ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Χημική Τεχνολογία Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε.
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Σκοποί Ενότητας Στα αποτελέσματα των μετρήσεων υπεισέρχονται σφάλματα, έτσι λοιπόν στην ενότητα αυτή θα μιλήσουμε περί σφαλμάτων, τα είδη τους, καθώς θα αναλύσουμε σημαντικές στατιστικές έννοιες. Θα γίνει παρουσίαση στατιστικών στοιχείων, καθώς θα συζητήσουμε για τα μέτρα θέσης και διασποράς, τη στρογγυλοποίηση και τα επίπεδα αξιοπιστίας ή διάστημα εμπιστοσύνης. 4
Περιεχόμενα Ενότητας Σφάλματα Είδη Σφαλμάτων Συλλογή και Παρουσίαση Στατιστικών Στοιχείων Σημαντικές Στατιστικές Έννοιες Παρουσίαση Στατιστικών Στοιχείων Μέτρα Θέσης και Διασποράς Στρογγυλοποίηση Επίπεδα Aξιοπιστίας ή Διάστημα Εμπιστοσύνης 5
Σφάλματα - 1 Στα αποτελέσματα των μετρήσεων υπεισέρχονται σφάλματα. Για παράδειγμα τα χαρακτηριστικά ενός προϊόντος διαφέρουν από παρτίδα σε παρτίδα ή από συσκευασία σε συσκευασία. Τα αποτελέσματα των αναλύσεων ή των μετρήσεων κατά τον ποιοτικό έλεγχο του προϊόντος παραγωγής μιας βιομηχανίας μπορεί να διαφέρουν παρόλο που χρησιμοποιείται η ίδια μέθοδος ανάλυσης ή μέτρησης ή αξιολόγησης. 6
Σφάλματα - 2 Διακυμάνσεις οφείλονται στις διαφορετικές τοποθεσίες όπου πραγματοποιήθηκε η μέτρηση, στον αναλυτή, στην ώρα της ημέρας που έγινε η μέτρηση (ένας εργαζόμενος αποδίδει καλύτερα στην αρχή του ωραρίου του παρά στο τέλος που είναι κουρασμένος) κ.λ.π. Για να ελέγξουμε την ποιότητα ενός προϊόντος ή την ακρίβεια των μετρήσεων πρέπει να καθορίσουμε το μέγεθος του σφάλματος. Στις περιπτώσεις αυτές εφαρμόζουμε στατιστικές μεθόδους. 7
Είδη Σφαλμάτων 1 Τυχαία Σφάλματα (Random Errors): Οφείλονται σε παράγοντες που δε γνωρίζουμε ή δεν μπορούμε να ελέγξουμε. Οι μετρήσεις μας κατανέμονται ομοιόμορφα γύρω από τη μέση τιμή, ακολουθώντας την κανονική κατανομή. Η έννοια του τυχαίου σφάλματος είναι σχετική και εξαρτάται από την διαθέσιμη μετρητική διάταξη. Για παράδειγμα σε ένα ζυγό ακριβείας τα τυχόν ρεύματα αέρα προκαλούν τυχαία σφάλματα. 8
Είδη Σφαλμάτων 2 Συστηματικά Σφάλματα (Systematic Errors): Οφείλονται σε κάποιο συστηματικό λάθος που γίνεται κατά τη διάρκεια του πειράματος. Για παράδειγμα λανθασμένη ρύθμιση/βαθμονόμηση οργάνου, λανθασμένη μεθοδολογία μέτρησης, μη ακριβής τήρηση της πειραματικής διαδικασίας. Επηρεάζουν κατά το ίδιο μέτρο τις μετρήσεις μας, οι οποίες κατανέμονται γύρω από τη μέση τιμή, που είναι όμως διάφορη της πραγματικής. 9
