Φσσική Γ Λσκείοσ 37 Θετ. και Τετν. Κατεύθσνση

Φσσική Γ Λσκείοσ 37 Θετ. και Τετν. Κατεύθσνση 4.43. Η ταχφτθτα του κζντρου μάηασ μιασ ςυμπαγοφσ ςφαίρασ που κυλίεται ςε οριηόντιο επίπεδο είναι υ = 0 m/s ενϊ θ ακτίνα τθσ R = 0, m. Η ςφαίρα ςτθν πορεία τθσ ςυναντά κεκλιμζνο επίπεδο γωνίασ κλίςθσ φ = 30 0 και ςυνεχίηει πάνω ς αυτό τθν κίνθςι τθσ χωρίσ ολίςκθςθ. Η ροπι αδράνειασ τθσ ςφαίρασ είναι I = mr και g = 0 m/s. Να βρεκοφν : 5 α. Πόςθ είναι θ επιτάχυνςθ του κζντρου μάηασ τθσ ςφαίρασ; β. Μετά πόςο χρόνο από τθ ςτιγμι που άρχιςε να ανεβαίνει ςτο κεκλιμζνο επίπεδο κα περιςτρζφεται με τθν μιςι γωνιακι ταχφτθτα από αυτι που είχε ςτθ βάςθ του; Πόςθ είναι τότε θ κατακόρυφθ μετατόπιςι τθσ; γ. Πόςεσ ςτροφζσ κα κάνει θ ςφαίρα από τθ ςτιγμι που ςυνάντθςε το κεκλιμζνο επίπεδο μζχρι να ςταματιςει ςτιγμιαία; δ. Η ελάχιςτθ τιμι του ςυντελεςτι ςτατικισ τριβισ για κφλιςθ χωρίσ ολίςκθςθ. 4.44. Η ομογενισ δοκόσ ΑΓ ζχει μικοσ L και μάηα L m = 3 Kg. Η δοκόσ ςτερεϊνεται μζςω τθσ Α Μ N L/4 άρκρωςθσ Α ςε τοίχο και είναι οριηόντια. Επίςθσ ακουμπά πάνω ςε δίςκο ςτο ςθμείο Ν για το Γ οποίο ιςχφει ΝΓ = L/4. Ο δίςκοσ είναι w κατακόρυφοσ ζχει ροπι αδράνειασ ωσ προσ τον άξονά του I = m R, ακτίνα R = 0,5 m και μάηα m = 0 Kg. Ο δίςκοσ ςτρζφεται χωρίσ τριβζσ και R m ω 0 τθ χρονικι ςτιγμι t 0 = 0 ζχει γωνιακι ταχφτθτα ω 0 = 0 rad/s. Ο ςυντελεςτισ τριβισ ολίςκθςθσ ράβδου δοκοφ είναι μ = 0,5. Αν δίνεται g = 0 m/s να υπολογίςετε : α. Σθ δφναμθ τθσ τριβισ ολίςκθςθσ ανάμεςα ςτθ δοκό και τθ ράβδο. β. Σθ δφναμθ ςτθν άρκρωςθ. γ. Ποια χρονικι ςτιγμι κα ςταματιςει ο τροχόσ. δ. Πόςεσ ςτροφζσ κα ζχει εκτελζςει τότε ο τροχόσ. 4.45. Ομογενισ τροχόσ μάηασ m = 4 Kg και ακτίνασ R = 0,5 m ζχει ροπι αδράνειασ I = mr και μπορεί να ςτρζφεται γφρω από άξονα που περνά από το κζντρο μάηασ του και να είναι κάκετοσ ςτο επίπεδό του. τον τροχό αςκείται εφαπτομενικι δφναμθ μζτρου = 30 N για χρονικό διάςτθμα Δt = 0 s. τθ ςυνζχεια παφει θ επίδραςθ τθσ, οπότε ο τροχόσ ακινθτοποιείται, εξαιτίασ των τριβϊν του άξονα, ςε χρονικό διάςτθμα Δt = 30 s. Να βρεκοφν : α. Η ροπι τθσ τριβισ που δζχεται ο τροχόσ από τον άξονα περιςτροφισ β. Η μζγιςτθ γωνιακι ταχφτθτα που αποκτά ο τροχόσ και οι γωνιακζσ επιταχφνςεισ του τροχοφ γ. Η γωνία και ο αρικμόσ των περιςτροφϊν μζχρι να ςταματιςει. 