Το Πρόβλημα Ελευθέρων Αρχικών & Τελικών: Χρόνου & Οριακών Συνθηκών

Transcript

1 ο Πρόβλημα Ελευθέρων Αρχικών & ελικών: Χρόνου & Οριακών Συνθηκών Θεωρούμε το πρόβλημα της εύρεσης ακροτάτων του t συναρτησιακού f F = F(z) = f ( z( t), z ( t),t) dt Θεωρούμε την «γενική» περίπτωση όπου τόσοι οι χρόνοι, όσο και οι οριακές συνθήκες z i = z( ), z f = z( t ) f της συνάρτησης z(t), ΔΕΝ ειναι καθορισμένοι. Θα δούμε βέβαια πως οι συνθήκες ακροτάτου που θα εξαχθούν θα εξειδικεύονται κατάλληλα, αν κάποια από τα παραπάνω είναι καθορισμένα (μικτές συνθήκες) Ο τρόπος προσέγγισης θα είναι παρόμοιoς αλλα όχι ταυτόσημος με αυτόν που χρησιμοποιήθηκε προηγουμένως: Θα είναι απλούστερος (δηλ. χωρίς χρήση Διαφορικών Gateaux) μεν, Αλλά δεν θα επιτρέπει την εύκολη απόδειξη για το τι είδους ακρότατο είναι. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 45

2 ο Πρόβλημα Ελευθέρων Αρχικών & ελικών: Χρόνου & Οριακών Συνθηκών Αλήθεια ΓΙΑΙ μας ενδιαφέρει κάτι τέτοιο?,x Ντετερμινιστικά Καθορισμένη ροχιά Σελήνης,x ΓΗ Μετάβαση από Γή στη Σελήνη με Ελάχιστη Ενέργεια min P( x( t), x ( t),t) dt Ισχύς Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 46

3 ο Πρόβλημα Ελευθέρων Αρχικών & ελικών: Χρόνου & Οριακών Συνθηκών Υπενθυμίζουμε την σχέση μεταξύ «ολικής μεταβολής» και «πρώτης μεταβολής» ΔF( z,δ z) = δ F( z,δ z) + g( z,δ z) δ z +δ Προφανώς οπότε δ F = ΔF = f ( z( t), z ( t),t) + δ z + δ z z dt + f ( z( t), z ( t),t) + z δ z + δ z dt + +δ +δ + f ( z( t), z ( t),t) + δ z + δ z z dt f ( z( t), z ( t),t) dt = +δ = f ( z( t), z ( t),t) + δ z + δ z z dt + δ z + δ z z dt + +δ + f ( z( t), z ( t),t) + δ z + δ z z dt = = f z( t), z ( t),t + + f z( t), z ( t),t f ( z( t) + δ z( t), z ( t) + δ z ( t),t) dt f ( z( t), z ( t),t) dt +δ + z z δ z + δ z + δ z δ + δ z + δ z z dt + δ z δ Όροι 2 ας τάξεως. Αμελούνται Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 47

4 ο Πρόβλημα Ελευθέρων Αρχικών & ελικών: Χρόνου & Οριακών Συνθηκών Οπότε δ F = και επειδή f z( t), z ( t),t δ z dt = δt ti i + δ z + δ z z dt + f z( t), z ( t),t δ z d dt δ z dt δ παίρνουμε δ F = z d dt δ z dt + f z( t), z ( t),t Πρέπει να παρατηρήσουμε ότι για το τελικό σημείο- χρόνο δ + δ z f z( t), z ( t),t δt ti i + δ z δ z f = δ z + z δ δ z( ) = δ z f z δ Οπότε η συνθήκη ακροτάτου γίνεται δ z i = δ z + z δ δ z( ) = δ z i z δ δ F = 0 = z d dt δ z dt + f z( t), z ( t),t f z( t), z ( t),t z δ + t= δ z i t= z Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 48 t= δ + t= δ z f

5 Euler: ο Πρόβλημα Ελευθέρων Αρχικών & ελικών: Χρόνου & Οριακών Συνθηκών z d dt = 0 Ανάλυση για τις ΕΛΙΚΕΣ οριακές συνθήκες, z f : ανεξάρτητα μεταξύ τους Ελεύθερο Καθορισμένο z Ελεύθερο Καθορισμένο f z( t), z ( t),t f z( t), z ( t),t z = 0 t= z = 0 t= = 0 z( ) = z f t= = 0 t= z( ) = z f, z f : εξαρτημένα μεταξύ τους z = m( t) δ z = m( t) δt z( ) = m( ) f z( t), z ( t),t H ίδια ανάλυση γίνεται και για τα, z i (ΑΡΧΙΚΕΣ οριακές συνθήκες) z + m t = 0 t= Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 49

6 Παράδειγμα late x d dt x = 0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 50

