ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Παναγιώτης ΚΛΟΥΚΙΝΑΣ 1, Γεώργιος ΜΥΛΩΝΑΚΗΣ 2, Κώστας ΠΑΠΑΝΤΩΝΟΠΟΥΛΟΣ 3

3 o Πανελλήνιο Συνέδριο Αντισεισμικής Μηχανικής & Τεχνικής Σεισμολοίας 5 7 Νοεμρίου, 008 Άρθρο 904 Μέεθος και Κατανομή Σεισμικών Ωθήσεων σε Άκαμπτους Τοίχους Αντιστήριξης με Χρήση Οριακής Ανάλυσης Τάσεων Magnitude and Distribution of Seismic Earth Pressures on Gravity Walls by Stress Limit Analysis Παναιώτης ΚΛΟΥΚΙΝΑΣ, Γεώριος ΜΥΛΩΝΑΚΗΣ, Κώστας ΠΑΠΑΝΤΩΝΟΠΟΥΛΟΣ 3 ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Παρουσιάζεται κλειστή λύση οριακής ανάλυσης τάσεων ια τον υπολοισμό μεέθους και κατανομής σεισμικών ωθήσεων σε άκαμπτους τοίχους αντιστήριξης. Η λύση είναι μια προσειστική μέθοδος τύπου ραμμών διαρροής η οποία υπερεκτιμά τις ενερητικές ωθήσεις και υποεκτιμά τις παθητικές. Συκριτικά με την λύση Mononobe Okabe, η παρούσα λύση είναι απλούστερη, ακριέστερη, ειδικά ια τον υπολοισμό των παθητικών ωθήσεων, και ασφαλής. Επιπλέον, παρέχει την δυνατότητα ορθολοικού υπολοισμού της κατανομής των ωθήσεων, και επομένως τον υπολοισμό του σημείου εφαρμοής της σεισμικής δράσης στον τοίχο. Στο δεύτερο μέρος του άρθρου παρουσιάζεται μεθοδολοία ια την εκτίμηση της επίδρασης της κινηματικής του προλήματος (περιστροφή του τοίχου) στην κατανομή των ωθήσεων. Τέλος, η λύση επεκτείνεται στη δυναμική περιοχή με την χρήση κυματικών λύσεων ια την απόκριση του εδαφικού επιχώματος και διερευνάται η επίδραση της πραματικής δυναμικής διέερσης στο μέεθος και την κατανομή των ωθήσεων. ABSTRACT: A closed-form stress plasticity solution is presented for earthquake-induced earth pressures and distribution of these pressures on inflexible retaining walls. The solution is essentially an approximate yield line approach that over- and under-estimates active and passive pressures, respectively. Compared to Mononobe-Okabe equations, the proposed solution is simpler, more accurate - especially for passive pressures - and safe. In addition, it provides a rational means for determining the distribution of limit thrusts on the wall. In the second part of the paper, the solution is extended to determine the distribution of limit pressures on a gravity wall, depending on the kinematics of the wall (rotation) and on the actual dynamic excitation of the backfill, by means of elastodynamic wave equations, which extend the range of pseudo-dynamic limit analysis. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι κλασικές εξισώσεις του Coulomb [Coulomb, 776] των Mononobe-Okabe [Okabe, 96; Mononobe & Matsuo, 99] χρησιμοποιούνται ευρέως ια τον υπολοισμό εδαφικών Υποψήφιος Διδάκτωρ, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Πανεπιστήμιο Πατρών, email: pkloukin@upatras.gr Επίκουρος Καθηητής, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Πανεπιστήμιο Πατρών, email: mylo@upatras.gr 3 Επίκουρος Καθηητής, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Πανεπιστήμιο Πατρών, email: cip@upatras.gr

ωθήσεων εξαιτίας αρυτικών και σεισμικών φορτίσεων αντίστοιχα. Είναι νωστό ότι και οι δύο λύσεις εμπίπτουν στην ευρύτερη κατηορία των κινηματικών λύσεων της οριακής ανάλυσης. Οι λύσεις αυτές ασίζονται σε κινηματικώς αποδεκτούς μηχανισμούς αστοχίας σε συνδυασμό με την εφαρμοή κατάλληλου κριτηρίου αστοχίας και κανόνα ροής ια το εδαφικό υλικό, κατά μήκος των προκαθορισμένων επιφανειών αστοχίας [Chen, 975]. Οι τάσεις εκτός των επιφανειών αστοχίας δεν εξετάζονται και επομένως η ισορροπία στο μέσο ενικώς δεν ικανοποιείται. Για την περίπτωση των ιδεατώς πλαστικών υλικών, οι λύσεις αυτού του τύπου είναι εενώς μη ασφαλείς, δηλαδή υποεκτιμούν τις ενερητικές ωθήσεις και υπερεκτιμούν τις παθητικές. Χωρίς να αμφισητείται η θεωρητική τους εκυρότητα και η πρακτική τους σημασία, οι παραπάνω σχέσεις παρουσιάζουν τις ακόλουθες αδυναμίες: () Στα πλαίσια της θεωρίας της οριακής ανάλυσης, οι προλέψεις τους είναι μη ασφαλείς. () Η ακρίεια και η ασφάλεια τους μειώνεται δραματικά ια παθητικές ωθήσεις σε τραχείς τοίχους. (3) Οι μαθηματικές εκφράσεις είναι πολύπλοκες και είναι δύσκολο να ελεχθούν εποπτικά. (4) Δεν μπορούν να προλέψουν την κατανομή των τάσεων επαφής στον τοίχο, απλά υποθέτουν τριωνική κατανομή ακολουθώντας τη λύση του Rankine. (5) Απαιτούν ελτιστοποίηση του μηχανισμού αστοχίας ια την εύρεση στάσιμης τιμής. (6) Οι οριακές συνθήκες τάσεων δεν ικανοποιούνται, καθώς η κρίσιμη επιφάνεια αστοχίας που προκύπτει από την ελτιστοποίηση, ενικά δεν ικανοποιεί την απαιτούμενη ωνία ανάδυσης των 45 ο φ/. Μια δεύτερη κατηορία μεθόδων της οριακής ανάλυσης, οι τασικές λύσεις, χρησιμοποιούν πεδία τάσεων τα οποία ικανοποιούν τις εξισώσεις ισορροπίας και τις οριακές συνθήκες τάσεων χωρίς να παραιάζουν το κριτήριο αστοχίας σε κανένα σημείο του μέσου [Atkinson, 98; Davis & Selvadurai, 00]. Από την άλλη μεριά, η κινηματική του προλήματος δεν εξετάζεται, συνεπώς, το συμιαστό των παραμορφώσεων ενικώς δεν ικανοποιείται. Για τα ιδεατώς πλαστικά υλικά, οι λύσεις αυτού του τύπου είναι εενώς ασφαλείς, δηλαδή υπερεκτιμούν τις ενερητικές ωθήσεις και υποεκτιμούν τις παθητικές. Η πιο νωστή τέτοια εξίσωση είναι αυτή του Rankine, η δυνατότητα χρήσης της οποίας περιορίζεται από τις παραδοχές οριζόντιου πρανούς και λείου κατακόρυφου τοίχου. Εξαιτίας της δυσκολίας στην κατασκευή κατάλληλων τασικών πεδίων, η πλειονότητα των διαθέσιμων κλειστών λύσεων οριακής ανάλυσης στη εωτεχνική είναι του κινηματικού τύπου (Chen, 975; Kramer, 996). Λύσεις τασικού τύπου ια σεισμικές ωθήσεις αιών δεν έχουν εξαχθεί στο παρελθόν, με μικρές εξαιρέσεις (Lancellotta 007, Mylonakis et al 007). ± Με άση τα παραπάνω, είναι φανερό ότι η ανάπτυξη μια κλειστής λύσης οριακής ανάλυσης τάσεων ια τον υπολοισμό σεισμικών εδαφικών ωθήσεων θα ήταν επιθυμητή. Όπως θα αποδειχθεί στη συνέχεια, η προτεινόμενη λύση είναι μαθηματικώς απλούστερη από τις υπάρχουσες κινηματικές λύσεις, παρέχει ικανοποιητική ακρίεια, τα αποτελέσματα της είναι από την πλευρά της ασφάλειας και τέλος δίνει τη δυνατότητα υπολοισμού του σημείου εφαρμοής της συνολικής εδαφικής ώθησης. Η παρούσα λύση, πέρα από το θεωρητικό της ενδιαφέρον, μπορεί να αξιοποιηθεί ια την αποτίμηση και ελτίωση άλλων συναφών μεθόδων.