Είδη Σφαλμάτων 3 Λοιπά Σφάλματα (Gross Errors): Ονομάζονται όλα τα υπόλοιπα σφάλματα που μπορεί να οφείλονται σε σοβαρά λάθη που έγιναν κατά το πείραμα ή σε κάποιο ατύχημα, όπως η καταστροφή ενός κρίσιμου δείγματος ή η βλάβη ενός οργάνου. Είναι στην πλειοψηφία τους οφθαλμοφανή λάθη και ο μόνος τρόπος για να τα εξαλείψουμε είναι να ξανακάνουμε το πείραμα από την αρχή. 10
Απογραφή : Συλλογή και Παρουσίαση Στατιστικών Στοιχείων Συγκεντρώνονται στοιχεία από όλες τις μονάδες του πληθυσμού που θέλουμε να μελετήσουμε σε μια χρονική περίοδο. Δειγματοληψία: Εξετάζουμε ένα μικρό μέρος (δείγμα) του πληθυσμού, το οποίο επιλέγουμε κατά τέτοιο τρόπο, ώστε οι πληροφορίες, οι εκτιμήσεις και τα συμπεράσματα που θα πάρουμε από αυτό, να έχουν ισχύ για όλο το σύνολο του πληθυσμού στον οποίον ανήκει το δείγμα. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι το δείγμα είναι αντιπροσωπευτικό του πληθυσμού. 11
Σημαντικές Στατιστικές Έννοιες - 1 Πληθυσμός: Το σύνολο των μετρήσεων ή γενικά των παρατηρήσεων, οι οποίες αναφέρονται σε ένα χαρακτηριστικό ή ιδιότητα των μονάδων του συνόλου που εξετάζουμε. Για πειραματικές μετρήσεις, ο πληθυσμός θεωρητικά, είναι ο άπειρος αριθμός μετρήσεων που μπορούν να εκτελεστούν. Μεταβλητή: Το χαρακτηριστικό ή η ιδιότητα των στατιστικών μονάδων ως προς τo οποίo εξετάζουμε ένα πληθυσμό. Για πειραματικές μετρήσεις είναι το αριθμητικό αποτέλεσμα της πειραματικής μέτρησης, δηλαδή η πειραματική τιμή (xi) i=1,2,...,ν 12
Σημαντικές Στατιστικές Έννοιες - 2 Δείγμα: Ο αριθμός ν των τιμών μιας μεταβλητής xi (το ν είναι το μέγεθος του δείγματος). Το δείγμα για να είναι αντιπροσωπευτικό του πληθυσμού από τον οποίο προέρχεται πρέπει να έχει επιλεγεί με επιστημονικές μεθόδους δειγματοληψίας. 13
Παρουσίαση Στατιστικών Στοιχείων - 1 Η παρουσίαση των στατιστικών στοιχείων γίνεται με τους στατιστικούς πίνακες και με τα διαγράμματα. Για την κατασκευή του πίνακα συχνοτήτων τα δεδομένα ταξινομούνται σε μικρό πλήθος ομάδων που ονομάζονται κλάσεις. Αφού επιλεγεί ο αριθμός των κλάσεων προσδιορίζεται το εύρος κάθε κλάσης διαιρώντας το εύρος του δείγματος (ανώτερη κατώτερη τιμή) με τον αριθμό των κλάσεων. 14
Παρουσίαση Στατιστικών Στοιχείων - 2 Πίνακας Επιλογής Αριθμού Κλάσεων: Μέγεθος Δείγματος ν Αριθμός Κλάσεων κ Μέγεθος Δείγματος ν Αριθμός Κλάσεων κ Μικρότερο του 20 5 200-400 9 20-50 6 400-700 10 50-100 7 700-1000 11 100-200 8 15
Πίνακας Κατανομής Συχνοτήτων - 1 Παράδειγμα: Κατανομή των μετρήσεων της πυκνότητας ενός διαλύματος 3Μ NaCl από μία ομάδα ν= 50 σπουδαστών σ ένα εργαστήριο. 16
Πίνακας Κατανομής Συχνοτήτων - 2 Πίνακας Κατανομής Συχνοτήτων: α/α Πυκνότητα Διαλύματος 3Μ NaCl (g/ml) Αριθμός Φοιτητών Συχνότητα ν i 1 1,09-1,10 4 2 1,10-1,11 6 3 1,11-1,12 13 4 1,12-1,13 15 5 1,13-1,14 7 6 1,14-1,15 5 Σν i = ν = 50 17
