ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR 06 79 - Athens - HELLAS Tel 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hmsgr wwwhmsgr Πρόβλημα ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 75 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ Νοεμβρίου 04 Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 3 74 3 3 9 9 37 4 3 74 3 3 3 743 4 :8 :8 9 9 37 4 9 937 3 3 6 3 6 : 8 3 6 9 :8 9 3 9 9 3 9 9 9 9 9 Πρόβλημα Ένας έμπορος συλλεκτικών αντικειμένων αγόρασε δύο παλαιά ραδιόφωνα Α κα Β αντί 00 ευρώ και στη συνέχεια τα πούλησε με συνολικό κέρδος 40% πάνω στην τιμή της αγοράς τους Αν το ραδιόφωνο Α πουλήθηκε με κέρδος 5% και το ραδιόφωνο Β πουλήθηκε με κέρδος 50%, πάνω στην τιμή της αγοράς τους, να βρείτε πόσο πλήρωσε ο έμπορος για να αγοράσει το καθένα από τα ραδιόφωνα Α και Β Έστω ότι ο έμπορος αγόρασε x ευρώ το ραδιόφωνο Α Τότε η τιμή αγοράς του 5x 5x ραδιοφώνου Β ήταν 00 x ευρώ Τότε το ραδιόφωνο Α πουλήθηκε x 00 00 ευρώ, ενώ το ραδιόφωνο Β πουλήθηκε 50 00 x ευρώ Συνολικά τα δύο 00 40 ραδιόφωνα πουλήθηκαν 00 ευρώ, δηλαδή 80 ευρώ 00 Σύμφωνα με τα δεδομένα του προβλήματος προκύπτει η εξίσωση 5 x 00 x 50 00 40,5x5x3000 800 00 00 00,5x00 x80 Άρα ο έμπορος αγόρασε 80 ευρώ το ραδιόφωνο Α και 00 80 0 ευρώ το ραδιόφωνο Β :8
Πρόβλημα 3 Χωρίς την εκτέλεση διαιρέσεων αριθμητή με παρανομαστή, να βρείτε τον μεγαλύτερο και τον μικρότερο από τους παρακάτω αριθμούς: 003 007 009 997 0 999 00 005,,,,,,, 05 09 0 009 03 0 03 07 Παρατηρούμε ότι σε όλα τα δεδομένα κλάσματα την ίδια διαφορά: (Παρανομαστής) - (Αριθμητής) = 0 Έτσι γράφουμε: 003 0 007 0 009 0 997 0,,, 05 05 09 09 0 0 009 009 0 0 999 0 00 0 005 0,,, 03 03 0 0 03 03 07 07 Γνωρίζουμε ότι μεταξύ ρητών αριθμών με τον ίδιο αριθμητή, μεγαλύτερος είναι αυτός που έχει μικρότερο παρανομαστή, οπότε έχουμε: 0 0 0 0 0 0 0 0 009 0 03 05 07 09 0 03 Άρα έχουμε: 0 0 0 0 0 0 0 0, 009 0 03 05 07 09 0 03 οπότε ο αριθμός 0 είναι ο μεγαλύτερος από τους δεδομένους ρητούς αριθμούς, ενώ ο 997 009 03 είναι ο μικρότερος Πρόβλημα 4 Στο παρακάτω σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο ισοσκελές με ˆ 90 και Το τρίγωνο ΑΓΔ είναι ισόπλευρο και το σημείο Ε είναι το μέσο της πλευρά ΒΓ (α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΔΕ είναι μεσοκάθετη του ευθύγραμμου τμήματος ΑΓ (β) Βρείτε πόσων μοιρών είναι η γωνία ˆ Σχήμα
