Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://)

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (http://) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (http://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1

Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγη στο Χώρο Κατάστασης Μοντελοποίηση στο Χώρο Κατάστασης Ανάλυση Συστημάτων στο Χώρο Κατάστασης Δομικές Ιδιότητες Συστημάτων Ελεγξιμότητα Παρατηρησιμότητα Ευστάθεια Σχεδίαση Συστημάτων Ελέγχου Ανατροφοδότηση Κατάστασης Παρατηρητές και Ανατροφοδότηση Εξόδου Βέλτιστος Έλεγχος Υλοποίηση Συστημάτων Ελέγχου?? Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 2

8. Βέλτιστος Έλεγχος Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 3

Εισαγωγή στο Βέλτιστο Έλεγχο Παρουσίαση της δομής ενός γενικευμένου προβλήματος βελτίστου ελέγχου Εξειδίκευση στο πρόβλημα τετραγωνικού ρυθμιστή για ΓΧΑΣ Εισαγωγή στο Λογισμό των μεταβολών Η στατική βελτιστοποίηση ως πρόβλημα βελτιστοποπίηση πεπερασμένης διάστασης Λογισμός των μεταβολών Το πρόβλημα ελάχιστης ενέργειας. Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 4

Το Πρόβλημα του Βελτίστου Ελέγχου Θεωρούμε τη ΔΕ που περιγράφει την εγκατάσταση Εισάγουμε την έννοια του Δείκτη Απόδωσης (perormance index) ή Συνάρτησης Κόστους (cost unction) ή Αντικειμενικής Συνάρτησης (objective unction) η οποία πρέπει να ελαχιστοποιηθεί: Η «Συνάρτηση Απώλειας» (Loss Function) αντιπροσωπεύει κάποια ποινή που εισάγεται ένεκα κατάστασης, εισόδου ή και συνδυασμένα στατικα ή χρονικά εξαρτώμενα. Μπορεί να υπάρχουν και περιορισμοί (constraints) που συνδεόυν τη κατάσταση, την είσοδο ή και συνδυασμένα. Μπορεί να είναι : Ανισοτικοί Dxt, ut, t 0 t t0, t Ισοτικοί C xt ut t t t t 0,, 0, Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 5

Το Πρόβλημα του Βελτίστου Ελέγχου Κατά συνέπεια, το πρόβλημα βελτιστοποιήσεως έγγυται στην ανεύρεση εκείνης της συνάρτηση εισόδου u(t) t[t 0,t ] η οποία : Ελαχιστοποιεί (min) την αντικειμενική συνάρτηση Υποκείμενη (subject to s.t.) : τόσο στους περιορισμούς τόσο κατάστασης-εισόδου (ισοτικοί/ανισοτικοί) όσο και στους ισοτικούς περιορισμούς που εισάγει η ΔΕ της δυναμικής του συστήματος min J u Αυτό εφράζεται μαθηματικά ως Η προκύπτουσα ελαχιστοποιούσα συνάρτηση συμβολίζεται ως u (t) t[t 0,t ] Προφανώς αυτή η βέλτιστη συνάρτηση εισόδου όταν εισαχθεί στη ΔΕ της δυναμικής του συστήματος όδηγεί στη βέλτιστη πορεία του συστήματος x (t) t[t 0,t ], x (t 0 )=x 0. u s. t. x x, u, t x t x D x t, u t, t 0 C x t, u t, t 0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 6 0 0

Το Πρόβλημα του Βελτίστου Ελέγχου Το προηγούμενο γενικευμένο πρόβλημα μπορεί να αναχθεί σε απλούστερες μορφές όπου π.χ. το σύστημα είναι γραμμικό ή οι ισοτικοί /ανισοτικοί περιορισμοί είναι απλά φράγματα της κατάστασης ή της εισόδου κλπ. Σε αυτό το μάθημα θα δοθεί έμφαση σε μία από τις απλούστερες δυνατές μορφές, όπου: Το σύστημα είναι ΓΧΑΣ Δεν υπάρχουν ισοτικοί / ανισοτικοί περιορισμοί εισόδων-καταστάσεων, και Η αντικειμενική συνάρτηση είναι τετραγωνική Ό όρος τεραγωνική πηγάζει από το ότι τόσο η Loss Function όσο και το τελικό κόστος είναι τετραγωνικοί όροι Παρατηρούμε ότι: Η Loss Function επιβαρύνει «μεγάλες καταστάσεις» και μεγάλη «κατανάλωση ενέργειας» Το τελικό κόστος επιβαρύνει την απόκλιση από τη μηδενική κατάσταση Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 7

Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών Ή επίλυση των διατυπωθέντων προβλημάτων βελτίστου ελέγχου απαιτεί τη χρήση εννοιών πέρα της κλασσικής θεωρίας (στατικής) βελτιστοποίησης. Έννοιες από τη περιοχή του Λογισμού των Μεταβολών (Calculus o Variations) θα εισαχθούν. Προφανώς, δεδομένου ότι η εδώ παρουσίαση θα είναι εισαγωγική ( light ) θα την δούμε απλοποιημένα θεωρώντας τα εξης: Όλες οι συναρτήσεις που ορίζονται εδώ έχουν συνεχείς μερικές παραγώγους, σε όλο το πεδίο ορισμού τους, ως πρός όλες τις μεταβλητές τους (εκτός αν ξεκάθαρα ορίζεται το αντίθετο), και Το πρόβλημα βελτιστοποίσης ορίζεται εδώ στην συνολική (global) μορφή του και δεν υπάρχουν ανισοτικοί περιορισμοί που το περιορίζουν. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 8

Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών : Βελτιστοποίηση σε Πεπερασμένες Διαστάσεις d Θεωρούμε τη συνάρτηση : την οποία θέλουμε να d ελαχιστοποιήσουμε για όλα τα z, δηλαδή ψάχνουμε : Το ελάχιστο της συνάρτησης : min d z, και z Το(-α) σημείο(-α) του πεδίου ορισμού που επιτυγχάνεται η ελαχιστοποίηση z arg min d z z Αναζητούμε τις αναγκαίες συνθήκες ώστε το z* ελαχιστοπoιεί την (z). Προφανώς: d, 0 z z Δηλαδή η κατευθυνόμενη πάραγωγος (directional derivative) της (z) στο z*, ώς προς την κατεύθυνση του, είναι μηδενική που σημαίνει ότι Επειδή αυτό ισχύει για κάθε, τότε z 0 z z z lim 0 0 z z 0 z 0 z z z z lim 0 0 Όλα τα σημεία που ικανοποιούν αυτή τη σχέση λέγοντα «κρίσιμα σημεία». Αν το z* ελαχιστοπoιεί την (z) τότε είναι κρίσιμο σημείο της. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 9

Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών : Βελτιστοποίηση σε Πεπερασμένες Διαστάσεις Ένα κρίσιμο σημείο μίας συνάρτησης ΔΕΝ την ελαχιστοποιεί όμως αναγκαστικά π.χ.: 2 2. z z1 z2 2 z z1 z2 z 0 0 : το μοναδικό κρίσιμο σημείο ΔΕΝ ελαχιστοποιεί τη συνάρτηση ΑΛΛΑ την μεγιστοποιεί. 2 2. 1 2 2 z z z z z1 z2 z 0 0 : το μοναδικό κρίσιμο σημείο ΔΕΝ ελαχιστοποιεί τη συνάρτηση ΑΛΛΑ είναι «σημείο σάγματος». Η εξαγωγή συμπερασμάτων για το είδος του κρίσιμου σημείου απαιτεί την θεώριση της 2 ης παραγώγου (Hessian). d Εναλλακτικά: H συνάρτηση : είναι : d κυρτή (convex) άν z z z z, 0 Έστω z* κρίσιμο σημείο της αυστηρά κυρτής (z) δηλαδή z 0. d d Επομένως z z z 0 0 z z 0 αυστηρά κυρτή (strictly convex) άν είναι κυρτή και ισχύει z z z Συμπέρασμα: Ένα κρίσιμο σημείο z* μιάς αυστηρά κυρτής συνάρτησης (z) την ελαχιστοποιεί, δηλαδή z z. arg min d z d Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 10

Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών : Βελτιστοποίηση σε Πεπερασμένες Διαστάσεις & Ισοτικοί Περιορισμοί Αν στο πρόβλημα της βελτιστοποίησης μιάς συνάρτησης (z) συμπεριληφθούν και n ισοτικοί περιορισμοί της μορφής g i (z)=0 i=1,,n τότε το μαθηματικό πρόβλημα βελτιστοποίησης γίνεται: min z Προφανως n < d γιατί αλλοιώς το πρόβλημα υπερπεριο- -ρίζεται και ο δυνατός χώρος (easible space) εκφυλίζε- -ται σε ένα ή και κανένα σημείο. Εισάγουμε διάνυσμα πολλαπλασιαστών Lagrange 1 2 n διαστάσεως n, ίδιας με του G(z), του διανύσματος ισοτικών περιορισμών. Σχηματίζουμε τη συνάρτηση Παρατηρούμε ότι αν arg min z d Έστω z z* : G(z) = G(z*) τότε λ R n ισχύει: Αν το z* ελαχιστοποιεί την z, τότε ελαχιστοποιεί και την z για αυτά τα z που ανήκουν στο σύνολο των σημείων z όπου ισχύει G(z) = G(z*). Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 11 z s t g g g 1 z z 2. G z 0 n z z z G z z g z g z z z z z z z 1 1 z G z z G z z z z z G z G z 0 z z n n

Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών : Βελτιστοποίηση σε Πεπερασμένες Διαστάσεις & Ισοτικοί Περιορισμοί 0 d Αν το z* ελαχιστοποιεί την z τότε z.. Το αντίστροφο ισχύει n μόνο αν η z είναι κυρτή, κάτι που εξαρτάται από το. Επίσης, για να ισχύει η εξίσωση ισοτικών περιορισμών, πρέπει. Αυτές οι d+n εξισώσεις οδηγούν στην λύση z,. Για να εξασφαλιστεί η ελαχιστοποίση η z πρέπει να είναι κυρτή για Πως ελέγχεται όμως αυτό? Το βασικό εργαλείο είναι η χρήση παραγώγων 2 ης τάξης (Hessian). Όμως... Αν ο ισοτικός περιορισμός είναι γραμμικός : τότε G Αν λοιπόν η (z) είναι «αυστηρά κυρτή» τότε : 0 G z Η ανισότητα ισχύει σαν ισότητα μόνο όταν =0 : αυστηρά κυρτή Gz C z e 0 z z z z z C z z z C z e z C z e z z C z C z C z Ισότητα μόνο όταν =0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 12 n

Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών : Βελτιστοποίηση σε Πεπερασμένες Διαστάσεις Τετραγωνικός Προγραμματισμός Έστω το πρόβλημα ελαχιστοποίησης: Είναι η (z) αυστηρά κυρτή? 1 min z z Qz z 2 s. t G z C z e 0 Q Q 0 dd nd C, n d, rank C n Άρα η z z Qz C z e είναι αυστηρά κυρτή. Επομένως, σύμφωνα με 2 d τα προηγούμενα, αναζητούμε τη λύση z, των z 0 Gz 0 δηλαδή z z Q C 0 Qz C 0 και C z e. Η 1 η 1 εξίσωση δίνει: z Q C. Έχει νόημα γιατί Q > 0, άρα μη-ιδιόμορφος. Βάζοντάς την στη 2 η 1 εξίσωση: CQ C e. Επειδή (i) Q > 0 Q -1 > 0 και (ii) C: ull rank, rank(c) = n C Q -1 C > 0, άρα η λύση λ * έχει νόημα. Επομένως 1 1 1 1 z Q C CQ C e 1 (z) : Αυστηρά Κυρτή n Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 13

Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών : Βελτιστοποίηση σε Άπειρες Διαστάσεις Μέχρι τώρα εξετάσαμε το πρόβλημα της βελτιστοποίησης για. 1 Επεκτείνουμε τώρα τη βελτιστοποίηση για z C t, 0 t, δηλαδή το χώρο των συναρτήσεων που ορίζονται στο [t 0, t ] και έχουν συνεχή παράγωγο. Ομιλώντας μαθηματικά «πολύ χαλαρά» : η βελτιστοποίηση σε χώρο πεπερασμένων διαστάσεων (δηλ. ) αφορά το καθορισμό των d παραγόντων που συνιστούν το διάνυσμα z * η βελτιστοποίηση σε χώρο «απείρων» διαστάσεων αφορά το καθορισμό της συνάρτησης z * (t) σε όλα τα («άπειρα» δηλαδή) σημεία του [t 0, t ] που συνιστούν το πεδίο ορισμού της. Το «νέο» πρόβλημα βελτιστοποίησης εισάγει την έννοια του συναρτησιακού F(z): Ας παρατηρηθεί, ότι : min,, 1 0, t0 z C t t αποτέλεσμα αυτής της βελτιστοποίησης είναι μία 1 συνάρτηση z C t, z t0 z t 0 t Οι οριακές συνθήκες μπορούν, να είναι ακόμη πιο γενικές, δηλ. της μορφής z t0, z t Στη βελτιστοποίηση πεπερασμένων διαστάσεων η πάραγωγος έπαιξε σημαντικό ρόλο. Στη βελτιστοποίηση «απείρων» διαστάσεων... Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 14 t F z t z t z t dt z t 0 είναι καθορισμένο s.. t μία από τις z t είναι καθορισμένο, είναι καθορισμένα

Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών : Βελτιστοποίηση σε Άπειρες Διαστάσεις Θεωρούμε την μεταβολή Gateuax (Gateuax variation) του συναρτησιακού F(z) στο z(t) ως προς την «κατεύθυνση» (t)c 1 [t 0,t ] : 0 Αν η προς ολοκλήρωση συνάρτηση t, z, z έχει συνεχείς μερικές d d παραγώγους ως προς zz, σε όλο το πεδίο ορισμού της τότε: Τ Τ Τ F z; lim F z F z = = Τ Παράδειγμα: Άν τότε οπότε t 1 2 F z t z z dt 2 t0 1 t, z, z t z z 2 t, z, z t t, z, z z 2 z z Ισοτικοί Περιορισμοί Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 15

Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών : Βελτιστοποίηση σε Άπειρες Διαστάσεις Αν λάβουμε υπόψη ότι d d d d dt z z dt z z dt z dt z τότε η γίνεται t d d F z; t, z t, z t t, z t, z t t, z t, z t dt z dt z dt z t t 0 d d t, z t, z t dt t, z t, z t t, z t, z tt dt dt z z dt z t 0 0 Τ t t Τ Τ t t d t, z t, z t t t, z t, z t t, z t, z tt dt z z dt z t t 0 0 Τ Τ t Τ Τ d F z; t, z t, z t t t, z t, z t t t, z t, z t t, z t, z t t dt z z z dt z 0 0 0 0 t t Τ Τ Τ Τ Τ Τ Τ Τ Τ Τ Τ Τ Τ 1 2 Παράδειγμα: Στο F z t z z dt βρήκαμε 2,,,, t t z z 0 οπότε ; F z z t t z t0 t0 t z t t dt t 0 0 Τ t z z t t z z z Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 16

Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών : Βελτιστοποίηση σε Άπειρες Διαστάσεις Υπενθυμίζουμε το πρόβλημα βελτιστοποίησης και θεωρούμε την λύση του z * (t). 1 ότε F z F z C t, 0 t όπου η s t z t (t) να είναι τέτοια ώστε η z * (t)+ (t) να είναι z t0 z t αποδεκτή (admissible) δηλ. να ικανοποιεί την κατάλληλη από συνθήκες: z(t 0 ): καθορισμένο οπότε (t 0 )=0 R d z(t ): καθορισμένο οπότε (t )=0 R d z(t 0 ) και z(t ): καθορισμένα οπότε (t 0 ) = (t )=0 R d 0 min,, 1 0, t0 z C t t Παρομοίως, F z F z όπου (t) είναι αποδεκτή. Επομένως Fz ; Fz ; Fz ; 0 Κατά συνέπεια, αναγκαία συνθήκη για να ελαχιστοποιεί η z * (t) C 1 [t 0,t ] την F(z) σε σχέση με ολες τις z(t) C 1 [t 0,t ] που ικανοποιούν τις παραπάνω οριακ. συνθήκες είναι δf(z * ;)=0, για όλα τα αποδεκτά (t). Αυτό σημαίνει: Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 17 t F z t z t z t dt z t 0 είναι καθορισμένο.. μία από τις είναι καθορισμένο, είναι καθορισμένα

Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών : Βελτιστοποίηση σε Άπειρες Διαστάσεις Τ Τ t Τ d Τ F z ; t, z t, z t t t0, z t0, z t0 t0 t, z t, z t t, z t, z t t dt 0 z z z dt z που ισχύει για κάθε αποδεκτή (σύμφωνα με τα προηγούμενα) (t). Αυτό οδηγεί στις αναγκαίες συνθήκες βελτιστοποίησης της F(z): Εξισώσεις Euler-Lagrange: Οριακές συνθήκες (transversality conditions): Οι οριακές συνθήκες μπορεί να είναι Καθορισμένα z t z t : 0, zt zt t t z t0 z t0 t0 t0 z t 0, 0 z t zt zt0, t0 Ελεύθερο zt Ελεύθερο : 0, zt z z t 0 Παράδειγμα: Στο 1 2 F z t z z dt βρήκαμε t 2 t0 ; Από τις Ε-L: 3 0 0 z t z t t z 6 t0t z t0 t0 Αν π.χ Καθορισμένο Ελεύθερο : 0 Καθορισμένο 0, Ελεύθερο : z t0 z t0 t0 t0 0, z 0 t Καθορισμένο Ελεύθερο : z t z t t t 0, z 0 z t0, 0, 0 t t z z t 0 z t t 2 z t 2 3 t 2 2 z t t t z t 6 t 0 d 0 z dt z zz 0 z z 0 t zz, t zz, t Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 18 F z z t t z t t t z t t dt 0

Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών : Βελτιστοποίηση σε Άπειρες Διαστάσεις Το συναρτησιακό F(z) είναι : 1 1 κυρτό (convex) άν F z F z F z; z C t0, t καί αποδεκτή C t0, t αυστηρά κυρτό (strictly convex) άν είναι κυρτό και ισχύει 0 t 1 2 F z t z z dt 2 Παράδειγμα (συνεχιζόμενο): t 0 F z F z F z; t 0 t t, t Άρα F(z) : κυρτή 1 1 z C t0, t καί αποδεκτή C t0, t 0 Επειδή F z F z F z t t t t F(z): αυστηρά κυρτή ; 0, z t t t 2 t z t 3 2 Άρα η λύση ελαχιστοποιεί την F(z). Δηλαδή 6 0 t 2 1 2 z t t 2 t z t arg min t z z dt 3 t 0 1 6 z C t0, t 2 t0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 19

Αν στο πρόβλημα της βελτιστοποίησης ενός min F z 1 zc t0 συναρτησιακού F(z) συμπεριληφθούν και n, t t, z t, z tdt t0 st. Οριακές συνθήκες σε t 0 ή t ισοτικοί περιορισμοί της μορφής g,,. i t z t z t g1 t, z t, z t. i1,, n τότε το μαθηματικό πρόβλημα g2 t, z t, z t βελτιστοποίησης γίνεται: G t z z gn t, z t, z t 1 Εισάγουμε διάνυσμα πολλαπλασιαστών Lagrange n διαστάσεως n, ίδιας με του G(z), του διανύσματος ισοτικών περιορισμών. Σχηματίζουμε την επαυξημένη συνάρτηση ολοκλήρωσης (augmented integrand unction) t, z, z t, z, z G t, z, z t, z, z g t, z, z g t, z, z Παρατηρούμε ότι αν τότε Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών : Βελτιστοποίηση σε Άπειρες Διαστάσεις & Ισοτικοί Περιορισμοί t t t t C t t, 1 2 0 F z F z z z 1 1 arg min,, zc t0, t ορ.συνθ. t t 0 t,, 0 z t F z t z t z t dt 1 n n Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 20

