0.5 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 4 5 ρωτήσεις κατανόησης. ( ) ύο τρίγωνα και έχουν υ β = υ β και =. ( ) β ποιος είναι ο λόγος β : : : 9 : 4 5 4 4 9 Κυκλώστε το γράµµα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντηση σας. βυ ( ) = ( ) β υ β β β = β. ύο ρόµβοι και έχουν ˆ 4 = ˆ και =. 5 Να υπολογιστεί λόγος ( ) ( ) φού = ˆ ˆ οι γωνίες των ρόµβων θα είναι ίσες και επειδή επιπλέον ισχύει 4 = = = = οι ρόµβοι είναι όµοιοι µε λόγο οµοιότητας λ = 4 5 5 οπότε =λ = 6 ( ) 5. Ένα ισοσκελές τρίγωνο ( = ) είναι ισοδύναµο µε ένα τρίγωνο που έχει =6. ν είναι + ˆ ˆ =, ποιο είναι το µήκος των ίσων πλευρών του ισοσκελούς ; + ˆ ( ) ˆ = = = = 6 ( ) 6
σκήσεις µπέδωσης. ύο τρίγωνα και έχουν α = α και είναι 0 m, να βρείτε το εµβαδόν του. ( ) αυ α υ = α = ( ) αυ υ = α α ( ) = () ( ) = υ = υ. ν το εµβαδόν του α α 0 ( ) =0 m. ίνεται παραλληλόγραµµο µε εµβαδόν 0 m. ν Μ σηµείο στην προέκταση της τέτοιο ώστε = Μ, να βρείτε το εµβαδόν του τριγώνου Μ. Μ Φέρουµε τη διαγώνιο. Τα τρίγωνα Μ, έχουν ίδιο ύψος. ( Μ) Μ Μ Άρα = = = Μ (Μ) = () = () = 4 0 = 5 m
. ίνεται τρίγωνο και τα σηµεία και Ζ των προεκτάσεων των και, ώστε = και Ζ =. ν το εµβαδόν του τριγώνου είναι 0 m, να βρείτε το εµβαδόν του Ζ. ˆ = ˆ Ζ ( Ζ) ( ). Ζ. = =.. (Ζ) = () = 0 = 0 m 4. Ένα τρίγωνο έχει εµβαδόν 75 m. Έστω σηµείο της πλευράς και Μ σηµείο του τέτοιο, ώστε AM M =. πό το Μ φέρουµε παράλληλο προς την πλευρά, που τέµνει τις και στα και Ζ αντίστοιχα. Να βρείτε το εµβαδόν του τραπεζίου Ζ. AM M = Μ+ AMM = + AM = 5 M Ζ τρ.ζ όµοιο του τρ. και µε Θ. Θαλή Ζ 9 = = 5 5 A = 5 (Ζ) = 9 5 () (Ζ) = 9 75 = 7 m 5 Άρα (Ζ) = () (Ζ) = 75 7 = 48 m.
4 5. ύο τρίγωνα και έχουν = ˆ ˆ και + ˆ ˆ =. Να αποδείξετε ότι α β = α β. ˆ ˆ = ˆ ˆ + = Άρα βγ βγ = αγ αγ ( ) ( ) ( ) ( ) = βγ βγ = αγ αγ β β = α α αβ =αβ
5 ποδεικτικές σκήσεις. ίνεται τρίγωνο και εσωτερικό του σηµείο Ρ. ν οι Ρ, Ρ και Ρ τέµνουν τις, και στα, και Ζ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι Ρ i) = ( Ρ ), ii) Ρ +Ρ + ΡΖ Ζ = και iii) Ρ +Ρ + Ρ Ζ = Ζ Λ i) Φέρουµε τα ύψη ΡΚ, Λ των τριγώνων Ρ, αντίστοιχα και επειδή έχουν ( Ρ) κοινή βάση, θα είναι = ΡΚ Λ Ρ Κ () + () + () Τρ.ΡΚ όµοιο του Λ ( Ρ) Άρα ( ) = Ρ ( Ρ) ii) Οµοίως ( Ρ) και ( Ρ) ( ) + ( Ρ ) ( ) + ( Ρ ) ( ) = Ρ ( Ρ ) + ( Ρ ) + ( Ρ) = ( ) ( ) ( ) = Ρ +Ρ + ΡΖ Ζ = Ρ +Ρ + ΡΖ Ζ = Ρ = ΡΖ Ζ Ρ = ΡΚ Λ () () () +Ρ + ΡΖ Ζ Ρ +Ρ + ΡΖ Ζ iii) Ρ = Ρ = Ρ Ρ =. = Ρ Ρ ΡΖ = = Ζ Ζ Προσθέτουµε κατά µέλη οµοίως και Ρ +Ρ + Ρ Ζ = Ρ +Ρ + Ρ Ζ = = Ρ Ρ ΡΖ + + Ζ
6. ίνεται τρίγωνο µε ˆ, < ˆ και το ύψος του. Στο ηµιεπίπεδο (,) φέρουµε x και y. Πάνω στις x, y παίρνουµε αντίστοιχα τα σηµεία και Ζ, ώστε να έιναι = Ζ =. ν Μ, Ν είναι τα µέσα των και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι (Μ) + (ΖΝ) = (). Ζ x Ν y Μ ˆ = ˆ Μ Μ = = = (Μ) = () Οµοίως (ΖΝ) = () Προσθέτουµε (Μ) + (ΖΝ) = ().. ίνεται κύκλος κέντρου Ο και δύο κάθετες χορδές και. Να αποδείξετε ότι (Ο) = (Ο). O Κ + ˆΚ = + = + = Ο ˆ +Ο ˆ = Ο Ο Ο = = Ο Ο Ο (Ο) = (Ο).
7 4. ίνεται τρίγωνο. υθεία παράλληλη προς τη τέµνει την στο και την στο. Να αποδείξετε ότι ( ) = ( )( ). ρκεί να αποδείξουµε ότι ( AB) ( ) =( AB ) ( ) Τα τρίγωνα, έχουν ίδιο ύψος από το, ( AB) άρα = () Τα τρίγωνα, έχουν ίδιο ύψος από το, άρα (), (), () ( AB) ( ) =( AB ) ( ) ( AB) = Θ.Θαλή = () () 5. Πάνω στις πλευρές κυρτού τετραπλεύρου κατασκευάζουµε εξωτερικά αυτού τα τετράγωνα Ζ, ΗΘ, ΙΚ και ΛΜ. Να αποδείξετε ότι Λ Μ Ζ (ΜΖ) + (ΗΚ) = (Θ) + (ΙΛ) Θ Η Φέρουµε τη διαγώνιο. ˆ + ˆ = ( ΜΖ) = Μ Ζ = (ΜΖ) = () και οµοίως (ΗΚ) = () Άρα (ΜΖ) + (ΗΚ) = () Ι Κ Οµοίως (Θ) + (ΙΛ) = () Άρα (ΜΖ) + (ΗΚ) = (Θ) + (ΙΛ)
8 6. Θεωρούµε ορθογώνιο τρίγωνο ( ˆ = ) και τρία πολύγωνα Ρ, Ρ και Ρ όµοια µεταξύ τους, που έχουν ως οµόλογες πλευρές, και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ( Ρ ) + ( Ρ ) = ( Ρ ), όπου ( Ρ ), ( Ρ ) και ( Ρ ) τα εµβαδά τους. ρκεί να αποδείξουµε ότι Πολύγωνο Ρ όµοιο του Ρ Οµοίως Οπότε, αρκεί να αποδείξουµε ότι ( Ρ ) ( Ρ ) + Ρ ( Ρ) ( Ρ ) ( Ρ) ( Ρ) ( Ρ ) = β α + γ β = α = β α γ = α = γ α α =, ή β +γ =α που ισχύει.