7 Παράδειγμα late x t= =2 = 0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 51

8 Παράδειγμα late f x( t), x ( t),t x x t= = 0 x( ) = z f = 5 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 52

9 Βελτιστοποίηση σε Άπειρες Διαστάσεις & Ισοτικοί Περιορισμοί Έστω ότι θελήσουµε να βρούµε την συνάρτηση z*(t) που προκύπτει από την ελαχιστοποίση: 1 min x C 1 0,1 [ ] 0 ( x 2 + u 2 ) dt = 0 x( 1) = 1 x = u x 0 Δηλαδή, στα προβλήµατα βελτιστοποίησης συναρτησιακών F(z) που θεωρήσαµε προηγουµένως (µε ελεύθερες/περιορισµένες αρχικές/τελικές συνθήκες). Μπορούν να συµπεριληφθούν και n ισοτικοί περιορισµοί της µορφής g i (z,z,t)=0 i=1,,n, οπότε το σχετικό µαθηµατικό πρόβληµα βελτιστοποίησης γίνεται: min F( z) = f 1 t, z( t), z( t) dt z C t t st. 0, f t 0 Οριακές συνθήκες σε t 0 ή/και g1 t, z( t), z ( t) g t, z( t), z( t) G( t z z) " gn t, z( t), z( t) 2,, = = 0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 53

10 Βελτιστοποίηση σε Άπειρες Διαστάσεις & Ισοτικοί Περιορισμοί Έχοντας το πρόβληµα : min,, 1 0, f t0 z C t t st. F z = f t z t z t dt Οριακές συνθήκες σε t 0 ή/και g1 t, z( t), z ( t) g t, z( t), z( t) G( t z z) " gn t, z( t), z( t) 2,, = = 0 1 Εισάγουµε διάνυσµα πολ/στών Lagrange = n διαστάσεως n, ίδιας µε του G(t,z,z), του διανύσµατος ισοτικών περιορισµών. λ t λ t λ t λ t C t t, f Σχηµατίζουµε την επαυξηµένη συνάρτηση ολοκλήρωσης (augmented integrand function) (,, ) = (,, ) + λ (,, ) = (,, ) + λ (,, ) + # λ (,, ) f t z z " f t z z " G t z z " f t z z " g t z z " g t z z " 1 1 n n Και θεωρούµε ένα νέο πρόβληµα ελαχιστοποίησης, της µορφής που έχουµε ήδη θεωρήσει: z ( t) = arg min F ( z) = f t, z( t), z( t) dt 1 " z C t0, tf ορ.συνθ. t0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 54

11 Βελτιστοποίηση σε Άπειρες Διαστάσεις & Ισοτικοί Περιορισμοί Ένεκα ελαχιστοποιήσης, αν z ( t) = arg min F ( z) = f t, z( t), z( t) dt 1 z C t0, tf ορ.συνθ. " ότε t ( ) F z > F z z z 0 Αν z(t) τέτοιο ώστε : Gt, z t, z t = G t, z t, z t t t, τότε 0 = = Αν η συνάρτηση z* ελαχιστοποιεί την F z, τότε ελαχιστοποιεί και την F z από όλες τις 1 συναρτήσεις z C t, 0 t f που: (1) ικανοποιούν τις οριακές συνθήκες και (2) ανήκουν στο σύνολο των συναρτήσεων z(t) όπου ισχύει Gt, z( t), z ( t) = G t, z ( t), z ( t) t t0,. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 55

12 Βελτιστοποίηση σε Άπειρες Διαστάσεις & Ισοτικοί Περιορισμοί Από προηγουµένως γνωρίζουµε ότι αναγκαία συνθήκη για να ελαχιστοποιεί η z * (t) C 1 [t 0, ] την σε σχέση µε ολες τις z(t) C 1 [t 0, ] που ικανοποιούν τις οριακές συνθήκες είναι, για όλα τα αποδεκτά υ(t), να ισχύει δf z ( υ) ; = 0 ο αντίστροφο (αν δηλ. τότε το z* ελαχιστοποιεί την ) ισχύει μόνο άν είναι η κυρτή, κάτι που εξαρτάται από το λ(t). Με βάση σκεπτικό ανάλογο των προηγουµένων παραγραφών, οι συνθήκες λύσης του προβήµατος εύρεσης ακροτάτων γι αυτή τη περίπτωση: Είναι παρόµοια µε αυτές που έχουν ήδη παρουσιασθεί, αναφέρεται όµως στις F ( z), f z Συµπεριλαµβάνει και την ικανοποίηση της συνάρτησης ισοτικών περιορισµών G t,z, z Δηλαδη... = 0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 56

