = ( hog) of Τη συνάρτηση αυτή τη λέμε σύνθεση των f, g και h και τη συμβολίζουμε με hogof Η σύνθεση συναρτήσεων γενικεύεται και για περισσότερες από τρεις συναρτήσεις 5 Πότε μία συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα σ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της; Μια συνάρτηση f λέγεται: γνησίως αύξουσα σ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε, με < ισχύει: f ) < f ( ) (Σχ α) ( γνησίως φθίνουσα σ ένα δ ι ά σ τ η μ α Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε, με < ισχύει: f ) > f ( ) (Σχ β) ( y y f( ) f( ) f( ) f( ) Ο (a) Ο (β) Για να δηλώσουμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα (αντιστοίχως γνησίως φθίνουσα) σε ένα διάστημα Δ, γράφουμε f Δ (αντιστοίχως f Δ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

6 6 Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο και πότε ελάχιστο; Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι: Παρουσιάζει στο A (ολικό) μέγιστο, το f ( ), όταν f ) f ( ) για κάθε A (Σχ α) ( Παρουσιάζει στο A (ολικό) ελάχιστο, το f ), όταν ( f ) f ( ) για κάθε A (Σχ β) ( y y f( ) f() f() C f f( ) O O (a) C f (β) 7 Πότε μια συνάρτηση λέγεται -; Μια συνάρτηση f : A R λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: αν, τότε f ) f ( ) Με απαγωγή σε άτοπο αποδεικνύεται ότι: ( Μια συνάρτηση f : A R είναι συνάρτηση, αν και μόνο αν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: αν f ) = f ( ), τότε ( = ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

7 ΣΧΟΛΙΑ Από τον παραπάνω ορισμό προκύπτει ότι μια συνάρτηση f είναι, αν και μόνο αν: Για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f ( ) = y έχει ακριβώς μια λύση ως προς Δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής της παράστασης με την ίδια τεταγμένη Αυτό σημαίνει ότι κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της f το πολύ σε ένα σημείο (Σχ α) y y A B O συνάρτηση - O συνάρτηση όχι - Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε προφανώς, είναι συνάρτηση " " 8 Δικαιολογήστε γιατί οι γραφικές παραστάσεις C και C - των συναρτήσεων f και f είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y = που διχοτομεί τις γωνίες Oy και Oy Ας πάρουμε τώρα μια συνάρτηση f και ας θεωρήσουμε τις γραφικές παραστάσεις C και C των f και της σύστημα αξόνων Επειδή f στο ίδιο f ( ) y f = ( y) =, αν ένα σημείο M ( α, β ) ανήκει στη γραφική παράσταση C της f, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

8 τότε το σημείο Μ ( β, α) θα ανήκει στη γραφική παράσταση C της y M(α,β) f και αντιστρόφως Τα σημεία, όμως, αυτά είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες Oy και Oy Επομένως: Oι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων f και f είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y = που διχοτομεί τις γωνίες Oy και Oy C y= O C M (β,α) 9 Ποια θεωρήματα ισχύουν για το όριο και τη διάταξη; Για το όριο και τη διάταξη ισχύουν τα παρακάτω θεωρήματα ΘΕΩΡΗΜΑ Αν lim f ( ) >, τότε f ( ) > κοντά στο Αν lim f ( ) <, τότε f ( ) < κοντά στο ΘΕΩΡΗΜΑ Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν όριο στο και ισχύει f ( ) g( ) κοντά στο, τότε lim f ( ) lim g( ) Να διατυπώσετε το κριτήριο παρεμβολής Έστω οι συναρτήσεις f, g, h Αν h( ) f ( ) g( ) κοντά στο και lim h( ) = lim g( ) = l,τότε lim f ( ) = l ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

9 Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο του πεδίου ορισμού της; Έστω μια συνάρτηση f και ένα σημείο του πεδίου ορισμού της Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο, όταν lim f ( ) = f ( ) Πότε μια συνάρτηση θα λέμε ότι είναι συνεχής; Μία συνάρτηση f που είναι συνεχής σε όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού της, θα λέμε ότι είναι συνεχής συνάρτηση 3 Πότε μια συνάρτηση είναι συνεχής στο (α, β); Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα ( α, β), όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του ( α, β) 4 Πότε μια συνάρτηση είναι συνεχής στο [α, β]; Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [ α, β], όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του ( α, β) και επιπλέον lim f ( ) = f ( α) α + και lim f ( ) = f ( β) β 5 Να διατυπώσετε το θεώρημα Bolzano και να «δώσετε» την γεωμετρική του ερμηνεία Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ α, β] Αν: η f είναι συνεχής στο [ α, β] και, επιπλέον, ισχύει f ( α) f ( β) <, τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ( α, ) τέτοιο, ώστε β f ( ) = ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

10 Δηλαδή, υπάρχει μια, τουλάχιστον, ρίζα της εξίσωσης f ( ) = στο ανοικτό διάστημα ( α, β) Γεωμετρική ερμηνεία Στο διπλανό σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης f στο [ α, β] Επειδή τα σημεία A ( α, f ( α)) και y f(β) O a β B(β,f(β)) B ( β, f ( β)) βρίσκονται εκατέρωθεν του άξονα, η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο f(a) Α(α,f(α)) ΣΧΟΛΙΟ Από το θεώρημα του Bolzano προκύπτει ότι: Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σ αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε ή είναι αρνητική για κάθε, δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ (Σχ ) y y f()> O a β O a β f()< (α) (β) Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από το διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

11 y ρ + ρ ρ 3 + ρ 4 + ρ 5 Αυτό μας διευκολύνει στον προσδιορισμό του προσήμου της f για τις διάφορες τιμές του Συγκεκριμένα, ο προσδιορισμός αυτός γίνεται ως εξής: α) Βρίσκουμε τις ρίζες της f β) Σε καθένα από τα υποδιαστήματα που ορίζουν οι διαδοχικές ρίζες, επιλέγουμε έναν αριθμό και βρίσκουμε το πρόσημο της f στον αριθμό αυτό Το πρόσημο αυτό είναι και το πρόσημο της f στο αντίστοιχο διάστημα 6 Να διατυπώσετε το θεώρημα των ενδιάμεσων τιμών και να το αποδείξετε Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ α, β] Αν: η f είναι συνεχής στο [ α, β] και f ( α) f ( β) τότε, για κάθε αριθμό η μεταξύ των f (α) και f (β) υπάρχει ένας, τουλάχιστον ( α, ) τέτοιος, ώστε f ) = η ΑΠΟΔΕΙΞΗ β Ας υποθέσουμε ότι f ( α) < f ( β) Τότε θα ισχύει f ( α) < η < f ( β) Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση παρατηρούμε ότι: ( g( ) = f ( ) η, [ α, β], ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

