Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 13: Ισχύς σε κυκλώματα ημιτονοειδούς διέγερσης Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177
13.6 Μιγαδική ισχύς Αν και η ισχύς είναι βαθμωτό μέγεθος, η ισχύς στο εναλλασσόμενο περιγράφεται με πιο συνεκτικό τρόπο χρησιμοποιώντας τη μιγαδική ισχύ, που είναι διανυσματικό μέγεθος και περιλαμβάνει την πραγματική και την άεργο ισχύ. Η μιγαδική ισχύς ορίζεται ως το γινόμενο της τάσης με το συζυγές του ρεύματος: Το πραγματικό μέρος της μιγαδικής ισχύος ισούται με την πραγματική ισχύ. Το φανταστικό μέρος της μιγαδικής ισχύος ισούται με την άεργο ισχύ. Το μέτρο της μιγαδικής ισχύος ισούται με τη φαινομένη ισχύ:
13.6 Μιγαδική ισχύς Η πραγματική και η άεργος ισχύς παριστάνονται ως διανύσματα στο μιγαδικό επίπεδο. Η γωνία του συντελεστή ισχύος υπολογίζεται από τις σχέσεις: Q Im φ P S Re Q Im φ P S Re Επαγωγικό φορτίο Χωρητικό φορτίο Τάση ενεργού τιμής V<φ V εφαρμόζεται στα άκρα μιας αντίστασης Z=RjX= Z <φ. Η μιγαδική ισχύς της αντίστασης είναι: Άρα: Επιπλέον:
13.6 Μιγαδική ισχύς Εάν έχουμε δύο φορτία σε σειρά: I Z 1 V 1 Εάν έχουμε δύο φορτία παράλληλα: V s V 2 Z 2 Η συνολική μιγαδική ισχύς φορτίων ισούται με το άθροισμα των μιγαδικών ισχύων κάθε φορτίου. Επιπλέον: I I 1 I 2 V s Z 1 Z 2
13.6 Μιγαδική ισχύς Παράδειγμα 135: Έχουμε ένα κύκλωμα που αποτελείται από μία ημιτονοειδή πηγή τάσης ενεργού τιμής 100 V και τρεις σύνθετες αντιστάσεις με τιμές Ζ 1 =20j30 Ω, Z 2 =20j40 Ω και Z 3 =20j10 Ω. Να βρεθεί η μιγαδική ισχύς κάθε στοιχείου του κυκλώματος. V s I Z 1 V 1 V 2 Z 2 I 1 I 2 Z 3 Οι αντιστάσεις Z 2 και Z 3 συνδέονται παράλληλα. Η συνολική σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος είναι:
13.6 Μιγαδική ισχύς Το ρεύμα που δίνει η πηγή είναι: I Z 1 V 1 I 1 I 2 Τα ρεύματα που διαρρέουν τις δύο αντιστάσεις είναι: V s V 2 Z 2 Z 3
13.6 Μιγαδική ισχύς Για τη σύνθετη αντίσταση Z 1 έχουμε: I Z 1 Για τη σύνθετη αντίσταση Z 2 έχουμε: Για τη σύνθετη αντίσταση Z 3 έχουμε: V s V 1 V 2 Z 2 I 1 I 2 Z 3 Η συνολική ισχύς που καταναλώνουν και οι τρεις σύνθετες αντιστάσεις είναι: Η ισχύς που παρέχει η πηγή είναι:
13.6 Μιγαδική ισχύς Παράδειγμα 136: Έχουμε ένα κύκλωμα που αποτελείται από μία ημιτονοειδή πηγή τάσης ενεργού τιμής 50 V, μία πηγή ρεύματος ενεργού τιμής 2 Α που καθυστερεί 90 μοίρες σε σχέση με την πηγή τάσης και δύο σύνθετες αντιστάσεις με τιμές Z 1 =40 j20 Ω και Z 2 = 70j30 Ω. Να βρεθεί η μιγαδική ισχύς κάθε στοιχείου του κυκλώματος. I s V 1 I 1 A Z 1 B Z 2 V 2 I 2 V s Από το νόμο ρευμάτων του Kirchhoff στον κόμβο Α έχουμε την εξίσωση:
13.6 Μιγαδική ισχύς Η ισχύς που παρέχει η πηγή ρεύματος είναι:
13.6 Μιγαδική ισχύς Η ισχύς που καταναλώνει η αντίσταση Z 1 είναι: I s I 1 V 1 A Z 1 Z 2 V 2 I 2 V s Το ρεύμα που διαρρέει την πηγή τάσης είναι: B Η πηγή τάσης παρέχει ισχύ:
13.6 Μιγαδική ισχύς Η σύνθετη αντίσταση Z 2 καταναλώνει: A I 2 Z 2 Και οι δύο πηγές μαζί παρέχουν ισχύ: I s I 1 V 1 Z 1 V 2 V s B Και οι δύο αντιστάσεις μαζί καταναλώνουν ισχύ: Η πολύ μικρή απόκλιση οφείλεται στις στρογγυλοποιήσεις.