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΛΥΣΗ Το υπό εξέταση πρόλημα απεικονίζεται στο Σχήμα : πρανές από ξηρό μη συνεκτικό έδαφος, το οποίο αντιστηρίζεται από τοίχο αρύτητας με κεκλιμένη επιφάνεια, υπόκειται σε επίπεδη παραμόρφωση κάτω από τη συνδυασμένη δράση της αρύτητας (g) και των σεισμικών αδρανειακών δυνάμεων κορμού (a h x g) και (a v x g) κατά την οριζόντια και την κάθετη διεύθυνση αντίστοιχα. Οι παράμετροι του προλήματος είναι: το ύψος () και η κλίση (ω) του τοίχου, η κλίση () του πρανούς, η τραχύτητα (δ) της διεπιφάνειας τοίχου-εδάφους, το ειδικό άρος () και η ωνία τριής (φ) του εδάφους και η επιφανειακή κατακόρυφη επιφόρτιση (q). Στην παρούσα ανάλυση δεν λαμάνεται υπόψη η ύπαρξη συνοχής στο έδαφος και στη διεπιφάνεια τοίχου εδάφους, ια το λόο ότι τα επιχώματα αποτελούνται συνήθως από μη συνεκτικά, χονδρόκοκκα υλικά. Η παρούσα ανάλυση αρχικά ακολουθεί την κλασική θεώρηση του παραπάνω προλήματος: α) όσον αφορά στην κινηματική του προλήματος, θεωρεί παράλληλη μετατόπιση χωρίς περιστροφή του τοίχου, αρκετή ια να αναπτυχθούν πλήρως οι ενερητικές και παθητικές ωθήσεις, ενώ η εδαφική μάζα θεωρείται «απαραμόρφωτη» πριν την πλαστική διαρροή, ώστε η κατανομή των σεισμικών αδρανειακών δράσεων καθ ύψος να είναι ομοιόμορφη. Και οι δύο παραπάνω παραδοχές έχουν σημαντική επίδραση στην ακριή κατανομή των εδαφικών ωθήσεων στον τοίχο, όπως θα σχολιαστεί στη συνέχεια. Όπως είναι φανερό από το Σχήμα, η συνισταμένη δύναμη κορμού (αρυτική και σεισμική δράση) δρά υπό ωνία ψ e από την κατακόρυφο ah tanψ e = () a v inclined backfill q + + ψ e + ω cohesionless soil (φ ) + a + a z inclined wall, roughness (δ) Σχήμα. Το υπό εξέταση πρόλημα Θετικό a h (δηλ. ψ e > 0) δηλώνει αδρανειακή δράση προς τον τοίχο, η οποία μειστοποιεί την ενερητική ώθηση. Αντίθετα, αρνητική a h (δηλ. ψ e < 0) δηλώνει αδρανειακή δράση προς το πρανές, η οποία ελαχιστοποιεί την παθητική αντίσταση. Για να αποφευχθεί η αστοχία του 3

πρανούς υπό ενερητική σεισμική φόρτιση, η σεισμική ωνία ψ e δεν θα πρέπει να ξεπερνά την διαφορά μεταξύ της ωνίας τριής και της κλίσης του πρανούς. Επομένως, ισχύει ο ακόλουθος περιορισμός [Ebeling et al, 99]: ψ < φ () e Για την ανάλυση του προλήματος, το πρανές διαιρείται σε δύο κύριες περιοχές, στις οποίες επικρατούν διαφορετικές εντατικές καταστάσεις, όπως φαίνεται στο Σχήμα : η πρώτη περιοχή (A) ρίσκεται κοντά στην επιφάνεια του εδάφους, ενώ η δεύτερη (B) κοντά στη διεπιφάνεια τοίχου εδάφους. Και στις δύο περιοχές το έδαφος θεωρείται ότι ρίσκεται σε κατάσταση «επικείμενης αστοχίας» κάτω από τη συνδυασμένη δράση αρυτικών και σεισμικών δυνάμεων. Η ίδια υπόθεση υιοθετείται και ια την διεπιφάνεια τοίχου εδάφους, στην οποία εφαρμόζονται οι έλξεις επαφής. Μια μεταατική περιοχή (C) ανάμεσα στις δύο περιοχές A και B θα παρουσιαστεί στη συνέχεια. q soil surface z τ σ ZONE A h ω (σ w, τ w) passive δ δ (σ w, τ w ) active s Logarithmic Stress fan ZONE C wall length L = / cosω ZONE B Σχήμα. Τασικά πεδία κοντά στην επιφάνεια του πρανούς (περιοχή Α), στον τοίχο (περιοχή Β) και η μεταατική ζώνη (περιοχη C) Ο προσδιορισμός των τάσεων στην περιοχή Α ίνεται με την υπόθεση ότι οι συνθήκες στο επίχωμα προσείζονται ικανοποιητικά από τις συνθήκες του απειρομήκους πρανούς, όπως φαίνεται στο Σχήμα. Το ραμμοσκιασμένο εδαφικό στοιχείο του σχήματος ισορροπεί κάτω από την επίδραση των μαζικών δυνάμεων, των πλευρικών αντιδράσεων στις δύο κάθετες παρειές οι οποίες αλληλοαναιρούνται, και της αντίδρασης στη άση του. Από αυτή την 4

