Mικρό σφαιρίδιο µάζας m, είναι στερεωµένο στην µια άκρη δύο ακριβώς όµοιων λεπτών συρµάτων, των οποίων οι άλλες άκρες συνδέονται προς δύο σταθερά σηµεία Α και Β λείου ορι ζόντιου δαπέδου που βρίσκονται σε απόσταση L µεταξύ τους, όπως φαίνεται στο σχήµα. Το σφαιρίδιο αρχικά ισορροπεί επί του δαπέ δου µε τα σύρµατα να είναι αρκετά τεντωµένα και κάποια στιγµή εκτρέπεται κάθετα προς την ΑΒ κατά x, µε x <<L και στην συνέχεια αφήνεται ελεύθερο. i) Εάν κατά την κίνηση του σφαιριδίου η τάση κάθε σύρµατος διατη ρεί περίπου σταθερό µέτρο ίσο µε Q, να δείξετε ότι η κίνηση αυτή είναι αρµονική ταλάντωση. ii) To σφαιρίδιο κινούµενο εκ της αρχικής του θέσεως συναντά κά ποια στιγµή στην θέση ισορροπίας του ένα ακίνητο σφαιρίδιο µάζας m/ µε το οποίο συγκρούεται µετωπικά και ελαστικά. Να εξετάσετε την περαιτέρω κίνησή του και να βρείτε την εξίσωση της κίνησης αυτής. Να θεωρήσετε ως θετική φορά επί της τροχιάς του σφαιριδίου την φορά από την θέση ισορροπίας του προς την αρχική του θέση. ΛΥΣΗ: i) H θέση ισορροπίας του σφαιριδίου είναι το µέσον Ο της ευθείας ΑΒ, διότι όταν το σφαιρίδιο αφεθεί στο Ο θα δέχεται από τα τεντωµένα σύρµατα αντίθετες δυνάµεις, µε αποτέλεσµα να µένει ακίνητο στην θέση αυτή. Όταν το σφαιρίδιο εκτραπεί από το Ο κάθετα προς την ΑΒ, οι δυνάµεις Q 1, Q από τα σύρµατα λόγω της συµµετρίας τους ως προς την µεσοκάθετο θα δίνουν συνι σταµένη δύναµη F " µε κατεύθυνση προς το Ο, που σηµαίνει ότι το σφαιρίδιο Σχήµα 1 θα κινείται επί της µεσοκαθέτου. Εξετάζοντας το σφαιρίδιο σε µια τυχαία θέση Μ στην οποία η αποµάκρυνσή του από το Ο είναι x παρατηρούµε ότι το βάρος
του εξουδετερώνεται από την κατακόρυφη αντίδραση του λείου οριζόντιου δαπέδου, ενώ η F " έχει µέτρο που δίνεται από την σχέση: F " = Q 1 + Q 1 + Q 1 Q #$%& = Q + Q + Q #$%& F " = Q ( 1 + #$%& ) = Q ( #$% & ) = Q#$%& Όµως από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΟΜ έχουµε: "#$ = x AM = x L + x % x L () διότι x <<L. Έτσι η γράφεται: F " # Qx L (3) Eπειδή ως θετική φορά επί της µεσοκάθετης ελήφθη από το Ο προς το Μ, η αλ γεβρική τιµή της συνισταµένης δύναµης που δέχεται το σφαιρίδιο στην θέση Μ είναι: (3) F (x) = -F "# F (x) " - Qx " -Dx (4) L µε D=Q/L. H σχέση (4) εγγυάται ότι η κίνηση του σφαιριδίου επί της µεσο κάθετης είναι αρµονική ταλάντωση µε κέντρο ταλάνωσης την θέση ισορροπίας του Ο, το πλάτος της είναι x η δε σταθερά ταλάντωσης είναι Q/L. Τέλος η γωνιακή συχνότητα ω της ταλάντωσης είναι: = D m = Q ml (5) ii) To σφαιρίδιο κινούµενο εκ της αρχικής του θέσεως φθάνει στην θέση ισορρο πίας του Ο µε ταχύτητα v της οποίας η αλγεβρική τιµή είναι -ωx και αµέσως µετά την την κρούση αποκτά ταχύτητα v, της οποίας η αλγεβρική τιµή δίνε ται από την σχέση: Σχήµα # v = -x " m - m/ & # % ( = -x $ m + m/ " m/ & % ( = - x " ' $ 3m/' 3 (6)