4.46. φαίρα μάηασ m = Kg αφινεται να κυλιςει χωρίσ να ολιςκαίνει ςε κεκλιμζνο επίπεδο γωνίασ φ = 30 0 και αφοφ διατρζξει ς αυτό απόςταςθ d = 3,5 m ςυναντά οριηόντιο επίπεδο. Κατά τθν κίνθςι τθσ ςτο οριηόντιο επίπεδο ζχει ςτροφορμι L = Kg m /s, ενϊ ο λόγοσ τθσ κινθτικισ ενζργειασ λόγω μεταφορικισ κίνθςθσ προσ τθν κινθτικι ενζργεια λόγω περιςτροφισ είναι 5 :. Αν δίνεται g = 0 m/s, να υπολογίςετε : α. Σθν ταχφτθτα του κζντρου μάηασ τθσ ςφαίρασ ςτο οριηόντιο επίπεδο β. Σθν ροπι αδράνειασ τθσ ςφαίρασ γ. Σθν ακτίνα τθσ ςφαίρασ 4.47. Ο ομογενισ κφλινδροσ του ςχιματοσ είναι ακίνθτοσ πάνω ςτο οριηόντιο επίπεδο. Γφρω από τον κφλινδρο είναι τυλιγμζνο αβαρζσ ςχοινί μικουσ = 4π m. το ελεφκερο άκρο του ςχοινιοφ αςκοφμε

Φσσική Γ Λσκείοσ 38 Θετ. και Τετν. Κατεύθσνση ςτακερι οριηόντια δφναμθ οπότε ο κφλινδροσ κυλίεται χωρίσ να ολιςκαίνει. Όταν ξετυλίγεται όλο το ςχοινί ο κφλινδροσ περιςτρζφεται με ςυχνότθτα f = 0/π Hz. Η ακτίνα του κυλίνδρου είναι R = 0,π m, θ μάηα του m = 4 Kg και θ ροπι αδρανείασ του I = mr να βρεκοφν : α. Η επιτάχυνςθ του κζντρου μάηασ του κυλίνδρου β. Η δφναμθ γ. Η ςτατικι τριβι που δζχεται ο κφλινδροσ από το οριηόντιο επίπεδο. 4.48. Ο ομογενισ δίςκοσ του ςχιματοσ ζχει μάηα m, ακτίνα R και θρεμεί ςε οριηόντιο επίπεδο με το οποίο παρουςιάηει ςυντελεςτι τριβισ μ s. Αςκοφμε ςτο δίςκο οριηόντια δφναμθ, τθσ οποίασ θ διεφκυνςθ απζχει x από το κζντρο του δίςκου. Για τισ διάφορεσ τιμζσ τθσ απόςταςθσ x με -R x Rνα υπολογιςτοφν τα α γων,, μ s,min και να γίνουν τα διαγράμματα -x και α -x. Δίνεται I = mr. 4.49. Σο καροφλι του ςχιματοσ ζχει μάηα m = Kg, ακτίνα R = m και ροπι αδράνειασ I = mr. το καροφλι αςκείται ςτακερι δφναμθ = 30 N όπωσ ςτο ςχιμα ςε απόςταςθ r = 0,5 m από το κζντρο. Αν g = 0 m/s, να βρεκοφν : α. Η γραμμικι και θ γωνιακι επιτάχυνςθ β. Η τριβι και θ ελάχιςτθ τιμι του ςυντελεςτι ςτατικισ τριβισ για κφλιςθ χωρίσ ολίςκθςθ. γ. Η γωνιακι ταχφτθτα ω και θ ιςχφσ τθσ δφναμθσ τθ χρονικι ςτιγμι t = 4 s. δ. Η ςτροφορμι και θ γωνία κ ςε χρόνο t = 4 s. 4.50. Η τροχαλία του ςχιματοσ ζχει ακτίνα R = 0, m, μάηα M = 4 Kg και θ ροπι αδρανείασ ωσ προσ τον άξονά τθσ δίνεται από τθ ςχζςθ I = MR. Δφο ςϊματα και με μάηεσ m = Kg και m = Kg είναι ςυνδεδεμζνα με ζνα αβαρζσ και μθ εκτατό νιμα, το οποίο είναι περαςμζνο γφρω από τθν τροχαλία. Σο ςφςτθμα αρχικά είναι ακίνθτο. Σθν χρονικι ςτιγμι t 0 = 0 αφινεται ελεφκερο να κινθκεί. Αν δίνεται g = 0 m/s και το νιμα δεν ολιςκαίνει ςτθν τροχαλία, τθ χρονικι ςτιγμι t = s να υπολογίςετε : α. Σθ γωνιακι ταχφτθτα περιςτροφισ τθσ τροχαλίασ και τισ ταχφτθτεσ των δφο ςωμάτων. β. Σο μζτρο τθσ ςτροφορμισ τθσ τροχαλίασ και το μζτρο τθσ ςτροφορμισ του ςυςτιματοσ τροχαλία- ςϊμα. m m γ. Σουσ ρυκμοφσ μεταβολισ τθσ ςτροφορμισ τθσ τροχαλίασ και του ςυςτιματοσ. 