Σχήμα (α) Επειδή το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές θα έχει ˆ ˆ 45 και η διάμεσός του ΑΕ είναι και ύψος του, οπότε το τρίγωνο ΑΕΓ είναι ορθογώνιο στο Ε με μία γωνία του 45 Επομένως θα έχει ˆ 80 90 45 45, οπότε αυτό είναι ισοσκελές με Επιπλέον, από το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΓΔ έχουμε ότι: Επομένως τα σημεία Δ και Ε ισαπέχουν από τα άκρα Α και Γ του ευθύγραμμου τμήματος ΑΓ, οπότε η ευθεία ΔΕ είναι η μεσοκάθετη του ΑΓ (β) Από το ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ και το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΓΔ λαμβάνουμε τις ισότητες, οπότε το τρίγωνο ΑΒΔ είναι ισοσκελές Από το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΓΔ έχουμε ˆ 60, οπότε ˆ ˆ ˆ 60 90 50 Επειδή ΑΒΔ ισοσκελές τρίγωνο έπεται ότι: ˆ ˆ 80 50 5 Επειδή οι ευθείες ΑΒ και ΔΕ είναι παράλληλες, ως κάθετες προς την ίδια ευθεία ΑΓ, που τις τέμνει η ευθεία ΒΔ, σχηματίζουν τις εντός εναλλάξ γωνίες του ίσες, οπότε: ˆ ˆ 5 Πρόβλημα Να βρείτε την τιμή της παράστασης Έχουμε Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ x 4 6, αν 3 x x 3 x x 3 x 4 4 x 6 6 x 6, x x 3 3 x x 3 3 x 3 3 3
3 4 6 οπότε για x λαμβάνουμε: 4 3 9 6 56 x 6 9 6 8 6 75 6 69 3 x 3 3 6 3 56 3 3 3 3 3 3 9 8 Πρόβλημα Το πλήθος των μαθητών σε ένα Γυμνάσιο είναι τουλάχιστον 70 και το πολύ 30 Αν γνωρίζουμε ότι ακριβώς το 4% των μαθητών παίζουν βιολί και ότι το 3 από αυτούς που παίζουν βιολί, παίζει και πιάνο, να βρείτε το πλήθος των μαθητών του Γυμνασίου Έστω n το πλήθος των μαθητών του Γυμνασίου Τότε το πλήθος των μαθητών που παίζει βιολί είναι 4 n Το πλήθος των μαθητών που παίζει και βιολί και πιάνο είναι 00 4n 4n n 3 00 300 75 Επειδή ο αριθμός των μαθητών του Γυμνασίου είναι θετικός ακέραιος, πρέπει ο αριθμητής n να είναι πολλαπλάσιο του παρανομαστή, δηλαδή πρέπει n 75 k, όπου k θετικός ακέραιος Έτσι, από την υπόθεση70 n 30, έχουμε: 70 30 0 5 70 n75k 30 k k 3 k 3 75 75 75 75 Επομένως έχουμε n 753 5 μαθητές Πρόβλημα 3 Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο πλευρά Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΓ κατά τμήμα και στη συνέχεια προεκτείνουμε την πλευρά κατά τμήμα είναι το εμβαδόν του τριγώνου και του Αν και τετραπλεύρου, αντίστοιχα, να βρείτε το λόγο Το τρίγωνο ΑΒΔ έχει βάση Άρα είναι: 3 και ύψος 3 3 4 3 3 3 3 8 4
Σχήμα 3 Για το τετράπλευρο ΑΒΔΖ έχουμε: 3 5 3 Στο τρίγωνο ΑΒΖ έχουμε βάση και ύψος, οπότε έχει εμβαδό 5 3 5 3 8 5 Στο τρίγωνο ΒΔΖ έχουμε βάση και ύψος ΔΕ το οποίο μπορεί να υπολογιστεί από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα ΑΗΓ και ΓΕΔ ως εξής: 3 3 4 3 3 Διαφορετικά, μπορούμε να έχουμε: 60 4 Άρα έχουμε: 5 3 5 3 4 6 Επομένως έχουμε: 5 3 5 3 5 3, 8 6 6 οπότε θα είναι 3 3 8 6 3 5 3 5 3 5 6 5