Επειδή η ταχύτητα του σφαιριδίου αµέσως µετά την κρούση µειώνεται είναι βέβαιο ότι τα σύρµατα θα εξακολουθήσουν να συµπεριφέρονται µε τον ίδιο τρόπο όπως και πριν την κρουση, που σηµαίνει ότι η περαιτέρω κίνηση του σφαιριδίου θα είναι πάλι αρµονική ταλάντωση µε κέντρο το Ο, µε γωνιακή συχνότητα ω, αλλά τώρα το πλάτος της x θα είναι µειωµένο και θα ισχύει: (6) v = - x " -x / 3 = - x " x = x / 3 (7) Aν λάβουµε ως αρχή µέτρησης του χρόνου την στιγµή αµέσως µετά την κρούση, η εξίσωση κίνησης του σφαιριδίου θα έχει την µορφή: x(t)= x 3 (5) µ ("t + # ) x(t)= - x 3 µ " Q $ # ml t % ' (8) & P.M. fysikos Δύο όµοια µεγάφωνα M 1 και M τοποθετούνται σε από σταση L από ένα τοίχο (τ) και σε απόσταση α µεταξύ τους µε α<<l. Tα µεγά φωνα τροφοδοτούνται από τον ίδιο ενισχυτή, ο οποίος εκπέµπει ήχο του οποίου το φάσµα αποτελείται από τις συχνότητες f 1 =5 Hz και f =7 Hz. Ένας δέκτης ηχητικών κυµάτων µετακινείται επί του τοίχου κατά µήκος της ευθείας που καθορίζουν οι προβολές των δύο µεγαφώνων στον τοίχο και τότε διαπιστώνεται ότι, υπάρχουν θέσεις του δέκτη στις οποίες αυτός καταγ ράφει µηδενική ένταση ήχου. Nα εξηγηθεί το φαινόµενο και να υποδειχθεί τρόπος καθορισµού των θέσεων σιγής του δέκτη. ΛΥΣΗ: Aν δεχθούµε µηδενική αρχική φάση για τα αρµονικά ηχητικά κύµατα στις θέσεις των µεγαφώνων Μ 1, Μ και ότι την χρονική στιγµή t τα δυο ηχητικά κύµατα έχουν φθάσει στον δέκτη Δ, τότε την στιγµή αυτή οι φάσεις φ 1, φ των κυµάτων που φθάνουν στον δέκτη θα δίνονται από τις σχέσεις: ( ) ( ) 1 = " t/t - r 1 /# = " t/t - r /# $ & % '& (-) 1 - = " ( # r - r 1) Σχήµα όπου λ το µήκος κύµατος των ηχητικών κυµάτων, Τ η περίοδός τους και r 1, r οι αποστάσεις του δέκτη από τα µεγάφωνα Μ 1, Μ αντιστοίχως. Όταν ο δέκτης
καταγράφει µηδενική ένταση ηχητικού κύµατος, τότε η διαφορά φ -φ 1 είναι περιττό πολλλαπλάσιο του π και η σχέση παίρνει την µορφή: k = ( " r - r 1) r - r 1 = k r - r = k 1 f () όπου k περιττός ακέραιος (k=±1, ±3,... ), η ταχύτητα διάδοσης των ηχητικών κυµάτων στον αέρα και f η συχνότητά τους. Όµως στο τρίγωνο Μ 1 Μ Δ η ΜΔ είναι διάµεσος, οπότε σύµφωνα µε το θεώρηµα της διαµέσου από την Ευκλείδια Γεωµετρία θα έχουµε την σχέση: r - r 1 = (M 1 M )(O) ( r + r 1 )( r - r 1 ) = x (3) όπου x η απόσταση του δέκτη από την προβολή Ο του µέσου Μ της απόστασης α πάνω στον τοίχο. Όµως από τα δεδοµένα του προβλήµατος έχουµε α<<l, οπότε µπορούµε µε ικανοποιήτική προσέγγιση