4.3 ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ

ΜΡΟΣ Β 4. ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ 81 4. ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ Μονάδες μέτρησης όγκου Ως µονάδα µέτρησης όγκου θεωρούµε έναν κύο µε ακµή µήκους 1 µέτρο(m). Ο όγκος του ισούται µε 1 κυικό µέτρο (m ). Οι κυριότερες υοδιαιρέσεις του κυικού µέτρου είναι: α) Το κυικό δεκατόµετρο (dm ) ου είναι όγκος κύου µε ακµή 1dm. ) Το κυικό εκατοστόµετρο (cm ) ου είναι όγκος κύου µε ακµή 1cm γ) Το κυικό χιλιοστόµετρο (mm ) ου είναι όγκος κύου µε ακµή 1mm. Στον όγκο των υγρών συνηθίζουµε να ονοµάζουµε το dm ως λίτρο (l). Τότε, το cm λέγεται χιλιοστόλιτρο (m/). Όγκος ρίσματος και κυλίνδρου Ο όγκος ενός ρίσµατος ισούται µε το γινόµενο του εµαδού της άσης του εί το ύψος, δηλαδή: Όγκος (µαδόν άσης) (ύψος) Ο όγκος ενός κυλίνδρου ισούται µε το γινόµενο του εµαδού της άσης του εί το ύψος, δηλαδή: Όγκος (µαδόν άσης) (ύψος) ΡΩΤΗΣΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1. Να συµληρώσετε τον αρακάτω ίνακα, όου φαίνεται το εµαδόν της άσης, το ύψος και ο όγκος ορθού ρίσµατος. μαδόν άσης (cm ) 1 8 5 ύψος (cm) 7 6 Όγκος (cm ) 6 56 0 Στην ρώτη στήλη αό τον τύο Όγκος (µαδόν άσης) (ύψος) έχουμε Όγκος (µαδόν άσης) (ύψος)1.6 cm. Στην δεύτερη στήλη αό τον τύο. υ υ 56 8 7 cm 0 Στην τρίτη στήλη αό τον τύο. υ E 5 cm. υ 6. Να συµληρώσετε τον αρακάτω ίνακα, όου φαίνεται το εµαδόν της άσης, το ύψος και ο όγκος κυλίνδρου. μαδόν άσης (cm ) 9 0 ύψος (cm) 4 8 6 Όγκος (cm ) 88 7 10

8 ΜΡΟΣ Β 4. ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ Στην ρώτη στήλη αό τον τύο Όγκος (µαδόν άσης) (ύψος) έχουμε Όγκος (µαδόν άσης) (ύψος).488 cm. 7 Στην δεύτερη στήλη αό τον τύο. υ υ 8 cm 9 Στην τρίτη στήλη αό τον τύο 10 υ 6.υ E 0 cm.. ίνονται τέσσερις κύλινδροι ου έχουν όλοι ακτίνα άσης ρ4 cm. Να συµληρώσετε τον αρακάτω ίνακα: 1ος Κύλινδρος ος Κύλινδρος ος Κύλινδρος 4ος Κύλινδρος ύψος κυλίνδρου υ cm 4 cm 6 cm 8 cm εμαδόν αράλευρης 16 cm cm 48 cm 64 cm ειφάνειας ολικό εμαδόν ολ 48 cm 64 cm 80 cm 96 cm όγκος cm 64 cm 96 cm 18 cm Στην ρώτη στήλη αό τον τύο ρ υ έχουμε.,14.4.16 cm, είσης έχουμε ολ ρ.υ+ρ 16+48 cm. Αό τον τύο.υ ρ.υ.4. cm Στην δεύτερη στήλη αό τον τύο ρ υ έχουμε..4.4 cm, είσης έχουμε ολ ρ.υ+ρ +..4 64 cm. Αό τον τύο.υ ρ.υ.4.4 64 cm Στην τρίτη στήλη αό τον τύο ρ υ έχουμε..4.648 cm, είσης έχουμε ολ ρ.υ+ρ 48+..4 80 cm. Αό τον τύο.υ ρ.υ.4.6 96 cm Στην τρίτη στήλη αό τον τύο ρ υ έχουμε..4.864 cm, είσης έχουμε ολ ρ.υ+ρ 64+..4 96 cm. Αό τον τύο.υ ρ.υ.4.8 18 cm