ισορροπία, προκύπτει ότι η ορθή και διατμητική τάση (σ και τ ) στην άση του κεκλιμένου στοιχείου δίνεται από τις ακόλουθες εκφράσεις: σ q = z + cos cos (3a) q τ = z + sin cos cos (3b) οι οποίες ισχύουν ια στατικές συνθήκες (a h = a v = 0) και ικανοποιούν τις συνοριακές συνθήκες στην ελεύθερη επιφάνεια. Διαιρώντας τις δύο εξισώσεις κατά μέλη προκύπτει ότι ο λόος των διατμητικών προς τις ορθές τάσεις είναι σταθερός με το άθος (tan) και ότι σε σημεία στο ίδιο άθος επικρατούν ίσες τάσεις. Σημειώνεται πως εξαιτίας της στατικώς ορισμένης φύσης και της αντισυμμετρίας του προλήματος, οι παραπάνω σχέσεις είναι ανεξάρτητες των ιδιοτήτων του υλικού και ασυμπτωτικά ακριείς σε μεάλες αποστάσεις από τον τοίχο. Ο κύκλος Mohr που αντιστοιχεί στην παραπάνω εντατική κατάσταση εμφανίζεται στο Σχήμα 3a και σχεδιάζεται εφαπτόμενος στο κριτήριο αστοχίας, ώστε η εδαφική μάζα στην περιοχή Α να ρίσκεται υπό συνθήκες επικείμενης αστοχίας. Στο σχήμα επίσης είναι εμφανείς οι διαφορετικές θέσεις του τασικού σημείου (σ, τ ) στην ενερητική και την παθητική κατάσταση, εονός που έχει να κάνει με τον προσανατολισμό σε κάθε περίπτωση των κυρίων τάσεων, και οι αντίστοιχες κλίσεις του επιπέδου της μέιστης κύριας τάσης. Στην περιοχή Β η εντατική κατάσταση θεωρείται ότι μεταάλλεται ραμμικά με το άθος z, και είναι συματή με τη συνθήκη αστοχίας στη διεπιφάνεια τοίχου-εδάφους. Συνεπώς σε όλα τα επίπεδα με κλίση ω ως προς την κατακόρυφη στην συκεκριμένη περιοχή ισχύει: τ = σ tanδ (4) w w όπου σ w και τ w οι ορθές και διατμητικές τάσεις επαφής (έλξεις) στον τοίχο. Η παραπάνω εξίσωση είναι ασυμπτωτικά ακριής στη ειτονιά του τοίχου. Ο αντίστοιχος κύκλος Mohr τάσεων παρουσιάζεται στο Σχήμα 3b. Το διαφορετικό πρόσημο της διατμητικής τάσης στην διεπιφάνεια ια την ενερητική και την παθητική κατάσταση οφείλεται στις κατευθύνσεις με τις οποίες οι τάσεις αυτές έχουν σχεδιαστεί στο Σχήμα (παθητικές προς τα πάνω, ενερητικές προς τα κάτω), που με τη σειρά του είναι αποτέλεσμά της κινηματικής του προλήματος. Το εονός αυτό, ότι δηλαδή το πρόσημο της διατμητικής τάσεις προσδιορίζεται με κινηματικά κριτήρια, είναι σε αντίθεση με την ενική άποψη ότι οι λύσεις που ασίζονται στην ισορροπία, ανοούν πλήρως τις μετατοπίσεις (Papantonopoulos & Ladanyi 973). Με άση τα παραπάνω, είναι φανερό πως ο προσανατολισμός των κύριων επιπέδων (επομένως και των χαρακτηριστικών επιπέδων αστοχίας) στις δύο περιοχές είναι διαφορετικός και μεταάλλεται από την ενερητική στην παθητική περίπτωση. 5

B και (a) (σ, τ ) passive case (σ, τ ) active case ZONE A φ Δ Δ S A Δ Δ + σ A soil surface active passive (b) (σ w, τ w) passive ZONE B wall plane Δ passive δ δ φ Δ δ S B Δ + δ σ B active ω (σ w, τ w) active wall plane Σχήμα 3. Κύκλοι Mohr των τάσεων και προσανατολισμοί των μέιστων κύριων επιπέδων στις περιοχές Α και Β. Επιπλέον οι μέσες τάσεις S A και S B, ενικώς δεν συμπίπτουν το οποίο σημαίνει πως μια λύση τύπου Rankine, άσει ενός ομοιόμορφου πεδίου τάσεων, δεν είναι εν ένει δυνατή. Για να υπολοίσουμε την απόσταση μεταξύ των μέσων τάσεων SA και S B να εξασφαλίσουμε την ομαλή μετάαση από το ένα τασικό πεδίο στο άλλο, υιοθετούμε μια απειρία τασικών ασυνεχειών (ριπίδιο τάσεων), το κέντρο του οποίου ρίσκεται στην κορυφή του τοίχου (Σχήμα ). Στο εσωτερικό του ριπιδίου, οι κύριες τάσεις περιστρέφονται αθμιαία κατά τη ωνία θ ΑΒ που χωρίζει τα κύρια επίπεδα στις δύο περιοχές, όπως φαίνεται στο Σχήμα 4. Αυτή η πρόσθετη σχέση ράφεται [Chen, 975]: ( ) S = S exp m θ tan φ (5) B A AB 6

Το αρνητικό πρόσημο στην παραπάνω εξίσωση αντιστοιχεί στην περίπτωση όπου S B < S A (ενερητική κατάσταση) και αντίστροφα. Η εξίσωση (5) είναι η ακριής λύση των εξισώσεων Kötter ια ααρές υλικό και επομένως είναι ακριής ια ααρές ριπίδιο και απλά προσειστική ια ριπίδιο με άρος [Davis & Selvadurai, 00]. Δ + θ AB zone A π Δ δ zone B ω z ACTIVE CONDITIONS π Δ Δ + δ ω θ AB zone B z zone A PASSIVE CONDITIONS Σχήμα 4. Περιστροφή των μέιστων κυρίων επιπέδων ανάμεσα στις περιοχές Α και Β. Βαρυτική λύση Η συνολική φόρτιση πάνω στον τοίχο εξαιτίας της επιφόρτισης και της αρύτητας υπολοίζεται από την νωστή σχέση οριακού φορτίου: P = Kq q + K (6) 7

η οποία θυμίζει (παρ ότι όχι ισοδύναμη), αυτήν της φέρουσας ικανότητας επιφανειακού λωριδωτού θεμελίου σε μη συνεκτικό έδαφος. Στην παραπάνω εξίσωση, K q και K είναι οι αδιάστατοι συντελεστές εδαφικής ώθησης λόω επιφόρτισης και ιδίου άρους αντίστοιχα. Από τα Σχήματα 3 και 4, ολοκληρώνοντας τις τάσεις επαφής σε ολόκληρο το ύψος του τοίχου, είναι θέμα τετριμμένων αλερικών πράξεων να αποδειχθεί ότι: και ( ) m ( Δ m ) δ ω ± φ ( Δ ± ) cos ω cos sinφ cos δ K = cos cos sin cos cosω Kq = K cos ( ω ) exp( m θ tan φ) (7) (8) Η εξίσωση (8) συμπίπτει με την κινηματική λύση των Chen & Liu (990) ια μηχανισμό αστοχίας τύπου Coulomb και είναι η ακριής λύση ια ααρές υλικό με επιφόρτιση. Να σημειωθεί πως ια οριζόντιο πρανές (=0), οι δύο συντελεστές ταυτίζονται ανεξάρτητα από τη εωμετρία του τοίχου και τις ιδιότητες του. Η εξίσωση () αποτελεί την ακριή λύση ια ααρές επίχωμα με επιφόρτιση. Στις παραπάνω σχέσεις, ( ) θ =Δ m Δ + δ + ω (9) όπου Δ και Δ είναι οι οηθητικές ωνίες Caquot [Caquot, 934; Sokolovskii, 965] sin sin Δ =, sin sin φ sin δ Δ = (0,) sin φ Ο συμολισμός με τα διπλά πρόσημα (ενερητικές άνω, παθητικές κάτω) δεν είναι απαραίτητος, καθώς η εξίσωση (7) είναι πλήρως συμμετρική: με κατάλληλη προσήμανση των παραμέτρων διατμητικής αντοχής φ και δ (θετικές ια τις ενερητικές, αρνητικές ια τις παθητικές), η εξίσωση (7) με το άνω πρόσημο μόνο, μπορεί να περιράψει τόσο τις ενερητικές όσο και τις παθητικές ωθήσεις. Η σημασία της συμμετρίας θα σχολιαστεί στη συνέχεια. Μπορεί εύκολα να αποδειχθεί ότι αυτή η ιδιότητα δεν ισχύει ια τις εξισώσεις Mononobe Okabe, καθώς το πρόσημο της ρίζας δεν είναι δυνατό να αλλάξει, καθώς έχει προκύψει από διαδικασία εύρεσης στάσιμης τιμής. Ψευδοδυναμική λύση Η θεώρηση ότι οι αδρανειακές δυνάμεις δρουν ομοιόμορφα στην απαραμόρφωτη εδαφική μάζα, οδηεί σε συνισταμένη μαζική δράση κεκλιμένη κατά σταθερή ωνία ψ e από την κατακόρυφη (Σχήμα ). Με άση αυτή την υπόθεση, είναι προφανές πως το σεισμικό πρόλημα δεν διαφέρει ουσιαστικά από το στατικό, καθώς το πρώτο ταυτίζεται με το δεύτερο μέσω στροφής του συστήματος αναφοράς κατά τη ωνία ψ e όπως φαίνεται στο Σχήμα 5. Με άλλα λόια, η σεισμική ωνία ψ e δεν αποτελεί μια επιπλέον φυσική παράμετρο του προλήματος, παρά μόνο μεταάλλει τις τιμές των υπόλοιπων παραμέτρων. Αυτή η ιδιότητα 8