12 η g είναι συνεχής στο [ α, β] και y g ( α) g( β) <, f(β) B(β,f(β)) αφού η y=η g ( α) = f ( α) η < και f(a) Α(α,f(α)) g ( β) = f ( β) η > O a β Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, υπάρχει ( α, ) τέτοιο, ώστε g ) = f ( ) η, οπότε f ( ) = η β ( = 7 Να διατυπώσετε για μια συνεχής συνάρτηση το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής Αν f είναι συνεχής συνάρτηση στο [ α, β], τότε η f παίρνει στο [ α, β] μια μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή m Δηλαδή, υπάρχουν [ α, ] τέτοια, ώστε, αν m = f ) και M = f ( ), να ισχύει, β ( m f ( ) M, για κάθε [ α, β] ΣΧΟΛΙΟ Από το παραπάνω θεώρημα και το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών προκύπτει ότι το σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το [ α, β] είναι το κλειστό διάστημα [ m, M], όπου m η ελάχιστη τιμή και Μ η μέγιστη τιμή της Τέλος, αποδεικνύεται ότι: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

13 Aν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα ( α, β), τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα ( Α, Β) όπου Α = lim f ( ) και + α B = lim β f ( ) Αν, όμως, η f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο ( α, β), τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα ( B, A) Μορφή Διαστήματος [ α β] A, Είδος μονοτονίας Σύνολο Τιμών = f γνησίως αύξουσα f ( A) = [ f ( α), f ( β )] = [ α β ) f γνησίως αύξουσα f ( A) = f ( α ), lim f ( ) ) β A, = ( α β] f γνησίως αύξουσα = ( A, f ( A ) lim f ( ), f ( β ) + α = ( α β ) f γνησίως αύξουσα f ( A) = ( lim f ( ), lim f ( ) + ) α β A, [ α β] A, = f γνησίως φθίνουσα f ( A) = [ f ( β ), f ( α )] = [ α β ) f γνησίως φθίνουσα = ( A, f ( A) lim f ( ), f ( α ) β = ( α β] f γνησίως φθίνουσα f ( A) f ( β ), lim f ( ) + ) A, = α = ( α β ) f γνησίως φθίνουσα f ( A) = ( lim f ( ), lim f ( ) + ) β α A, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

14 Δίνεται η συνάρτηση: ΑΣΚΗΣΕΙΣ f()= -, > -, Να βρείτε: α Το πεδίο ορισμού της f β Τις τιμές f() και f(f(4)) γ Τα α R για τα οποία ισχύει 7 f(συνα)= 4 δ Τα λ R για τα οποία ισχύει f(λ - 4λ + 6) = Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: α β 3 f() = και f() = + 9 και 3 Δίνεται η συνάρτηση g() = + + g() = α α + R 3 f() = ( ) ( 3)+α 5, α α Να βρεθούν οι τιμές του α R έτσι, ώστε η C f να διέρχεται από το σημείο Μ(, -6) β Αν η C f διέρχεται από το σημείο Μ(,-6), να βρεθούν τα κοινά σημεία της C f και του άξονα γ Για α= να βρεθεί η σχετική θέση της C f με τον άξονα 4 Δίνονται οι συναρτήσεις: f() = +α + β και 3 g() = β - 6α με α, β R Αν η C f τέμνει τον άξονα στο 3 και η C g τέμνει τον άξονα y y στο 6, να βρείτε: α Τους αριθμούς α και β β Τα διαστήματα στα οποία η C f είναι κάτω από τη C g ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

15 5 Στο διπλανό σχήμα φαίνεται Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ln, > f()=, = y O - e X Με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης: α Να λύσετε την ανίσωση f() < β Να βρείτε το σύνολο τιμών της f γ Να βρείτε το πλήθος των λύσεων των εξισώσεων: i f() = - ii f()= - iii f()= - e ivf() = vf() = 8 δ Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f() = α, για τις διάφορες τιμές του α R 6 Έστω f, g : R R δύο συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει f() = g() για κάθε R Να βρείτε τη σχετική θέση των C f και C g 7 Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι ίσες Αν όχι, να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο στο οποίο μπορεί να είναι ίσες α f () = και g() = β f () = και g() = γ f () = ( + ) και g() = + δ ε f () = και g() = f () = και g()= ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

16 8 Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μίας συνάρτησης f y 3 Γ Θ Α -4 Β -3-3 Ε 3 Η 4 5 y= - -3 Ζ α Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f β Να βρεθεί το σύνολο τιμών γ Να βρεθεί το f() δ Να λυθεί η ανίσωση f()< ε Να λυθούν οι εξισώσεις: i) f()= και ii) f()= -3 στ Το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης f()= - 9 Δίνονται οι συναρτήσεις f, g: R R με την ιδιότητα: (f+g) ()-(f-g) ()-4 Να αποδείξετε ότι f = g (f+g)()[(f+g)()-] για κάθε R Έστω f, g συναρτήσεις με πεδίο ορισμού Α R και f()[f()+g()]-4[f()+g()] g()[f()-g()]-8 για κάθε R Να αποδείξετε ότι f = g ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

17 Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Δ Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f g στις παρακάτω περιπτώσεις: α β g() = 3 και Δ= [-, ] 3 g() = + -3 και Δ = [7, 7] Δίνεται συνάρτηση f με πεδίο ορισμού [-, + ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης h() = f( 8-4) 3 Δίνεται συνάρτηση f με πεδίο ορισμού [ 5, + ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης h() = f( + ) 4 Δίνεται συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει (f f )() = 4-3 για κάθε R Να αποδειχθεί ότι: f() = 5 Έστω f, g: R R με (f g)() = 7+6, R και (g f )(4) = 4 Να αποδειχθεί ότι οι C f, C g έχουν τουλάχιστον ένα κοινό στοιχείο 6 Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις: 3 α f() = β f() = + ln( - ) - 5 γ f() = ln( - ) - e δ f() = Δίνετε η συνάρτηση f() = - e +, R α Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία β Να μελετήσετε τη μονοτονία της συνάρτησης f f γ Για κάθε < να αποδείξετε ότι f (5 ) < f (7 ) 8 Δίνετε η συνάρτηση f() = + - 3, R α Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία β Να βρείτε για ποιες τιμές του η C f βρίσκεται κάτω από τον άξονα γ Να λύσετε την ανίσωση: > + 9 Δίνετε η συνάρτηση f : R R γνησίως φθίνουσα και για κάθε R ισχύει: f (3 ) + f ( + 5) = Να λύσετε την ανίσωση f ( + 4) < ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

18 Δίνετε η συνάρτηση f() = -+ln, > α Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία β Να βρείτε το πρόσημο της f Δίνετε η συνάρτηση f() = e + ln(+) - α Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία β Να λύσετε την ανίσωση e + ln( + ) > γ Να λύσετε την ανίσωση e e > ln + έστω f() = e +, R α Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία β Να λύσετε την ανίσωση 3 Να λύσετε την ανίσωση: α ( 5) e e (3 ) e e < + + > β ln( + ) + > ln( + 3) Δίνεται η συνάρτηση f για την οποία ισχύει f(f()) = f()+- για κάθε R Να αποδείξετε ότι η f είναι - 5 Δίνεται η συνάρτηση f για την οποία ισχύει f(f()) = 3-, για κάθε R α Να δείξετε ότι f() = β Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται γ Αν η f είναι πρωτοβάθμια πολυωνυμική συνάρτηση και γνησίως φθίνουσα, να βρεθεί ο τύπος της 6 Δίνεται η συνάρτηση f() = α Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την f β Να βρείτε τα κοινά σημεία των C f και C f ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

