Εισαγωγή στον Αυτόματο Έλεγχο ( ) Σχεδιασμός Συστήματος Ελέγχου Ανάστροφου Εκκρεμούς

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχανικών Εργαστήριο Ναυτικής Μηχανολογίας Εισαγωγή στον Αυτόματο Έλεγχο (8.3.01.5) Σχεδιασμός Συστήματος Ελέγχου Ανάστροφου Εκκρεμούς 2011-2012 Γεώργιος Παπαλάμπρου Στην άσκηση αυτή ένα εκκρεμές είναι τοποθετημένο σε ένα βαγονέτο. Σχεδιάζεται σύστημα ελέγχου που διατηρεί το εκκρεμές σε κατακόρυφη θέση, ενώ το βαγονέτο κινείται οριζόντια. Σχήμα 1: Το ανάστροφο εκκρεμές στο Εργαστήριο Ναυτικής Μηχανολογίας Το φυλλάδιο αυτό είναι διαθέσιμο στον ιστότοπο του μαθήματος: http://www.lme.ntua.gr/les_control.html, με τίτλο αρχείου: lab_invpend_cs_2011.pdf. Κατά τη διάρκεια της εργαστηριακής άσκησης χρειάζονται αρχεία που βρίσκονται στον τοπικό Η/Υ. 1

Δρ. Γεώργιος Παπαλάμπρου Λέκτορας ΕΜΠ Εργαστήριο Ναυτικής Μηχανολογίας Σχολή Ναυπηγών Μηχανολόγων Μηχανικών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο email: george.papalambrou@lme.ntua.gr http://www.lme.ntua.gr ενημέρωση: 16/12/2011 ΓΠ X L A TEX E Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 4 1.1 Περιγραφή της εργαστηριακής διάταξης................. 4 1.2 Παράμετροι του συστήματος....................... 5 2 Μαθηματικό Μοντέλο 5 2.1 Εξισώσεις συστήματος........................... 5 2.2 Συναρτήσεις μεταφοράς.......................... 7 2.3 Εξισώσεις χώρου κατάστασης....................... 7 3 Το Σύστημα Ελέγχου 8 3.1 Στόχος των συστημάτων ελέγχου..................... 8 3.2 Σύστημα ελέγχου ανεστραμμένου εκκρεμούς............... 9 3.3 Ανάλυση συστήματος ανοιχτού βρόχου.................. 9 3.4 Προδιαγραφές απόκρισης......................... 10 3.5 Ελεγκτής Ανατροφοδότησης Καταστάσεων............... 10 3.6 Μεθοδολογία υπολογισμού ελεγκτή ανατροφοδότησης καταστάσεων. 11 4 Εκτέλεση Δοκιμής 12 4.1 Προετοιμασία Δοκιμής........................... 12 4.2 Συνδέσεις.................................. 12 4.3 Αρχεία................................... 13 4.4 Δοκιμή ρύθμισης ελεγκτή ανατροφοδότησης καταστάσεων....... 13 5 Απαιτήσεις Εργαστηριακής Έκθεσης 14 6 Υποδείξεις και Βοήθεια 14 2