αυτό-ομοιότητας φαίνεται να χρησιμοποιήθηκε ια πρώτη φορά από τον Briske (97) και αρότερα από τους Terzaghi (943) και Arango (Seed & Whitman, 967) ια την επίλυση συναφών προλημάτων. Η εφαρμοή της ιδιότητας αυτής στην παρούσα λύση οδηεί στους ακόλουθους μετασχηματισμούς (Σχήμα 5): * * = + ψ e, ω = ω + ψ e (a, b) ( ) * cos ω ψ e = + / cos ω, (3) * = ( ) / cosψ, a v e * q = q( av) / cosψ e (4a, b) ψ e * ψ e * ψ ω e ω* Σχήμα 5. Μετασχηματισμός ομοιότητας με περιστροφή των αξόνων αναφοράς, ια την ανάλυση του ψευδοδυναμικού προλήματος ως στατικού (ενερητική κατάσταση). Να σημειωθεί ότι ια την παθητική κατάσταση η περιστροφή ίνεται αντίρροπα (ωρολοιακά). Η τροποποίηση των τιμών των και q οφείλεται στην μεταολή του μέτρου των δύο διανυσμάτων λόω αδρανειακής δράσης. Η τελευταία εξίσωση δηλώνει πως η επιφόρτιση αποκρίνεται στην σεισμική κίνηση κατά τον ίδιο τρόπο με το επίχωμα. Δεν πρόκειται φυσικά ια υποχρεωτική συνθήκη που υπαορεύεται από την θεωρία, αλλά απλά ια ολική υπόθεση αναφορικά με τους υπολοισμούς η οποία κρίνεται και λοική, αφού συνήθως η επιφόρτιση στο πρανές είναι επίσης εδαφικό υλικό, παρά κάποια κατασκευή. Τέλος, όπως είναι λοικό, οι παράμετροι αντοχής φ και δ παραμένουν αναλλοίωτες στον μετασχηματισμό. 9

Με χρήση των παραπάνω, η εδαφική ώθηση λαμάνεται από την ακόλουθη τροποποιημένη έκφραση: * * * * * * PE = Kq q + K (5) Στην οποία οι παράμετροι, ω,,, και q έχουν αντικατασταθεί από τις μετασχηματισμένες τιμές τους. Τα σύμολα K q * και K * είναι οι συντελεστές ωθήσεων λόω επιφόρτισης και ιδίου άρους στην μετασχηματισμένη εωμετρία αντίστοιχα. Εισάοντας τις εξισώσεις () - (4) in Eqn (5) καταλήουμε στην τροποποιημένη έκφραση ια την σεισμική εδαφική ώθηση: Όπου PE = KqE ( av) q + K E ( a v) (6) ( ) + ( Δ ) = exp( θe tan φ) ψ δ ω φ ψ e cos ω cos( ψe ) sinφcos δ K E * cos e cos cos + sin cos Δ + + (7) και * ( ) ( ) θ = Δ δ Δ ω ψ (8) E e sin Δ = sin( + ψ ) / sin φ, sin Δ = sin δ / sinφ (9) e Ο συντελεστής σεισμικών ωθήσεων λόω επιφόρτισης K qe δίνεται από την εξίσωση (8), όπου αντί του K χρησιμοποιείται το K Ε. Οι παραπάνω εκφράσεις ια το ψευδοδυναμικό πρόλημα που προέκυψαν από το αντίστοιχο αρυτικό με τον μετασχηματισμό ομοιότητας, μπορούν να προκύψουν και με την απευθείας θεώρηση των αδρανειακών δράσεων στις εξισώσεις ισορροπίας. Από τις παραπάνω εξισώσεις, είναι φανερό πως η προτεινόμενη λύση είναι απλούστερη από των Mononobe-Okabe και προκύπτει από απλή φυσική εποπτεία, χωρίς να απαιτεί ελτιστοποίηση εξισώσεων ισορροπίας δυνάμεων ή έρων δυνάμεων. Να σημειωθεί ότι, από τη στιμή που η ισορροπία δεν ικανοποιείται παντού στο εδαφικό μέσο, η προτεινόμενη λύση δεν αποτελεί ένα αυστηρό «κάτω όριο». Ωστόσο εκτεταμένες συκρίσεις με καθιερωμένες αυστηρές αριθμητικές λύσεις που ακολουθούν, υποδεικνύουν ότι η λύση είναι πάντοτε ασφαλής, τόσο ια τις ενερητικές, όσο και ια τις παθητικές ωθήσεις, ενώ η ακρίειά της είναι ικανοποιητική, ειδικά ια την περίπτωση των ενερητικών ωθήσεων. Αριθμητικά αποτελέσματα - Συκρίσεις Στο Σχήμα 6, παρουσιάζεται ομάδα ραφημάτων ια ενερητικές σεισμικές ωθήσεις, από την κλασική ερασία των Seed & Whitman, στα οποία έχουν προστεθεί τα αντίστοιχα αποτελέσματα της παρούσας τασικής λύσης. Σαν τιμή αναφοράς ια τη ωνία τριής χρησιμοποιείται αυτή των 35 ο. Όπως είναι φυσικό, οι ενερητικές ωθήσεις αυξάνουν με την 0

35 o 40 o αύξηση των σεισμικών επιταχύνσεων και της κλίσης του πρανούς, και μειώνονται με την αύξηση της ωνίας τριής και της τραχύτητας του τοίχου. Στα ραφήματα είναι φανερή η συντηρητική φύση της τασικής λύσης σε σχέση με τη λύση Mononobe Okabe (M-O). Η τάση αυτή είναι πιο έντονη ια υψηλές σεισμικές οριζόντιες επιταχύνσεις (a h > 0.5), λείους τοίχους, οριζόντια επιχώματα, και μεάλες ωνίες τριής. Seismic Active Earth Pressure, K AE 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, ω = = 0 o φ = 35 o δ = 0 o δ = φ / M - O Analysis Proposed Stress Limit Analysis 0,0 0,0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 K AE cosδ 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, ω = = 0 o φ = 35 o δ = 0 o δ = φ / K AE =P AE/( ) P AE δ ah 0,0 0,0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 orizontal Seismic Coefficient, a h 0,7 0,6 ω = = 0 o δ = φ / φ = 30 o 0,7 0,6 ω = = 0 o φ = 35 o ; δ = φ / = 0 o 0,5 0,5 K AE cosδ 0,4 0,3 0, K AE =P AE/( ) 0,4 0,3 0, = 0 o K AE =P AE/( ) 0, P AE δ ah 0, P AE δ ah 0,0 0,0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,0 0,0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 orizontal Seismic Coefficient, a h Σχήμα 6. Σύκριση αποτελεσμάτων ια ενερητικές σεισμικές ωθήσεις υπολοισμένων με την προτεινόμενη λύση και την συματική λύση Μ Ο, ια διάφορες φυσικές, εωμετρικές παραμέτρους και οριζόντιες επιταχύνσεις (από Seed & Whitman 970).