4.5. Γιο-γιο αποτελείται από ομογενι ςυμπαγι κφλινδρο που ζχει ακτίνα R = 0, m και μάηα m = 0,3 Kg. Γφρω από τον κφλινδρο ζχει τυλιχκεί αβαρζσ νιμα μεγάλου μικουσ. Αφινουμε τον κφλινδρο να πζςει από μεγάλο φψοσ τθ χρονικι ςτιγμι t 0 = 0. Σο νιμα ξετυλίγεται και ο κφλινδροσ περιςτρζφεται γφρω από νοθτό άξονα ο οποίοσ ταυτίηεται με τον άξονα ςυμμετρίασ που είναι κάκετοσ ςτο επίπεδο που είναι τυλιγμζνο το νιμα. Α. α. Να βρεκεί θ γωνιακι επιτάχυνςθ και θ επιτάχυνςθ του κζντρου μάηασ του κυλίνδρου. β. Να βρεκεί θ δφναμθ που αςκεί το νιμα ςτον κφλινδρο. γ. Να βρεκεί ο ρυκμόσ μεταβολισ τθσ ςτροφορμισ του κυλίνδρου ωσ προσ τον άξονα περιςτροφισ του. Β. Σθ χρονικι ςτιγμι t = 0,6 s να βρεκοφν : α. Η γωνιακι ταχφτθτα του κυλίνδρου. β. Η ςτροφορμι του κυλίνδρου. γ. Η γωνία ςτροφισ κ και ο αρικμόσ των ςτροφϊν του κυλίνδρου. δ. Η κινθτικι ενζργεια του κυλίνδρου. x

Φσσική Γ Λσκείοσ 39 Θετ. και Τετν. Κατεύθσνση Γ. Όταν ο κφλινδροσ ζχει κάνει 4 N = π ςτροφζσ να βρεκοφν : α. Η γωνία ςτροφισ κ του κυλίνδρου και θ γωνιακι ταχφτθτα του κυλίνδρου. β. Η ςτροφορμι του κυλίνδρου και θ κινθτικι ενζργεια του κυλίνδρου. Δ. Να υπολογιςτοφν ςυναρτιςει του χρόνου κίνθςθσ του κυλίνδρου t : α. Ο ρυκμόσ μεταβολισ τθσ κινθτικισ ενζργειασ λόγω περιςτροφισ. β. Ο ρυκμόσ μεταβολισ τθσ δυναμικισ ενζργειασ. γ. Σο ζργο του βάρουσ από τθν t 0 = 0 ζωσ τθ χρονικι ςτιγμι t. δ. Σο ζργο τθσ ροπισ τθσ δφναμθσ από το νιμα από τθν t 0 = 0 ζωσ τθ χρονικι ςτιγμι t. ε. Να υπολογιςτοφν τα παραπάνω όταν ο κφλινδροσ ζχει κατζβει κατά h =,7 m Δίνονται : g = 0 m/s, ροπι αδράνειασ του κυλίνδρου I = mr 4.5. Η διπλι τροχαλία του ςχιματοσ ζχει ακλόνθτο άξονα και αποτελείται από δφο κολλθμζνουσ δίςκουσ που ζχουν ακτίνεσ R = 0,5 m και R = m και μάηεσ M = 4 Kg και M = 7 Kg αντίςτοιχα και μπορεί να ςτρζφεται χωρίσ τριβζσ. Σα ςϊματα και ζχουν αντίςτοιχα μάηεσ m = 8 Kg και m = 4 Kg. Σθ χρονικι ςτιγμι t 0 = 0 που τα ςϊματα και βρίςκονται ςτο ίδιο οριηόντιο επίπεδο, αφινουμε το ςφςτθμα ελεφκερο να κινθκεί. Αν g = 0 m/s και θ ροπι αδρανείασ του κάκε δίςκου ωσ προσ τον άξονα του είναι I = MR να υπολογιςτοφν : α. Οι επιταχφνςεισ των ςωμάτων και. β. Οι τάςεισ των νθμάτων. γ. Σο μζτρο του ρυκμοφ μεταβολισ τθσ ςτροφορμισ τθσ τροχαλίασ. δ. Η