Μέτρα Θέσης και Διασποράς - 1 Μέσος όρος: x ν x + x + x + + x x ν ν 1 2 3... ν i = = (1.3) Διακύμανση: Είναι το άθροισμα των τετραγώνων των αποκλίσεων των τιμών της μεταβλητής από το μέσο όρο της, διαιρούμενο με ν-1. Εκφράζεται σε μονάδες οι οποίες είναι τα τετράγωνα των αρχικών μονάδων της μεταβλητής (π.χ. cm 2 ). S 2 = ( x ) xi ν v 1 2 (1.4) 18
Μέτρα Θέσης και Διασποράς - 2 Τυπική Απόκλιση: Η τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης. Είναι το μέτρο της διασποράς που χρησιμοποιείται συνήθως στην πράξη. Όσο μεγαλύτερη είναι η τυπική απόκλιση τόσο μεγαλύτερη είναι η διασπορά των παρατηρήσεων από το μέσο όρο. S ν- 1 = ( xi x ν ) v 1 2 (1.5) Όταν ν τότε S v-1 σ, όπου σ η πραγματική τυπική απόκλιση του πληθυσμού. 19
Μέτρα Θέσης και Διασποράς - 3 Συντελεστής Μεταβλητότητας: Είναι ένα μέτρο διασποράς των τιμών της μεταβλητής από το μέσο όρο. Ορίζεται ως ο λόγος της τυπικής απόκλισης δια του μέσου όρου και συνήθως εκφράζεται ως ποσοστό επί τοις %. S ν-1 C.V. (x) =. 100 xν (1.6) Όσο μικρότερος είναι ο συντελεστής μεταβλητότητας, τόσο ποιό ομοιογενές είναι το δείγμα. Γενικά δεχόμαστε ότι ένα δείγμα τιμών μιας μεταβλητής είναι ομοιογενές εάν ο C.V. είναι μικρότερος του 10%. 20
Σημαντικά Ψηφία - 1 Σημαντικά ψηφία ενός αριθμού είναι όλα τα ψηφία για τα οποία είμαστε βέβαιοι συν ένα ακόμα που είναι αβέβαιο και προκύπτει από εκτίμηση. Για παράδειγμα, όταν εκφράζουμε μία μέτρηση μάζας ως 2,05 g (τρία σημαντικά ψηφία) είμαστε βέβαιοι για τα δύο πρώτα (2,0) αλλά αμφιβάλλουμε για το τελευταίο (5), που προέκυψε από εκτίμηση. Προτείνεται η έκφραση των αριθμών στην τυποποιημένη τους μορφή, σαν δύναμη του 10. Π.χ. 2,5.10 4 : Δύο σημαντικά ψηφία (το 2 είναι βέβαιο και το 5 είναι το πρώτο αβέβαιο). 2,500.10 4 : Τέσσερα σημαντικά ψηφία (τα πρώτα τρία είναι βέβαια ενώ το τελευταίο 0 είναι το πρώτο αβέβαιο). Τα μηδενικά στον αριθμό 0,00263 δεν είναι σημαντικά, γιατί ο αριθμός γράφεται 2,63.10-3 και έχει τρία σημαντικά ψηφία. 21
Σημαντικά Ψηφία - 2 Ο αριθμός των σημαντικών ψηφίων σε μετρήσεις, εξαρτάται από την ευαισθησία του οργάνου μέτρησης. Στα αναλογικά όργανα, αν η βελόνα του οργάνου βρίσκεται μεταξύ δύο ενδείξεων π.χ. μεταξύ 10,4 και 10,5 τα εκατοστά προκύπτουν κατ εκτίμηση. Δίνουμε για παράδειγμα σαν αποτέλεσμα τον αριθμό 10,47 όπου το 7 είναι το πρώτο αβέβαιο ψηφίο. Προφανώς ο αριθμός 10,47 έχει τέσσερα σημαντικά ψηφία. Στα ψηφιακά όργανα το τελευταίο δεξιά ψηφίο που διαβάζουμε στην οθόνη του οργάνου, είναι αβέβαιο ψηφίο. Για παράδειγμα αν διαθέτουμε ένα ψηφιακό phμετρο με ευαισθησία εκατοστό του ph και μετρώντας το ph ενός διαλύματος διαβάζουμε την ένδειξη 3,58, το 8 είναι το πρώτο αβέβαιο ψηφίο. Προφανώς ο αριθμός 3,58 έχει τρία σημαντικά ψηφία. 22