Στο Σχήμα 7a παρουσιάζονται αποτελέσματα ια ενερητικές σεισμικές εδαφικές ωθήσεις σαν συνάρτηση της ωνίας τριής φ, ια την συνηθισμένη περίπτωση του τραχύ κατακόρυφου τοίχου με οριζόντιο επίχωμα. Οι προλέψεις της προτεινόμενης λύσης είναι πάντοτε συντηρητικές και σε καλή συμφωνία (μέιστη απόκλιση 3%) με τα αποτελέσματα της μεθόδου M-O και της κινηματικής οριακής ανάλυσης των Chen & Liu (990), η οποία ια το σκοπό της σύκρισης των αποτελεσμάτων, θεωρείται πρακτικώς «ακριής». Το αντίστοιχο ράφημα ια την παθητική κατάσταση απεικονίζεται στο Σχήμα 7b. Οι προλέψεις της τασικής λύσης είναι, όπως είναι αναμενόμενο, χαμηλότερα από εκείνες της μεθόδου των Chen and Liu, ενώ της μεθόδου M-O είναι πολύ ψηλότερα (i.e., εξαιρετικά μη συντηρητικές) ειδικά ια ωνίες τριής μεαλύτερες από την τιμή των 37 μοιρών. Δεδομένης της ευαισθησίας του παθητικού προλήματος, η αποτελεσματικότητα της προτεινόμενης λύσης θεωρείται ικανοποιητική. Coefficient of Seismic Active Earth Pressure, K AE 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 (a) K AE =P AE/( ) = ω = 0 o ; δ = / 3 φ 0.0 a h = 0 P AE δ ah 0.0 0.30 0, M - O Analysis Kinematic Limit Analysis (Chen & Liu 990) Proposed Stress Limit Analysis 0, 5 30 35 40 45 PE Coefficient of Seismic Passive Earth Pressure, K 5 0 5 0 5 (b) PPE δ K PE =P PE /( ) Mononobe - Okabe (a h = 0) ah a h = 0 0. 0. 0.3 Kinematic Limit Analysis (Chen & Liu 990) Proposed Stress Limit Analysis 0 5 30 35 40 45 Friction Angle, φ o Friction Angle, φ o Σχήμα 7. Σύκριση αποτελεσμάτων ια ενερητικές και παθητικές σεισμικές ωθήσεις υπολοισμένες με διάφορες μεθόδους (Από Chen & Liu, 990) Στο Σχήμα 8 που ακολουθεί, παρουσιάζονται αποτελέσματα ια ενερητικές σεισμικές ωθήσεις ια διάφορες εωμετρικές συνθήκες και επίπεδα σεισμικής επιτάχυνσης. Σαν τιμή αναφοράς ια τη ωνία τριής του εδάφους χρησιμοποιείται αυτή των 40 ο. Μπορούν να σημειωθούν οι ακόλουθες ενδιαφέρουσες παρατηρήσεις: Πρώτον, οι προλέψεις της παρούσας τασικής λύσης είναι σε πολύ καλή συμφωνία με τα αποτελέσματα της κινηματικής οριακής ανάλυσης των Chen & Liu, σε ένα ευρύ φάσμα φυσικών και εωμετρικών παραμέτρων. Δεύτερον, η τασική λύση είναι συντηρητική σε όλες τις περιπτώσεις. Τρίτον, κοντά στο όριο ευστάθειας του πρανούς (Σχήμα 8b) ή ια υψηλές σεισμικές επιταχύνσεις και μεάλες κλίσεις του τοίχου (Σχήμα 8a), οι προλέψεις του Chen & Liu ίνονται λιότερο ακριείς από αυτές της απλής λύσης Μ Ο. Στις ίδιες ακραίες περιπτώσεις, η τασική λύση

ίνεται εξαιρετικά συντηρητική ξεπερνώντας τις προλέψεις της Μ Ο κατά 35%. Πρέπει να σημειωθεί επίσης ότι σε αντίθεση με την τασική λύση και την Μ Ο, οι οποίες καταρρέουν στο όριο ευστάθειας του πρανούς, η κινηματική ανάλυση των Chen & Liu αδυνατεί να προλέψει την αστοχία και επιτρέπει τον υπολοισμό πλασματικών τιμών ια την ενερητική ώθηση και πέρα από το όριο αυτό (Σχήμα 8b). Coefficient of Seismic Active Earth Pressure, K AE,0 0,8 0,6 0,4 0, (a) K AE =P AE/( ) φ = 40 o ; ah = 0.0 ; δ = φ / P AE δ 5 o ω ah ω = 0 o M - O Analysis Kinematic Limit Analysis (Chen & Liu 990) Proposed Stress Limit Analysis 0,0-0 -0 0 0 0 Slope Angle of Backfill, ο 5 o,6,4,,0 0,8 0,6 0,4 (b) P AE K AE =P AE/( ) φ = 40 o ; ω = 0 o ; δ = φ / δ = φ / φ / 3 0, M - O Analysis Kinematic Limit Analysis (Chen & Liu 990) Proposed Stress Limit Analysis 0,0 0,0 0, 0, 0,3 0,4 ah 0 o slope stability limit orizontal Seismic Coefficient, a h Σχήμα 8. Σύκριση αποτελεσμάτων ια ενερητικές σεισμικές ωθήσεις σε τραχύ τοίχο, ια διάφορες εωμετρικές παραμέτρους, υπολοισμένες με διάφορες μεθόδους (Από Chen & Liu, 990) ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΩΘΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΗΜΕΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ Όπως αναφέρθηκε σε προηούμενη ενότητα, η ευρέως χρησιμοποιούμενες κινηματικές λύσεις (Coulomb, Mononobe Okabe), δεν παρέχουν καμία πληροφορία ια την κατανομή των ωθήσεων πάνω στον τοίχο - υιοθετούν απλώς την «υδροστατική» κατανομή ως μια εύλοη υπόθεση ια τον σχεδιασμό. Ο ίδιος περιορισμός ισχύει και ια τις πιο αυστηρές κινηματικές, αριθμητικού τύπου λύσεις (π.χ. Chen & Liu 990). Αντίθετα, στις κλασικές τασικές λύσεις (Rankine 857, Terzaghi 943), η «υδροστατική» κατανομή προκύπτει, με φυσικό τρόπο, από την ίδια τη λύση. Αυτό οφείλεται στη ραμμική μεταολή των τάσεων με το άθος στην περιοχή Α κοντά στην επιφάνεια του πρανούς (εξισώσεις 3a και 3b), η οποία δεν αλλάζει ούτε στην μεταατική ζώνη, ούτε κοντά στον τοίχο. Επίσης, εντός των ορίων της ψευδοδυναμικής ανάλυσης δεν υπάρχει ουσιώδης διαφορά ανάμεσα στο αρυτικό και το σεισμικό πρόλημα, συνεπώς η κατανομή και των σεισμικών ωθήσεων οφείλει να είναι ραμμική με το άθος. 3

Είναι ωστόσο πειραματικά επιεαιωμένο ότι η κατανομή δεν είναι συνήθως «υδροστατική». Δύο ασικοί μηχανισμοί είναι υπεύθυνοι ια την απόκλιση αυτή. Και οι δύο σχετίζονται με τις ασικές παραδοχές σχετικά με τη συμπεριφορά του επιχώματος και την κινηματική του προλήματος. Πρώτον, η εδαφική μάζα δεν είναι απαραμόρφωτη, αλλά παρουσιάζει δυναμική απόκριση με αποτέλεσμα η κατανομή των αδρανειακών επιταχύνσεων (και των δυνάμεων πεδίου) να μην είναι ομοιόμορφη. Τα φαινόμενα αυτά εξετάζονται σε διαθέσιμες ελαστοδυναμικές λύσεις (π.χ. Veletsos & Younan, 994; Langousis et al. 006) και λύσεις οριακής ανάλυσης (Steedman & Zeng 990). Δεύτερον, η κατανομή των εδαφικών ωθήσεων αλλάζει ια διαφορετικές κινηματικές συνθήκες του τοίχου (π.χ., περιστροφή περί την άση ή την κορυφή), οι οποίες σχετίζονται άμεσα με το φαινόμενο «τοξωτής» λειτουρίας στο επίχωμα. Η ανακατανομή των τάσεων λόω της «τοξωτής» λειτουρίας, οδηεί σε αλλαή του μεέθους και του σημείου εφαρμοής της εδαφικής ώθησης. Κατανομή εδαφικών ωθήσεων: Κυματική λύση Η μέθοδος που παρουσιάζεται στην ενότητα αυτή επιτρέπει τον υπολοισμό του δυναμικού οριακού φορτίου σε τοίχους αντιστήριξης, με χρήση της προηούμενης τασικής λύσης και της νωστής ελαστοδυναμικής λύσης ια την απόκριση ομοενούς εδαφικού στρώματος που παρουσιάζεται στο Σχήμα 9. 0,0 u0 h / Η 0, 0,4 Static ω / ω = 0 0,5 omogeneous layer πv ω s = h ω h uh ( ) = u0 cos Vs 0,6 0,8,0 0,5 u.. g a h (h) / a h0 Σχήμα 9. Δυναμική απόκριση του επιχώματος και κατανομή των αδρανειακών δυνάμεων με το ύψος Αυτή η δυναμική απόκριση έχει ως αποτέλεσμα μια μη ραμμική κατανομή των αδρανειακών δυνάμεων κορμού και επομένως μεταλητή σεισμική ωνία ψ e ψ h π ω h = a h = a (0) e( ) tan h( ) tan h0cos( ) ω όπου ω δηλώνει την κυκλική συχνότητα της διέερσης. Η χρήση της παραπάνω ελαστοδυναμικής σχέσης στην προτεινόμενη λύση πλαστικής οριακής ανάλυσης, είναι 4

θεωρητικά δυνατή καθώς το εδαφικό μέσο ρίσκεται σε κατάσταση επικείμενης διαρροής, οριακά πριν την αστοχία (προϋπόθεση της μεθόδου κάτω ορίου), που σημαίνει ότι ρίσκεται στην ελαστική περιοχή. Με άση τα παραπάνω, οι δυναμικές ωθήσεις αιών στον τοίχο αντιστήριξης δίνονται από την έκφραση: ph ( ) [ e h ] [ h ] ( ) cos ω cos + ψ ( ) = sinφcos Δ δ [ θ h φ] ( ) exp ( )tan * E cos ψe( ) cosδ cos ω + sinφcos Δ + + ψe( h) () όπου η ωνία ψ e είναι συνάρτηση του άθους, h, σύμφωνα με την εξίσωση (0). Στο Σχήμα 0 παρουσιάζονται κατανομές σεισμικών εδαφικών ωθήσεων καθ ύψος του τοίχου. Όπως είναι αναμενόμενο, όσο πλησιάζει η συχνότητα διέερσης την θεμελιώδη ιδιοσυχνότητα του εδαφικού στρώματος (συντονισμός), τόσο η κατανομή των ωθήσεων αποκλίνει από την συματική τριωνική κατανομή. Είναι σημαντικό να αναφερθεί ότι η θεώρηση των δυναμικών φαινόμενων οδηεί αφενός σε μείωση του μεέθους της συνολικής υπολοιζόμενης ώθησης, όπως φαίνεται στο Σχήμα a, αλλά αφετέρου σε ανύψωση του σημείου εφαρμοής της (Σχήμα b). μεαλύτερη ανύψωση παρατηρείται στον συντονισμό (ω /ω = ), και δεν υπεραίνει το ήμισυ του ύψους του τοίχου (/) ια την καθαρά σεισμική συνιστώσα. Αντίστοιχα αποτελέσματα παρουσιάζονται στο Σχήμα ως συνάρτηση του μεέθους της οριζόντιας σεισμικής επιτάχυνσης a h0. Όπως είναι φυσικό, η σεισμική ώθηση αυξάνεται με την αύξηση της οριζόντιας επιτάχυνσης. Το σημείο εφαρμοής της επηρεάζεται σε μικρότερο αθμό από το μέεθος της δόμησης, ωστόσο και αυτό ανυψώνεται ελαφρά με την αύξηση της οριζόντιας επιτάχυνσης. 0.0 a) Total thrust b) seismic component h / 0. 0.4 Static ω / ω = 0.5 0.5 Static ω / ω = 0.5 0.5 0.6 gravity only 0.8 ω = = 0 φ = 30 o ; δ = φ /3 a h0 = 0..0 0.0 0. 0. 0.3 0.4 0.5 p E / 0.00 0.05 0.0 0.5 Δp E / = (p E p) / Σχήμα 0. Κατανομές σεισμικών εδαφικών ωθήσεων: a) Συνολική ώθηση b) Σεισμική συνιστώσα 5

P EA / P A,6,5,4,3,,,0 seismic component total thrust ω = = 0 φ = 30 o ; δ = φ /3 a h0 = 0. gravity only Point of application, e / 0,50 0,45 0,40 0,35 / 3 seismic component total thrust 0,9 0,0 0, 0,4 0,6 0,8,0 ω / ω 0,30 0,0 0, 0,4 0,6 0,8,0 ω / ω Σχήμα. Μεταολή του μεέθους και του σημείου εφαρμοής της σεισμικής ώθησης ως συνάρτηση της συχνότητας διέερσης. P EA / P A 4,0 3,5 3,0,5,0,5,0 Static ω / ω = 0.5 0.5 Point of application, e / 0,60 0,55 0,50 0,45 0,40 0,35 0,5 0,0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,30 0,0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 horizontal ground acceleration, a h0 Σχήμα. Επίδραση της οριζόντιας σεισμικής επιτάχυνσης (PGA) στο μέεθος και το σημείο εφαρμοής της σεισμικής ώθησης, ια διάφορες συχνότητες διέερσης. Κατανομή εδαφικών ωθήσεων: Κινηματικές συνθήκες Η εξέταση της επίδρασης των κινηματικών συνθηκών στην κατανομή των ωθήσεων ακολουθεί την υπόθεση που αναπτύχθηκε ια πρώτη φορά από την Dubrova (963) (λ. arr, 966; Chen & Liu, 990). Η ασική (εύλοη) παραδοχή είναι ότι η αντοχή του εδαφικού μέσου κινητοποιείται αθμιαία όταν η κίνηση του τοίχου έχει την μορφή στροφής περί την άση. Αυτό οδηεί στην θεώρηση μεταλητών με το άθος παραμέτρων διατμητικής αντοχής (ωνία τριής φ, τραχύτητα δ) ια τον υπολοισμό των εδαφικών ωθήσεων. Σε αντίθεση με την κλασική μέθοδο Dubrova, που ασίστηκε στην Mononobe Okabe, η προτεινόμενη λύση 6

σαφώς πλεονεκτεί καθώς επιτρέπει τον απευθείας υπολοισμό των τάσεων επαφής μέσω των απλών σχέσεων: [ ω ] [ φ h ] [ Δ h δ h ] cos ω + sin [ φ( h) ] cos [ Δ ( h) + ] cos cos sin ( ) cos ( ) ( ) σw( h) = h exp[ θab ( h)tan φ( h)] () και τ ( h) = σ ( h)tan δ( h) (3) w w Στις παραπάνω σχέσεις οι σταθερές τιμές των φ και δ έχουν αντικατασταθεί από συναρτήσεις του άθους. Για αρνητικές τιμές των φ και δ οι εξισώσεις και 3 παρέχουν απευθείας παθητικές ωθήσεις. Οι συναρτήσεις φ(h) και δ(h) χρησιμοποιούνται ια να περιράψουν τη μετάαση από τις εωστατικές συνθήκες (K o ) στην αστοχία (ενερητική ή παθητική), όπου η ωνία τριής φ παίρνει την μέιστη τιμή της. Με αυτή την έννοια οι ωνίες φ(h) και δ(h) δεν εκφράζουν πραματικές ωνίες τριής, αλλά απλώς τον αθμό κινητοποίησης της αντοχής σε κάθε άθος (μέσους λόους διατμητικών προς ορθών τάσεων). Η μόνη υπόθεση που απομένει σχετίζεται με την μορφή των συναρτήσεων αυτών. Ακολουθώντας την πρόταση της Dubrova, οι συναρτήσεις θεωρούνται, σε πρώτη προσέιση, ραμμικές ή δι-ραμμικές. Στην παρούσα ερασία, χρησιμοποιούνται τραπεζοειδείς δι-ραμμικές συναρτήσεις μορφής φ(h) οι οποίες απεικονίζονται στο Σχήμα 3. Η συνάρτηση δ(h) θεωρείται ίδιας μορφής με την φ(h), με την οποία συνδέεται με την απλή αναλοική σχέση (arr, 966): δ ( h) = mφ ( h), 0< m< (4) Στα Σχήματα 4 και 5 συκρίνονται κατανομές ωθήσεων που προέκυψαν από την παρούσα μέθοδο, με διαθέσιμα από την ιλιοραφία πειραματικά αποτελέσματα και αριθμητικές αναλύσεις με τη μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων. Τα αποτελέσματα της προτεινόμενης μεθόδου είναι συκρίσιμα με τα πειραματικά και τα αριθμητικά αποτελέσματα. Τέλος, στο Σχήμα 6 απεικονίζεται η μετατόπιση του σημείου εφαρμοής της συνολικής σεισμικής ώθησης ια διαφορετικές κινηματικές συνθήκες. Είναι ενδιαφέρον ότι το σημείο εφαρμοής της ενερητικής σεισμικής ώθησης, όταν ο τοίχος περιστρέφεται περί τη άση, μετατοπίζεται χαμηλότερα από τη θέση /3, δηλαδή αντίθετα από την θεώρηση των Seed & Whitman (970) ια την σεισμική δράση. Η μετατόπιση του σημείου εφαρμοής συναρτήσει του μεέθους της οριζόντιας σεισμικής επιτάχυνσης a h είναι πρακτικώς αμελητέα. 7

ACTIVE CASE PASSIVE CASE A 0 φ B φ 0 ROTATION W.R.T. BASE h h φ 0 φ 0 C 0 φ 0 D 0 φ 0 ROTATION W.R.T. TOP h h φ φ Σχήμα 3. Συναρτήσεις μορφής ια την κινητοποιούμενη ωνία τριής φ(h) ια διάφορες κινηματικές συνθήκες στον τοίχο. 0.0 0. F.E.M. Proposed Stress Limit Analysis Normalized Depth, h/ 0.4 0.6 Experimental θ = 5 x 0-4 rad 0.8 ydrostatic.0 0.0 0. 0. 0.3 0.4 0.5 Normalized orizontal Earth Pressures σ w (h) / Σχήμα 4. Σύκριση με πειραματικά και αριθμητικά αποτελέσματα ια ενερητική περιστροφή του τοίχου περί τη άση. (Πειραματικά αποτελέσματα από Fang & Ishibashi 986; = 5.3 kn/m 3, =.0 m, φ = 33.4 ο and δ = 6.7 ο ) 8

0,0 0, F.E.M. Proposed Stress Limit Analysis Normalized Depth, h/ 0,4 0,6 0,8,0 Experimental θ = 0. rad θ = 0. rad θ = 0.05 rad ydrostatic 0 3 4 5 6 7 Normalized orizontal Earth Pressures σ w (h) / Σχήμα 5. Σύκριση με πειραματικά και αριθμητικά αποτελέσματα ια παθητική περιστροφή του τοίχου περί τη άση. (Πειραματικά αποτελέσματα από Fang et. al. 994; = 5.5 kn/m 3, = 0.45 m, φ = 30.9 ο and δ = 9. ο ) 0.50 Mode B (Fig. 3) 0.45 φ = 30 o ; ω = = 0 δ = φ / Normalized Point of Action, h a / 0.40 0.35 0.30 Mode C (Fig. 3) ydrostatic Distribution (/3) Mode A (Fig. 3) 0.5 Mode D (Fig. 3) 0.0 0.0 0. 0. 0.3 0.4 orizontal Seismic Coefficient, α h Σχήμα 6. Σημείο εφαρμοής της συνολικής σεισμικής ώθησης ια διαφορετικές κινηματικές συνθήκες 9