να δεχθούµε r 1 r L και η (3) γράφεται: () L( r - r 1 ) "x x kl, k=±1, ±3,... (4) "f Aν απαιτήσουµε να υπάρχει σιγή στον δέκτη και για τις δύο συχότητες f 1, f που περιέχονται στο φάσµα των ηχητικών κυµάτων των µεγαφώνων, τότε σε κάθε θέση σιγής πρέπει να ισχύει: k 1 L f 1 = k L f k 1 k = f 1 f = 5 7 = 5 7 (5) Αν εποµένως οι περιττοί ακέραιοι k 1, k αποτελούν λύσεις της διοφαντικής εξί σωσης (5), θα υπάρχουν επί του τοίχου θέσεις σιγής που θα προκύπτουν από την σχέση (4) θέτοντας σ αυτήν ή τις επιτρεπτές τιµές του k 1 για f=f 1 ή τις επιτρεπτές τιµές του k για f=f. P.M. fysikos O δίσκος του σχήµατος (3) έχει ακτίνα R και την στιγµή που έρχεται σε επαφή µε τον κατακόρυφο τοίχο περιστρέφεται αριστερόστροφα περί άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του, µε γωνιακή του ταχύτητα. Η ράβ δος είναι αβαρής και οι άκρες της είναι αρθρωµένες στο κέντρο του δίσκου και στο σηµείο Α οριζόνιου δαπέδου. Eάν ο συντελεστής τρι βής ολίσθησης µεταξύ του τροχού και του τοίχου είναι n, να βρεθούν: i) ο χρόνος στον οποίο ο τροχός θα πάψει να περιστρέφεται και ii) η δύναµη που δέχεται η ράβδος από την άρθρωση A στην διάρ κεια της περιστροφής του δίσκου. Δίνεται η γωνία φ, η επιτάχυνση g της βαρύτητας και ότι η µάζα m του τροχού θεωρείται συγκεντρωµέ νη στην περιφέρειά του.
ΛYΣH: i) H ράβδος A, από την στιγµή που ο τροχός έρχεται σ επαφή µε τον τοίχο ισορροπεί υπό την επίδραση της δύναµης F ' από τον άξονα περιστροφής του δίσκου και της δύναµης F '' από την άρθρωση A. Επειδή η ράβδος είναι αβαρής, οι δύο αυτές δυνάµεις πρέπει να έχουν φορέα την ράβδο και να είναι αντίθετες (σχ. 3). Eξάλλου ο δίσκοςς από την στιγµή της επαφής του µε τον τοίχο δέχεται το βάρος του w, την δύναµη επαφής από τον τοίχο, η οποία ανα λύεται στην τριβή ολίσθησης T, µε φορά αντίθετη της ταχύτητας του σηµείου επαφής του δίσκου µε τον τοίχο και στην κάθετη αντίδραση N και τέλος την Σχήµα 3 δύναµη F από την ράβδο, η οποία σύµφωνα µε το αξίωµα της ισότητας µεταξύ δράσης και αντίδρασης είναι αντίθετη της F ', δηλαδή η F έχει την διεύθυνση της ράβδου και φορά όπως στο σχήµα (3). Eπειδή ο τροχός εκτελεί περιστρο φική κίνηση, προφανώς ισορροπεί κατά την οριζόντια και την κατακόρυφη διεύθυνση, οπότε θα ισχύουν οι σχέσεις: F (x) = " # F (y) = $ N - F x = " T + F y - w = # N = F"#$ & ' T = F%µ$ - mg ( (:) T Fµ" - mg = N F#$%" n = Fµ" - mg F#$%" nf"#$ = F%µ$ - mg F= mg/ (µ" - n#$%" ) Eξάλλου, σύµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης, ισχύει για τον δίσκο η σχέση: TR = I ω nnr = mr ω nfσυνφ = mrω nmg"#$ %µ$ - n"#$ = mr&' '= ng"#$% R &µ% - n"#$% ( ) ()