Στρογγυλοποίηση - 1 Στρογγυλοποίηση στα σημαντικά ψηφία (όλα τα βέβαια συν το πρώτο αβέβαιο). Παράδειγμα: Παρουσίαση του αριθμού 62,352472 με τρία σημαντικά ψηφία: Εάν ο τελευταίος αριθμός είναι μικρότερος του 5 απαλείφεται και γράφουμε 62,35247. Εάν ο τελευταίος αριθμός είναι μεγαλύτερος του 5 ο προτελευταίος αυξάνεται κατά μία μονάδα, άρα στο δεύτερο βήμα γράφουμε 62,3525. Εάν ο τελευταίος αριθμός είναι 5, ο προτελευταίος, εάν είναι ζυγός παραμένει ως έχει, εάν είναι μονός αυξάνεται κατά μία μονάδα. Έτσι γράφουμε διαδοχικά 62,352 62,35 και τελικά 62,4. Η πράξη μεταξύ δύο ψηφίων δίνει βέβαιο αποτέλεσμα, μόνο αν και τα δύο παράγωγα του αποτελέσματος ψηφία, είναι βέβαια. 23
Στρογγυλοποίηση - 2 Πρόσθεση (αφαίρεση): Το άθροισμα (διαφορά) των τιμών δεν πρέπει να περιέχει περισσότερα σημαντικά ψηφία προς τα δεξιά του, από όσα περιέχει ο λιγότερο ακριβής παράγοντας του αθροίσματος (διαφοράς), π.χ. 142,8 + 0,053 =142,853, που στρογγυλοποιείται στο 142,8. Πολλαπλασιασμός (διαίρεση): Το γινόμενο (πηλίκο) των διαφόρων τιμών δεν πρέπει να περιέχει περισσότερα σημαντικά ψηφία, από αυτά που περιέχονται στον παράγοντα του γινομένου (πηλίκου) με τα λιγότερα σημαντικά ψηφία, π.χ. 113,2 Χ 1,43 = 161,876 που στρογγυλοποιείται στο 162, 113,2 : 1,43 = 79,160839 που στρογγυλοποιείται στο 79,2. Σήμερα, αν επιθυμούμε ακρίβεια στους υπολογισμούς, είναι εύκολο στις ενδιάμεσες πράξεις να κρατάμε πολλά ψηφία και να κάνουμε στρογγυλοποίηση μόνο στο τελικό αποτέλεσμα. 24
Επιπλέον Στατιστικές Έννοιες - 1 Αληθινή τιμή (Τ ή μ): Είναι η πραγματική αριθμητική τιμή ενός μεγέθους. Προσεγγίζεται από τον μέσο όρο θεωρητικά άπειρου αριθμού μετρήσεων. Δηλαδή μ όταν ν x ν Απόλυτο σφάλμα: x i T (1.7) Απόλυτο σφάλμα του μέσου: x ν T (1.8) Σχετικό σφάλμα: ( x ν T) / T (1.9) Σχετικό σφάλμα %: (( x T ) / T ) 100 (1.10) ν Ορθότητα (Accuracy): Ορθότητα έχουν οι μετρήσεις μας όταν είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες γύρω από το σωστό αποτέλεσμα. Δηλαδή, ο μέσος όρος των μετρήσεων συμπίπτει ή είναι πολύ κοντά στην αληθινή τιμή. Μέτρο της ορθότητας είναι το απόλυτο σφάλμα του μέσου. Ακρίβεια (Precision): Ακρίβεια έχουν οι μετρήσεις μας, όταν είναι κατανεμημένες πολύ στενά γύρω από τον μέσο όρο (που μπορεί να είναι διαφορετικός από την αληθινή τιμή). Μέτρο της ακρίβειας είναι η τυπική απόκλιση. 25
Επιπλέον Στατιστικές Έννοιες - 2 Επαναληψιμότητα (Repeatability): Επαναληψιμότητα έχουν οι μετρήσεις μας όταν στην ίδια δειγματοληψία τα αποτελέσματα χαρακτηρίζονται από ακρίβεια. Αναπαραγωγισιμότητα (Reproducibility): Αναπαραγωγισιμότητα έχουν οι μετρήσεις μας όταν τα αποτελέσματά μας πάλι έχουν ακρίβεια, αλλά σε διαφορετικές δειγματοληψίες. Ευαισθησία (Sensitivity): Είναι η ελάχιστη μεταβολή στο μετρούμενο μέγεθος, που μπορεί να δείξει το όργανο μέτρησης. Αναγνωσιμότητα (Readability): Είναι η ελάχιστη μεταβολή που μπορούμε να διαβάσουμε στην κλίμακα ανάγνωσης του οργάνου. 26