Πρόβλημα 4 Ένα διαμάντι Δ κόβεται σε δύο κομμάτια και με βάρη και, 3 αντίστοιχα, και λόγο βαρών Δίνεται ότι η αξία ενός διαμαντιού είναι 7 ευθέως ανάλογη προς το τετράγωνο του βάρους του Να προσδιορίσετε πόσο επί τις εκατό μειώθηκε η αξία του διαμαντιού Δ μετά την κοπή του στα δύο κομμάτια και Έστω, και Τότε έχουμε Άρα έχουμε η αξία των διαμαντιών, και, αντίστοιχα,, Όμως από την υπόθεση έχουμε: 3 7 3 7 37 0 Από τις () και () λαμβάνουμε 3 7, 0 0 9 49 58 00 00 00 Επομένως η αξία των δύο κομματιών του διαμαντιού ισούται με το 58% της αρχικής αξίας του, δηλαδή η αξία του μειώθηκε κατά 00-58 = 4% () () Α ΛΥΚΕΙΟΥ Πρόβλημα Να βρείτε την τιμή της αριθμητικής παράστασης: 3 3 3 3 05 03 06 0 804 404 04 3 504 04 409 04 407 504 404 Επειδή οι εμφανιζόμενες πράξεις είναι πολλές και χρονοβόρες, προσπαθούμε με κατάλληλη αντικατάσταση, να μετασχηματίσουμε την αριθμητική παράσταση σε αλγεβρική Η παράσταση που προκύπτει μετά την απλοποίησή της οδηγεί τελικά σε απλό υπολογισμό της δεδομένης αριθμητικής παράστασης Έτσι, αν θέσουμε x 04, η παράσταση γίνεται: 6
3 3 3 3 8 4x x 35x 5 4 5 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 3 x x 3 4x x 3 5x 5x 4x 5x 4x 5x 4x 5x 4x x x 3 5 4 5 4 5 4 5 4 5x 4x5x 4x0x xx 3 x x 300 5x 4x5x 4x Άρα είναι 3 3 3 3 05 03 06 0 804 40404 3504 0 04 409 04 407 504 404 Πρόβλημα Ένα βιβλίο μαθηματικών κυκλοφορεί σε τόμους Α και Β 00 αντίτυπα του τόμου Α και 0 αντίτυπα του τόμου Β κοστίζουν συνολικά 4000 ευρώ Ένα βιβλιοπωλείο πούλησε 50 αντίτυπα του τόμου Α με έκπτωση 0% και 60 αντίτυπα του τόμου Β με έκπτωση 0% και εισέπραξε συνολικά 680 ευρώ Να προσδιορίσετε την τιμή πώλησης του ενός βιβλίου από κάθε τόμο Έστω ότι η τιμή πώλησης του τόμου Α είναι x ευρώ και τόμου Β είναι y ευρώ Από τα δεδομένα του προβλήματος προκύπτουν οι εξισώσεις: 00x0y 4000 5x6y 00 () 90x 80y 50 60 680 45x48y 680 () 00 00 Έτσι έχουμε το σύστημα 5x6y00 45x54y800 6y0 45x48y 680 45x48y 680 45x48y680 y 0 y 0 680 48y x x 6 45 Άρα η τιμή πώλησης του τόμου Α ήταν 6 ευρώ και του τόμου Β ήταν 0 ευρώ Πρόβλημα 3 Δίνονται οι παραστάσεις: όπου x, y είναι ρητοί x y xy και x y xy x y 4 4, 7
(α) Να γράψετε την παράσταση Α ως πολυώνυμο των μεταβλητών x, y διατεταγμένο ως προς τις φθίνουσες δυνάμεις του x (β) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός αριθμών xy, (α) Έχουμε είναι ρητός για οποιαδήποτε τιμή των ρητών x y xy x y xy x y xy 4 4 3 3 x y x y x y x yxy 4 3 3 4 x x y3x y xy y Διαφορετικά μπορούμε να έχουμε: x y xy x y xy x y xy x y xy xy xyxy 4 3 3 4 x x y3x y xy y 4 4 3 3 (β) Έχουμε, όπως στο προηγούμενο ερώτημα, ότι: x y xy x 4 4x 3 y6x y 4 xy 3 y 4, 4 4 4 3 3 4 4 4 x y xy x y x 4x y6x y 4xy y x y 4 3 3 4 4 3 3 4 x 4x y6x y 4xy y 4x x y3x y xy y 4 x y xy, όπου στην τελευταία σχέση χρησιμοποιήσαμε το αποτέλεσμα του ερωτήματος (α) Άρα έχουμε x xy y x xy y B, y 3y αφού οι