Αν z τέτοιο ώστε : τότε Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών : Βελτιστοποίηση σε Άπειρες Διαστάσεις & Ισοτικοί Περιορισμοί 0 G t, z t, z t G t, z t, z t t t, t = = 1 Αν το z* ελαχιστοποιεί την F z, τότε ελαχιστοποιεί και την F z για αυτά τα z C t, 0 t που ικανοποιούν τις οριακές συνθήκες και ανήκουν στο σύνολο των σημείων z όπου ισχύει G t, z t, z t G t, z t, z t t t. 0, t Από προηγουμένως γνωρίζουμε ότι αναγκαία συνθήκη για να ελαχιστοποιεί η z * (t) C 1 [t 0,t ] την σε σχέση με ολες τις z(t) C 1 [t 0,t ] που ικανοποιούν τις οριακές συνθήκες είναι Fz ; 0, για όλα τα αποδεκτά (t). Το αντίστροφο (αν δηλ. τότε το z* ελαχιστοποιεί την ) ισχύει μόνο άν είναι η κυρτή, κάτι που εξαρτάται από το λ(t). Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 21

Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών : Βελτιστοποίηση σε Άπειρες Διαστάσεις Από τα προηγούμενα, καταλήγουμε στις αναγκαίες συνθήκες βελτιστοποίησης της : d Εξισώσεις Euler-Lagrange: 0 t t0, t z dt z Οριακές συνθήκες (transversality conditions): Εξίσωση ισοτικών περιορισμών: G t, z t, z t 0 t t, t Η λύση (z*(t), λ * (t)) αυτών καταδεικνύει άν η είναι αυστηρά κυρτή. Άν ισχύει αυτό τότε η λύση z * (t) ελαχιστοποιεί την F(z) σε σχέση με ολες τις z(t) C 1 [t 0,t ] που ικανοποιούν τόσο τις οριακές συνθήκες όσο και τον ισοτικό περιορισμό. Πως ελέγχεται όμως η αυστηρή κυρτότητα της? Το βασικό εργαλείο είναι η χρήση παραγώγων 2 ης τάξης (Hessian). Όμως... zz 0 z z 0 zz, t zz, t 0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 22

Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών : Βελτιστοποίηση σε Άπειρες Διαστάσεις & Ισοτικοί Περιορισμοί Αν οι ισοτικοί περιορισμοί είναι γραμμικοί:,, 0 G t, z, z G t, z, z G t z t z t C t z t e t D t z t C t D t z z Για να θεωρήσουμε την μεταβολή Gateuax του συναρτησιακού F(z) z G t z z t z,, G t z z t,, C t t D t Dt t G Τ Τ Προηγουμένως D tdt C t t Dt C C D D Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 23

Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών : Βελτιστοποίηση σε Άπειρες Διαστάσεις & Ισοτικοί Περιορισμοί Αναλύοντας την «κυρτότητα» της : Dt Ισότητα μόνο όταν (t)=0 t[t 0,t ] Για την περίπτωση γραμμικών ισοτικών περιορισμών η (αυστηρή) κυρτότητα της F(z) συνεπάγεται την (αυστηρή) κυρτότητα της κάθε διάνυσμα πολλαπλασιαστή Lagrange λ(t). Μέχρι στιγμής... Πεπερασμένες Μη- Περιορισμένο Διαστάσεις Ισοτικοί Περιορισμοί Dt ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ Dt Μη- Περιορισμένο Άπειρες Διαστάσεις Dt για Ισοτικοί Περιορισμοί Προηγουμ. Διαφάνεια 24

Έλεγχος «Ελάχιστης Ενέργειας» Σε πολλές εφαρμογές, τόσο της αεροδιαστημικής όσο και άλλων μορφών της τεχνολογίας μεταφορών κλπ, η βελτιστοποίηση επικεντρώνεται στο ζήτημα της ενέργειας κατά την επίτευξη δράσεων ενός συστήματος. Έτσι, θεωρούμε : διάταξη που περιγράφεται από ένα ΓΧΑΣ: λειτουργικές προδιαγραφές που απαιτούν δεδομένες αρχική & τελική κατάσταση: δείκτη λειτουργικής απόδωσης που αφορά ενέργεια: x t Ax t Bu t x t x x t x 0 0 t 2 1 J u t dt 2 t0 Η απόφασή μας σχετίζεται με το σύνθετο διάνυσμα : z t x t u t Με βάση αυτό, η ΔΕ του συστήματος γίνεται ισοτικός περιορισμός: Για να εφαρμοσθεί η προηγηθείσα ανάλυση, πρέπει να θεωρήσουμε την «απο- -δεκτή διεύθυνση» t t t κατ αντιστοιχία προς το z t x t u t Επειδή 0 0 0, 0 0 0 0 0, z t x u t z t t x u t t z t x u t, z t t x u t t συνάγεται ότι: t0 t t0 t 0,, : ελεύθερα Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 25