ςτροφορμι τθσ τροχαλίασ και θ ςτροφορμι του ςυςτιματοσ τθ χρονικι ςτιγμι t = 0, s. ε. Η κινθτικι ενζργεια τθσ τροχαλίασ και του ςυςτιματοσ όταν τα ςϊματα και απζχουν μεταξφ τουσ κατακόρυφθ απόςταςθ h = 0,6 m. 4.53. Οριηόντιοσ ομογενισ δίςκοσ ζχει μάηα Μ = 4 Kg ακτίνα R = m και ροπι αδράνειασ I = MR. Ο δίςκοσ ςτρζφεται γφρω από κατακόρυφο άξονα που περνά από το με ω = 45 rad/s. Ζνα κομμάτι πλαςτελίνθ μάηασ m = Kg πζφτει ςτο δίςκο και κολλάει ςε απόςταςθ d = 0,5 m από το κζντρο του. Για τον δίςκο να υπολογιςτοφν θ αρχικι ςτροφορμι και θ τελικι γωνιακι ταχφτθτα. 4.54. Δφο ςφαίρεσ με μάηα m = Kg θ κάκε μία είναι ςτερεωμζνεσ ςτα άκρα ομογενοφσ ράβδου μάηασ M = Kg. Σο ςφςτθμα μπορεί να περιςτρζφεται ω ςε οριηόντιο επίπεδο γφρω από κατακόρυφο άξονα που διζρχεται από το ςθμείο Κ όπωσ φαίνεται ςτο διπλανό ςχιμα με d = m. το ςθμείο Γ ( όπου m Κ 7 m βρίςκεται θ μία μάηα m ) αςκείται δφναμθ ςτακεροφ μζτρου = N που π d d Γ είναι ςυνεχϊσ κάκετθ ςτθ ράβδο, οπότε το ςφςτθμα αρχίηει να περιςτρζφεται γφρω από το ςθμείο Κ. Η ροπι αδρανείασ τθσ ράβδου είναι I = Μ και g = 0 m/s. Να υπολογιςτοφν : α. Η ροπι αδρανείασ του ςυςτιματοσ. β. Η ροπι και το ζργο τθσ δφναμθσ και θ γωνιακι ταχφτθτα του ςυςτιματοσ μετά από δφο περιςτροφζσ. γ. Ο ρυκμόσ με τον οποίο προςφζρεται ενζργεια τότε. δ. Ο χρόνοσ που χρειάςτθκε για τισ δφο περιςτροφζσ και θ μζςθ ιςχφσ. 4.55. Ομογενισ ράβδοσ ΑΓ, μικουσ = m και μάηασ Μ =, Kg, είναι κατακόρυφθ και μπορεί να ςτρζφεται χωρίσ τριβζσ γφρω από οριηόντιο άξονα που περνάει από το πάνω άκρο τθσ Α. Αρχικά θ ράβδοσ είναι ακίνθτθ. Βλιμα μάηασ m = 0, Kg κινείται οριηόντια με ταχφτθτα υ 0 = 50 m/s διαπερνά ακαριαία τθ m m

Φσσική Γ Λσκείοσ 40 Θετ. και Τετν. Κατεύθσνση ράβδο ςτο κατϊτερο τμιμα τθσ Γ και εξζρχεται με ταχφτθτα μζτρου υ = 34 m/s. Αν θ ροπι αδράνειασ τθσ ράβδου ωσ προσ το κζντρο μάηασ είναι I = m και g = 0 m/s να υπολογίςετε : α. Σο μζτρο τθσ γωνιακισ ταχφτθτασ τθσ ράβδου αμζςωσ μετά τθν κροφςθ. β. Η απϊλεια ενζργειασ κατά τθν κροφςθ. γ. Η μζγιςτθ γωνία εκτροπισ τθσ ράβδου. 4.56. Ομογενισ ράβδοσ ΟΑ μάηασ m = Kg και μικουσ = 0,3 m βρίςκεται ςε κατακόρυφθ κζςθ και αφινεται να πζςει περιςτρεφόμενθ χωρίσ τριβζσ, γφρω από άξονα που περνάει από το κάτω άκρο τθσ Ο. Η ροπι αδράνειασ τθσ ράβδου είναι I = m και g = 0 m/s. Σθ ςτιγμι που θ ράβδοσ είναι οριηόντια να βρεκοφν : α. Σο μζτρο τθσ γωνιακισ ταχφτθτασ τθσ ράβδου, β. Η γραμμικι ταχφτθτα του άκρου Α τθσ ράβδου, γ. Σο μζτρο τθσ γωνιακισ επιτάχυνςθσ τθσ ράβδου, δ. Η ιςχφσ του βάρουσ ε. Οι ςυνιςτϊςεσ x και y τθσ δφναμθσ αντίδραςθσ του άξονα ςτιριξθσ. 