αριθμοί x, y είναι ρητοί και x xy y x 4 0 Πρόβλημα 4 Θεωρούμε τετράπλευρο ABCD με τη γωνία Aˆ 00 και Dˆ 40 Αν DB είναι διχοτόμος της γωνίας CDAκαι ˆ DB DC, να υπολογισθεί το μέτρο της γωνίας CAB ˆ Εφόσον η DB είναι διχοτόμος της γωνίαςcda ˆ, θα έχουμε ότι ˆ ˆ CDB BDA 0 και από το ισοσκελές τρίγωνο DBC θα έχουμε ότι DBC ˆ DCB ˆ 80 και επιπλέον ˆ 80-00 DBA 0 =60 Αν τώρα φέρουμε τις προβολές BK και BL, έχουμε ότι αφού το Β είναι σημείο της διχοτόμου, θα έχουμε ότι BK = BL και BAK ˆ 80, οπότε τα ορθογώνια τρίγωνα BAK και BLC είναι ίσα, που σημαίνει ότι BA = BC Επομένως, από το ισοσκελές τρίγωνο BAC παίρνουμε ότι: CAB ˆ 0 8
Σχήμα 4 Β ΛΥΚΕΙΟΥ Πρόβλημα Έστω k ένας ακέραιος και x ένας θετικός πραγματικός αριθμός Να συγκριθούν οι αριθμοί: k k x k x και x k x ( ος τρόπος) Θεωρούμε τη διαφορά των δύο αριθμών και έχουμε: k k k k k x x x x x B k k k k x x x x k k k k k k k x x x x x x x x, k k k k k k x x x x x x οπότε, αφού x 0 και k ακέραιος, έχουμε: 0, αν x, αν x 0, αν 0 x,αν 0 x ος τρόπος Έχουμε ότι k k k k k ( x )( x ) x x x k k ( x ) ( x ) k k k k x x x x ( x) k k ( x ) ( x ) Η ισότητα στην τελευταία ισχύει, αν, και μόνο αν, x Επομένως έχουμε ότι:, αν x και A B, αν 0 x 9
Πρόβλημα Να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη ακεραίων x, y που είναι λύσεις της εξίσωσης: x 0xy3y xy 5 Η εξίσωση γράφεται στη μορφή x 0xy 3y 5 x y () Η παράσταση του πρώτου μέλους γράφεται: 5y 5y 5y y x 0xy3y x 5xy 3y x 0, 4 5y όπου η ισότητα ισχύει αν, και μόνον αν: x y 0 x y 0 Επομένως για το δεύτερο μέλος της εξίσωσης () πρέπει να ισχύει: 5 5 x y 0 x y x y 0,,, οπότε έχουμε τις περιπτώσεις: x y 0 x y Τότε η εξίσωση γίνεται: x 0x 3x 5 x xή x, οπότε προκύπτουν οι λύσεις: xy,, ή xy,, x y xy ή xy x yή x y Για x y y 0 y y3y 3 η εξίσωση γίνεται: 5y 6y0 της είναι 56, η οποία δεν έχει ακέραιες λύσεις αφού η διακρίνουσα 3 xy xy ή xy x y ή x y Πρόβλημα 3 Για x y y 0 y y3y η εξίσωση γίνεται: 5y y7 0, η οποία έχει ακέραιες λύσεις αφού η διακρίνουσα της είναι 4 και έχει ρίζες Άρα προκύπτει η λύση xy, 3, Για x y 7 y y ή y 0 5 y 0 y y3y η εξίσωση γίνεται: 5y y7 0, η οποία έχει ακέραιες λύσεις αφού η διακρίνουσα της είναι 4 και έχει ρίζες Άρα προκύπτει η λύση xy, 3, 7 y y ή y 0 5 Επομένως η εξίσωση έχει τις λύσεις:,,,,3,, 3, 0