όπου " η γωνιακή επιβράδυνση του δίσκου. Από την () προκύπτει ότι η " είναι σταθερή, δηλαδή η περιστροφική κίνηση του δίσκου είναι οµαλά επιβρα δυνόµενη. Έτσι το µέτρο της γωνιακής του ταχύτητας θα µεταβάλλεται µε τον χρόνο t, σύµφωνα µε την σχέση: = - 't () ngt"#$% = - R &µ% - n"#$% ( ) (3) O τροχός θα σταµατήσει να περιστρέφεται την χρονική στιγµή t * για την οποία ισχύει: ω= (3) = ngt * "#$% ( ) R &µ% - n"#$% t * = R ("µ# - n$%&# ) ng$%&# ii) H δύναµη F που δέχεται η ράβδος από την άρθρωση A είναι, όπως απο δείχθηκε προηγούµενα, αντίθετη της F, δηλαδή ίση µε την F, οπότε θα ισχύ ει: F = F F = F mg F = (5) "µ# - n$%&# Παρατήρηση: Tο πρόβληµα έχει λύση εφ όσον ισχύει: (4) µ" - n#$%" > n < µ" /#$%" n < "## P.M. fysikos H τροχαλία του σχήµατος (4) µάζας m και ακτίνας R, κατέρχεται υπό την επίδραση του βάρους της και κάποια στιγµή η ταχύτητα του σηµείου Α της περιφέρειάς της, αντιδιαµετρικoύ του σηµείου επαφής της Κ µε το νήµα που περιβάλλει το αυλάκι της, έχει µέτρο v A. i) Nα βρείτε τις αντίστοιχες ταχύτητες του ανώτερου σηµείου Β και του κατώτερου σηµείου Γ της τροχαλίας και να δείξετε ότι τα διανύσ µατα των ταχυτήτων αυτών είναι ορθογώνια. ii) Nα βρείτε την αντίστοιχη κινητική ενέργεια της τροχαλίας. Δίνεται η ροπή αδρανείας I=mR / της τροχαλίας, ως προς άξονα που διέρχε ται από το κέντρο της και είναι κάθετος στο επίπεδό της. ΛΥΣΗ: i) Η κατερχόµενη τροχαλία εκτελεί επίπεδη κίνηση, που θεωρείται ως επαλληλία µιας κατακόρυφης µεταφορικής κίνησης και µιας περιστροφικής κίνησης περί άξονα διερχόµενο από το κέντρο µάζας της και κάθετο στο επίπεδό της. Κατά την κίνηση αυτή το σηµείο επαφής Κ της τροχαλίας µε το νήµα ΚΟ που την συγκρατεί έχει µηδενική ταχύτητα, που σηµαίνει ότι η ταχύτητα του σηµείου αυτού λόγω µεταφορικής κίνησης της τροχαλίας είναι αντίθετη της ταχύτητάς του λόγω της περιστροφής. Aν λοιπόν κάποια στιγµή η ταχύτητα του κεντρου µάζας είναι v και η γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας, µπορούµε να γράψουµε την σχέση:
= v - R v = R Εξάλλου την ίδια στιγµή για το σηµείο Α της τροχαλίας, που είναι αντιδιαµετρι κό του Κ, ισχύει η σχέση: v A = v + R v A = v v = v A / () H ταχύτητα v B του ανώτερου σηµείου Β της τροχαλίας προκύπτει ως συνιστα µένη της οριζόντιας ταχύτητάς του v 1 που οφείλεται στην περιστροφή της τρο Σχήµα 4 χαλίας και της κατακόρυφης ταχύτητάς του v που οφείλεται στην µετα φορική της κίνηση (σχ.4 ). Έτσι για το µέτρο της v B έχουµε την σχέση: v B = v 1 + v = R + v () v B = v + v = v v B = v A / (3) Eπειδή v 1 =v o φορέας της ταχύτητας v B σχηµατίζει γωνία π/4 µε