7 Σημειώσεις και Αναφορές 15 3

1 Εισαγωγή Το ανάστροφο εκκρεμές (inverted pendulum) είναι ένα κλασσικό πρόβλημα στη δυναμική και στα συστήματα ελέγχου. Αποδεικνύει ότι με ανατροφοδότηση σταθεροποιείται ένα ασταθές σύστημα ανοιχτού βρόχου. Παρουσιάστηκε για πρώτη φορά στο MIT το 1960 και προσομοίαζε το πρόβλημα σταθεροποίησης ενός πυραύλου κατά την εκτόξευση. Το διάγραμμα ενός ανάστροφου εκκρεμούς φαίνεται στο Σχήμα 2. Inverted pendulum m θ 2l Center of gravity M Pivot Cart x Σχήμα 2: Διάγραμμα ανάστροφου εκκρεμούς Το εκκρεμές σχηματίζει γωνία θ με την κατακόρυφο. Μπορεί να περιστρέφεται γύρω από το σημείο Pivot. Αποτελείται από μάζα m, και έχει μήκος 2l. Το βαγονέτο μάζας M κινείται στον οριζόντιο άξονα. Θεωρούμε ότι το κέντρο μάζας του εκκρεμούς βρίσκεται σε απόσταση l από το σημείο περιστροφής. Σε αντίθεση με το απλό εκκρεμές, το ανάστροφο εκκρεμές έχει τη μάζα του πάνω από το σημείο περιστροφής. Στόχος της άσκησης είναι ο σχεδιασμός συστήματος ελέγχου που θα διατηρεί το ανάστροφο εκκρεμές σε κατακόρυφη θέση (προς τα επάνω), ενώ το βαγονέτο κινείται οριζόντια (balancing problem). 1.1 Περιγραφή της εργαστηριακής διάταξης Το σύστημα αποτελείται από ένα ανάστροφο εκκρεμές (inverted pendulum) τοποθετημένο σε ένα βαγονέτο (cart). Το βαγονέτο μπορεί να ολισθαίνει οριζόντια σε γλίστρες. Η διάταξη ανάστροφου εκκρεμούς με δύο βαθμίδες φαίνεται στο Σχήμα 3. Η κίνηση κατά τον οριζόντιο άξονα, γινεται με την βοήθεια σερβοκινητήρα (servo motor) και οδοντωτών ιμάντων (timing belts). Ο σερβοκινητήρας περιλαμβάνει αισθητήριο μέτρησης γωνιακής θέσης του άξονα κίνησης (rotary encoder). Ένας Η/Υ (control computer) εξοπλισμένος με κάρτα επεξεργασίας δεδομένων και DSP θα χρησιμοποιηθεί για την υλοποίηση του συστήματος ελέγχου. Ο ελεγκτής σχεδιάζεται στο περιβάλλον MATLAB/Simulink και υλοποιείται σε πραγματικό χρόνο στην πλατφόρμα Real Time του MATLAB. Ο σερβοκινητήρας οδηγείται από τα Massachusetts Institute of Technology, USA Digital Signal Processor 4

Inverted pendulum Power electronics Control Computer Control computer Rotary encoder Servo motor Cart Timing belt Σχήμα 3: Η εργαστηριακή διάταξη με το ανάστροφο εκκρεμές. ηλεκτρονικά ισχύος, που βρίσκονται στο κουτί power electronics. Η διάταξη είναι κατασκευασμένη από την εταιρεία Googol Technology. 1.2 Παράμετροι του συστήματος Για το σύστημα αναστρόφου εκκρεμούς μίας βαθμίδας, οι παράμετροι φαίνονται στον Πίνακα 1. 2 Μαθηματικό Μοντέλο 2.1 Εξισώσεις συστήματος Στόχος είναι να διατυπωθούν οι διαφορικές εξισώσεις της κίνησης ανάστροφου εκκρεμούς μίας βαθμίδας. Δημιουργείται το διάγραμμα ελευθέρου σώματος (ΔΕΣ) για το βαγονέτο και το εκκρεμές, τοποθετώντας τις δυνάμεις, όπως φαίνεται στο Σχήμα 4. Για το βαγονέτο, η ισορροπία δυνάμεων στον άξονα xx δίνει M x = F bx N 5 (1)