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ABC (με AB AC BC ) εγγεγραμμένο σε κύκλο ( c ) (με κέντρο O και ακτίνα R ) και έστω D, E τα αντιδιαμετρικά σημεία των B, C, αντίστοιχα (ως προς τον κύκλο ( c ) ) Ο κύκλος ( c ) (με κέντρο A και ακτίνα AE ), τέμνει την AC στο σημείο K Ο κύκλος ( c ) (με κέντρο Α και ακτίνα AD ), τέμνει την προέκταση της AB (προς το μέρος του Α) στο σημείο L Να αποδείξετε ότι οι ευθείες EK και DL τέμνονται πάνω στο κύκλο ( c ) Έστω Μ το σημείο τομής της DL με τον κύκλο ( c ) θα αποδείξουμε ότι τα σημεία E, K, M βρίσκονται επάνω στον ίδια ευθεία Η γωνία EAC ˆ είναι ορθή, διότι βαίνει στη διάμετρο EC του κύκλου ( c ) Το τρίγωνο AEK είναι ισοσκελές (διότι AE, AK είναι ακτίνες του κύκλου ( c )) Άρα: AEK ˆ AKE ˆ 45 () Σχήμα 5 Η γωνία BAD ˆ είναι ορθή, γιατί βαίνει στη διάμετρο BD του κύκλου ( c ), οπότε και η γωνία DAL ˆ είναι ορθή Το τρίγωνο ADL είναι ισοσκελές (διότι AD, AL είναι ακτίνες του κύκλου ( c )) Άρα έχουμε ADL ˆ ALD ˆ 45 () Οι γωνίες ADM=ADL ˆ ˆ και AEM ˆ είναι ίσες, γιατί είναι εγγεγραμμένες στο κύκλο ( c ) και βαίνουν στο τόξο AM, δηλαδή AEM ˆ ADL ˆ (3) Άρα από τις σχέσεις (), () και (3) προκύπτει η ισότητα AEK ˆ AEM ˆ 45, οπότε τα σημεία Ε, Κ, Μ είναι συνευθειακά Πρόβλημα 4 Σε έναν διαγωνισμό που η μέγιστη δυνατή βαθμολογία ήταν 00 έλαβαν μέρος x μαθητές Οκτώ μαθητές πήραν βαθμό 00, ενώ όλοι οι υπόλοιποι πήραν βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του 70 Αν ο μέσος όρος των βαθμών των μαθητών ήταν 78, να βρεθεί η ελάχιστη δυνατή τιμή του πλήθους των μαθητών
Για το άθροισμα των βαθμών όλων των μαθητών έχουμε τη σχέση x 800 x870 x 70x 40, () οπότε για το μέσο όρο των βαθμών έχουμε: x 70x 40 40 70 () x x x Έχοντας υπόψη ότι ο μέσος όρος της βαθμολογίας των μαθητών είναι 78, αν υποθέσουμε ότι ισχύει x 30, τότε από τη σχέση () λαμβάνουμε: x 40 40 70 70 78, (3) x x 30 που είναι αντίθετο προς την υπόθεση ότι ο μέσος όρος των βαθμών είναι 78 Επομένως δεν είναι δυνατόν να ισχύει ότι x 30, οπότε πρέπει να είναι x 30 Παρατηρούμε ότι για x 30, έχουμε την περίπτωση 800 30 8 70 30 3070 830 708 78, 30 30 30 οπότε η ελάχιστη δυνατή τιμή του x είναι 30 Πρόβλημα Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Δίνεται η παραβολή με εξίσωση y x 3 5 x86, Να προσδιορίσετε τις τιμές του για τις οποίες η παραβολή τέμνει τον άξονα των x σε δύο σημεία διαφορετικά μεταξύ τους με ακέραιες συντεταγμένες Τα σημεία τομής της παραβολής είναι της μορφής x,0 και x,0, x x y x 3 5 x86, με τον άξονα των x όπου x, x είναι οι ρίζες της εξίσωσης: 3 5 86 0, Άρα έχουμε: xx 3a5, () xx 86 () Επειδή πρέπει οι ρίζες x και x να είναι ακέραιοι αριθμοί, σύμφωνα με την υπόθεση διαφορετικοί μεταξύ τους, έστω x x, από την εξίσωση (), έχουμε ότι οι x, x πρέπει να είναι ομόσημοι ακέραιοι, με γινόμενο 86 3 3 Άρα έχουμε τα εξής δυνατά ζεύγη: x, x,86,,93, 3,6, 6,3,, 86,, 93, 3, 6, 6, 3 x x 5 Από την εξίσωση () προκύπτει ότι:, οπότε οι δυνατές τιμές για την 3 παράμετρο είναι οι εξής: 64, 4, -30, -0 Πρόβλημα Να λυθεί στους πραγματικούς αριθμούς το σύστημα :