την κατακό ρυφη διάµετρο ΒΓ, που σηµαίνει ότι το διάνυσµα v B κατευθύνεται προς το Α. Ακόµη η ταχύτητα v του κατώτερου σηµείου Γ της τροχαλίας είναι συνιστα µένη της ταχύτητας v λόγω της περιστροφικής κίνησης της τροχαλίας και της ταχύτητας v λόγω της µεταφορικής της κίνησης, Άρα το µέτρο της v είναι: v = v + v = " R + v () v = v + v = v v = v A / (4) Eπειδή v =v o φορέας της ταχύτητας v σχηµατίζει γωνία π/4 µε την κατακό ρυφη διεύθυνση, δηλαδή το διάνυσµα v κατευθύνεται από το Α προς το Γ όπως φαίνεται στο σχήµα (4). Με βάση τις παραπάνω ιδιότητες που έχουν τα
διανύσµατα v B και v προκύπτει ότι τα διανύσµατα αυτά είναι ορθογώνια, διότι οι χορδές ΒΑ και ΒΓ της τροχαλίας είναι µεταξύ τους κάθετες. ii) H κινητική ενέργεια Κ της τροχαλίας κατά την στιγµή που την εξετάζουµε υπολογίζεται από την σχέση: K= mv + I = mv + mr K= mv + mv = mv () K = m v A $ # " & % = mv (4) Σχήµα 5 iii) H επιτάχυνση a του σηµείου Κ προκύπτει ως συνισταµένη τριών επιτα χύνσεων και συγκεκριµένα της επιτάχυνσης a της µεταφορικής κίνησης της τροχαλίας (επιτάχυνση του κέντρου µάζας ), που έχει φορέα το νήµα και φορά προς τα κάτω, της επιτρόχιας επιτάχυνσής του a E λόγω της επιταχυνόµενης περιστροφής της τροχαλίας, που κατευθύνεται προς το σταθερό άκρο Ο του νήµατος και τέλος της κεντροµόλου επιτάχυνσης a K, που οφείλεται επίσης στην περιστροφή της τροχαλίας και η οποία κατευθύνεται προς το κέντρο αυτής (σχ. 5). Όµως το σηµείο Ο είναι ακίνητο, οπότε τα διανύσµατα a, a E είναι αντίθετα µε αποτέλεσµα να ισχύει: a = a K a = a K = R a = ( v / R) () R = v / R a = 1 R # " v A $ & % = v A R (5) P.M. fysikos Oµογενής κυκλικός δίσκος ακτίνας R έρχεται σε επαφή µε λείο οριζόντιο δάπεδο περιστρεφόµενος περί το κέντρο του δεξιόστροφα έχοντας το επίπεδό του κατακόρυφο. Την στιγµή της επα
φής του έχει γωνιακή ταχύτητα µέτρου ω, ενώ την ίδια στιγµή τό κέν τρο του έχει ταχύτητα µέτρου v =Rω /, η οποία είναι οριζόντια και κατευθύνεται προς τα δεξιά. i) Nα δείξετε ότι υπάρχει σηµείο Κ του δίσκου που έχει µηδενική τα χύτητα και να προσδιορίσετε την θέση του. ii) Nα δείξετε ότι, αν ο δίσκος στρεφόταν µε γωνιακή ταχύτητα ω πε ρί άξονα κάθετο στο επιπεδό του και διερχόµενο από το Κ, θα είχε κινητική ενέργεια ίση µε αυτήν που έχει ο δίσκος στην διάρκεια της κίνησής του επί του δαπέδου. iii) Eάν η ταχύτητα του κέντρου του δίσκου την στιγµή της επαφής του µε το οριζόντιο δάπεδο είναι v µε φορά προς τα δεξιά, ποια πρέ πει να είναι η αντίστοιχη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του δίσκου, ώστε το ανώτερο σηµείο της κατακόρυφης διαµέτρου του να έχει µηδε