Πίνακας 1: Παράμετροι αναστρόφου εκκρεμούς μίας βαθμίδας Παράμετρος Περιγραφή, μονάδες M Μάζα βαγονέτου (cart mass), 1.096 kg m Μαζα εκκρεμούς (pendulum mass), 0.109 kg b Συντελεστής τριβής βαγονέτου (cart friction coefficient), 0.1 N/m/s l Απόσταση κέντρου περιστροφής από κέντρο μάζας (pendulum gravity center), 0.25 m 2l Μήκος εκκρεμούς (pendulum length), 0.5 m J Ροπή αδράνειας εκκρεμούς (pendulum inertia), 0.0034 kg m 2 θ Γωνία με την κατακόρυφο (pendulum angle), rad x Μετατόπιση βαγονέτου (cart position), m Cart P Inverted pendulum θ l θ F N M Pivot bẋ Center of gravity mg l θ 2 x P N x ẍ Pivot x ẍ Σχήμα 4: Διάγραμμα ελευθέρου σώματος για το βαγονέτο και το εκκρεμές. Για το εκκρεμές, η ισορροπία δυνάμεων στον άξονα x x δίνει P sinθ + Ncosθ mg sinθ = ml θ + mẍ cosθ (2) Για το εκκρεμές, η ισορροπία δυνάμεων στον οριζόντιο άξονα xx δίνει N = m +ml θ cosθ ml θ 2 sinθ (3) Για το εκκρεμές, το άθροισμα των ροπών στο κέντρο μάζας δίνει (με θετική την ωρολογιακή φορά) N cosθ l P sinθ l = J θ (4) Με τις εξισώσεις 2, 4 εξαλείφονται οι δυνάμεις P, N και έτσι έχουμε (J + ml 2 ) θ mg l sinθ = mlẍ cosθ (5) Με τις εξισώσεις 1, 3 εξαλείφεται η δύναμη N και έτσι έχουμε (M + m)ẍ + bẋ + ml θ cosθ ml θ 2 sinθ = F (6) 6

2.2 Συναρτήσεις μεταφοράς Κατά το σχεδιασμό ελεγκτών, είναι χρήσιμο να γνωρίζουμε την συνάρτηση μεταφοράς εισόδου-εξόδου. Σε περίπτωση που γνωρίζουμε τις διαφορικές εξισώσεις του συστήματος, κάνουμε γραμμικοποίηση και κατόπιν λαμβάνουμε μετασχηματισμό Laplace. Η εξίσωση 5 γραμμικοποιείται ως εξής. Θέτουμε sinθ = ϕ και cosθ = 1, οπότε γίνεται (J + ml 2 ) θ mg l ϕ = mlẍ (7) Λαμβάνοντας μετασχηματισμό Laplace, έχουμε για την εξίσωση 7 (J + ml 2 )Φs 2 mg l Φ = mlxs 2 (8) ((J + ml 2 )s 2 mg l) Φ = mlxs 2 (9) Η συνάρτηση μεταφοράς γωνίας-μετατόπισης είναι Φ X = mls 2 (J + ml 2 )s 2 mg l (10) Θεωρώντας v = ẍ και τον αντίστοιχο μετασχηματισμό Laplace, η συνάρτηση μεταφοράς γωνίας-επιτάχυνσης είναι Φ V = ml (J + ml 2 )s 2 mg l (11) Λαμβάνοντας υπόψη τις τιμές του Πίνακα 1 για το ανάστροφο εκκρεμές 1 βαθμίδας, η εξίσωση 10 δίνει G 1 (s) = Φ X = 0.02725 s 2 0.0102125 s 2 (12) 0.26705 και η εξίσωση 11 δίνει G 2 (s) = Φ V = 0.02725 0.0102125 s 2 0.26705 (13) 2.3 Εξισώσεις χώρου κατάστασης Οι εξισώσεις κατάστασης έχουν τη μορφή ẋ = Ax + Bu (14) y = Cx + Du (15) και παριστάνoνται γραφικά όπως στην εικόνα 5 Θεωρούμε διάνυσμα μεταβλητών κατάστασης το x = [x ẋ θ θ] T. 7