19 7 Δίνεται συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει: f(f())+f 3 () = +3, R α Να δείξετε ότι η f είναι β Να λύσετε την εξίσωση f( 3 +) = f(4 ) 8 Δίνεται συνάρτηση f: R R, για την οποία ισχύει: f() f 3 ()+ =, για κάθε R α Να αποδειχθεί ότι η f αντιστρέφεται β Να βρεθεί η f 9 Δίνεται γνησίως μονότονη συνάρτηση f: R R, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α(,5) και Β(,4) α Να αποδείξετε ότι ορίζεται η συνάρτηση f β Να λυθεί η εξίσωση f ( f ( ) 3)=5 γ Να λυθεί η ανίσωση f(f (e +3) 3) > 5 3 Δίνεται γνησίως μονότονη συνάρτηση f: R R, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία Α(,5) και Β(3,8) α Να αποδείξετε ότι ορίζεται η συνάρτηση f β Να λυθεί η εξίσωση f ( -+f (-) ) = 5 γ Να λυθεί η ανίσωση f (3+ f (-5) ) < 3 3 Δίνονται οι συναρτήσεις f, g: R R με: (f f )() = 5+9 και g() = f()+3 για κάθε R Να αποδείξετε ότι: α f(3) = 3 β Η συνάρτηση g δεν αντιστρέφεται ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

20 3 Έστω η συνάρτηση f με 9 f() = α Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη β Να υπολογίσετε το f (9) γ Να λύσετε την εξίσωση f ( 3+) = δ Να βρείτε τα κοινά σημεία των C f και C f 33 Έστω η συνάρτηση f με α Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται β Να βρεθούν τα f ( ) και f ( 3) 9 f() = +, R γ Να βρείτε τα κοινά σημεία των C f και C f 34 Έστω η συνάρτηση f με 3 f() = + + α Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα β Να λυθεί η εξίσωση f () = γ Να λυθεί η εξίσωση f ( ) = δ Να λυθεί η ανίσωση f () 35 Έστω f : R R με f( R)= R για την οποία ισχύει: e + 7f ()+8= για κάθε R f() 3 α Να αποδείξετε ότι η f είναι - β Να βρείτε τον τύπο της - f 36 Έστω συνάρτηση f : R R με σύνολο τιμών f( R)= R Αν η f είναι γνησίως μονότονη και η C f διέρχεται από τα σημεία Α(, 5) και Β(3,-) τότε: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

21 α Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα ( ) β Να λυθεί η εξίσωση: ( ) f + f + +3 = 3 γ Να λυθεί η ανίσωση: ( f() ) 5+ 4f() 37 Να υπολογιστούν, αν υπάρχουν τα παρακάτω όρια: A = + 3+ lim + B = lim Γ = lim = lim E = lim Z = 3 lim Να υπολογιστούν, αν υπάρχουν τα παρακάτω όρια: A = lim +3 B = lim Γ = lim +3 = lim E = lim Z = lim α + 3β, < 39 Αν f() =, να βρείτε τα α, β R, αν είναι γνωστό, > ότι υπάρχει το lim f() και η C f να διέρχεται από το σημείο Α(, 8) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

22 + α + β, 4 Αν f () = +5, < < 3, να βρείτε τις τιμές των α, β, + β α, 3 ώστε να υπάρχουν τα limf() και lim f() 3 4 Έστω οι συναρτήσεις f και g που είναι ορισμένες στο R για τις οποίες υποθέτουμε ότι: lim(f()+3g())=3 και lim(f() g())=4 Να βρείτε τα όρια: lim f() και lim g() 4 Αν f() 3+5 για κάθε, να βρεθεί το lim f() 43 Αν για κάθε R ισχύει 3 g() + 3 g(), να βρεθεί το lim 44 Έστω συνάρτηση f : R R με την ιδιότητα f() + + για κάθε R Να αποδείξετε ότι 45 Δίνεται η συνάρτηση f για την οποία ισχύει: limf()= 3+3 ( )f() για κάθε (,3) Να υπολογίσετε το lim f() 46 Δίνεται η συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει: 4 +3 ( )f() , R Να υπολογίσετε το όριο lim f() 47 Να υπολογιστούν τα όρια: 3 A = lim ηµ 4+3 Γ = lim ( ) ηµ E = lim ηµ ηµ B lim ηµ ηµ = 8 = lim ( ) ηµ + 4 Z = lim ηµ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

23 48 Να υπολογιστούν τα όρια: A = ηµ lim B = lim + ηµ 6 ηµ 3 εφ3 Γ = lim εφ = lim 9 + ηµ 3 + E = εφ+ lim Z = + 5 ηµ lim +ηµ 49 Αν για κάθε κοντά στο ισχύει: αημ+βημ γημ3, να αποδείξετε ότι: α+β = 3γ f () Αν lim 8 = τότε: α Να βρείτε το limf () [ + ] ηµ f () 4 β Να βρείτε το lim 5 Να υπολογιστούν τα όρια: Α = Γ = +4 lim 9 lim B = = +8 lim lim Z = 3 E = lim ( ) 5 Να βρεθούν τα όρια: A Γ = + 4 lim + ( 5 3 = lim ) B = lim ( ) lim E= lim H= lim + +6 = lim Z= lim Θ = lim ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

24 53 Να βρεθούν τα όρια: ( + + ) B= lim ( ) A= lim Γ = lim ( ) = lim ( 4 ) ( ) E= lim Για τις διάφορες τιμές του α R να υπολογίσετε τα όρια: α α 3 ( ) + 3 A= lim + ( ) ( 3) ( 5)+6 (α+) 5+4 B= lim Γ = α α α α 3 ( ) + ( 7) lim + ( 3) + ( )+6 α α ( α ) = lim ( + α ) E= lim ( α + α + ) Z= lim 9 55 Να βρείτε τους α, β R ώστε: α ( α ) lim β = 5 + β ( α ) lim β = 3 + γ + + lim α+β = 5 + ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

25 56 Να βρεθούν τα όρια: ( ) + ηµ Α= lim Γ = lim + ηµ συν 3 ηµ +συν B= lim = ( + ) + + lim ηµ 3 57 Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια στο = τη συνάρτηση: f()= 3, = + 3, 58 Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια στο = τη συνάρτηση: 59 Δίνεται η συνάρτηση: ηµηµ, f()=, = + f()= 6, = α β 5, Να βρεθούν οι τιμές των α και β έτσι, ώστε η f να είναι συνεχής α + β, 6 Δίνεται η συνάρτηση f() = , = Να βρεθούν τα α, β R αν είναι γνωστό ότι η f είναι συνεχής στο R 7α+6β, - 6 Δίνεται η συνάρτηση f () = +β+4, >- Να βρεθούν τα α, β R, αν είναι γνωστό ότι η f είναι συνεχής στο = - και η C f διέρχεται από το σημείο M( 3, ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