13.6 Μιγαδική ισχύς Παράδειγμα 137: Πηγή τάσης τροφοδοτεί δύο φορτία συνδεδεμένα παράλληλα. Το ένα απορροφά 10 kw με συντελεστή ισχύος 0,8 επαγωγικό και το δεύτερο απορροφά 7 kw με συντελεστή ισχύος 0,9 χωρητικό. Να υπολογιστεί ο συντελεστής ισχύος με τον οποίο λειτουργεί η πηγή. V s I I 1 I 2 Z 1 Z 2 Η άεργος ισχύς που καταναλώνει το πρώτο φορτίο είναι: Η άεργος ισχύς που καταναλώνει το δεύτερο φορτίο είναι:
13.6 Μιγαδική ισχύς Η συνολική ισχύς που παρέχει η πηγή είναι: I I 1 I 2 Η γωνία της μιγαδικής ισχύος είναι: V s Z 1 Z 2 Ο συντελεστής ισχύος της πηγής είναι:
13.7 Διόρθωση συντελεστή ισχύος Έστω ότι έχουμε έναν καταναλωτή που χρειάζεται 10 kw. Ο εξοπλισμός του έχει cosφ=1. Οι γραμμές μεταφοράς της εταιρείας ηλεκτρικής ενέργειας πρέπει να μεταφέρουν ρεύμα 45,45 Α. Αν οι γραμμές μεταφοράς παρουσιάζουν ωμική αντίσταση 0,1 Ω, τότε ο παραγωγός πρέπει να παράγει 207 W επιπλέον σε τάση 224,5 Volt. Αν ο καταναλωτής απαιτεί την ίδια ισχύ με cosφ=0,5, τότε οι γραμμές πρέπει να μεταφέρουν διπλάσιο ρεύμα (90,9 Α), ο παραγωγός πρέπει να παράγει 826 W επιπλέον και σε υψηλότερη τάση (229 Volt). Στην πρώτη περίπτωση η εταιρεία χρεώνει το 98% της ενέργειας που παράγει, ενώ στη δεύτερη μόνο το 92%. Δύο λύσεις υπάρχουν: α) καλώδια μεγαλύτερης διατομής, β) να χρεώνονται επιπλέον καταναλωτές με χαμηλό συντελεστή ισχύος.
13.7 Διόρθωση συντελεστή ισχύος Η πρώτη λύση έχει μεγάλο κόστος. Η δεύτερη υλοποιείται συνδέοντας παράλληλα στο φορτίο έναν πυκνωτή. Η άεργος ισχύς που απορροφά το φορτίο είναι: Ο πυκνωτής θα πρέπει να παρέχει την παραπάνω άεργο ισχύ, άρα θα έχει σύνθετη αντίσταση: Η χωρητικότητά του θα πρέπει να είναι:
13.7 Διόρθωση συντελεστή ισχύος Παράδειγμα 138: Επαγωγικό φορτίο ισχύος 5 kw με συντελεστή ισχύος 0,7 τροφοδοτείται από το δίκτυο (220 V, 50 Hz). Να βρεθεί η τιμή του πυκνωτή που πρέπει να συνδεθεί παράλληλα με αυτό για να αυξηθεί ο συντελεστής ισχύος που βλέπει το δίκτυο σε 0,95. Να υπολογιστούν τα ρεύματα του φορτίου και του πυκνωτή και το ρεύμα που παρέχει το δίκτυο. V s I I L Z L C I C Η άεργος ισχύς που καταναλώνει το φορτίο είναι:
13.7 Διόρθωση συντελεστή ισχύος Η μιγαδική ισχύς του φορτίου είναι: Το ρεύμα που διαρρέει το φορτίο είναι: Με γωνία: Άρα το ρεύμα του φορτίου, και της πηγής, είναι: Όταν συνδέσουμε τον πυκνωτή αλλάζει η μιγαδική ισχύς που παρέχει η πηγή, σύμφωνα με το νέο συντελεστή ισχύος της: Όπου:
13.7 Διόρθωση συντελεστή ισχύος Αφού ο πυκνωτής δεν καταναλώνει πραγματική ισχύ έχουμε: I I L I C V s Z L C Η συνολική άεργος ισχύς που παρέχει τώρα η πηγή είναι: Η μιγαδική ισχύς που παρέχει η πηγή είναι: Η μιγαδική ισχύς του πυκνωτή είναι:
13.7 Διόρθωση συντελεστή ισχύος Από την ισχύ του πυκνωτή μπορούμε να βρούμε το ρεύμα που τον διαρρέει: Q Im S QQ C 45,57 S 18,2 P Re Από το ρεύμα μπορούμε να βρούμε τη σύνθετη αντίσταση του πυκνωτή: Q C Και στη συνέχεια τη χωρητικότητά του:
13.7 Διόρθωση συντελεστή ισχύος Το ρεύμα που δίνει η πηγή είναι το άθροισμα του ρεύματος του φορτίου και του ρεύματος του πυκνωτή: I C Im 18,2 45,57 I Re Το ρεύμα αυτό θα μπορούσε να υπολογιστεί και από τη σχέση της ισχύος: I L Με την προσθήκη του πυκνωτή παράλληλα στο φορτίο το ρεύμα που δίνει η πηγή μειώνεται από 32,47 σε 23,92 Α.
