ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ

Φουσκάκης- Ασκήσεις στην Εκτιµητική ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΚΤΙΜΗΤΙΚΗ ) Έστω Χ,, Χ και Υ,,Υ ανεξάρτητα τµ από πληθυσµούς µε µέση τιµή θ και γνωστές διασπορές σ και σ είξτε ότι για c [0,] η U = c X +(-c) Y είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια της παραµέτρου θ και βρείτε το c για το οποίο η διασπορά της U είναι ελάχιστη Έστω U = c X +(-c) Y, c [0,] Τότε: E(U) = ce(x)+(-c)e(y) = ce( X )+(-c)e( Y ) = c θ+(-c) θ = θ = = δηλαδή η U είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια της θ, Ακόµα: Vr(U) = c Vr(X)+(-c) Vr(Y) = c Vr( X )+(-c) Vr( ) Y = = Αλλά Χ, Υ j (=,; j=,,) ανεξάρτητα, άρα και ασυσχέτιστα, οπότε η τελευταία έκφραση παίρνει την µορφή: Vr(U) = c σ +(-c) σ = g(c) Η τελευταία συνάρτηση ελαχιστοποιείται στο σηµείο που µηδενίζεται η παράγωγος της, δηλαδή: σ σ σ * g (c)=c -(-c) =0 c = σ σ + ) Έστω Χ,, Χ τδ από την U(θ,θ), θ ) Να βρεθεί η σππ της Υ = x{ Χ,, Χ } + ) είξτε ότι η T= Y είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια της θ + ) Θυµίζουµε ότι όταν µια τµχ ακολουθεί την U(α,β) έχει συνάρτηση κατανοµής: 0, x < α x-α F(x)=, α x < β β-α, β x

Φουσκάκης- Ασκήσεις στην Εκτιµητική Ενδιαφερόµαστε για την συνάρτηση κατανοµής της τµ Υ X ανεξάρτητα X U(θ,θ) y-θ F(y) = P(Y y) = P(x{X,,X } y) = P(X y,, X y) = P(X y) = = θ Άρα η σππ της Υ είναι: - - y-θ (y-θ) f(y) = F (y) = =, θ θ θ y (θ,θ) ) Είναι: θ θ - θ θ y(y-θ) y(y-θ) (y-θ) θ + E(Y) = dy = dy θ- θ θ θ = = θ + + θ θ Άρα Ε( + + Υ) = θ, οπότε η + T= Y είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια της θ + -x 3) Έστω Χ,, Χ τδ από πληθυσµό µε σππ f(x) = xe, x>0 ) Να βρεθεί η ΕΜΠ της α ) Να βρεθεί η ΕΜΠ της µέσης τιµής του πληθυσµού ι) Καταρχήν παρατηρούµε ότι η συγκεκριµένη σππ είναι η G(, p=) Η συνάρτηση πιθανοφάνειας είναι: x = = = = = L() = f(x ) = x e l() = l() + l( x ) x Άρα η ΕΜΠ της α προκύπτει από την λύση της εξίσωσης: l() = 0 X = 0 = = X = ) Γνωρίζουµε ότι η µέση τιµή µιας G(,p) ισούται µε µ = p Στην συγκεκριµένη οπότε περίπτωση µ = Με χρήση του Θεωρήµατος 9 η ΕΜΠ τότε της µ θα είναι: µ = = = X = X = = X

Φουσκάκης- Ασκήσεις στην Εκτιµητική 3 4) Έστω Χ,, Χ τδ από την G(,p) Να προσδιοριστούν οι εκτιµήτριες των, p µε την µέθοδο των ροπών Γνωρίζουµε ότι η σππ µιας G(,p) είναι η f(x) x e Γ(p) p p- -x = Οι δύο πρώτες δειγµατικές ροπές περί την αρχή είναι: = = X και X = X = = X = Οι αντίστοιχες δύο πρώτες ροπές του πληθυσµού είναι: p µ= E(X) = και p(p+) µ= E(X) = σ +µ = Άρα έχουµε το σύστηµα: ( X) p p = = X X X p(p+) = X X = X ( ) ( X ) 5) Έστω Χ,, Χ τδ από την U(,b) ) Να προσδιοριστούν οι εκτιµήτριες των, b µε την µέθοδο των ροπών ) Να προσδιοριστούν οι ΕΜΠ των, b Γνωρίζουµε ότι η σππ µιας U(,b) είναι η, x b f(x) = b- 0, διαφορετικά ι) Οι δύο πρώτες δειγµατικές ροπές περί την αρχή είναι: = = X και X = X = = X = Οι αντίστοιχες δύο πρώτες ροπές του πληθυσµού είναι: +b +b+b µ= E(X) = και µ = E(X ) = σ +µ = 3 Άρα έχουµε το σύστηµα:

Φουσκάκης- Ασκήσεις στην Εκτιµητική 4 ( ) ( ) +b X = = X 3 X -X + b + b = X b = X + 3 X -X 3 / ) Η συνάρτηση πιθανοφάνειας είναι: / L(,b) = I [,b](x ) = I [,b](x ) = {I (-,b] (x )I[,+ ] (x )} = b- b- = b- = = b- I (xx )I (x ) (-,b] [,+ ] Η συνάρτηση αυτή δεν διαφορίζεται παντού ως προς και b, για να µεγιστοποιηθεί όµως είναι φανερό ότι θα πρέπει να ελαχιστοποιηθεί η διαφορά b- µε την προϋπόθεση ότι ισχύει x x b και x α Εποµένως οι ΕΜΠ των, b είναι: = x και b = x x 6) Το πλάτος ενός παλµού είναι τµ X N(µ, 4) Στην έξοδο του µηχανήµατος µπορούµε να παρατηρήσουµε αν το Χ υπερβαίνει την τιµή 40 ή όχι Αν σε 00 παρατηρήσεις το Χ υπερέβη την τιµή αυτή 80 φορές, ποια είναι η ΕΜΠ της µέσης τιµής µ;, x > 40 Έστω Υ = Γνωρίζουµε ότι 0, x 40 (- p ) = P (Y = 0) = 0 p = P (Y = ) = 08 και Τότε: X-µ 40-µ 40-µ 40-µ p = P(x > 40) = P( > ) = - Φ( ) Φ( ) = p Αν p η ΕΜΠ του p και µ η ΕΜΠ του µ τότε: 40-µ Φ( ) = p = 00 µ = 468 7) Ο αριθµός των σωµατιδίων α που εκπέµπονται από ραδιενεργό πηγή σε χρόνο k -λt (λt) t(sec) ακολουθεί την P(λ), δηλαδή P(X=k) = e Για την εκτίµηση του λ k! καταγράφηκε ο αριθµός ν των πηγών που εξέπεµψαν ένα τουλάχιστον σωµατίδιο σε χρόνο sec από 30 πηγές Να προσδιοριστεί η ΕΜΠ της λ για ν = 0

Φουσκάκης- Ασκήσεις στην Εκτιµητική 5, x Έστω Υ = 0, x = 0 Τότε p = P(Y = ) = P(X ) = P(X = 0) = e -λ Αν p η ΕΜΠ του p και λ η ΕΜΠ του λ τότε: λ 0 p = e λ e = λ = log(3) 30 8) Έστω Χ,, Χ τδ από την Β(Ν,p) µε Ν γνωστό Να προσδιοριστεί η ΕΜΠ της p Η συνάρτηση πιθανοφάνειας είναι: x (N x ) N x N-x N = = x x = = L(p) = {( )p (-p) } = ( ) p (-p) N l(p) = log ( x ) x + log(p) (N x )log(-p) = = = Άρα η ΕΜΠ της p προκύπτει από την λύση της εξίσωσης: x N x x = = = X l(p) = 0 = 0 p= = p -p N N X k Σηµείωση: p = N =, όπου k = x είναι ο συνολικός αριθµός επιτυχιών και = = N ο συνολικός αριθµός δοκιµών Beroull 9) Έστω Χ,, Χ τδ από την Ν(µ, σ ) ) Να βρεθεί η ΕΜΠ της µ όταν σ γνωστό ) Να βρεθεί η ΕΜΠ της σ όταν µ γνωστό ) Να βρεθούν οι ΕΜΠ των µ, σ ) Η συνάρτηση πιθανοφάνειας είναι:

Φουσκάκης- Ασκήσεις στην Εκτιµητική 6 (x -µ) = - (x -µ) -/ σ σ = = πσ σ (x -µ) L(µ) = e = (πσ ) e l(µ) = - log(πσ ) Άρα η ΕΜΠ της µ προκύπτει από την λύση της εξίσωσης: l (µ) = 0 (x -µ) = 0 (x -µ) = 0 (X-µ) = 0 µ = X σ σ σ = = ι) Η συνάρτηση πιθανοφάνειας είναι: (x -µ) = - (x -µ) -/ σ σ = = = = = πσ σ (x -µ) L(σ ) e (πσ ) e l(µ) - log(πσ ) Άρα η ΕΜΠ της σ προκύπτει από την λύση της εξίσωσης: (X-µ) (X -µ) π = = l(σ ) = 0 + (X 4 -µ) = 0 + = 0 σ = πσ σ σ = ) Η συνάρτηση πιθανοφάνειας είναι: (x -µ) (x-µ) = -/ σ σ = = = πσ = πσ = πσ σ (x -µ) L(µ,σ ) e ( ) e l(µ) log( ) Άρα οι ΕΜΠ των µ, σ προκύπτουν από την λύση του συστήµατος: l(µ,σ ) (x -µ) = 0 = 0 µ = X σ = µ l(µ,σ ) (X -µ) 0 = = σ = σ + = 0 σ (X-X) = 0) Έστω Χ,, Χ τδ από πληθυσµό µε συνάρτηση κατανοµής F(x;θ) = (+x ) -θ, x > 0, θ > 0 Να βρεθεί η ΕΜΠ της θ Εύκολα µπορούµε να υπολογίσουµε την σππ της παραπάνω κατανοµής f(x;θ) = F(x;θ) = x θ(+x ) -( θ+), x > 0

Φουσκάκης- Ασκήσεις στην Εκτιµητική 7 Η συνάρτηση πιθανοφάνειας είναι: L(θ) = {θ(+x ) x } = (θ) = -(θ+) = = = = x (+x ) -(θ+) l(θ) = log(θ) + log(x ) (θ+) log(+x ) Άρα η ΕΜΠ της θ προκύπτει από την λύση της εξίσωσης: log(+x ) l(θ) 0 log(+x ) 0 θ = = = = θ = Μιας και η συγκεκριµένη κατανοµή δεν είναι κάποια από τις γνωστές κατανοµές που έχουµε µάθει για να είµαστε σίγουροι ότι η παραπάνω λύση είναι µέγιστο θα πρέπει να δείξουµε ότι η δεύτερη παράγωγος είναι αρνητική για θ= θ Πράγµατι: l(θ) = - 0 θ < θ > 0