26 6 Αν για μία συνάρτηση f ισχύει ότι f () 6f () + 9συν για κάθε R, να δειχθεί ότι η f είναι συνεχής στο 63 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : R R Να βρείτε τον τύπο της f στις παρακάτω περιπτώσεις: α f()=ηµ(8) για κάθε R β f()+ + + = + (f()+) για κάθε R γ ( ) f () + = + 3 για κάθε R 64 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο = και ισχύει: f() ηµ 5 3 για κάθε R, να βρεθεί η τιμή f() 65 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο, να υπολογίσετε την τιμή f( ) στις παρακάτω περιπτώσεις: α + για κάθε R και = ( )f()= 3 4 β 3 3 ηµ f() + ηµ για κάθε R και = γ f() [ f()+ηµ( ) ] για κάθε R και = δ ε f() ηµ ηµ για κάθε 4 3 * R και = ( )f() 5+6 για κάθε R και = 66 Aν f, g δύο συναρτήσεις ορισμένες στο R και h()=f()g() Αν η συνάρτηση h() είναι συνεχής στο με h( ) και η f δεν είναι συνεχής στο, τότε να δείξετε ότι η g() δεν είναι συνεχής στο 67 Έστω f, g δυο συναρτήσεις στο R για τις οποίες ισχύουν: Η g είναι συνεχής στο 8 lim f()=9 και lim f()= Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h()=f()g() είναι συνεχής στο =8, όταν και μόνο όταν g(8)= ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

27 Αν δίνεται ότι η f είναι συνεχής σε κάποιο = α και ζητείτε η συνέχεια στο R τότε εργαζόμαστε με βάση τον παρακάτω πίνακα αν η σχέση περιέχει τη μορφή Τότε θέτουμε Έτσι όταν Τότε είναι Και θα έχουμε f ( y) + = h α h α f () = f ( + h α) = f ( y) = h α h α f () = f ( h α) = f ( y) h = α h α h f () = f ( ) = α f ( ) y α = h h α f () = f ( α) = h 68 Δίνεται συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει: f(y)=f(y) yf() για κάθε, y R Αν η f είναι συνεχής στο =4, να αποδειχθεί ότι η f είναι συνεχής στο R 69 Δίνεται η συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει f(+y)=f() f(y) για κάθε, y R Αν η f είναι συνεχής στο =, να αποδειχθεί ότι η f είναι συνεχής στο R 7 Δίνεται συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει f() 5 + lim = 8 Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται + από το σημείο Μ(, 3), να αποδειχθεί ότι η f είναι συνεχής στο = 7 Έστω οι συναρτήσεις f, g συνεχείς στο Rκαι τέτοιες, ώστε: f()< και g() > για κάθε R Αν υπάρχουν α, β R με α < β και f(α)=α, g(β)=β, να αποδειχθεί ότι υπάρχει ξ (α, β) έτσι, ώστε: f(ξ) g(ξ)=ξ 7 Να αποδειχθεί ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων g()=ln(+) και h()=4, έχουν ένα, τουλάχιστον, κοινό σημείο με τετμημένη (,e ) * + ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

28 73 Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση 3 +α += με α< 3 έχει δύο, τουλάχιστον, ρίζες στο (,) 74 Δίνονται οι συναρτήσεις f()= 3 +3 και g()= +5 4 Να δείξετε ότι οι γραφικές τους παραστάσεις τέμνονται σε ένα, τουλάχιστον, σημείο Μ(, y ) με (,) 75 Να δείξετε ότι η εξίσωση 3 +3 = έχει τουλάχιστον δύο ρίζες στο (,) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση + = μια τουλάχιστον, ρίζα στο διάστημα (, ) έχει 77 Έστω f μια συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α, β] για την οποία ισχύει: ( f(α) ) ( f(β) ) 5 [ f ( α) f ( β )] + + Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f κόβει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον, σημείο με τετμημένη (α, β) 78 Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη στο R για την οποία ισχύει: + f() e για κάθε R Να αποδείξετε ότι: α Η f είναι συνεχής στο = β Αν η f είναι συνεχής στο R, τότε υπάρχει ένας τουλάχιστον, f( ) (, ) τέτοιος ώστε 8 = γ Αν η f είναι συνεχής στο R, τότε υπάρχει ένας τουλάχιστον, ξ (, ) τέτοιος ώστε f(ξ) = e ξ 79 Αν η f είναι συνεχής στο R και ισχύει < f () < για κάθε R να αποδείξετε ότι η εξίσωση τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (,) + f () = f () έχει μια 8 Έστω f μια συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [,] με f()=α και f()=β, όπου α, β (,) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (,) τέτοιος, ώστε f(ξ)=ξ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

29 8 Δίνονται οι συναρτήσεις f()= + β +γ και g()= + β +γ με γ Αν ρ είναι ρίζα της f και ρ ρίζα της g με ρ < ρ, να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() + g() = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (, ) ρ ρ 8 Έστω η συνεχής συνάρτηση f : R R, η οποία ικανοποιεί τις f() συνθήκες: lim = 8 και 4 ηµ ( ) ( )f() 4 για κάθε R Nα αποδείξετε ότι: α f() = και f() = 4 β Αν g() = -+, τότε η C f τέμνει την C g σε ένα τουλάχιστον σημείο Μ(, y ) με (, ) 83 Έστω f συνάρτηση η οποία είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [,] Αν είναι f() < 8 < f(), να αποδείξετε ότι: α Η συνάρτηση h() = f()-8 είναι γνησίως φθίνουσα στο [,] f( ) β Υπάρχει μοναδικός (,) τέτοιος ώστε = 8 84 Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει: f() f() + e = 5-4 για κάθε για R και f()= Να αποδειχθεί ότι: α Η f αντιστρέφεται 3 β Η εξίσωση ( fof )() - f ( 5- ) = έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο (, ) 85 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει lim f()=8 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() + ln= 5 έχει + τουλάχιστον μία θετική ρίζα 86 Να δείξετε ότι η εξίσωση ρίζα στο (,) 87 Να δείξετε ότι η εξίσωση τουλάχιστον ρίζα στο (,) ln + 3e = έχει μία τουλάχιστον 3 ln = έχει μία ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

30 88 Έστω f μια συνάρτηση η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [,] Aν ισχύει 8f()+9f() =, να δείξετε ότι η εξίσωση f() = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα [,] 89 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] με α < 8 < β και 4 f (8) + f(α)f(β)=, να αποδείξετε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον ξ [α, β], ώστε f(ξ)= 9 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] και e e π f(α)+π f(β)= αποδείξετε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον ξ [α, β], ώστε f(ξ)= 9 Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο R για την οποία ισχύει β f() α για κάθε R Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f()= έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο [α, β] 9 Αν η συνάρτηση f:[α, β] [α, β] είναι συνεχής και α, β >, να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ [α, β] τέτοιος ώστε f(ξ) = β α ξ 93 Δίνεται η συνάρτηση f : R R η οποία είναι συνεχής και γνησίως μονότονη στο R και για την οποία ισχύει: f () + 4f () + = f () + 4f () α Να μελετήσετε τη μονοτονία της f στο R β Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικός (,) f ( ) τέτοιος ώστε = 94 Δίνεται η συνάρτηση f : R R η οποία είναι συνεχής στο R με f () = και limf () >, αν και είναι οι μοναδικές ρίζες της εξίσωσης f () =, να υπολογίσετε το όριο 3 lim f () f ( 3) Αν για κάθε [-4, 4] η f είναι συνεχής και ισχύει να αποδείξετε ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (-4, 4) να + f ()=6, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