D u B Σ ẋ dt x C Σ y A Σχήμα 5: Γράφική παράσταση των εξισώσεων κατάστασης, με πλήρη ανατροφοδότηση καταστάσεων. Μετά τη μετατροπή των ΔΕ κίνησης σε εξισώσεις κατάστασης και τις αριθμητικές αντικαταστάσεις, με είσοδο ελέγχου u την επιτάχυνση του βαγονέτου, οι εξισώσεις κατάστασης είναι d dt y = x ẋ θ θ = [ x θ ] = 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 29.4 0 [ 1 0 0 0 0 0 1 0 ] x ẋ θ θ x ẋ θ θ + + [ 0 0 0 1 0 3 u (16) ] u (17) Η παράσταση αυτή με τους συγκεκριμένους πίνακες χώρου κατάστασης δεν είναι μοναδική. 3 Το Σύστημα Ελέγχου 3.1 Στόχος των συστημάτων ελέγχου Στόχος των συστημάτων ελέγχου με ανατροφοδότηση είναι να εξασφαλίζουν ότι το σύστημα κλειστού βρόχου έχει επιθυμητή συμπεριφορά στη μεταβατική και μόνιμη κατάσταση. Ένα τέτοιο σύστημα είναι αποδεκτό όταν 1. είναι ευσταθές 2. οι διαταραχές απορρίπτονται 3. επιτυγχάνονται αλλαγές στην είσοδο αναφοράς 4. το σφάλμα μόνιμης κατάστασης ελαττώνεται 5. η δράση ελέγχου παραμένει εντός των ορίων λειτουργίας 6. το σύστημα είναι εύρωστο, δηλ. αλλαγές στο μοντέλο συστήματος και σε συνθήκες λειτουργίας δεν επηρεάζουν την απόδοσή του 8

3.2 Σύστημα ελέγχου ανεστραμμένου εκκρεμούς Στο σύστημα ανεστραμμένου εκκρεμούς εμφανίζονται δύο προβλήματα ελέγχου, όπως φαίνονται στο Σχήμα 6. Διατήρηση του ανάστροφου εκκρεμούς σε κατακόρυφη θέση (balancing) Το ανάστροφο εκκρεμές πρέπει να κινηθεί από μία άλλη θέση προς την κατακόρυφη θέση (swing-up) Σχεδιάζονται δύο ελεγκτές που και στις δύο περιπτώσεις κινούν το βαγονέτο. Συνήθως το σύστημα τίθεται σε λειτουργία και ο ελεγκτής στην περιοχή swing-up αναλαμβάνει να τοποθετήσει το ανάστροφο εκκρεμές κοντά στην περιοχή balancing. Μόλις αυτό επιτευχθεί, γίνεται μετάπτωση απο τον ένα ελεγκτή στον άλλο και προσπάθεια διατήρησης της κατακόρυφης θέσης. Balancing Swing-up Σχήμα 6: Περιοχές balancing και swing-up στο σύστημα ανεστραμμένου εκκρεμούς. Στόχος του συγκεκριμένου συστήματος ελέγχου είναι να διατηρεί το ανάστροφο εκκρεμές σε κατακόρυφη θέση, ενώ το βαγονέτο κινείται οριζόντια. Θα σχεδιαστεί έτσι ελεγκτής σε κλειστό βρόχο με αρνητική ανατροφοδότηση, οποίος θα μπορεί να διατηρεί το ανάστροφο εκκρεμές σε κατακόρυφη θέση, παρουσία διαταραχών όπως είναι μικρές αλλαγές στην γωνία. Θα χρησιμοιηθούν έννοιες από το μάθημα Εισαγωγή στον Αυτόματο Έλεγχο. Στην αρχή θα γίνει ανάλυση του συστήματος ανοιχτού βρόχου, δηλ. χωρίς την παρουσία ελεγκτή. Θα ακολουθήσει ο υπολογισμός του ελεγκτή και η προσομοίωσή του στο MATLAB/Simulink, προκειμένου να αξιολογηθεί η απόδοση (performance) του συνολικού συστήματος. Όταν η απόδοση κριθεί ικανοποιητική, ο ελεγκτής θα δοκιμαστεί στην εργαστηριακή διάταξη. 3.3 Ανάλυση συστήματος ανοιχτού βρόχου Γίνεται η εύρεση πόλων της συνάρτησης μεταφοράς προκειμένου να αξιολογηθεί η συμπεριφορά του συστήματος ανοικτού βρόχου. Στο MATLAB σχετικές εντολές είναι οι: pole, pzmap. 9