νική ταχύτητα; Ποια θα είναι τότε η ταχύτητα του κατώτερου σηµείoυ της διαµέτρου αυτής; ΛΥΣΗ: i) Όταν ο δίσκος αποκτήσει επαφή µε το οριζόντιο δάπεδο θα δέχεται το βάρος του και την αντίδραση του δαπέδου. Επειδή οι δύο αυτές δυνάµεις είναι κατακόρυφες το κέντρο µάζας του δίσκου θα έχει µηδενική επιτάχυνση κατά την οριζόντια διεύθυνση, που σηµαίνει ότι θα κινείται µε σταθερή ταχύτη τα ίση µε v. Εξάλλου οι ροπές των δύο αυτών δυνάµεων περί το κεντρο µάζας του δίσκου είναι µηδενικές, που σηµαίνει ότι µηδενική θα είναι και η γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου, δηλαδή η γωνιακή του ταχύτητα θα µένει σταθερή και ίση µε. Όλα τα παραπάνω εγγυώνται ότι ο δίσκος δεν θα αλλάξει κινητική Σχήµα 6 κατάσταση όταν έλθει σε επαφή µε το δάπεδο, δηλαδή θα εκτελεί επίπεδη κίνη ση που είναι επαλληλία µιας οµαλής οριζόντιας µεταφορικής κίνησης και µιας οµαλής περιστροφικής κίνησης. Εάν κατά την κίνηση αυτή υπάρχει σηµείο Κ του δίσκου που έχει µηδενική ταχύτητα θα πρέπει η ταχύτητά του λόγω µετα φορικής κίνησης να είναι v και λόγω περιστροφικής κίνησης να είναι - v. Αυτό συµβαίνει µόνο αν το σηµείο Κ βρίσκεται επί της ακτίνας A, όπου Α το σηµείο επαφής του δίσκου µε το οριζόντιο δάπεδο (σχ. 6). Εάν x είναι η απόστα ση K θα έχουµε σύµφωνα µε τα παραπάνω την σχέση: v = x R / = x x = R /
ii) Aν ο δίσκος στρεφόταν µε γωνιακή ταχύτητα περί άξονα κάθετο στο επίπεδό του και διερχόµενο από το Κ θα είχε κινητική ενέργεια Κ Π που δίνεται από την σχέση: ( ) " K = I " K = I + mx K = I + mr ( / 4) " () όπου m η µάζα του δίσκου και Ι Κ, Ι οι ροπές αδράνειάς του περί άξονες που διερχονται από τα σηµεία Κ και αντιστοίχως και είναι κάθετοι στο επίπεδό του. Εξάλλου η κινητική ενέργεια Κ Ε του δίσκου κατά την κίνησή του επί του δαπέδου είναι: K E = mv + I = m " R% $ ' # & ( ) + I = I + mr / 4 (3) Από () και (3) προκύπτει K = K E. iii) Για να έχει το ανώτερο σηµείο Β της κατακόρυφης διαµέτρου του δίσκου µηδενική ταχύτητα πρέπει η ταχύτητα του λόγω της µεταφορικής κίνησης του Σχήµα 7 δίσκου να είναι v και λόγω της περιστροφής του - v. Αυτό είναι δυνατόν να συµβαίνει αν η περιστροφή του δίσκου είναι αριστερόστροφη (σχ. 7) µε γωνιακή ταχύτητα, της οποίας το µέτρο θα ικανοποιεί την σχέση: v = R = v /R P,M. fysikos Tο ξύλινο σώµα του σχήµατος (8) µάζας M, ισορ ροπεί πάνω στο λείο κεκλιµένο επίπεδο, γωνίας κλίσεως φ ως προς τον ορίζοντα, µε την βοήθεια µικρού εµποδίου. Kάποια στιγµή σφηνώ νεται στο σώµα ένα βλήµα µάζας m, µε οριζόντια ταχύτητα µέτρου v. Tο συσσωµάτωµα αµέσως µετά την κρούση ολισθαίνει ανερχόµενο επί του κεκλιµένου επιπέδου.