31 96 Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f : (, + ) R τέτοια ώστε ( ) f () + = + + για κάθε (, + ) + Να δείξετε ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (, + ) 8 97 Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f,g: R R, ώστε για κάθε R να ισχύει η σχέση 9 g ()+f()g() 8 συνάρτηση f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R Να αποδείξετε ότι η 98 Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο R για την οποία ισχύει: 6 4 3f ()+7f() 8= για κάθε R Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R 99 Δίνεται η συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύουν: f(9)+f(8)= και f() για κάθε R Να αποδείξετε ότι η f δεν είναι συνεχής στο R Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: R R με: ( )( ) f() f()+ = + για κάθε R α Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() = είναι αδύνατη β Να βρείτε τον τύπο της f, αν f(8)= 49 + Να βρείτε τη συνεχή συνάρτηση f: R R, με f()=, για την οποία ισχύει: Έστω f :[, ] f () - 6f()ηµ - 9συν =, για κάθε R f () =,για την οποία ισχύει: [, ] Να βρείτε τον τύπο της f R μια συνάρτηση που είναι συνεχής με f () + = f() +, για κάθε 3 Έστω f :[, 4] R μια συνεχής συνάρτηση για την οποία ισχύει: f () + = 3 + 4, για κάθε [, 4] α Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης f () = β Αν επιπλέον η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα y y στο σημείο με τεταγμένη -, να βρείτε τον τύπο της f ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

32 4 Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f : R Rγια τις οποίες ισχύει: f () - = - + για κάθε R 5 Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f : R Rγια τις οποίες ισχύει: ( ) ( ) f() + + = + + f ( ) για κάθε R 6 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] και, [α, β], να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ [α, β] τέτοιος, ώστε 3f( )+4f( )=7f(ξ) 7 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] και,, 3 [α, β], να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ [α, β] τέτοιος, ώστε f( )+f( )+3f( 3 )=6f(ξ) 8 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] και,, 3 [α, β] Aν κ, λ, μ είναι θετικοί αριθμοί με κ+λ+μ=8 να αποδείξετε ότι υπάρχει κf( )+λf( )+µf( 3) ένα τουλάχιστον ξ [α, β] τέτοιος ώστε: f(ξ)= 8 9 Έστω f: [,6] R συνεχής και γνησίως μονότονη συνάρτηση με f()=8 και f(6)= Να αποδείξετε ότι: α Υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, 6) τέτοιος, ώστε f(ξ) = f() + f() + 3f(3) + 4f(4) β Η εξίσωση f()=7 έχει μοναδική ρίζα Δίνεται η συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [,4] με: f()f()f(4)=8 και f() για κάθε [,4] Να αποδείξετε ότι: α f()> για κάθε [,4] β Η εξίσωση f()= έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα [,4] γ Η εξίσωση f()= έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα [,4] ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

33 Έστω συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής στο R με f() = 5 και f(f())+f() = για κάθε R Να βρείτε την τιμή f() Έστω συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής στο R με f(8) = 5 και f(f())f() = για κάθε R Να βρείτε την τιμή f(3) 3 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο (, + ) με lim f () = γ R και lim f () = δ R, να αποδείξετε ότι υπάρχει μόνο ένας αριθμός > τέτοιος ώστε να ισχύει: f( )+e +ln = 4 Έστω η συνεχής συνάρτηση f : (,3) R η οποία είναι γνησίως αύξουσα στο (,] και γνησίως φθίνουσα στο [,3) Αν f () =, lim f () = και + lim f () =, να βρείτε: 3 α Το σύνολο τιμών της f β Το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f (),3 = στο ( ) 5 Να δείξετε ότι, αν μια συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το [, 3 ] και σύνολο τιμών το ( 3,6 ), τότε η f δεν είναι συνεχής ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

34 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Δίνεται συνεχής συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει: f () + ηµ3 = 4 5 ηµ για κάθε R α Να βρείτε τον τύπο της f β Να υπολογίσετε τα όρια lim f () και lim f () + γ Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f () = έχει μία τουλάχιστον αρνητική και μία τουλάχιστον θετική ρίζα Δίνεται συνεχής συνάρτηση f :[,] R για την οποία ισχύει ότι f () + f () = α Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f () = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα [,] β Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ [,] τέτοιο ώστε: f () f (ξ) = 3 γ Δίνεται η συνάρτηση g() = f () + ( )f ( + ) i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της g ii Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της gτέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο 3 Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f, g : R R Οι C f και Cgδεν έχουν κανένα κοινό σημείο και ισχύει ότι f (8) > g(8) Επίσης ισχύουν οι σχέσεις: ( )f () g() ηµ lim = και lim = 4 + α Να αποδείξετε ότι f () > g() για κάθε R β Να βρείτε τις τιμές f () και g() γ Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (,) τέτοιο ώστε: 3f ( ) + g( ) = 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

35 4 Έστω f : R R μία συνάρτηση με f () =, η οποία είναι συνεχής και ισχύει ότι: α Να δείξετε ότι f () f () e e β Να δείξετε ότι η f είναι περιττή γ Να βρείτε το σύνολο τιμών της f δ Να δείξετε ότι η εξίσωση ρίζα + =, για κάθε R f () = ln( + ), για κάθε R f () e 7 = έχει, μια τουλάχιστον 5 Έστω f :[, + ) R μία συνεχής συνάρτηση με f () =, για την οποία ισχύει ότι: f () = + f (), για κάθε α Να βρείτε τη συνάρτηση f β Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και στη συνέχεια, να βρείτε το πεδίο ορισμού της f () γ Για κάθε α,β, να δείξετε ότι η εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (,) 6 Δίνεται η συνάρτηση f () = + e α Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται β Να λύσετε την εξίσωση e = γ Να λύσετε την ανίσωση ( ) f f () + > f (α) f (β) + = δ Θεωρούμε τη συνεχή και γνησίως μονότονη συνάρτηση g : R R η οποία για κάθε R ικανοποιεί τη σχέση g() g() + e = + Να αποδείξετε ότι: i H g είναι γνησίως αύξουσα ii Η C g διέρχεται από την αρχή των αξόνων 8 ε Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) ( ) τουλάχιστον λύση στο διάστημα (, ) g g () g =, έχει μία 7 Δίνεται η συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει η σχέση: 3 f () 3 = 3f (), για κάθε R α Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο R ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

36 β Αν το σύνολο τιμών της f είναι το R, να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την f γ Να λύσετε την εξίσωση f () = δ Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και f 8 Έστω η συνεχής και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f : (,) R για την οποία ισχύουν: f () + lim = 3 ηµ( ) ( )f () α Να βρείτε τα όρια, για κάθε (,) lim f () + και lim f () β Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης: g() f () ln 3 =, (,) γ Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης: f () 3 h() = e τέμνει την ευθεία y = σε ένα τουλάχιστον (,) 9 Έστω συνάρτηση f : R Rγια την οποία και για κάθε R, ισχύει: ( f ()) ( f () + ) α Να δείξετε ότι στο σημείο = η f είναι συνεχής β f () Να βρείτε το όριο lim + γ Αν η f είναι συνεχής στο R, να δείξετε ότι η εξίσωση f () = 6 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα, f :, + R που είναι συνεχής στο πεδίο Έστω συνάρτηση [ ) ορισμού της και για κάθε ισχύει: ( ) f () + α Να βρείτε τον αριθμό f () β Να δείξετε ότι υπάρχει (, ) ώστε να ισχύει f ( ) = ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