13 ο Πρόβλημα Ελευθέρων Αρχικών & ελικών: Χρόνου & Οριακών Συνθηκών Ανάλυση για τις ΕΛΙΚΕΣ οριακές συνθήκες f d f Euler: = 0 z dt z tf tf, zf : ανεξάρτητα μεταξύ τους z(tf) Ελεύθερο f f ( z ( t ), z" ( t ),t ) z" =0 Ελεύθερο " z t=t f f Καθορισμένο f ( z ( t ), z" ( t ),t ) z" z" = 0 t=t Καθορισμένο z" =0 tf t= z = zf tf z" =0 t= z = zf tf, zf : εξαρτημένα μεταξύ τους z = m ( t ) δ z = m ( t ) δ t f z tf = m tf f f f ( z ( t ), z" ( t ),t ) z" + m ( t ) =0 " " z z t=t f H ίδια ανάλυση γίνεται και για τα ti, zi (ΑΡΧΙΚΕΣ οριακές συνθήκες) Όπως και προηγουμένως αλλά τώρα έχουμε f. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 57

14 Συνθήκες για το Πρόβλημα Ισοτικών Περιορισμών: Παράδειγμα Να ευρεθούν τα ακρότατα της 1 J ( z ) = ( x 2 + u 2 ) dt 0 x ( 0 ) = 0 x (1) = 1 x = u Θεωρούμε τη συνάρτηση- διάνυσμα z = x u και γραφουμε την επαυξημένη συνάρτηση 1 f ( z, z",t ) = ( x 2 + u 2 ) + λ ( x" u ) 2 Άρα πρέπει να ικανοποιούνται οι εξισώσεις Ισοτικών περιορισμών G ( t, z, z ) = x u = 0 και Euler x ( t ) = c1et + c2 e t x x = 0 x u = 0 x λ = 0 d =0 z dt z" " d " =0 x λ =0 x dt x " " f d f =0 u λ =0 u dt u Παρατηρούμε ότι t i = 0, t f = 1 (καθορισμένοι αρχικοί και τελικοί χρόνοι) και. z 1 ( 0 ) = x ( 0 ) = 0 z 1 ( 1 ) = x ( 1 ) = 1 x ( t ) = et e t e e 1 t t e + e. z 2 ( 0 ) = u ( 0 ) = z 2 ( 1 ) = u ( 1 ) = free άρα u t = x t = ( =0 " u Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ t=ti =0 )( u" ) =0 t= =1 () () e e 1 58

15 Βελτιστοποίηση σε Άπειρες Διαστάσεις & Ισοτικοί Περιορισμοί Πώς οµως µπορούµε να είµαστε σίγουροι ότι το ακρότατο (z*(t), λ * (t)) ελαχιστοποιεί και την F(z) σε σχέση µε ολες τις z(t) C 1 [t 0, ] που ικανοποιούν τόσο τις οριακές συνθήκες όσο και τον ισοτικό περιορισµό??? Αυτό ισχύει µόνο αν η είναι αυστηρά κυρτή. Πως ελέγχεται όµως η αυστηρή κυρτότητα της? ο βασικό εργαλείο είναι η χρήση παραγώγων 2 ης τάξης (Hessian). Όµως σε κάποιες περιπτώσεις µπορούµε να δείξουµε απ ευθείας π.χ. Αν οι ισοτικοί περιορισµοί είναι γραµµικοί... Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 59

16 Ισοτικοί Περιορισμοί: Κυρτότητα Η Γραμμική Περίπτωση Αν οι ισοτικοί περιορισµοί είναι γραµµικοί δηλ.: Gtzz,, Gtzz,, Gt, z( t), z ( t) = C( t) z( t) + e( t) D( t) z ( t) = 0 = C( t) = D t z z Για να θεωρήσουµε την µεταβολή Gateaux του συναρτησιακού F(z) z G tzz t z (,, ) λ C ( t) λ ( t) G tzz t (,, ) λ Dt λ D t t λ Προηγουμένως f = f +λ G Υπενθύμιση G = G λ λ D ( t) Dt λ ( t) C t t Dt Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 60

17 Ισοτικοί Περιορισμοί: Κυρτότητα Η Γραμμική Περίπτωση Αναλύοντας την «κυρτότητα» της : Dt Ισότητα µόνο όταν υ(t)=0 t [t 0, ] Dt Dt Προηγουµ. Διαφάνεια Dt Για την περίπτωση γραµµικών ισοτικών περιορισµών η (αυστηρή) κυρτότητα της F(z) συνεπάγεται την (αυστηρή) κυρτότητα της κάθε διάνυσµα πολλαπλασιαστή Lagrange λ(t). Μέχρι στιγµής... Πεπερασμένες Μη- Περιορισμένο Διαστάσεις Ισοτικοί Περιορισμοί ΒΕΛΙΣΟΠΟΙΗΣΗ Μη- Περιορισμένο Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ Άπειρες Διαστάσεις για Ισοτικοί Περιορισμοί 61