13.7 Διόρθωση συντελεστή ισχύος Οι παραπάνω υπολογισμοί αφορούν την περίπτωση που η προσθήκη του πυκνωτή οδηγεί το συντελεστή ισχύος της πηγής σε 0,95 επαγωγικό. Αυξάνοντας την τιμή του πυκνωτή μπορούμε να κάνουμε χωρητικό το συντελεστή ισχύος. Η μιγαδική ισχύς που θα παρέχει τότε η πηγή θα είναι: V s I I L Z L C I C Η ισχύς του πυκνωτή τώρα θα είναι: Το ρεύμα του πυκνωτή τώρα θα είναι:
13.7 Διόρθωση συντελεστή ισχύος Έχοντας το ρεύμα μπορούμε να βρούμε τη σύνθετη αντίσταση του πυκνωτή: Im Q S 45,57 P 18,2 QQ C S Re Και τη χωρητικότητά του: Q C Το ρεύμα που δίνει τώρα η πηγή θα έχει το ίδιο μέτρο με αυτό που έδινε στην περίπτωση του επαγωγικού συντελεστή ισχύος, αλλά με θετική γωνία:
13.7 Διόρθωση συντελεστή ισχύος Παράδειγμα 139: Επαγωγικό φορτίο ισχύος 5 kw με συντελεστή ισχύος 0,7 τροφοδοτείται από το δίκτυο (220 V, 50 Hz). Παράλληλα στο φορτίο συνδέεται ένα ωμικό φορτίο και ο συνολικός συντελεστής ισχύος γίνεται 0,9 επαγωγικός. Να βρεθεί η ισχύς που απορροφά το ωμικό φορτίο. Η άεργος ισχύς του φορτίου είναι: V s I Z L R I L I R Όταν συνδεθεί το ωμικό φορτίο μεταβάλλεται η πραγματική ισχύς που παρέχει το δίκτυο:
13.7 Διόρθωση συντελεστή ισχύος Η ισχύς τώρα παρέχεται με συντελεστή ισχύος 0,9: Υπολογίζουμε τη νέα φαινόμενη ισχύ: Στη συνέχεια υπολογίζουμε τη συνολική πραγματική ισχύ που καταναλώνεται: Η παραπάνω ισχύς περιλαμβάνει τα 5 kw που καταναλώνει το επαγωγικό φορτίο, άρα η ισχύς του ωμικού φορτίου είναι 5,53 kw.
13.7 Διόρθωση συντελεστή ισχύος Παράδειγμα 1310: Έχουμε δύο φορτία, Z 1 =20j15 Ω και Z 2 =80j60 Ω, που τροφοδοτούνται από την τάση του δικτύου (220 V, 50 Hz). Να βρεθεί ο συντελεστής ισχύος του συνολικού φορτίου και η τιμή του πυκνωτή που πρέπει να συνδεθεί παράλληλα με αυτό για να αυξηθεί ο συντελεστής ισχύος που βλέπει το δίκτυο σε 1. Οι τιμές των φορτίων σε πολική μορφή είναι: V s I I 1 I 2 I C j15 j60 C 20 80 Τα δύο φορτία έχουν ίσους συντελεστές ισχύος, το πρώτο 0,8 επαγωγικό και το δεύτερο 0,8 χωρητικό.