37 Έστω η συνεχής συνάρτηση f : R Rγια την οποία και για κάθε R, ισχύει: f () + = f () Να δείξετε ότι υπάρχει (,), ώστε 4f ( ) = 7 Έστω η συνεχής συνάρτηση f :[,] R με f () =, f() = 5 και f () = 5 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση τουλάχιστον δύο ρίζες στο (, ) f () = 6 έχει, 3 Δίνονται οι συνεχείς στο R συναρτήσεις f και g για τις οποίες ισχύουν:f () για κάθε RΟι γραφικές τους παραστάσεις τέμνονται στο A(, ) ρ = καιρ = 5 είναι δύο διαδοχικές ρίζες της g() = Να αποδείξετε ότι: α f() < για κάθε R β g() < για κάθε (,5) γ 4 f (3) lim g() = 4 Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο [-3,3] για την οποία ισχύει 3 + 4f () = 7για κάθε [-3,3] α Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης f () = β Να αποδείξετε ότι η f διατηρεί πρόσημο στο διάστημα (-3,3) γ Να βρεθεί ο τύπος της f δ Αν επιπλέον f () = 6 να βρείτε το όριο 3 3 f () lim 5 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f :[, + ) R για την οποία 8 ισχύει: f () ηµ για κάθε > 3 Να βρείτε: α Το όριο: lim 7 β Το όριο: lim ηµ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

38 γ Το όριο: δ Το f () limf () 6 Δίνεται η συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει: (f f )() + f () = + για κάθε Rκαι f () = 5 α Να βρείτε το f (5) β Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται γ Να βρείτε το f () δ Να λύσετε την εξίσωση: ( ) f f ( + 7) = 7 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύουν οι συνθήκες: 3ηµ f (), για κάθε R 4f () + 3f ( + ) = 9, για κάθε R α Να βρείτε το όριο limf () β Να βρείτε το f () γ Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g() = σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη (,) 8 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύουν: f () = + +, για κάθε R + f () lim = α Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν έχει κοινά σημεία με τον άξονα β Να αποδείξετε ότι ο τύπος της f είναι f () = + +, R γ Να βρείτε το όριο lim ( f ()) δ Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση με τύπο g() = f (), έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (, ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

39 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Tι ορίζουμε ως εφαπτομένης της C f στο σημείο της A, f ( )); ( Έστω f μια συνάρτηση και A, f ( )) ένα σημείο της C f Αν υπάρχει το ( f ( ) f ( ) lim και είναι ένας πραγματικός αριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της C f στο σημείο της Α, την ευθεία ε που διέρχεται από το Α και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ Επομένως, η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο A, f ( )) είναι y f ) = λ( ), ( ( όπου λ= lim f ( ) f ( ) Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της; Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει το και είναι πραγματικός αριθμός lim f ( ) f ( Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της f στο και συμβολίζεται με f ( ) Δηλαδή: f ( f ( ) f ( ) = lim ) )

40 3 Να αποδείξετε ότι αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό Για έχουμε οπότε f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) = ( ), f() f( ) lim[f() f( )] = lim ( ) f( ) f( ) = lim lim( ) = ( ) = f, αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο f είναι συνεχής στο ΣΧΟΛΙΟ Επομένως, limf( ) = f( ), δηλαδή η Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σ ένα σημείο, τότε, σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, δεν μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα σημείο, τότε, δεν ξέρουμε αν είναι παραγωγίσιμη στο

41 4 Πότε μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της Α; H f είναι παραγωγίσιμη στο Α ή, απλά, παραγωγίσιμη, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο A 5 Πότε μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα ( α, β) του πεδίου ορισμού της; Η f είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα ( α, β) του πεδίου ορισμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο ( α, ) β 6 Πότε μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [ α, β] του πεδίου ορισμού της; Η f είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [ α, β] του πεδίου ορισμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη στο ( α, β) και επιπλέον ισχύει f( ) f( α) lim R + α α και 7 Έστω η σταθερή συνάρτηση f ) = c f ( ) f ( β) lim β β R (, c R Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει f ( ) =, δηλαδή (c) = Πράγματι, αν είναι ένα σημείο του R, τότε για ισχύει: f ( ) f ( ) c c = δηλαδή ( c ) = = Επομένως, f ( ) f ( lim ) =,

42 8 Έστω η συνάρτηση f = ) ( Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει ) ( = f, δηλαδή ( ) = Πράγματι, αν είναι ένα σημείο του R, τότε για ισχύει: ) ( ) ( = = f f Επομένως, lim ) ( ) ( lim = = f f, δηλαδή ) ( = 9 Έστω η συνάρτηση ν f = ) (, {,} R ν Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει ) ( = ν ν f, δηλαδή ) ( = ν ν ν Πράγματι, αν είναι ένα σημείο του R, τότε για ισχύει: ) )( ( ) ( ) ( = = = ν ν ν ν ν ν ν ν f f, οπότε ) lim( ) ( ) ( lim = = = ν ν ν ν ν ν ν ν f f, δηλαδή ) ( = ν ν ν Έστω η συνάρτηση f = ) ( Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ), ( + και ισχύει f ) ( =, δηλαδή ( ) = Πράγματι, αν είναι ένα σημείο του ), ( +, τότε για ισχύει:

43 , f( ) f( ) ( )( + ) = = = = ( )( + ) ( )( + ) + Οπότε f ( ) f ( ) lim = lim +, = δηλαδή ( ) = Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, τότε η συνάρτηση f + g είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: ( f + g) ( ) = f ( ) + g ( ) Για, ισχύει: ( f+ g)( ) ( f+ g)( f + g f ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = g = f f Επειδή οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, έχουμε: g g + ( f+ g)( ) ( f+ g)( ) f ( ) f ( ) g( ) g( ) lim = lim + lim = f ( ) + g ( ), Δηλαδή f + g) ( ) = f ( ) + g ( ) ( Έστω η συνάρτηση f ( ) παραγωγίσιμη στο Πράγματι, για κάθε * R και ισχύει * R έχουμε: = ν, * ν N Η συνάρτηση f είναι ( ) = ν, δηλαδή f ν ν ( ) = ν ν

44 ν ν ν ν () ( ) ν ( ) = ν ν = = = ν ν ( ) ν 3 Έστω η συνάρτήση f ( ) = εφ Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R = R { συν= } και ισχύει f ( ) =, δηλαδή (εφ ) = συν Πράγματι, για κάθε R έχουμε: συν ηµ (ηµ )συν ηµ (συν ) συνσυν+ ηµ ηµ (εφ ) = = = συν συν συν συν + ηµ = = συν συν 4 Παράγωγος σύνθετης συνάρτησης Αν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο και η f είναι παραγωγίσιμη στο g ( ), τότε η συνάρτηση g ( f g) ( ) = f ( g( )) g ( ) f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει Γενικά, αν μια συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και η f είναι παραγωγίσιμη στο g ( ), τότε η συνάρτηση f g είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει ( f ( g( ))) = f ( g( )) g ( ) Δηλαδή, αν u= g(), τότε f ( u)) = f ( u) u ( 5 Η συνάρτηση f ( ) (, + ) και ισχύει = α, α R Z είναι παραγωγίσιμη στο ( ) = α, δηλαδή f α α ( ) = α α