3.4 Προδιαγραφές απόκρισης Οι προδιαγραφές μεταβατικής απόκρισης βαθμίδας συστημάτων 2ης τάξης σε είσοδο μοναδιαίας βαθμίδας φαίνονται στο Σχήμα 7. Σχήμα 7: Προδιαγραφές μεταβατικής απόκρισης συστημάτων 2ης τάξης. Τα χαρακτηριστικά είναι τα ακόλουθα. t r : χρόνος ανύψωσης (rise time), t p : χρόνος κορυφής (peak time), M p : μέγιστη υπερακόντιση (maximum overshoot), t s : χρόνος αποκατάστασης (settling time), με κριτήριο 1%, 2% ή 5%, Στη συγκεκριμένη εφραμογή είναι επιθυμητές οι εξής προδιαγραφές απόκρισης για το τελικό σύστημα : Χρόνος αποκατάστασης: t s = 2 sec. με κριτήριο 2%, Μέγιστη υπερακόντιση: M p 10%. 3.5 Ελεγκτής Ανατροφοδότησης Καταστάσεων Είναι επιθυμητό να σχεδιαστεί ελεγκτής με πλήρη ανατροφοδοτηση καταστάσεων (full state feedback), με την προυπόθεση ότι όλες οι καταστάσεις μπορούν να μετρηθούν. Με τη μέθοδο αυτή, θα χρησιμοποιήσουμε ελεγκτή K για να αλλάξουμε τις ιδιοτιμές του συστήματος, αλλάζοντας τελικά τη δυναμική συμπεριφορά του συστήματος. Θεωρούμε πλήρη ανατροφοδότηση των καταστάσεων της μορφής u = r Kx, με u την είσοδο ελέγχου, r την είσοδο αναφοράς, K τα κέρδη του ελεγκτή, x τις μεταβλητές κατάστασης, όπως δείχνει το Σχ. 8. Με βάση το σύστημα και την είσοδο ελέγχου, θα ισχύει ẋ = Ax + B(r Kx) = Ax + Br BKx = (A BK)x + Br = A cl x + Br (18) y = Cx + Du (19) Οι πόλοι του συστήματος κλειστού βρόχου είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα A cl = A BK. Στόχος είναι να βρούμε τις τιμές K, ώστε ο πίνακας A cl να έχει επιθυμητές ιδιότητες: να είναι ευσταθής, με πόλους σε επιθυμητές θέσεις, κλπ. Με τη μέθοδο τοποθέτησης πόλων (pole placement), τοποθετούνται οι πόλοι κλειστού βρόχου σε επιθυμητές θέσεις. 10

Σ u x y ẋ = Ax + Bu C K Σχήμα 8: Ελεγκτής με πλήρη ανατροφοδότηση καταστάσεων. Για τον υπολογισμό του, θα χρησιμοποιηθεί η μέθοδος του Ackermann. Στη μέθοδο Ackermann, η εύρεση τιμών K γίνεται με τον υπολογισμό του K = [0 0...1]M 1 c Φ d (A) (20) όπου M c είναι ο πίνακας ελεγξιμότητας του συστήματος και Φ d η χαρακτηριστική εξίσωση για τους πόλους κλειστού βρόχου, θέτοντας s = A. Ο πίνακας ελεγξιμότητας του συστήματος είναι M c = [B AB A n 1 B] και πρέπει να είναι αντιστρέψιμος. Στο MATLAB υπάρχουν οι εντολές K=place(A,B,P), K=acker(A,B,P), με Α, Β τους πίνακες εξισώσεων κατάστασης και P τον πίνακα με τις επιθυμητές θέσεις πόλων. Πρέπει επίσης να επιλεγεί η θέση που πρέπει να τοποθετηθούν οι πόλοι κλειστού βρόχου. Παρατηρώντας το διάνυσμα κατάστασης του συστήματος ανεστραμμένου εκκρεμούς,[x ẋ θ θ], βλέπουμε ότι οι μεταβλητές κατάστασης είναι 4. Ετσι θα πρέπει να υπάρχουν 4 επιθυμητοί πόλοι (s 1,2,3,4 ) για την τεχνική pole placement. Οι δύο πόλοι που αφορούν τις μεταβλητές θ, θ, (s 3, s 4 ) θα βρεθούν από σύστημα 2ης τάξης (κυριαρχούντες πόλοι). Οι άλλοι δύο πόλοι (s 1, s 2 ), που αφορούν τις μεταβλητές x, ẋ, μπορούν να ληφθούν ως γρήγοροι πόλοι (πχ s 1 = s 2 = 10, 10). Στο MATLAB όλοι οι πόλοι θα δοθούν με πραγματικό και μιγαδικό μέρος. Στην άσκηση αυτή, η τεχνική που βοηθάει στην επιλογή επιθυμητών θέσεων για pole placement θα είναι πληροφορίες από τους κυριαρχούντες πόλους (dominant poles) συστήματος 2ης τάξης. 3.6 Μεθοδολογία υπολογισμού ελεγκτή ανατροφοδότησης καταστάσεων Τα βασικά βήματα υπολογισμού είναι δύο: (α) από τις προδιαγραφές απόκρισης θα υπολογιστούν οι επιθυμητές θέσεις πόλων. (β) με τη μέθοδο Ackermann υπολογίζεται το κέρδος. Βήμα α). Από την προδιαγραφή μέγιστης υπερακόντισης (peak overshoot) υπολογίζεται η απόσβεση ζ. M p = e ζω nt p = e πζ 1 ζ 2 (21) 11

Επίσης ισχύει ότι ζ = cosθ (22) Από την προδιαγραφή χρόνου αποκατάστασης (settling time) υπολογίζεται η φυσική συχνότητα ω n. t s, 5% = 3 ζω n (23) Για χρόνο αποκατάστασης 5%, η εξίσωση 23 προκύπτει ως εξής e ζωnts = 0.05 ζω n t s = ln(0.05) ζω n t s = 3 t s = 3 ω n ζ (24) Για τους πόλους s 1, s 2 ισχύει ότι s 1, s 2 = ω n ( cosθ ± sinθ j) (25) Βήμα β) Στη μέθοδο Ackermann, η εύρεση τιμών K γίνεται με την K = [0 0...1]M 1 c Φ d (A) (26) Ο πίνακας ελεγξιμότητας του συστήματος είναι M c = [B AB A n 1 B] και πρέπει να είναι αντιστρέψιμος. Στο MATLAB υπάρχει η εντολή K=place(A,B,P). P είναι ο πίνακας με τις επιθυμητές θέσεις πόλων s 1,..., s 4, που υπολογίζεται στο βήμα (α). 4 Εκτέλεση Δοκιμής 4.1 Προετοιμασία Δοκιμής Μελετείστε το παρόν φυλλάδιο. Χρειάζεται να εκτελέστε τις ενέργειες υπολογισμού του ελεγκτή και τη δοκιμή για να συλλέξετε τα πειραματικά αποτελέσματα. Μεταφέρετε τα αποτελέσματα και τις παρατηρήσεις στη γραπτή έκθεση που θα παραδώσετε. 4.2 Συνδέσεις Οι ηλεκτρικές συνδέσεις της εργαστηριακής συσκευής φαίνονται στο Σχήμα 9. Οι γωνιακές θέσεις μετρώνται με τη βοήθεια rotary encoders, που δίνουν ως σήμα τετραγωνικές παλμοσειρές στον μετρητή (counter). Ο μετρητής τροφοδοτεί τον επεξεργαστή (DSP), ο οποίος περιέχει τον αλγόριθμο ελέγχου. Η τελική εντολή δίνεται στον ενισχυτή και κατόπιν μεταβιβάζεται στον σερβοκινητήρα. Μέσω του ιμάντα μετακινείται οριζόντια το βαγονέτο ώστε να ισορροπεί η ράβδος του εκκρεμούς. 12

Encoder Counter Motor Cart Encoder DSP Amplifier Controller invpend.ipe Σχήμα 9: Διάγραμμα ηλεκτρικών συνδέσεων εργαστηριακής συσκευής. 4.3 Αρχεία Σκοπός είναι να δημιουργηθεί εφαρμογή στο MATLAB/Simulink, με τα δομικά διαγράμματα του συστηματος ελέγχου. 1. Τα απαραίτητα αρχεία της άσκησης υπάρχουν στον υποκατάλογο του MATLAB/Simulink Googol Real Time. Εδώ θα μετατρέψετε το αρχικό αρχείο σύμφωνα με το δικό σας περιεχόμενο και ρυθμίσεις. 2. Πρέπει να υπάρχει δυνατότητα αποθήκευσης των διαφόρων παραμέτρων για την εκτέλεση των διαγραμμάτων αποκρίσεων για τις διάφορες περιπτώσεις. 3. Μετατρέψτε την εφαρμογή σε εκετελέσιμο κώδικα και κατεβάστε την εφαρμογή στον ΗΥ ελέγχου. Αυτά γίνονται με την επιλογή Build στη γραμμή εργαλείων. 4. Στο τέλος κάθε δοκιμής πρέπει να σώσετε τα αποτελέσματα σε αρχείο αποτελεσμάτων. Με τη σχετική εντολή save filename variable1 variable2..., οι μεταβλητές variables αποθηκεύονται στο αρχείο filename.mat. Δεδομένα που θα πρέπει να αποθηκευτούν είναι οι 4 καταστάσεις, η εντολή ελέγχου καθώς και το διάνυσμα του χρόνου, με τη σειρά [x ẋ θ θ u time] αντίστοιχα. 4.4 Δοκιμή ρύθμισης ελεγκτή ανατροφοδότησης καταστάσεων 1. Αρχικά δουλέψτε στο MATLAB, υπολογίζοντας τους πόλους και τον ελεγκτή. 2. Όταν νομίζετε ότι οι τιμές του ελεγκτή είναι ικανοποιητικές, μπορείτε να ελέγξετε το αποτέλεσμα στην εργαστηριακή διάταξη. Θα μεταφέρετε τις τιμές του στον ελεγκτή ανατροφοδότησης καταστάσεων στην εφαρμογή ελέγχου σε πραγματικό χρόνο. 3. Ξεκινήστε την εφαρμογή στο Simulink, πατώντας το αντίστοιχο κουμπί. 4. Πραγματοποιείστε τη δοκιμή, φέρνοντας το εκκρεμές με το χέρι στην κατακόρυφη θέση ισορροπίας αξιολογώντας την απόκριση του συστήματος ελέγχου σε διαταραχή (εκτροπή από την κατακόρυφη θέση ισορροπίας). Στο 13

τέλος της δοκιμής σταματείστε την εφαρμογή στο Simulink πατώντας το αντίστοιχο κουμπί. 5. Με την εντολή contour και τα αποθηκευμένα αποτελέσματα δείξτε τα διαγράμματα φάσεων (phase portraits) για τα μεγέθη x ẋ και θ θ. 5 Απαιτήσεις Εργαστηριακής Έκθεσης 1. Η εργαστηριακή έκθεση γράφεται στο σπίτι, με αποτελέσματα που λήφθηκαν κατά την εκτέλεση της εργαστηριακής δοκιμής. Λάβετε υπόψη σας τις Υποδείξεις που ακολουθούν. 2. Η εργαστηριακή έκθεση είναι ατομική και περιγράφει την εργασία του κάθε σπουδαστή. Κατά την εκτέλεση της δοκιμής οι σπουδαστές συμμετέχουν ανά δύο άτομα (ομάδες των 2 ατόμων). 3. Η εργαστηριακή έκθεση δεν θα υπερβαίνει τις 4 σελίδες (μονής όψης). Θα παραδίδεται στον διδάσκοντα (ΓΠ), τυπωμένη σε χαρτί (όχι φωτοτυπία). 4. Τροπος βαθμολόγησης εργαστηριακή έκθεσης: Η έκθεση αξιολογείται από τον διδάσκοντα (ΓΠ), και βαθμολογείται ως εξής: Δεν υποβλήθηκε εργαστηριακή έκθεση Αποδεκτή Μη Αποδεκτή Αποδεκτή με πλεονέκτημα 5. Η εργαστηριακή έκθεση επιστρέφεται μετά την αξιολόγησή της εντός 3 ημερών από την υποβολή της. 6. Για τη συγκεριμένη άσκηση: Για τον ελεγκτή ανατροφοδότησης καταστάσεων, απαιτούνται οι υπολογισμοί των πόλων, του κέρδους Κ, το διάγραμμα των πόλων ανοιχτού και κλειστού βρόχου, το διάγραμμα Simulink δοκιμής σε πραγματικό χρόνο και τα αποτελέσματα της δοκιμής σε πραγματικό χρόνο όπου θα φαίνεται η απόκριση του συστήματος ελέγχου σε διαταραχή (εκτροπή από την κατακόρυφη θέση ισορροπίας) για τις 4 καταστάσεις στο χρόνο. Επίσης θα πρέπει να δοθούν τα διαγράμματα φάσεων (phase portraits) για τα μεγέθη x ẋ και θ θ σε πραγματικό χρόνο. 6 Υποδείξεις και Βοήθεια Προτείνονται τα εξής (όπου εφαρμόζονται): 1. Προτιμάται να υπάρχουν Πίνακας περιεχομένων, Εισαγωγή, Συμπεράσματα 14