ΜΡΟΣ Β 4. ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ 8 Α Σ Κ Η Σ Ι Σ ΑΣΚΗΣΗ 1 Ορθό τριγωνικό ρίσµα µε άση ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ µε κάθετες λευρές ΑΒ cm και ΑΓ 4 cm έχει ύψος ίσο µε την υοτείνουσα ΒΓ του τριγώνου ΑΒΓ. Να υολογίσετε α) το εµαδόν της αράλευρης ειφάνειας του ρίσµατος ) το εµαδόν της ολικής ειφάνειας γ) τον όγκο του ρίσµατος ΒΓ ΑΒ + ΑΓ ΒΓ + 4 α) ΒΓ 5 ΒΓ 5 cm και υ 5 cm (ερίµετρος άσης) (ύψος)(+4+5).5 60 cm.4 ) ολ + 60 + 7 cm. γ) Όγκος (µαδόν άσης).4 (ύψος).5 0 cm α) Χρησιμοοιούμε το υθαγόρειο θεώρημα για να ρούμε την υοτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου της άσης ου είναι και ύψος του ρίσματος. Κατόιν υολογίζουμε το αό τον τύο: (ερίµετρος άσης) (ύψος) ) Υολογίζουμε το ολ αό τον ολ + γ) Τέλος ρίσκουμε τον όγκο αό τον τύο. Όγκος (µαδόν άσης) (ύψος) ΑΣΚΗΣΗ Να υολογίσετε τον όγκο ενός κανονικού τριγωνικού ρίσµατος, αν γνωρίζετε ότι το ύψος του είναι τετραλάσιο αό την λευρά του ισόλευρου τριγώνου της άσης του, ου έχει εµαδόν (8,6 cm ) και η αράλευρη ειφάνειά του έχει εµαδόν 4 cm. Αό τον (ερίµετρος άσης) (ύψος) Χρησιμοοιούμε τον τύο: (ερίµετρος άσης) (ύψος) 4 4 α.4α 1α 4 α 6 Αν υοθέσουμε ότι α είναι η 1 λευρά του ισολεύρου τριγώνου τότε το ύψος του ρίσματος θα είναι 4 α και τέλος χρη- α 6 cm και υ 4α 4.6 4 cm E. υ 8,6.4 678,4 cm σιμοοιούμε τον τύο Όγκος (µαδόν άσης) (ύψος) ΑΣΚΗΣΗ Ένα ορθό τετραγωνικό ρίσµα έχει ολικό εµαδόν ου είναι τριλάσιο του εµαδού της αράλευρης ειφάνειας του. Να αοδείξετε ότι η λευρά του τετραγώνου της άσης του είναι τετραλάσια αό το ύψος του ρίσµατος.