45 Πράγματι, αν Επομένως, y e α α ln = = και θέσουμε u α ln =, τότε έχουμε α y e e u e u u α ln α α = ( ) = = α = = α y u = e 6 Η συνάρτηση f ( ) = α, α > είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει ( ) f = α lnα, δηλαδή ( α ) = α lnα Πράγματι, αν Επομένως, ln y α e α = = και θέσουμε u= lnα, τότε έχουμε u u ln y = ( e ) = e u = e α lnα = α lnα y u = e 7 Η συνάρτηση f ( ) = ln, ισχύει (ln ) = * R είναι παραγωγίσιμη στο * R και Πράγματι αν >, τότε (ln ) = (ln ) =, ενώ αν <, τότε ln = ln( ), οπότε, αν θέσουμε y= ln( ) και u=, έχουμε y= ln u Επομένως, y = (ln u) = u = ( ) = u και άρα (ln ) = 8 Αν δύο μεταβλητά μεγέθη, y συνδέονται με τη σχέση y= f ( ), τι ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το στο σημείο ; Αν δύο μεταβλητά μεγέθη, y συνδέονται με τη σχέση y= f ( ), όταν f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το στο σημείο την παράγωγο f ( )

46 9 Να διατυπώσετε το θεώρημα Rolle και να το ερμηνεύσετε γεωμετρικά ΘΕΩΡΗΜΑ (Rolle) Αν μια συνάρτηση f είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα [ α, β ] παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( α, β ) και f ( α) = f ( β ) τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ ( α, β ) τέτοιο, ώστε: f ( ξ ) = Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ ( α, β ) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της C f στο M ( ξ, f ( ξ )) να είναι παράλληλη στον άξονα των y Μ(ξ,f(ξ)) Α(α,f(α)) Β(β,f(β)) O α ξ ξ β Να διατυπώσετε το θεώρημα Μέσης τιμής και να το ερμηνεύσετε γεωμετρικά ΘΕΩΡΗΜΑ (Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού ΘΜΤ) Αν μια συνάρτηση f είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα [ α, β ] και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( α, β ) τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ ( α, β ) τέτοιο, ώστε: f ( ξ ) = f ( β ) f ( α) β α

47 Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ ( α, β ) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο M ( ξ, f ( ξ )) να είναι παράλληλη της ευθείας ΑΒ y M(ξ,f(ξ)) A(a,f(a)) Β(β,f(β)) Ο a ξ ξ β Να αποδείξετε ότι: Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f ( ) = για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ Αρκεί να αποδείξουμε ότι για οποιαδήποτε, ισχύει f ( ) = f ( ) Πράγματι Αν =, τότε προφανώς f ( ) = f ( ) Αν <, τότε στο διάστημα [, ] η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής Επομένως, υπάρχει ξ (, ) τέτοιο, ώστε f ( ξ ) = f ( ) f ( ) () Επειδή το ξ είναι εσωτερικό σημείο του Δ, ισχύει f ( ξ ) =,οπότε, λόγω της (), είναι f ( ) = f ( ) Αν <, τότε ομοίως αποδεικνύεται ότι f ( ) = f ( )Σε όλες, λοιπόν, τις περιπτώσεις είναι f ( ) = f ( ) Να αποδείξετε ότι:έστω δυο συναρτήσεις f, g ορισμένες σε ένα διάστημα Δ Αν οι f, g είναι συνεχείς στο Δ και f ( ) = g ( ) για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε να ισχύει: f ( ) = g( ) + c

48 Η συνάρτηση f g είναι συνεχής στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο ισχύει ( f g) ( ) = f ( ) g ( ) = Επομένως, σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα, η συνάρτηση f g είναι σταθερή στο Δ Άρα, υπάρχει σταθερά C τέτοια, ώστε για κάθε να ισχύει f ( ) g( ) = c, οπότε f ( ) = g( ) + c y y=g()+c y=g() O 3 Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι σ υ ν ε χ ή ς σε ένα διάστημα Δ Αν f ( ) > σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ Αν f ( ) < σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ Αποδεικνύουμε το θεώρημα στην περίπτωση που είναι f ( ) > Έστω, με < Θα δείξουμε ότι f ( ) < f ( ) Πράγματι, στο διάστημα [, ] η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ Επομένως, f ( ) f ( ) υπάρχει ξ (, ) τέτοιο, ώστε f ( ξ ) =, οπότε έχουμε f ( ) f ( ) = f ( ξ )( ) Επειδή f ( ξ ) > και >, έχουμε f ( ) f ( ) >, οπότε f ( ) < f ( ) Στην περίπτωση που είναι f ( ) < εργαζόμαστε αναλόγως ΣΧΟΛΙΟ

49 Το αντίστροφο του παραπάνω θεωρήματος δεν ισχύει Δηλαδή, αν η f είναι γνησίως αύξουσα (αντιστοίχως γνησίως φθίνουσα) στο Δ, η παράγωγός της δεν είναι υποχρεωτικά θετική (αντιστοίχως αρνητική) στο εσωτερικό του Δ 4 Να δώσετε τους ορισμούς για το τοπικό μέγιστο και το τοπικό ελάχιστο Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο A τοπικό μέγιστο, όταν υπάρχει δ >, τέτοιο ώστε f ( ) ( ) ( δ, + δ ) f για κάθε A Το λέγεται θέση ή σημείο τοπικού μεγίστου, ενώ το f ( ) τοπικό μέγιστο της f Μία συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο A τοπικό ελάχιστο, όταν υπάρχειδ >, τέτοιο ώστε f ( ) ( ) ( δ, + δ ) f, για κάθε A Το λέγεται θέση ή σημείο τοπικού ελαχίστου, ενώ το f ( ) τοπικό ελάχιστο της f 5 Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα του Fermat ΘΕΩΡΗΜΑ (Fermat) Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο του Δ Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε: f ( ) = ΑΠΟΔΕΙΞΗ

50 Ας υποθέσουμε ότι η f παρουσιάζει στο y τοπικό μέγιστο Επειδή το είναι εσωτερικό σημείο του Δ και η f παρουσιάζει σ αυτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει δ > τέτοιο, ώστε f( ) ( δ, + δ ) και f ( ) ( ) () ( δ, + δ ) f, για κάθε O δ +δ Επειδή, επιπλέον, η f είναι παραγωγίσιμη στο, ισχύει Επομένως, f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) = lim = lim + αν ( δ, ), τότε, λόγω της (), θα είναι έχουμε f ( ) f ( ) f = ( ) lim αν (, + δ ), τότε, λόγω της (), θα είναι έχουμε f ( ) f ( ), οπότε θα () f ( ) f ( ), οπότε θα f ( ) f ( ) f = ( ) lim + Έτσι, από τις () και (3) έχουμε f ( ) = Η απόδειξη για τοπικό ελάχιστο είναι ανάλογη (3) ΣΧΟΛΙΟ:Σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, τα εσωτερικά σημεία του Δ, στα οποία η f είναι διαφορετική από το μηδέν, δεν είναι θέσεις τοπικών ακροτάτων Επομένως, οι π ι θ α ν έ ς θ έ σ ε ι ς τ ων