2. Γράφετε με σαφήνεια και δίνετε απαντήσεις/σχόλια μόνον σε ότι ζητείται. Μην αναφέρεστε στο θεωρητικό κομμάτι, εφόσον τις περισσότερες φορές έχει ήδη παρουσιασθεί 3. Δώστε έμφαση στη δική σας συνεισφορά και εμπειρία που αποκομίσατε 4. Εξηγείστε τις διάφορες επιλογές παραμέτρων/ρυθμίσεων που κάνατε 5. Σχολιάστε τα αποτελέσματα. Εξηγείστε τυχόν αποκλίσεις από την επιθυμητή συμπεριφορά. Συγκρίνετε τα διαφορετικά σενάρια δοκιμών 6. Γραφικές παραστάσεις αποτελεσμάτων: Προτιμάται να υπάρχουν διαφορετικές γραμμές (συνεχείς, διακεκομένες, κα) παρά χρωματιστές Χρησιμοποιείστε την εντολή plot αντί του screenshot των Simulink scopes Χρησιμοποιείστε labels στους άξονες, με τα μεγέθη και τις μονάδες. Σχετικές είναι οι εντολές: plot, xlabel, ylabel, title, legend, grid Για διπλό διαγράμμα θα χρησιμοποιηθούν κατάλληλα οι εντολές subplot(211), plot(),..., subplot(212), plot(),... 7. Παρουσιάσεις αποτελεσμάτων: δώστε έμφαση στην περιγραφή των μεταβλητών ελέγχου, ελεγχόμενων μεταβλητών. Μην εξηγείτε με λεπτομέρεια το μαθηματικό μοντέλο 8. Για σχετικές πληροφορίες και βοήθεια MATLAB/Simulink μπορείτε να δώσετε πχ >> help FFT 7 Σημειώσεις και Αναφορές Για την περιγραφή του αναστρόφου εκκρεμούς, τα στοιχεία βασίστηκαν στα [6] και [7] και σε στοιχεία από τον ιστότοπο http://www.googoltech.com. Για τη διατύπωση του μαθηματικού μοντέλου του αναστρόφου εκκρεμούς, περισσότερα στοιχεία υπάρχουν στα [8], [3]. Περισσότερα στοιχεία γενικά για συστήματα ελέγχου υπάρχουν στα: [1], [2], [3], [4]. Περισσότερα στοιχεία για την τοποθέτηση πόλων υπάρχουν στα: [8], [5], [4]. Αναφορές [1] Κρικέλης, Ν., Εισαγωγή στον Αυτόματο Έλεγχο. Συμμετρία, 2000. [2] Dorf, R. and Bishop, R., Modern Control Systems. Ninth edition, Prentice Hall, 2001. [3] Franklin, G. and Powel, D. and Enami-Naeimi, A., Feedback Control of Dynamic Systems. Addison Wesley Longman, 5th edition, 2005. 15

[4] Kuo, B., Digital Control Systems. Saunders College Publishing, 1992. [5] Wellstead, P. and Zarrop, M., Self-Tuning Systems. J. Wiley, London, 1991. [6] Googol Technology, Inverted Pendulum Instruction Manual, Suitable for GLIP Series Second Edition, April, 2006. [7] Googol Technology, Inverted Pendulum Experimental Manual, Suitable for GLIP Series. Second Edition, July, 2006. [8] Ogata, K., Modern Control Engineering, 3rd Edition, Prentice Hall, 1997. 16