( ος τρόπος) Προσθέτοντας και αφαιρώντας το 4 4 x x y y 9 x xy y 3 x y η πρώτη εξίσωση γίνεται: 4 4 x x y y x y x y x y x y xy x y xy 9 Επομένως, έχουμε x y xy 7 Προσθέτοντας τώρα αυτή και τη δεύτερη 3 x y 0 x y 0, οπότε εξίσωση του συστήματος, βρίσκουμε ότι: xy 3 από τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος Έτσι καταλήγουμε στο ισοδύναμο σύστημα: x y 0 x y 0, xy 3 xy 6 από το οποίο με πρόσθεση και αφαίρεση των δύο εξισώσεων κατά μέλη, λαμβάνουμε x y xy 6 x y 6 x y 4 x y xy 4 x y 4 x y x y 4 x y 4 x y 4 x y 4 ή ή ή x y x y x y x y xy, 3, ή xy,, 3 ή xy,, 3 ή xy, 3, ος τρόπος Έχουμε 4 4 x x y y 9 x y xy 9, x xy y 3 x xy y 3 οπότε, αν θέσουμε x y και xy, λαμβάνουμε το σύστημα 9 9 3 3 7 0 x y 0 3 3 xy 3 Στη συνέχεια εργαζόμαστε, όπως στον πρώτο τρόπο Πρόβλημα 3 Δίνεται τρίγωνο (με εγγεγραμμένο σε κύκλο C ( O,R ) Η διχοτόμος τέμνει τον κύκλο C ( O,R ), στο σημείο Z Έστω τυχόν σημείο του τμήματος Η ευθεία τέμνει τον κύκλο C ( O,R ) στο σημείο Οι ευθείες και τέμνονται στο σημείο Επίσης, η ευθεία τέμνει τον κύκλο στο σημείο Να αποδείξετε ότι τα τετράπλευρα, και είναι εγγράψιμα 3
Η γωνία ˆ είναι εγγεγραμμένη στον κύκλο C ( O,R ) και βαίνει στο τόξο Άρα: ˆ ˆ ˆ Η γωνία ˆ είναι εξωτερική του τριγώνου Άρα: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Σχήμα 6 Από την ισότητα των γωνιών ˆ ˆ, προκύπτει η ισότητα των παραπληρωματικών τους γωνιών και από εκεί ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο Από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο έχουμε: ˆ ˆ, η οποία σε συνδυασμό με την ισότητα ˆ ˆ, μας δίνει την εγγραψιμότητα του τετραπλεύρου Από το εγγράψιμο έχουμε: ˆ ˆ Από το εγγράψιμο έχουμε: ˆ ˆ ˆ ˆ Άρα είναι: Επομένως και το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο Πρόβλημα 4 Να βρείτε όλους τους φυσικούς αριθμούς n, που έχουν ακριβώς τέσσερις θετικούς διαιρέτες d d d3 d4 και ικανοποιούν τη σχέση: d d d3d4 640 Για τους τέσσερις διαιρέτες ισχύουν οι σχέσεις d, d4 n και dd3 n 4
Επομένως, έχουμε dd d3 d4 640 d d3 dd3 640 7 d d 640 d d 5 3 3 Αλλά d d d3 d4 d d3 και επειδή οι d και d 3 είναι ακέραιοι αριθμοί, διακρίνουμε τις περιπτώσεις: d 4,d3 60 d 3, d3 59 3 53, απορρίπτονται, αφού ο n 3 59 έχει και άλλους διαιρέτες d 5,d3 8 d 4, d3 7, απορρίπτονται, αφού ο n 47 έχει και άλλους διαιρέτες d 8,d3 80 d 7, d3 79, οπότε είναι n 7 79 553 d 0,d3 64 d 9, d3 63, απορρίπτονται, αφού ο n 963 έχει και άλλους διαιρέτες d 6,d3 40 d 5, d3 39, απορρίπτονται, αφού ο n 5 39 έχει και άλλους διαιρέτες d 0,d3 3 d 9, d3 3, οπότε είναι n 93 589 Τελικά, οι αριθμοί που ικανοποιούν τις αρχικές υποθέσεις είναι οι 553 και 589 5