51 τ ο π ι κ ώ ν α κ ρ ο τ ά τ ω ν μιας συνάρτησης f σ ένα διάστημα Δ είναι: Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η παράγωγος της f μηδενίζεται Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η f δεν παραγωγίζεται 3 Τα άκρα του Δ (αν ανήκουν στο πεδίο ορισμού της) Τα ε σ ω τ ε ρ ι κ ά σημεία του Δ στα οποία η f δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είναι ίση με το μηδέν, λέγονται κρίσιμα σημεία της f στο διάστημα Δ 6 Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα ( α, β ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής i) Αν f ( ) > στο ( α, ) και f ( ) < στο (, β ), τότε το f ( ) είναι τοπικό μέγιστο της f (Σχ 35α) ii) Αν f ( ) < στο ( α, ) και f ( ) > στο (, β ), τότε το f ( ) είναι τοπικό ελάχιστο της f (Σχ 35β) iii) Aν η f ( ) διατηρεί πρόσημο στο ( α, ) (, β ), τότε το f ( ) δεν είναι τοπικό ακρότατο και η f είναι γνησίως μονότονη στο ( α, β ) (Σχ 35γ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ i) Eπειδή f ( ) > για κάθε ( α, ) και η f είναι συνεχής στο, η f είναι γνησίως αύξουσα στο ( α, ] Έτσι έχουμε f ( ) f ( ), για κάθε ( α, ] () Επειδή f ( ) < για κάθε (, β ) και η f είναι συνεχής στο, η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [, β ) Έτσι έχουμε: f ( ) f ( ), για κάθε [, β ) ()

52 y f > f < y f > f < 35a f( ) f( ) O a β O a β Επομένως, λόγω των () και (), ισχύει: f ( ) f ( ), για κάθε ( α, β ), που σημαίνει ότι το f ( ) είναι μέγιστο της f στο ( α, β ) και άρα τοπικό μέγιστο αυτής ii) Εργαζόμαστε αναλόγως y y 35β f < f > f < f > O a β O a β iii) Έστω ότι f ( ) >, για κάθε ( α, ) (, β ) y f > y f > 35γ f > f > O a β O a β Επειδή η f είναι συνεχής στο θα είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από τα διαστήματα ( α, ] και [, β ) Επομένως, για < < ισχύει f ( ) < f ( ) < f ( ) Άρα το f ( ) δεν είναι τοπικό ακρότατο της f Θα δείξουμε, τώρα, ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο ( α, β ) Πράγματι, έστω, ( α, β ) με <

53 Αν, ( α, ], επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο ( α, ], θα ισχύει f ( ) < f ( ) Αν, [, β ), επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, β ), θα ισχύει f ( ) < f ( ) Τέλος, αν < <, τότε όπως είδαμε f ( ) < f ( ) < f ( ) Επομένως, σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει f ( ) < f ( ), οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο ( α, β ) Ομοίως, αν f ( ) < για κάθε ( α, ) (, β ) 7 Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και Παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ, πότε θα λέμε ότι η f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω και πότε προς τα κάτω; Έστω μία συνάρτηση f σ υ ν ε χ ή ς σ ένα διάστημα Δ και π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ Θα λέμε ότι: Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο Δ, αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο Δ, αν η f είναι γνησίως φθίνουσα στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ 8 Πότε το σημείο Α(, f ( )) ονομάζεται σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f; Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα ( α, β ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του Αν η f είναι κυρτή στο ( α, ) και κοίλη στο (, β ), ή αντιστρόφως, και η C f έχει εφαπτομένη στο σημείο A(, f ( )),

54 τότε το σημείο A(, f ( )) ονομάζεται σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f 9 Πότε η ευθεία = λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f; Αν ένα τουλάχιστον από τα όρια lim f ( ), + lim f ( ) είναι + ή, τότε η ευθεία = λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f 3 Πότε η ευθεία y=l λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + (αντιστοίχως στο ); Αν lim f ( ) =l (αντιστοίχως lim f ( ) =l ), τότε η ευθεία y=l λέγεται + οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + (αντιστοίχως στο ) 3 Πότε η ευθεία y= λ+ β λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο+, (αντιστοίχως στο ); Η ευθεία y = λ+ β λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο+, αντιστοίχως στο, αν αντιστοίχως lim[ f ( ) ( λ+ β )] =, + lim[ f ( ) ( λ+ β )] = 3 Να διατυπώσετε τους κανόνες de L Hospital ΘΕΩΡΗΜΑ ο (μορφή )

55 Αν lim f ( ) =, lim g ( ) =, R {, + } και υπάρχει το (πεπερασμένο ή άπειρο), τότε: f ( ) lim g ( ) f ( ) f ( ) lim = lim g( ) g ( ) ΘΕΩΡΗΜΑ ο (μορφή + + ) Αν lim f ( ) =+, f ( ) lim g ( ) lim g ( ) (πεπερασμένο ή άπειρο), τότε: =+, R {, + } και υπάρχει το f ( ) f ( ) lim = lim g( ) g ( )

56 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να εξεταστεί αν είναι παραγωγίσιμες στο οι συναρτήσεις: α β γ, f()= ηµ, > + 3+, f()= 5, > ηµ, f()=, = = = = Αν η f είναι συνεχής στο, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g () = ( + 5 3)f() είναι παραγωγίσιμη στο 3 Αν η f είναι συνεχής στο, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g () = ( + 3 )f() είναι παραγωγίσιμη στο 4 Αν για κάθε R ισχύει - + f() α Να αποδειχθεί ότι: f()= β Να αποδειχθεί ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο = και να βρεθεί το f () 5 Αν για κάθε R ισχύει 3 f () + e Να αποδειχθεί ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο = και να βρεθεί το f () 6 Δίνεται συνάρτηση f: R R με ( ) f() α Να αποδειχθεί ότι: f()= β Να αποδειχθεί ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο = και να βρεθεί το f () 7 Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο = και για κάθε R ισχύει ηµ f () ηµ + να βρείτε: α Το f () β Το f ()

57 8 Δίνεται συνάρτηση f: R R με είναι παραγωγίσιμη στο = f() ηµ +5 3, R Να δείξετε ότι η f 9 Δίνονται οι συναρτήσεις f, g: R R με g ()= και f() g(), R Να αποδειχθεί ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο = Να βρείτε την παράγωγο της f στο, όταν: α f() + για κάθε R και = β γ f() ηµ 4 για κάθε R και =, f() = f() + για κάθε R και = Η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο R, παραγωγίσιμη στο και για κάθε R, ισχύει 3 f () + f () = ηµ Να αποδείξετε ότι f () = Η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο R, παραγωγίσιμη στο και για κάθε 3 R, ισχύει f () f () + f () = ηµ Να αποδείξετε ότι f () = 3 Να βρείτε τις τιμές των α, β R για τις οποίες η συνάρτηση 3, f() = α + β, < είναι παραγωγίσιμη στο = 4 Να βρείτε τις τιμές των α, β R για τις οποίες η συνάρτηση + f() = α + β, + 5, > είναι παραγωγίσιμη στο = 5 Να βρείτε τις τιμές των α, β R για τις οποίες η συνάρτηση α f() = +, 3 +, < β είναι παραγωγίσιμη στο = + 3, < 6 Αν f()=, να βρείτε τα α, β Rέτσι, ώστε η f να είναι α +β, παραγωγίσιμη στο =