84 α ολ ( 4υ) α α 4α. υ 0 α 4υ + 4α. υ α α 0 0 α 4υ 0 ΜΡΟΣ Β 4. ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ Δημιουργούμε την ισότητα με άση την εκφώνηση της άσκησης. Μεταφέρουμε στο δεύτερο μέλος το. Διαιρούμε και τα δύο μέλη με το. Χρησιμοοιούμε τον τύο (ερίµετρος άσης) (ύψος) και ο εμαδόν της άσης ου είναι τετράγωνο είναι α. όου α η λευρά του τετραγώνου. Μετά χρησιμοοιούμε την ειμεριστική ιδιότητα. ΑΣΚΗΣΗ 4 Ένα ορθό ρίσµα έχει άση ισοσκελές τραέζιο ΑΒΓ, µε ίσες λευρές Α ΒΓ5 cm. Tο ύψος του τραεζίου είναι cm και το ύψος του ρίσµατος είναι 10 cm. Αν ο όγκος του ρίσµατος είναι 180 cm και το εµαδόν της αράλευρης ειφάνειας είναι 0 cm, να ρείτε: α) το εµαδόν και την ερίµετρο του τραεζίου ΑΒΓ. ) τα µήκη των άσεων ΑΒ και Γ του τραεζίου ΑΒΓ. α) 18 cm E ισμ. ΑΒΓΔ. υ ΑΒΓΔ υ ( ερίμετροςάσης)( ύψος) ρισμ 0 Π cm υ 10 Π cm 5 + 5 + ΑΒ + ΓΔ ) 4 + ΓΔ + 4 + ΓΔ 1 ΓΔ 4 ΓΔ cm οότε ΑΒ 1-10 cm Η ΒΑΣΗ ΤΟΥ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ 180 10 ΑΒ + ΓΔ 1 Α + Ζ + ΖΒ + ΓΔ 1 A Ζ Β α)χρησιμοοιούμε τους τύους, Όγκος (µαδόν άσης) (ύψος) και (ερίµετρος άσης) (ύψος) την οοία λύνουμε ως ρος ) Η ερίμετρος του ισοσκελούς τραεζίου είναι το άθροισμα των αραλλήλων και των μη αραλλήλων λευρών. Οι μη αράλληλες είναι ίσες με 5 cm η καθεμιά. Για τον υολογισμό των αραλλήλων λευρών χρησιμοοιούμε το υθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ΑΔ και υολογίζουμε ο τμήμα Α. Ομοίως και το τμήμα ΖΒ. Το τμήμα Ζ είναι ίσο με το ΔΓ. cm 5 cm cm 5cm Δ Γ

ΜΡΟΣ Β 4. ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ 85 Α Α ΑΔ Δ 16 Α 4 cm Α 5 ΑΣΚΗΣΗ 5 Λυγίζουµε ένα φύλλο χαρτιού µεγέθους Α4 (1X9cm) και κατασκευάζουµε ένα κύλινδρο ύψους 1cm. Nα ρείτε την ακτίνα άσης και τον όγκο του κυλίνδρου. L ρ ρ L 9.,14 4,6 cm ρ. υ,14.4,6.1 1407,45 cm Χρησιμοοιούμε τους τύους L ρ, ρ. υ Το μήκος του χαρτιού, δηλαδή το μήκος του ορθογωνίου είναι και μήκος του κύκλου είναι 9 cm. ΑΣΚΗΣΗ 6 Να ρείτε τον όγκο κυλίνδρου ο οοίος έχει: α) ακτίνα άσης 10 cm και ύψος 1, cm. ) εµαδόν άσης 100 mm και ύψος 0, m. α) ρ.υ,14.10.1, 76,8 cm Χρησιμοοιούμε τους τύους ρ.υ,.υ ).υ 100.00 0.000 mm ) Μετατρέουμε τα m σε mm. ΑΣΚΗΣΗ 7 Ένα τσιγάρο έχει µήκος 8,5 cm αό τα οοία τα,5 cm καταλαµάνει το φίλτρο. Η διάµετρος µιας άσης του είναι 0,8 cm. Οι αναλύσεις του Υουργείου Υγείας κατέληξαν στο συµέρασµα ότι εριέχει 0,5 mg ίσσας ανά κυικό εκατοστό κανού και το τσιγαρόχαρτο εριέχει 0,05 mg ίσσας ανά τετραγωνικό εκατοστό χαρτιού. Πόσα mg ίσσας εισνέει ηµερησίως ένας κανιστής ου κανίζει 15 τσιγάρα την ηµέρα; (Θεωρήστε ότι ο κανιστής ετάει το τσιγάρο έχοντας κανίσει τα 5 αό τα 6 cm του τσιγάρου).