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Στην παρούσα ερασία παρουσιάστηκε μέθοδος πλαστικής οριακής ανάλυσης τάσεων ια τον υπολοισμό σεισμικών εδαφικών ωθήσεων μη συνεκτικών επιχωμάτων, σε τοίχους αρύτητας. Τα κύρια συμπεράσματα μπορούν να συνοψιστούν στα παρακάτω: () Η προτεινόμενη λύση είναι μαθηματικώς απλούστερη από την συματική Mononobe- Okabe. () Εκτεταμένες συκρίσεις με καθιερωμένες αριθμητικές λύσεις καταδεικνύουν ότι η προτεινόμενη λύση είναι ασφαλής, καθώς πάντοτε υπερεκτιμά τις ενερητικές ωθήσεις και υποεκτιμά τις παθητικές. (3) Η ακρίεια της λύσης, ια την περίπτωση των ενερητικών ωθήσεων είναι άριστη (μέιστη απόκλιση από τα αριθμητικά αποτελέσματα ύρω στο 0%). Οι μεαλύτερες αποκλίσεις παρατηρούνται ια μεάλες επιταχύνσεις, μεάλες ωνίες τριής, απότομα πρανή και αρνητικές κλίσεις του τοίχου. (4) Για την περίπτωση των παθητικών ωθήσεων, οι προλέψεις της μεθόδου είναι ικανοποιητικές. Στην περίπτωση αυτή το σφάλμα είναι σημαντικά μεαλύτερο, ειδικά ια μεάλες ωνίες τριής. Παρ όλα αυτά, η ελτίωση που παρέχει η προτεινόμενη λύση αναφορικά με την μέθοδο Mononobe Okabe είναι αισθητή. (5) Η ψευδοδυναμική ανάλυση του σεισμικού προλήματος αντιστοιχεί στου ισοδύναμου αρυτικού, μέσω της περιστροφής των αξόνων αναφοράς κατά την σεισμική ωνία ψ e (Σχήμα 5). Αυτή η ομοιότητα φανερώνει ότι ουσιαστικά οι λύσεις Mononobe Okabe και Coulomb είναι ουσιαστικά ταυτόσημες. (6) Η οριακή ανάλυση τάσεων προσφέρει ένα χρήσιμο εραλείο ια τον υπολοισμό της κατανομής των εδαφικών ωθήσεων στον τοίχο. Λαμάνοντας υπόψη την δυναμική απόκριση του επιχώματος, η κατανομή των ωθήσεων ίνεται παραολική και το σημείο εφαρμοής της σεισμικής συνιστώσας ανυψώνεται πάνω από το 50% του ύψους. Αυτή η απόκλιση ίνεται σημαντική ια σχετικώς ψηλούς τοίχους, περίπου πάνω από τα 5m. (7) Τέλος, όσον αφορά την επίδραση των κινηματικών συνθηκών, θεωρώντας κατάλληλες συναρτήσεις σχήματος ια τις παραμέτρους φ και δ με το άθος, οι ενερητικές και οι παθητικές ωθήσεις (και όλα τα ενδιάμεσα μεταατικά στάδια) μπορούν να εκφραστούν από την ίδια απλή σχέση (Εξίσωση ), κάτι το οποίο δεν είναι δυνατό με την εξίσωση M-O. Οι συναρτήσεις φ(h) και δ(h) οφείλουν να είναι διαφορετικές ια την περίπτωση των ενερητικών και των παθητικών ωθήσεων κάτι που δεν ίνεται αντιληπτό στην κλασική θεώρηση της Dubrova. Οι συκρίσεις με πειραματικά και αριθμητικά αποτελέσματα με την μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων δείχνουν ικανοποιητική συμφωνία. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Atkinson, J. (98), Foundations and slopes, McGraw ill, London. Briske, R. (97), "Die Erdbebensicherheit von Bauwerken", Die Bautechnik, Vol 5, 45-430, 453-457, 547-555. Caquot, A. (934). "Equilibre des massifs a frottement interne. "Gauthier-Villars: Paris. Caquot, A. and Kerisel, L. (948), Traité de mécanique des sols, Gauthier-Villars, Paris. Chen, W.F. (975), Limit analysis and soil plasticity, Developments in geotechnical engineering, Elsevier, Amsterdam. Chen, W.F., Liu, X.L. (990), Limit analysis in soil mechanics, Elsevier, Amsterdam. 0

Coulomb, C.A. (776), "Essai sur une application des regles de maximis et minimis a quelqes problemes de stratique relatifs a l architecture". Memoires de Mathematique et de Physique. Presentes a l Academie Royale des Sciences; Paris, 7, 343-38. Davis, R.O. and Selvadurai, A.P.S. (00), Plasticity and Geomechanics, Cambridge University Press, Cambridge. Dubrova G.A. (963). Interaction of Soil and Structures. Rehnoy Transport, Moscow, U.S.S.R. Ebeling, R.M., Morrison, E.E., Whitman, R.V., Liam Finn, W.D. (99), A Manual for Seismic Design of Waterfront Retaining Strutures, US Army Corps of Engineers, Tech. Report ITL- 9-. Fang Y.S. and Ishibashi I. (986). "Static earth pressures with various wall movements". Journal of Geotechnical Engineering, ASCE, No 3, pp. 37 333. Fang Y.S., Chen T.J., and Wu B.F. (994). "Passive earth pressures with various wall movements". Journal of Geotechnical Engineering, ASCE 0, No 8, pp. 307 33. Psarroulos, P.N., Klonaris, G., Gazetas, G. (004). Seismic earth pressures on rigid and flexible retaining walls, Soil Dynamics and Earthquake Engineering, Vol. 5, No 7-0, August-October 005, Pages 795-809 arr M. (966). Foundation of Theoretical Soil Mechanics, McGraw ill, New York, NY. Kramer, S.L., (996), Geotechnical Earthquake Engineering, Prentice al. Mononobe, N., Matsuo, O. (99), On the determination of earth pressure during earthquakes, Proceeding of the World Engineering Congress, Tokyo, vol 9, 79-87. Mylonakis, G.E, Kloukinas, P. and Papantonopoulos, C. (007). "An alternative to the Mononobe Okabe equations for seismic earth pressures." Soil Dynamics and Earthquake Engineering, Volume 7, Issue 0: 957-969 Okabe, S. (94), "General theory on earth pressure and seismic stability of retaining walls and dams", Journal of the Japanese Society of Civil Engineers, 0, 6, 77-33. Ostadan, F. (005). "Seismic soil pressure for building walls - An Updated Approach." Soil Dynamics and Earthquake Engineering, 5: 785-793. Papantonopoulos, C. and Ladanyi, B. (973), "Analyse de la Stabilitee des Talus Rocheux par une Methode Generalisee de l Equilibre Limite", Proceedings, 9th Canadian Rock Mechanics Symposium, Montreal, 67-96 (in French). Psarropoulos P., Klonaris G., and Gazetas G., "Seismic Response of Retaining Walls". Proceedings of the 4th ellenic Conference on Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, Vol., p.p. 377-385, 00. Seed B, Whitman, R.V. (970), Design of earth retaining structures for dynamic loads, Proceedings of specialty conference on lateral stresses in the ground and design of earth retaining structures, ASCE, Ithaca, New York, 03-47. Sokolovskii, V.V. (965), Statics of granular media, Pergamon Press, New York. Steedman, R.S. and Zeng, X. (990). "The Influence of Phase on the Calculation of Pseudo-Static Earth Pressure on a Retaining Wall." Geotechnique 40, No: 03-. Terzaghi, K., (943), Theoretical soil mechanics, John Wiley & Sons Inc., New York. Veletsos A.S. and Younan A.. (994). "Dynamic soil pressures on rigid retaining walls", Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 3, pp. 75 30. Whitman, R.V. and Liao, S. (985), Seismic Design of Gravity Retaining Walls, US Army Corps of Engineers, Miscellaneous paper GL-85-. Κλουκίνας, Π., (006), "Βαρυτικές και Σεισμικές Ωθήσεις Γαιών με Ανάλυση Οριακών Τάσεων", Μεταπτυχιακή Διατριή, Εραστήριο Γεωτεχνικής Μηχανικής, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Πανεπιστήμιο Πατρών. Λαούσης Μ., (005). "Δυναμική Ανάλυση Άκαμπτων και Εύκαμπτων Τοίχων Αντιστήριξης σε Σεισμική Φόρτιση" Διπλωματική Ερασία. Εραστήριο Γεωτεχνικής Μηχανικής, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Πανεπιστήμιο Πατρών.