Επιπλέον Στατιστικές Έννοιες - 3 Χρονική σταθερά απόκρισης (Time constant): Είναι ο χρόνος που απαιτείται για να φθάσει η ανάγνωση σε όργανο μέτρησης το 63,2% της τελικής τιμής, μετά από βαθμωτή (απότομη) μεταβολή του ερεθίσματος. Διακρίβωση (Calibration): Διακρίβωση ονομάζουμε όλες τις εργασίες που αποσκοπούν στο να προσδιοριστούν οι τιμές των σφαλμάτων μετρητικού οργάνου. 27
Επίπεδα Aξιοπιστίας ή Διάστημα Εμπιστοσύνης - 1 Το διάστημα μέσα στο οποίο βρίσκεται η αληθινή τιμή με κάποια βεβαιότητα ορίζεται από δύο τιμές οι οποίες λέγονται όρια αξιοπιστίας (confidence limits). Τα όρια αξιοπιστίας προσδιορίζονται από: το μέγεθος του δείγματος τη στατιστική διακύμανση το βαθμό αξιοπιστίας με την οποία θέλουμε να δώσουμε το αποτέλεσμα. Ο βαθμός αξιοπιστίας ή η πιθανότητα (Ρ) εκφράζεται είτε επί τοις % από το 0 έως 100 είτε από 0 έως 1. 28
Επίπεδα Aξιοπιστίας ή Διάστημα Εμπιστοσύνης - 2 Η αβεβαιότητα (α) λέγεται επίπεδο σημαντικότητας και εκφράζεται είτε επί τοις % από 0 έως 100 είτε από 0 έως 1. Για παράδειγμα αν δίνεται ότι Ρ = 95% ή Ρ=0,95 τότε επειδή Ρ + α = 100% ή Ρ + α = 1 το α = 5% ή α = 0,05. 29
Χρήση Κατανομής t του Student - 1 Χρήση: Όταν είναι άγνωστη η σ και την εκτιμώ από δείγμα με πλήθος ν μετρήσεων (βρίσκω το Sv-1). α) Εύρεση κάτω ορίου για μεμονωμένες τιμές (x i ) x ν x i ; = x i,min ; - t (a, (v-1)). S v-1 (1.25) β) Εύρεση κάτω ορίου για μέσους όρους ( ): x ; = x ν ν, min ; = μ min ; x - t (a, (v-1)). ν (1.26) ν 1/2 ν γ) Διάστημα εμπιστοσύνης μέσης τιμής (με πιθανότητα Ρ) S x 1 ν 1/2 - t (a/2, (v-1)). ν μ + t x (a/2, (v-1)). ν ν (1.27) 1/2 ν ν Π.χ. αν Ρ=95% ή Ρ=0,95 => α=5% ή α=0,05 και α/2=0,025 ή α/2=2,5% S 1 x ν S 1
Χρήση Κατανομής t του Student - 2 Τα t(a, (v-1)) ή t(a/2, (v-1)) είναι στατιστικοί δείκτες της κατανομής student που αντιστοιχούν σε αβεβαιότητα α ή α/2 και (ν-1) βαθμούς ελευθερίας. Η τιμή του t(a, (v-1)) ή t(a/2,(v-1)) προκύπτει από τον πίνακα κατανομής student, που είναι πίνακας διπλής εισόδου. Ο πίνακας αυτός έχει στην πρώτη στήλη τους βαθμούς ελευθερίας και στην κάτω σειρά την αβεβαιότητα (α) ή το μισό της δηλ. το α/2. Η τιμή του t(a, (v-1)) προκύπτει από την διασταύρωση της στήλης με τιμή α και της σειράς με (ν-1) βαθμούς ελευθερίας. Η τιμή του t(a/2, (v-1)) προκύπτει από την διασταύρωση της στήλης με τιμή α/2 και της σειράς με (ν-1) βαθμούς ελευθερίας. 31
Τέλος Ενότητας