13.7 Διόρθωση συντελεστή ισχύος Το πρώτο φορτίο καταναλώνει μιγαδική ισχύ: Το δεύτερο φορτίο καταναλώνει μιγαδική ισχύ: Η συνολική ισχύς και των δύο φορτίων μαζί είναι: Το συνολικό φορτίο είναι επαγωγικό και έχει συντελεστή ισχύος:
13.7 Διόρθωση συντελεστή ισχύος Για να γίνει ο συντελεστής ισχύος που βλέπει η πηγή ίσος με τη μονάδα θα πρέπει να συνδέσουμε έναν πυκνωτή, ο οποίος θα παρέχει όλη την άεργο ισχύ που χρειάζεται το φορτίο, δηλαδή 871,2 VAR: V s I I 1 I 2 I C j15 j60 C 20 80
13.8 Μέγιστη μεταφορά ισχύος Μια πραγματική πηγή παρέχει τη μέγιστη ισχύ σε μια αντίσταση φορτίου όταν αυτή ισούται με την εσωτερική της αντίσταση. Στην περίπτωση ημιτονοειδούς πηγής η εσωτερική αντίσταση είναι σύνθετη αντίσταση, έχει δηλαδή και φανταστικό μέρος. V TH Z TH α β I L Z L Στην περίπτωση αυτή η μέγιστη ισχύς αποδίδεται όταν η αντίσταση φορτίου ισούται με το συζυγή της εσωτερικής αντίστασης της πηγής: I N Z N α I L Z L β
13.8 Μέγιστη μεταφορά ισχύος Εάν έχουμε τον περιορισμό καθαρά ωμικού φορτίου, δηλαδή εάν X L =0, τότε η ισχύς στην αντίσταση φορτίου μεγιστοποιείται όταν αυτή ισούται με το μέτρο της εσωτερικής αντίστασης της πηγής: V TH Z TH α β I L Z L α I L I N Z N Z L β
13.8 Μέγιστη μεταφορά ισχύος Παράδειγμα 1311: α) Να βρεθεί η τιμή της σύνθετης αντίστασης φορτίου για την οποία μεγιστοποιείται η πραγματική ισχύς που καταναλώνει καθώς και η τιμή της μέγιστης ισχύος και β) Να βρεθεί η τιμή της καθαρά ωμικής αντίστασης φορτίου που μεγιστοποιεί την ισχύ που καταναλώνεται σε αυτή και η τιμή της μέγιστης ισχύος στην περίπτωση αυτή. Πρώτα πρέπει να βρούμε το ισοδύναμο Thevenin του κυκλώματος. 10<0 V RMS 10<0 V RMS j20 Ω j20 Ω 1<30 0 A RMS 1<30 0 A RMS 10 Ω 10 Ω α V TH Z L β
13.8 Μέγιστη μεταφορά ισχύος Η τάση Thevenin είναι: j20 Ω 10 Ω Η αντίσταση Thevenin είναι: 10<0 V RMS 1<30 0 A RMS α V TH β Στην περίπτωση που η αντίσταση φορτίου είναι σύνθετη αντίσταση, η πραγματική ισχύς που καταναλώνει μεγιστοποιείται όταν: j20 Ω 10 Ω α Z TH β
Z L =10j20 Ω 13.8 Μέγιστη μεταφορά ισχύος Από το ισοδύναμο Thevenin υπολογίζουμε το ρεύμα: V TH =26,46<40,89 0 Z TH =10j20 Ω α I L β Η μέγιστη ισχύς θα είναι: Άλλη τόση ισχύ θα καταναλώνει η αντίσταση Thevenin. Επιπλέον, η αντίσταση Thevenin και η αντίσταση φορτίου θα έχουν και άεργο ισχύ, με ίσα μέτρα και αντίθετα πρόσημα, ενώ η πηγή Thevenin δεν θα παρέχει άεργο ισχύ (θα λειτουργεί με cosφ=1).
R L =22,36 Ω 13.8 Μέγιστη μεταφορά ισχύος Στην περίπτωση που η αντίσταση φορτίου είναι καθαρά ωμική, η ισχύς που καταναλώνει μεγιστοποιείται όταν η τιμής της είναι: Το ρεύμα που διαρρέει τώρα το κύκλωμα γίνεται: V TH =26,46<40,89 0 Z TH =10j20 Ω α β I L Η ισχύς που καταναλώνει τώρα η αντίσταση φορτίου γίνεται:
R L =22,36 Ω 13.8 Μέγιστη μεταφορά ισχύος Η αντίσταση Thevenin τώρα καταναλώνει πραγματική ισχύ: Και άεργο ισχύ: V TH =26,46<40,89 0 Z TH =10j20 Ω α I L Η πηγή παρέχει πραγματική ισχύ: β Και άεργο ισχύ: