ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ενότητα : ΟΡΘΟΓΩΝΙΚΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΙΔΙΟΜΟΡΦΩΝ Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Κεντρικής Μακεδονίας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
Ενότητα ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης
Περιεχόμενα ενότητας. ΟΡΘΟΓΩΝΙΚΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΙΔΙΟΜΟΡΦΩΝ. Yπολογισμός των γενικευμένων μεταθέσεων q και q 3. Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΙΔΙΟΜΟΡΦΙΚΗΣ ΕΠΑΛΛΗΛΙΑΣ 4. ΚΑΤΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ 5.
Σκοποί ενότητας
ΟΡΘΟΓΩΝΙΚΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΙΔΙΟΜΟΡΦΩΝ Μια από τις σπουδαιότερες ιδιότητες των ιδιομορφών των πολυβάθμιων ταλαντωτών είναι η ορθογωνικότητά τους ως προς τα μητρώα μάζας Μ και δυσκαμψίας Κ. Η ιδιότητα αυτή εκφράζεται ως ακολούθως: Φ T M Φ k = 0 και Φ T Κ Φ k = 0, για k Αποτέλεσμα της ορθογωνικότητας είναι το γεγονός ότι μπορεί να χρησιμοποιηθεί το ιδιομορφικό μητρώο Φ για τον μετασχηματισμό των μητρώων μάζας Μ και δυσκαμψίας Κ, ώστε να προκύψουν διαγώνια μητρώα γενικευμένης μάζας Μ και γενικευμένης δυσκαμψίας Κ Μ = Φ Τ Μ Φ και Κ = Φ Τ Κ Φ
Μ = m 0 0. 0 0 0 m 0. 0 0 0 0 m. 0 0 3...... 0 0 0. m 0 0 0 0. 0 m Κ = k 0 0. 0 0 0 k 0. 0 0 0 0 k. 0 0 3...... 0 0 0. k 0 0 0 0. 0 k
η -οστή ιδιοσυχνότητα ω προκύπτει από τα -οστά στοιχεία και των διαγώνιων γενικευμένων μητρώων Μ και Κ αντίστοιχα, ως: ω = Η χρησιμότητα του μετασχηματισμού μετατροπή του συζευγμένου συστήματος εξισώσεων σε ένα ασύζευκτο (με διαγωνοποιημένα μητρώα) σύστημα. k m
Ένα δεύτερο αποτέλεσμα της ορθογωνικότητας των ιδιομορφών είναι ότι μπορούν να αποτελέσουν μια διανυσματική ορθογωνική βάση για την ανάπτυξη του διανύσματος μετάθεσης U(t) του ταλαντωτή. U(t) q (t) Q(t) Όπως ακριβώς σε ένα έγχρωμο εκτυπωτή μπορούμε να αναπαράγουμε εκατοντάδες αποχρώσεις χρωμάτων με κατάλληλο συνδυασμό των 3 βασικών χρωμάτων (κυανό, ματζέντα, κίτρινο). m k Έτσι και εδώ, μπορούμε να αναπαράγουμε οποιοδήποτε διάνυσμα μετατόπισης U(t) του πραγματικού φορές, ως γραμμικό συνδυασμό των βασικών διανυσμάτων Φ (ιδιομορφών) με χρονικά εξαρτώμενους - συντελεστές βαρύτητας q (t)
Πολλαπλασιάζοντας όλα τα μέλη με το μητρώο Μ, έχουμε: ΜU(t) = MΦQ(t) Και κατόπιν επι Φ Τ Φ Τ ΜU(t) = Φ Τ MΦ Q(t) = Μ Q(t) = Σ k m k q k (t) όπου η ποσότητα γενικευμένης μάζας Μ U(t) Φ k q k (t) = = m k T Φ T k M U(t) M Φ q (t) Q(t) k Φ T k M U(t) m αποτελεί τον k-οστό όρο του διαγώνιου μητρώου k
Από τα παραπάνω προκύπτει ότι για κάθε χρονική στιγμή t, το διάνυσμα της μετάθεσης U ενός πολυβάθμιου ταλαντωτή μπορεί να εκφρασθεί ως ένας γραμμικός συνδυασμός των ιδιομορφών του με συντελεστές βαρύτητας τις γενικευμένες μεταθέσεις q.
Παράδειγμα Να αποδειχθεί η ορθογωνικότητα των ιδιομορφών του πλαισίου. Αν σε κάποια χρονική στιγμή το διάνυσμα μετάθεσης είναι U Τ = [,], να υπολογιστούν οι γενικευμένες μεταθέσεις q, που αντιστοιχούν σε αυτό. Ι m k m k Ι u (t) u (t)
Τα μητρώα μάζας Μ, δυσκαμψίας Κ καθώς και οι ιδιομορφές Φ, έχουν ήδη υπολογισθεί ως: 0.5 3 k K 0 0 m
(α) Η ορθογωνικότητα ως προς το μητρώα μάζας και δυσκαμψίας ισχύει καθώς: 0 0.5 m m 0 ομοίως Φ Τ Μ Φ = = 0 ομοίως Φ Τ K Φ = = 0 0 3 0.5 0.5 k k 4 0 K
(β) Τα στοιχεία των μητρώων γενικευμένης μάζας και δυσκαμψίας είναι: m m 0.5 m m... 3m 0 00.5 0.5.5m k k K K 0.5 k k0.5 0.5... 6m 3 0.5 0.5 0.75k Οπότε, ω = 0.75k/.5m = k/m και ω = 6k/3m = k/m. Οι τιμές αυτές συμπίπτουν με τα αποτελέσματα του παραδείγματος 5.
(γ) Yπολογισμός των γενικευμένων μεταθέσεων q και q
Τελικά, U q q 0.5,0,0,0,0 0,5 = + - -,0
Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΙΔΙΟΜΟΡΦΙΚΗΣ ΕΠΑΛΛΗΛΙΑΣ Η ιδιότητα της ορθογωνικότητας των ιδιομορφών αποτελεί το όχημα για την μετάβαση από τις συζευγμένες εξισώσεις του φυσικού συστήματος συντεταγμένων σε ασύζευκτες εξισώσεις στο γενικευμένο σύστημα συντεταγμένων U(t) q (t) Q(t) U' ' KU 0 MQ''( t) KQ( t) 0 Αν πολλαπλασιάσουμε όλα τα μέλη της εξίσωσης επί Φ Τ Q''( t) Q( t) 0 M Q''( t) K Q( t) 0
Στη γενική περίπτωση ν-βάθμιου ταλαντωτή, εκτελώντας τους πολλαπλασιασμούς με τα διαγώνια μητρώα Μ και Κ, καταλήγουμε σε έξισώσεις ισορροπίας ενός συστήματος ν ασύζευκτων μονοβάθμιων ταλαντωτών της μορφής (για =,, ν): m q'' ( t) k q ( t) 0 q'' ( t) q ( t) 0 Το γεγονός ότι έχουμε καταλήξει στην μελέτη ανεξάρτητων μονοβάθμιων ταλαντωτών, καθιστά δυνατή την άντληση όλων των αποτελεσμάτων των αντίστοιχων κεφαλαίων για μονοβάθμιους ταλαντωτές.
m k u m k q u (t) = u (t) + u (t) = φ q (t) + φ q (t) m k u m k q u (t) = u (t) + u (t) = φ q (t) + φ q (t)
Στην περίπτωση ελεύθερης ταλάντωσης, θα πρέπει οι αρχικές συνθήκες, που κατά κανόνα είναι γνωστές στο φυσικό σύστημα, να μετασχηματισθούν σε αντίστοιχες συνθήκες του γενικευμένου. Έτσι, οι αρχικές συνθήκες της -οστής γενικευμένης εξίσωσης προκύπτουν από τις αρχικές συνθήκες του φυσικού συστήματος U(0) και U(0) ως: q (0) U(0) m, q' (0) U'(0) m
Έχοντας υπολογίσει τις γενικευμένες μεταθέσεις q (t), το διάνυσμα της φυσικής ταλάντωσης U(t) προκύπτει από την επαλληλία τους σύμφωνα με την σχέση: U(t) q (t) Επειδή η -οστή γενικευμένη μετάθεση αντιστοιχεί στην ταλάντωση μονοβάθμιου συστήματος με τα χαρακτηριστικά της -οστής ιδιομορφής, η q (t) ονομάζεται και ως η -οστή ιδιομορφική συνιστώσα της φυσικής ταλάντωσης U(t).