86 ΜΡΟΣ Β 4. ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ Π.,14.0,4.5 1,56 cm Π Π τσιγάρου τσιγάρου τσιγαρόχαρτου τσιγαρόχαρτου ολική ρ. υ,14.0,4.5,51 cm,51.0,5 1,56 mg Π ( + 0,68) 8,6 mg 15 1,56. υ ρ. υ 1,56.0,05 0,68 mg Χρησιμοοιούμε τους τύους ρ. υ Π. υ ρ. υ Όου Π τσιγάρου είναι η ίσσα ου έχει το ένα τσιγάρο. Π τσιγαρόχαρτου η ίσσα ου έχει το τσιγαρόχαρτο και τέλος Π ολική η ίσσα ου έχουν τσιγάρο και τσιγαρόχαρτο. ΠΑΡΑΔΙΓΜΑ νότητα: Πρίσμα - Κύλινδρος. Ανάλογα οσά. Γραφική αράσταση ευθείας. Στόχοι: Η εμάθυνση των μαθητών στην ενοοιητική έννοια της αναλογίας και της γραμμικότητας διαφόρων μεγεθών, η εξάσκηση τους στη μετάαση αό το μερικό στο γενικό και στη χρησιμοοίηση γραμμικού μοντέλου ανααράστασης. Μέθοδος: Μεικτή (καθοδηγούμενη - ανακαλυτική). Φύλλο εργασίας 1. α) Δίνονται τα αρακάτω τέσσερα ρίσματα. Να συμληρώσετε τον ίνακα: ) Τα μεγέθη x και y είναι γιατί ο λόγος. Η σχέση ου εκφράζει το y ως συνάρτηση του x είναι η y. γ) Τα μεγέθη x και ω είναι γιατί ο λόγος.. Η σχέση ου εκφράζει το ω ως συνάρτηση του x είναι η ω. δ) Τα μεγέθη x και z δεν είναι..γιατί ο λόγος.. Η σχέση ου εκφράζει το z ως συνάρτηση του x είναι η z..

ΜΡΟΣ Β 4. ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ 87 ε) Να ρείτε το λήθος των ακμών, των κορυφών και των εδρών ενός ρίσματος με άση κανονικό εικοσιεντάγωνο. στ) Να εξηγήσετε γιατί δεν υάρχει ρίσμα με 101ακμές ζ) Στο διλανό σύστημα συντεταγμένων: Να τοοθετήσετε τα σημεία με συντεταγμένες (x, y) τα οοία ανήκουν στην ευθεία ίσης να τοοθετήσετε τα σημεία με συντεταγμένες (x, ω) τα οοία ανήκουν στην ευθεία ίσης να τοοθετήσετε τα σημεία με συντεταγμένες (x, z) τα οοία ανήκουν στην ευθεία... η) Ένα ρίσμα έχει 64 κορυφές. Πόσες έδρες και όσες ακμές έχει;... θ) Ένα ρίσμα έχει 5 έδρες. ίσες ακμές έχει;....... Οι διλανοί κύλινδροι έχουν όλοι ακτίνα άσης ρ cm. α) Να συμληρώσετε τον ίνακα: ) Τα μεγέθη υ και είναι... γιατί ο λόγος... Η σχέση ου εκφράζει το ως συνάρτηση του υ είναι η...

88 ΜΡΟΣ Β 4. ΟΓΚΟΣ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ γ) Τα μεγέθη υ και είναι...γιατί ο λόγος... Η σχέση ου εκφράζει το ως συνάρτηση του υ είναι η. δ) Τα μεγέθη υ και ολ δεν είναι...γιατί ο λόγος... Η σχέση ου εκφράζει το ολ ως συνάρτηση του υ είναι η ολ ε) Στο διλανό σχήμα έχουμε ένα μη κανονικό σύστημα συντεταγμένων (οι μονάδες στους άξονες x'x και y'y δεν έχουν το ίδιο μήκος): Να τοοθετήσετε τα σημεία με συντεταγμένες (υ, ) τα οοία ανήκουν στην ευθεία... Να σχεδιάσετε την ευθεία αυτή. ίσης να τοοθετήσετε τα σημεία με συντεταγμένες (υ, ) τα οοία ανήκουν στην ευθεία... Να σχεδιάσετε την ευθεία αυτή. ίσης να τοοθετήσετε τα σημεία με συντεταγμένες (υ, ολ ) τα οοία α- νήκουν στην ευθεία.να σχεδιάσετε την ευθεία αυτή.