Έλεγχος «Ελάχιστης Ενέργειας» Εισάγοντας τον πολλαπλασιαστή Lagrange t 1 t n t ο επαυξημένος ΔΛΑ είναι Για να εξετάσουμε την κυρτότητά του, θεωρούμε την A t u B t Οπότε η μεταβολή Gateaux Θα χρησιμοποιηθούν παρακάτω Jz:κυρτή Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 26

Έλεγχος «Ελάχιστης Ενέργειας» Από προηγουμένως Η ισότητα δεν ισχύει για κάθε απόδεκτό (t) αλλά μόνο γιά. Άρα η J z ΔΕΝ είναι αυστηρά κυρτή.. t0 t 0 z. t, z t t ικανοποιούν την = 0 = Έστω z t, t t 0 τέτοια ώστε A tt 0 t e t0 t 0 t t0, t Άρα αν η z*(t) ίκανοποιεί Jz; 0 την γιά όλες τις αποδεκτές κατευθύνσεις (t), και τον ισοτικό περιορισμό τότε η z * (t) = [ x * (t) u * (t) ] ελαχιστοποιεί την J(z) επι όλου του συνόλου των z(t) που ικανοποιούν τις x t x x t x και x t Ax t Bu t 0 0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 27 = 0

Έλεγχος «Ελάχιστης Ενέργειας» Άρα αν η z * (t) = [ x * (t) u * (t) ] ίκανοποιεί Jz; 0 την γιά όλες τις αποδεκτές κατευθύνσεις (t), και τον ισοτικό περιορισμό τότε η u * t (t) είναι η λύση ελάχιστης ενέργειας, δηλ ελαχιστοποιεί την 1 2. J u u t dt και η x * (t) είναι η αντίστοιχη πορεία του συστήματος. 2 t 0 Για την ανεύρεση της μορφής των λύσεων στρεφόμαστε προς τις αναγκαίες συνθήκες, αρχικά στις Εξισώσεις Euler-Lagrange: d Τ Τ 0 t t0, t z dt z zz Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 28

Έλεγχος «Ελάχιστης Ενέργειας» Στη συνέχεια, θεωρούμε από τις αναγκαίες συνθήκες, την (Δ.Ε.) εξίσωση ισοτικών περιορισμών : x t Ax t Bu t που έχει λύση: Αν ληφθεί υπόψη η μορφή της βέλτιστης εισόδου: Αν «θυμηθούμε» την Controlability Grammian η οποία, επειδή το σύστημα είναι πλήρως ελέγξιμο, είναι αντιστρέψιμη γιά t > t 0 τότε Αυτό μαζι με την Παρατηρούμε ότι = Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 29

Έλεγχος «Ελάχιστης Ενέργειας» Τέλος, θεωρούμε από τις αναγκαίες συνθήκες, τις οριακές συνθήκες: 0 z z zz, t zz, t Επειδή είναι το 0 καθορισμένο, και το z t ελεύθερο: Που οδηγεί στις z t 0 z zz, t 0 Αυτές ισχύουν πάντοτε γιατί η ΔΕΝ εξαρτάται από το u Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 30

Έλεγχος «Ελάχιστης Ενέργειας»: Παράδειγμα Αναζητώντας την λύση ελάχιστης ενέργειας, αρχικά θεωρούμε τον πίνακα μεταβατικής απόκρίσης: Η Controllability Grammian είναι Ο έλεγχος ελάχιστης ενέργειας είναι Δηλαδή = At A t t0 x t e x e Bu d 0 t t 0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 31

Έλεγχος «Ελάχιστης Ενέργειας»: Παράδειγμα Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 32

Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής Σε πολλές εφαρμογές επιθυμούμε η βελτιστοποίηση να περιλαμβάνει εκτός από την ενέργεια και μία μορφή «επιβάρυνσης» μεγάλων καταστάσεων. Επίσης, η τελική κατάσταση δεν απαιτείται να είναι δεδομένη, απλά επιβαρύνεται το «μέγεθός» της. Έτσι οδηγούμαστε στο γνωστό πρόβλημα του Γραμμικού Τετραγωνικού Ρυθμιστή (Linear Quadratic Regulator LQR) : Λειτουργικές προδιαγραφές που απαιτούν δεδομένη αρχική κατάσταση: Η ανάλυση ξεκινάει με τη θεώριση μιάς νέας συνάρτησης, της Χαμιλτονιανής (Hamiltonian Function) : Διάταξη που περιγράφεται από ένα ΓΧΑΣ: x t Ax t Bu t Δείκτης λειτουργικής απόδωσης: t 1 1 J u x t S xt x t Q xt u t R u t dt 2 2 xt x t0 Q Q 0, R R 0, S S 0,,,, h t x u t x u t A x B u 0 0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 33

Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής Κατα συνέπεια η επαυξημένη συνάρτηση ολοκλήρωσης είναι Για τον LQR είναι Αν ορίσουμε το σύνθετο διάνυσμα απόφασης z t x t u t, για την εύρεση της μεταβολής Gateuax του συναρτησιακού Jz; στο z(t) ως προς την «κατεύθυνση» (t) C 1 [t 0, t ] χρειαζόμαστε τα Τ Τ Τ Τ Τ Τ Τ Τ Τ Θα χρησιμοποιηθούν & παρακάτω = Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 34

Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής + - = Επομένως: Η J z είναι κυρτή, και Ισότητα ισχύει όταν και μόνο όταν t[t 0, t ] Από τον ορισμό του προβλήματος... Προφανώς δεν μπορούμε να βγάλουμε παρόμοιο συμπέρασμα για το t οπότε ισότητα ισχύει για οιαδήποτε «κατεύθυνση» t t 0 που ικανοποιεί τις t Q t 0 t t, t, t S t 0. 0 Επομένως δεν έχει αποδειχθεί (ακόμη) η αυστηρή κυρτότητα της J z. Q Q 0, R R 0, S S 0 0 t 0 t t, t Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 35

Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής Έστω z t x t u t, t t 0. Προφανώς z t0 x0 u t 0, z t0 t0 x0 u t0 t 0. Οπότε t 0 0 z. t, z t t ικανοποιούν την = 0 = A tt 0 t e t0 t 0 t t0, t Άρα αν η z*(t) ίκανοποιεί Jz; 0 την γιά όλες τις αποδεκτές κατευθύνσεις (t), και τον ισοτικό περιορισμό τότε η z * (t) = [ x * (t) u * (t) ] ελαχιστοποιεί την J(z) επι όλου του συνόλου των z(t) που ικανοποιούν τις x t x και x t Ax t Bu t δηλαδή η u * (t) είναι η λύση του LQR, δηλ ελαχιστοποιεί την 0 0 = 0 η x * (t) είναι η αντίστοιχη πορεία του συστήματος. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 36

Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής Για την ανεύρεση της μορφής των λύσεων στρεφόμαστε προς τις αναγκαίες συνθήκες, αρχικά στις Εξισώσεις Euler-Lagrange: d 0 t t0, t z dt z zz Τ Από την προηγούμενη σελίδα, η z*(t) πρέπει να ίκανοποιεί την γιά όλες τις αποδεκτές κατευθύνσεις (t) Τ R > 0 J z; 0 = 0 = Δεδομένου ότι t 0 0 x : ελεύθερο x + ξ : ελεύθερο ξ : ελεύθερο Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 37

Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής x t Ax t Bu t wo Point Boundary Value Problem (PBVP) : Η x(t) εχει οριακή συνθήκη στο t 0 ενώ η λ(t) εχει οριακή συνθήκη στο t Πως να λύσουμε την ΔΕ? Με δεδομένο το x 0, αν επιλέξουμε λ 0 : όταν ολοκληρώσουμε προς τα εμπρός την ΔΕ, σε χρόνο t τα x, λ θα ικανοποιούν? Αν επιλέξουμε x και επομένως : όταν ολοκληρώσουμε προς τα πίσω την ΔΕ, σε χρόνο t 0 θα ισχύει x(t 0 ) = x 0? Ο περιορισμός μας υποδεικνύει την πιθανή αναζήτηση λύσεων της μορφής λ(t) = P(t) x(t) όπου P(t ) = S. Μητρωική Εξίσωση Riccati : Επιλύεται «προς τα πίσω», από t προς t 0. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 38

Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής Επίλυση Riccati Ρ(t) λ(t) = P(t) x(t) Άρα x t Ax t Bu t = = = 1 2 J x t Pt xt 0 0 0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 39

Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής: Επίλυση της Riccati H μητρωική ΔΕ Riccati εισάγει δυσκολία στην ολοκλήρωσή της λόγω του μη-γραμ. Όρου Θεώρημα: Αν οι πίνακες Χ(t), Λ(t) R n n είναι η λύση της γραμμικής ΔΕ Πίνακας Hamilton τότε ο πίνακας είναι η επίλυση της μητρωική ΔΕ Riccati Κάθε χρονική στιγμή t, o υπολογισμός της συνάρτησης εισόδου προαπαιτεί τον υπολογισμό του πίνακα κέρδους (κάθε χρονική στιγμή t). Αυτός με την σειρά του προαπαιτεί μεν τον υπολογισμό των Χ(t) & Λ(t) οι οποίοι, όπως είδαμε, υπολογίζονται σε κλειστή μορφή μέσω της αλλά ο υπολογισμός του απαιτεί τη αντιστροφή του Χ(t), κάθε στιγμή t... Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 40

Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής: Επίλυση της Riccati Παράδειγμα-1 Έχουμε το ΓΧΑΣ και Θέλουμε να βρούμε την είσοδο ελέγχου που ελαχιστοποιεί τον ΔΛΑ Πρόφανώς, πρόκειται για πρόβλημα LQR με Για τον πίνακα Hamilton Αυτό οδηγεί στην Απ όπου λαμβάνουμε Η ίδια λύση θα ληφθεί αν θεωρήσουμε και επιλύσουμε την Riccati Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 41

Επομένως Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής: Επίλυση της Riccati - Παράδειγμα-1 x u u K x x P x K P Και το σύστημα προσομμοιώνεται γιά σ = 0,1,10. Η απόκριση φαίνεται στο σχήμα Θα επανέλθουμε σε αυτό το παράδειγμα... Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 42

Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής: Επίλυση της Riccati Επειδή για τον ισχύει,τότε για τον Hamilton ισχύει Επομένως οι Η και Η Τ έχουν τις ίδιες ιδιοτιμές. Η αναστροφή δεν επηρεάζει τις ιδιοτιμές. Οι Η και Η έχουν τις ίδιες ιδιοτιμές Αν ΗR (2n) (2n), λ σ(η) λ σ(η) Αν λc, λ σ(η) -λ σ(η) Αν ΗR (2n) (2n), λ σ(η) λ,-λ,-λ σ(η) Αν δεν υπάρχουν ιδιοτιμές του Η που είναι αμιγώς φανταστικές τότε οι 2n ιδιοτιμές του μπορούν να «χωρισθούν» σε n ιδιοτιμές που έχουν αυστήρά αρνητικό πραγματικό μέρος, και n ιδιοτιμές που έχουν αυστήρά θετικό πραγματικό μέρος Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 43

Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής: Επίλυση της Riccati Έτσι, με κατάλληλο μετασχηματισμό ομοιότητας Τ λαμβάνουμε την κανονική μορφή Jordan Αντιστοιχεί σε ιδιοτιμές με αρνητικό πραγματικό μέρος Αντιστοιχεί σε ιδιοτιμές με θετικό πραγματικό μέρος Αν ο Τ γραφεί στα 4 block n n που τον συνιστούν τότε μέσω του μετασχηματισμού στην μητρωική ΔΕ λαμβάνουμε και στην οριακή συνηθήκη Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 44

Ο Γραμμικός Τετραγωνικός Ρυθμιστής: Επίλυση της Riccati Παράδειγμα-2 Συνεχίζουμε στο προηγούμενο παράδειγμα. Θεωρόντας το μετασχηματισμό ομοιότητας... λαμβάνουμε την κανονική μορφή Jordan = Που είναι ακριβώς ότι βρήκαμε και προηγουμένως και θα χρησιμοποιηθεί και παρακάτω. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 45

LQR Μόνιμης Κατάστασης Αν στο ΔΛΑ του LQR Θέσουμε τότε Δεδομένου ότι t 1 1 J u x t S xt x t Q xt u t R u t dt 2 2 xt0 x0 t0 Q Q 0, R R 0, S S 0 t0 0, S 0, t 0 t 0 t Μπορεί να δειχθεί ότι αυτή η λύση ικανοποιεί την αλγεβρική εξίσωση Ricatti: που προκύπτει από τη μητρωική ΔΕ Riccati στη μόνιμη κατάσταση. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 46

LQR Μόνιμης Κατάστασης Από το P προκύπτει το αντίστοιχο κέρδος και η εξίσωση βελτίστου ελέγχου, τα οποία είναι χρονικά αμετάβλητης φύσης. Το σύστημα κλειστού βρόχου είναι Κατά συνέπεια, το συνολικό δομικό διάγραμμα είναι : Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 47

LQR Μόνιμης Κατάστασης Καταλήγουμε με ένα βασικό θεώρημα. Πριν το παρουσιάσουμε χρειάζεται να ορίσουμε και ξεκαθαρίσουμε κάποιες έννοιες: Σύστημα xt Ax t Bu t xt x 0 0 ΔΛΑ: Το Q μπορεί να αναλυθεί ως Q = C C όπου ο C R q n, όπου ο C είναι ull-row rank. Q Q 0, R R 0 q rank Q n Θεώρημα: Αν το σύστημα και ο ΔΛΑ είναι τέτοια όπου το ζεύγος (Α,Β) είναι ελέγξιμο και το ζεύγος (Α,C) είναι παρατηρήσιμο, τότε η αλγεβρική Riccati έχει μοναδική θετικά ορισμένη λύση P και το σύστημα κλειστού βρόχου είναι ασυμπτωτικά ευσταθές. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 48

LQR Μόνιμης Κατάστασης : Παράδειγμα Συνεχίζουμε με το προηγουμένως χρησιμοποιηθέν ΓΧΑΣ αλλά τώρα ορίζοντας ΔΛΑ : Από προηγουμένως έχουμε βρει: Προφανώς 2 tt 2 0 1 t t e e P t P 1 t t 1 Α=0, Β=1(Α,Β) : ελέγξιμο C Q 1(Α,C) : παρατηρήσιμο Αλγεβρική Riccati: Επιλέγεται η θετική («ορισμένη») λύση Καταλήγουμε στο ασυμπτωτικά ευσταθές σλυστημα κλειστού βρόχου: u t x t Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 49

Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 50