Παράδειγμα Να υπολογιστεί το μητρώο μετάθεσης U(t = Τ ) του πλαισίου, όταν αυτό εκτελεί ελεύθερη ταλάντωση. Ο χρόνος Τ είναι η πρώτη ιδιοπερίοδος του συστήματος. Οι αρχικές συνθήκες είναι Ι m k m k Ι u (t) u (t)
Επίλύση: Από προηγουμένως, έχουμε ω = k/m και ω = k/m 8m Τ = π/ω = π, Τ = π/ω = π k m k
Οι δύο γενικευμένες εξισώσεις είναι q (t) + ω q (t) = 0 q (t) + (k/m) q (t) = 0 ω q (t) + ω q (t) = 0 q (t) + (k/m) q (t) = 0 Ο μετασχηματισμός των αρχικών συνθηκών σε γενικευμένες συντεταγμένες δίνει:
T Φ M U(0) q (0) = = m Φ T M U(0) q (0) = = m ω ενώ έχουμε q (0) = q (0) = 0
Η ελεύθερη αναπόσβεστη ταλάντωση μονοβάθμιου ταλαντωτή με αρχική μετατόπιση u 0 και μηδενική αρχική ταχύτητα είναι: u(t) = u 0 cos(ωt) = u 0 cos(πt/τ) Οπότε q (t) = -6.67 0-3 cos(πt/τ ), q (t) = -9.33 0-3 cos(πt/τ ) Θέτοντας όπου t = T και T / Τ =.0, έχουμε: q (T ) = -6.67 0-3 cos(π) = -6.67 0-3 q (T ) = -9.33 0-3 cos(4π) = -9.33 0-3
Επιστρέφοντας στις φυσικές συντεταγμένες τελικά έχουμε: u (T ) = φ q (T ) + φ q (T ) = 0.5(-6.67 0-3 ) + (-)( -9.33 0-3 ) = 6 0-3 m u (T ) = φ q (T ) + φ q (T ) = (-6.67 0-3 ) +( -9.33 0-3 ) = -6 0-3 m Οι μετατοπίσεις u (T ) και u (T ) ταυτίζονται με τις αρχικές συνθήκες u (0) και u (0) καθώς έχουμε αναπόσβεστη ταλάντωση και η περίοδος T είναι πολλαπλάσιο της T
ΚΑΤΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Η μητρωική διατύπωση των εξισώσεων ισορροπίας ενός συστήματος ν βαθμών ελευθερίας υπό την δράση εξωτερικού φορτίου F(t) είναι U' ' CU' KU F( t) Ο μετασχηματισμός σε γενικευμένες συντεταγμένες προϋποθέτει τον προσδιορισμό των ιδιοσυχνοτήτων και ιδιομορφών με την εφαρμογή των σχέσεων Κ - ω Μ = [0] και {K ω Μ} Φ = [0]
Με προσδιορισμένα τα ω και Φ, προχωρούμε στον γνωστό μετασχηματισμό Η μητρωική σχέση που προέκυψε από τον μετασχηματισμό, περιλαμβάνει εξισώσεις της μορφής Οι οποίες, λύνονται στα πλαίσια των μονοβάθμιων ταλαντωτών ) ( ' '' ) ( ' '' t F Q K C Q Q M t F Q K Q C Q ) ( ~ ) ( ' '' ) ( ' '' t f m t f q q q t f q k q c q m m
Όταν προσδιορισθούν οι αποκρίσεις q των γενικευμένων μονοβάθμιων ταλαντωτών (γνωστές και ως ιδιομορφικές συνιστώσες), οι αποκρίσεις στις φυσικές συντεταγμένες προκύπτει από τον μετασχηματισμό: U(t) q (t) Q(t) Αξίζει στο σημείο αυτό να αναφερθεί ότι οι πρώτες ιδιομορφές (αυτές που αντιστοιχούν στις μικρότερες ιδιοσυχνότητες) έχουν ενισχυμένο ρόλο στην διαμόρφωση της συνολικής απόκρισης του συστήματος. Γι αυτό και η πρώτη ιδιοσυχνότητα - ιδιομορφή ονομάζεται και κυρίαρχη.
m q m 3 m k 3 k u 3 u m k k q u 3 (t) = u 3 (t) + u 3 (t) + u 33 (t) = φ 3 q (t) + φ 3 q (t) + φ 33 q 3 (t) m u k m 3 q 3 k 3
Παράδειγμα Στο κάτω ζύγωμα του πλαισίου δρα αρμονική διέγερση P (t)=50sin(30t). Αν m=5tn, k=5000kn/m, ξ=0, να υπολογισθούν οι εξισώσεις ταλάντωσης ζυγωμάτων παραλείποντας την συνιστώσα της ομογενούς. m Ι u (t) Ι m k k u (t)
Τέλος Ενότητας 44