i) Να βρείτε την µέγιστη αποµάκρυνση του συσσωµατώµατος από την θέση που έγινε η κρούση. ii) Nα βρείτε µετά πόσο χρόνο το συσσωµάτωµα θα επιστρέψει στην θέση της κρούσεως. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛYΣH: i) Kατά το πολύ µικρό χρονικό διάστηµα της πλαστικής κρούσεως του βλήµατος µε το ξύλινο σώµα, η ορµή του συστήµατος κατά την διεύθυνση x'x του κεκλιµένου επιπέδου δεν µεταβάλλεται*, οπότε µπορούµε να γράψουµε την σχέση: mv,x + = ( M + m)v mv "#$ = ( M + m)v V = mv "#$ M + m όπου v,x η συνιστώσα της v η παράλληλη προς το κεκλιµένο επίπεδο και V η ταχύτητα του συσσωµατώµατος αµέσως µετά την κρούση. Eξάλλου το συσσω µάτωµα κατά την κίνησή του πάνω στο κεκλιµένο επίπεδο δέχεται το βάρος του w, που αναλύεται στην παράλληλη προς το κεκλιµένο επίπεδο συνιστώσα w x και στην κάθετη προς αυτό συνιστώσα w y, η οποία εξουδετερώνει την κάθε Σχήµα 8 τη αντίδραση N του κεκλιµένου επιπέδου. Εφαρµόζοντας για το συσσωµάτωµα το θεώρηµα κινητικής ενέργειας-έργου µεταξύ της θέσεως εκκίνησης του Ο και της θέσεως Α όπου παύει ανερχόµενο, παίρνουµε την σχέση: K A - K O = W w x + W w y + W N - ( M + m)v / = -w x S + + -( M + m)v = -( M + m)gs µ" V = gs µ" ---------------------------- * H συνιστώσα του βάρους του βλήµατος κατά την διεύθυνση x x ελάχιστα µετα βάλλει την ορµή του συστήµατος, λόγω του πολύ µικρού χρόνου δράσεώς της.
S = V gµ" S = 1 gµ" # mv "#$& % ( $ M + m ' () όπου S η ζητούµενη µέγιστη αποµάκρυνση του συσσωµατώµατος από το Ο. ii) Kατά την άνοδο του συσσωµατώµατος η w x το επιβραδύνει, ενώ κατά την κάθοδο του το επιταχύνει εκ της ηρεµίας, που σηµαίνει ότι η συνολική κίνησή του είναι οµαλά µεταβαλλόµενη κατά την διεύθυνση x x, µε επιτάχυνση που η αλγεβρική της τιµή είναι ίση µε gηµφ. Εάν t ολ είναι ο συνολικός χρόνος κίνη σής του, η αντίστοιχη µετατόπισή του ως προς το Ο είναι µηδενική και εποµέ νως µπορούµε να γράψουµε την σχέση: = Vt " - g#µ$t o" / t " = V/g#µ$ t " = mv "#$ g#µ$ M + m ( ) = mv %$ g( M + m) P.M. fysikos Ένα σώµα (Σ) µάζας Μ σχήµατος λοφίσκου, ηρεµεί επί λείου οριζόντι ου δαπέδου όπως φαίνεται στο σχήµα (9). Ένα µικρό σώµα (σ) µάζας m εκτοξεύεται επί του δαπέδου µε κατεύθυνση προς τον λοφίσκο πάνω στον οποίο αρχίζει να ανέρχεται. Αν µεταξύ του µικρού σώµατος και του λοφίσκου δεν υπάρχει τριβή, να βρεθεί η ταχύτητα εκτόξευσης του (σ), ώστε τελικά αυτό να ισορροπεί ως προς τον λοφίσκο. Δίνεται το ύψος h του λοφίσκου και η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: Όταν το σώµα (σ) ισορροπήσει σε σχέση µε τον λοφίσκο (Σ) θα έχει αποκτήσει κοινή ταχύτητα v K µε αυτόν και το σύστηµα θα κινείται ως προς το ακίνητο δάπεδο ευθύγραµµα και οµαλά µε την ταχύτητα αυτήν. Τότε όµως η δυνατή θέση ισορροπίας του (σ) ως προς τον λοφίσκο θα είναι το ανώτατο σηµεί ο Α αυτού, όπου το βάρος του θα εξουδετερώνει την αντίδραση του λοφίσκου. Σχήµα 9 Εξάλλου το σύστηµα σώµα-λοφίσκος είναι µηχανικά µονωµένο κατά την οριζόν τια διεύθυνση, οπότε θα ισχύει για το σύστηµα η αρχή διατήρησης της ορµής
