ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 4: Μετασχηματισμοί Ισοδυναμίας Σαμαράς Νικόλαος
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Μακεδονίας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Μετασχηματισμοί Ισοδυναμίας (6) Μετατροπή από τυποποιημένη σε κανονική μορφή (Ισοτικοί περιορισμοί Ανισοτικοί Περιορισμοί) 4
Μετασχηματισμοί Ισοδυναμίας (7) Υπολογιστικό μειονέκτημα: Αύξηση των περιορισμών 5
Μετασχηματισμοί Ισοδυναμίας (8) Έκφραση του ισοτικού περιορισμού ως προς μια μεταβλητή x j με a ij 0. Απαλοιφή της x j από τους υπόλοιπους περιορισμούς και από την αντικειμενική συνάρτηση. Το νέο πρόβλημα έχει μια μεταβλητή λιγότερη και έναν ισοτικό περιορισμό λιγότερο. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρις ότου απαλειφθούν όλοι οι ισοτικοί περιορισμοί. 6
Παράδειγμα (1) Δίνεται το παρακάτω Γ.Π. στην τυποποιημένη μορφή x j 0, (j = 1, 2, 3, 4) Να μετατραπεί στην κανονική μορφή. 7
Παράδειγμα (2) Μετά την απαλοιφή της x 1 από την αντικειμενική συνάρτηση και τους υπόλοιπους περιορισμούς, το Γ.Π. που προκύπτει έχει τη μορφή x j 0, (j = 2, 3, 4) 8
Παράδειγμα (3) Μετά την απαλοιφή της x 2 από την αντικειμενική συνάρτηση και τους υπόλοιπους περιορισμούς, το Γ.Π. που προκύπτει έχει τη μορφή x j 0, (j = 3, 4) 9
Μετασχηματισμοί Ισοδυναμίας (9) Μετατροπή από γενική σε τυποποιημένη μορφή l j x j u j, j=1, 2,,k-1, k+1,, n, x k -ελεύθερη = {, =, } l j x j u j, περιορισμοί ορίων 10
Μετασχηματισμοί Ισοδυναμίας (10) x j u j x j + x n+1 = u j x j = u j x n+1 Αντικατάσταση x j στο Γ.Π. x j l j x j x n+1 = l j x j = l j + x n+1 Αντικατάσταση x j στο Γ.Π. l j x j u j 0 x j l j u j l j y = x j l j 0 x j = y+l j Αντικατάσταση χ j στο Γ.Π. y u j l j y+x n+1 = u j l j Παραμένει ο περιορισμός στο Γ.Π. 11
Μετασχηματισμοί Ισοδυναμίας x j ελεύθερη μεταβλητή (11) Ισοτικό περιορισμό a i x i + x j = b i x j = b i a i x i Αντικατάσταση x j στο Γ.Π. Διαγραφή του ισοτικού περιορισμού από το Γ.Π. Ένας ανισοτικός περιορισμός μπορεί να διαγραφεί αν είναι περιττός ή πλεονασματικός (redundant). Ένας περιορισμός είναι περιττός αν επαληθεύεται από κάθε σημείο που επαληθεύει όλους τους υπόλοιπους περιορισμούς. 12
Παράδειγμα (1) Δίνεται το παρακάτω γενικό Γ.Π. x 1 ελεύθερη, x 2-1, x 3 1, -1 x 4 1 Να μετατραπεί στην τυποποιημένη μορφή. 13
Παράδειγμα (2) Μετά τη μετατροπή σε min και τη μετατροπή των ανισοτικών τεχνολογικών περιορισμών σε ισοτικούς το πρόβλημα γράφεται x 1 ελεύθερη, x 2-1, x 3 1, -1 x 4 1, x 5, x 6 0 14
Παράδειγμα (3) Οι προηγούμενες αλλαγές μετατρέπουν το αρχικό Γ.Π. στο πρόβλημα με μορφή 15
Το τελευταίο πρόβλημα μετά τις πράξεις γράφεται 16
Παράδειγμα (5) Το τελευταίο πρόβλημα μετά την αντικατάσταση της ελεύθερης μεταβλητής x 1 και την απαλοιφή του σταθερού όρου από την αντικειμενική συνάρτηση γράφεται 17
Οδηγός μετατροπής από τη γενική στην τυποποιημένη μορφή Μετατροπή του τύπου της αντικειμενικής συνάρτησης σε min. Μετατροπή στην τυποποιημένη μορφή (ανισοτικοί περιορισμοί ισοτικοί περιορισμοί) Μετατροπή των μονών περιορισμών ορίων των μεταβλητών σε ισοτικούς και αντικατάσταση των αρχικών μεταβλητών x j, j=1,, n στο Γ.Π. Μετατροπή των διπλών περιορισμών ορίων των μεταβλητών σε ισοτικούς. Απαλοιφή (αν γίνεται) των ελεύθερων μεταβλητών από το πρόβλημα. 18
Άσκηση (1) Δίνεται το παρακάτω γενικό Γ.Π. max z = -x 1 + 2x 2 3x 3 μ.π. 2x 1 4x 2 + x 3 12 x 1 + x 2 2x 3 = 7 2x 1 + x 2 5x 3 8 x 1 ελεύθερη, x 2 0, 1 x 3 2 Να μετατραπεί στην τυποποιημένη μορφή. 19
Άσκηση (2) Μετά την προσθήκη των χαλαρών μεταβλητών το Γ.Π. είναι x 1 ελεύθερη, x 2 0, 1 x 3 2, x 4, x 5 0 20
Άσκηση (3) Οι προηγούμενες αλλαγές μετατρέπουν το αρχικό Γ.Π. πρόβλημα με μορφή στο 21
Άσκηση (4) Το τελευταίο πρόβλημα μετά την αντικατάσταση της ελεύθερης μεταβλητής x 1 γράφεται 22
Τέλος Ενότητας