9 Σύνθετα Θέµατα. Θεωρούµε τετράπλευρο και έστω Ο το σηµείο τοµής των διαγωνίων του. ν,, και είναι τα εµβαδά των τριγώνων Ο, Ο, Ο και 4 Ο αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι =. ν υποθέσουµε ότι η 4 είναι παράλληλη προς τη, τότε να αποδείξετε ότι i) =, E E 4 O E ii) E =, iii) E, όπου = () 4 4 ρκεί να αποδείξουµε ότι = 4 Τα τρίγωνα Ο, Ο έχουν κοινό ύψος από το άρα = Ο Ο και οµοίως 4 = Ο Ο Άρα = 4 i) ρκεί να αποδείξουµε ότι + = +, δηλαδή ότι () = (), το οποίο συµβαίνει αφού. ii) φού =, η ισότητα = γίνεται 4 iii) 4 E 4 E = 4 4 + + + 4 + (αφού = ) 4 E E + (αφού 4 4 4 4 4 4 0 E + E 4 E + + E 4 4 E + E 4 4 E E 0 4, που ισχύει. = 4 = ) 4
0. πό εσωτερικό σηµείο Σ τριγώνου φέρουµε παράλληλες προς τις πλευρές του. ν,, είναι τα εµβαδά των τριών τριγώνων που σχηµατίζονται, να αποδείξετε ότι i) καθένα από τα τρίγωνα εµβαδών,, είναι όµοιο µε το ii) E + E + E = E, όπου = () i) Λόγω των παραλλήλων, είναι προφανές ότι καθένα από τα τρία τρίγωνα έχει ίσες γωνίες µε το τρίγωνο ii) Ι Θ Κ Σ Ζ Η ρκεί να δειχθεί ότι Τρ.ΣΖ όµοιο E + E E + E E = E E E Ζ = E E = Ζ Οµοίως Άρα E E = ΣΗ = Ζ E + E E + E E E και E E = ΚΣ = = Ζ + Ζ + = Ζ+Ζ+ = =
. Σε τρίγωνο φέρουµε τις διχοτόµους, και Ζ. Να αποδείξετε ότι αβγ α+β β+γ γ+α () i) (Ζ) = ii) (Ζ) 4 () Ζ i) Τα τρίγωνα Ζ, έχουν ˆ κοινή ( Ζ) ( ) = Ζ. γβ (Ζ) = γβ βγ γβ α+β α+γ () βγ (Ζ) = () και κυκλικά ( α+β )( α+γ ) γα (Ζ) = ( β+γ )( β+α () ) αβ () = ( γ+α )( γ+β () ) (Ζ) = () (Ζ) (Ζ) () = βγ γα = () () ( α+β )( α+γ ) ( β+γ )( β+α () αβ ) ( γ+α)( γ+β ) () βγ = ( ( α+β )( α+γ γα ) ( β+γ)( β+α ) αβ ( γ+α)( γ+β ) ) () = ( α+β)( β+γ)( γ+α) βγ( β+γ) γα( γ+α) αβ( α+β) ( α+β)( β+γ)( γ+α) () αβγ α+β β+γ γ+α () = πράξεις στον αριθµητή.. = ii) (Ζ) 4 () αβγ ( α+β)( β+γ)( γ+α ) () 4 () 8αβγ ( α+β)( β+γ)( γ+α ) 8αβγ αβγ+α β+αγ +α γ+β γ+β α+βγ +βγα 0 α β+αγ +α γ+β γ+β α+βγ 6βγα 0 ( αγ +αβ αβγ ) + ( βγ +βα βγα ) + ( γα +γβ αβγ ) 0 α( β +γ βγ ) +β( γ +α αγ ) +γ( α +β αβ ) 0 α( β γ ) +β( γ α ) +γ( α β ) που ισχύει.
4. ίνεται τρίγωνο και σηµεία Κ, Λ των πλευρών, αντίστοιχα. πό τα Κ, Λ να φέρετε δύο ευθείες που να χωρίζουν το τρίγωνο σε τρία ισοδύναµα µέρη. K Η Ζ Λ νάλυση Έστω ΚΖ η µία από τις ζητούµενες ευθείες. Τότε (ΚΖ) = () ( ΚΖ) = () ρκεί να υπολογίσουµε το τµήµα Ζ συναρτήσει γνωστών τµηµάτων. Τα τρίγωνα ΚΖ, έχουν κοινή τη γωνία ˆ ( ΚΖ) (), () Κ Ζ = = Κ Ζ Κ Ζ = Ζ = Κ Σύνθεση Πάνω στην τοποθετούµε σηµείο Ζ τέτοιο, ώστε Ζ = και φέρουµε Κ την ΚΖ. Με τον ίδιο τρόπο κατασκευάζουµε και τη δεύτερη ζητούµενη ευθεία ΛΗ. ()