κατά την διεύθυνση αυτή, δηλαδή µπορούµε να γράψουµε την σχέση; mv + = ( m + M)v K v K = mv /( m + M) όπου v η ταχύτητα εκτόξευξης του σώµατος (σ) στο οριζόντιο δάπεδο. Επειδή σε όλες τις επαφές δεν υπάρχουν τριβές η µηχανική ενέργεια του συστήµατος παραµένει αναλλοίωτη, δηλαδή ισχύει η σχέση: K "# + U "# = K $%& + U $%& mv ( + = m + M )v K mv ( ) = m + M mv $ # & " m + M% + mgh mv = m v + mgh m + M + mgh m $ v # 1 - & = gh v " m + M = gh M + m $ # & () % " M % P.M. fysikos Mια οµογενής αλυσίδα τοποθετειται επί λείας κυρ τής επιφάνειας τυχαίου σχήµατος, η οποία είναι ακλόνητη. Αρχικά η αλυσίδα κρατείται ακίνητη, ώστε οι άκρες της να βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο και κάποια στιγµή αφήνεται ελεύθερη. Να δείξετε ότι η αλυσίδα θα παραµείνει ακίνητη. ΛΥΣΗ: Eξετάζοντας ένα τυχαίο στοιχειώδες τµήµα της αλυσίδας µήκους dl n παρατηρούµε ότι αυτό δέχεται το βάρος του d w n, που αναλύεται στην παράλ ληλη προς την επιφάνεια στηρίξεως της αλυσίδας συνιστώσα d w n και στην κάθετη προς αυτήν συνιστώσα d w n, την δύναµη επαφής d N n από την επιφά νεια, που εξουδετερώνει την συνιστώσα d w n, την δύναµη f n-1 από το προηγού Σχήµα 1 µενο στοιχείο της αλυσίδας τάξεως n-1 και την δύναµη f n+1 από το επόµενο στοιχείο τάξεως n+1 (σχ. 1). Ας δεχθούµε ότι αµέσως µετά την ελευθέρωση
της αλυσίδας αυτή θα κινηθεί προς τα δεξιά και έστω a το κοινό µέτρο της επι τάχυνσης όλων των στοιχείων της την στιγµή t=. Eφαρµόζοντας για το στοι χείο τάξεως n τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε την σχέση: f n+1 - f n-1 - d w n = dm n a f n+1 - f n-1 - dm n gµ" n = dm n a f n+1 - f n-1 - dl n g"µ# n = dl n a f n+1 - f n-1 - gdh n = dl n a όπου ρ η γραµµική πυκνότητα της αλυσίδας, dm n =ρdl n η µάζα του στοιχείου τάξεως n, φ n η γωνία κλίσεώς του ως προς τον ορίζοντα και dh n η προβολή του στην κατακόρυφη διεύθυνση. Εάν καταστρώσουµε την σχέση για όλα τα στοιχειώδη τµήµατα της αλυσίδας και προσθέσουµε κατά µέλη τις σχέσεις που θα προκύψουν, θα λάβουµε την σχέση: -g"( dh n ) = a"( dl n ) -g( dh n ) = La () όπου L το µήκος της αλυσίδας. Όµως το άθροισµα dh n ( ) είναι µηδενικό, διό τι οι άκρες της αλυσίδας είναι στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο, οπότε από την () προκύπτει a= που σηµαίνει ότι η αλυσίδα δεν θα τεθεί σε κίνηση όταν αφεθεί ελεύθερη. P.M. fysikos