4.57. Η ομογενισ ράβδοσ του ςχιματοσ ζχει μάηα m = 0 Kg και μικοσ = 0,6 m. Σο άκρο Α ςυνδζεται με άρκρωςθ ςτον τοίχο ενϊ ςτο άκρο Γ είναι ςτερεωμζνθ ςθμειακι μάηα m και το ςφςτθμα ιςορροπεί οριηόντιο. Σριβζσ δεν υπάρχουν και g = 0 m/s. α. Αν θ τάςθ του νιματοσ είναι 00 Ν και θ γωνία φ = 30 0, πόςθ είναι θ δφναμθ που αςκείται ςτθν άρκρωςθ και πόςθ θ μάηα m ; β. Κόβουμε το νιμα οπότε θ ράβδοσ περιςτρζφεται γφρω από το Α. Πόςθ είναι εκείνθ τθ ςτιγμι θ γωνιακι επιτάχυνςθ τθσ ράβδου ; γ. Με πόςθ ταχφτθτα χτυπάει ςτον κατακόρυφο τοίχο θ μάηα m τθ ςτιγμι που θ ράβδοσ γίνεται κατακόρυφθ ; Η ροπι αδράνειασ τθσ ράβδου είναι I = m. 4.58. Μια ομογενισ ράβδοσ με μικοσ L και μάηα m, είναι αρκρωμζνθ ςε οριηόντιο άξονα που διζρχεται από το ζνα άκρο τθσ και ιςορροπεί ςε κατακόρυφθ κζςθ ( αςτακισ ιςορροπία ). Δίνουμε μικρι ϊκθςθ ςτθ ράβδο ϊςτε να περιςτραφεί γφρω από τον άξονά τθσ. Αν δίνεται I = ΜL να υπολογιςτεί θ δφναμθ που αςκείται από τθν άρκρωςθ τθ ςτιγμι που θ ράβδοσ ζχει περιςτραφεί κατά γωνία κ. 4.59. Κφλινδροσ με μάηα m = 0,3 Kg και ακτίνα R = 0, m ζχει ροπι αδράνειασ I = mr. Ο κφλινδροσ αφινεται από τθν θρεμία να κινθκεί κατά μικοσ κεκλιμζνου επιπζδου μεγάλου μικουσ γωνίασ κλίςθσ φ με θμφ = 0,6 και ςυνφ = 0,8. Αν g = 0 m/s να βρεκοφν : α. Η γραμμικι επιτάχυνςθ, θ γωνιακι επιτάχυνςθ και θ τριβι κφλιςθσ. β. Η ελάχιςτθ τιμι του ςυντελεςτι ςτατικισ τριβισ για κφλιςθ χωρίσ ολίςκθςθ. γ. Ο χρόνοσ κίνθςθσ t, θ γωνία ςτροφισ κ και ο αρικμόσ των ςτροφϊν Ν όταν θ ταχφτθτα του κυλίνδρου είναι υ = 0 m/s. δ. Σο ζργο του βάρουσ από t 0 = 0 ζωσ τθ χρονικι ςτιγμι t. ε. Η ιςχφσ τθσ ροπισ τθν t και θ μζςθ ιςχφσ από t 0 = 0 ζωσ τθ ςτιγμι t. 4.60. Ράβδοσ ΑΓ με μάηα Μ = 3 Kg και μικοσ = m μπορεί να ςτρζφεται γφρω από άξονα που περνάει από το άκρο Α. Η ράβδοσ ιςορροπεί κατακόρυφθ. Βλιμα με μάηα m = Kg και οριηόντια ταχφτθτα υ 0 ςυγκροφεται με τθ ράβδο ςτο κάτω άκρο τθσ Γ και ενςωματϊνεται ς αυτι. Σο ςφςτθμα ράβδοσ βλιμα A φ m Γ

Φσσική Γ Λσκείοσ 4 Θετ. και Τετν. Κατεύθσνση μόλισ που εκτελεί ανακφκλωςθ. Αν g = 0 m/s και για τθ ράβδο I = M να βρεκεί : (A) 3 α. Η γωνιακι ταχφτθτα του ςυςςωματϊματοσ αμζςωσ μετά τθν κροφςθ. β. Η γωνιακι επιτάχυνςθ του ςυςςωματϊματοσ όταν θ ράβδοσ ςχθματίηει γωνία 30 0 με τθν κατακόρυφθ από τθν αρχικι τθσ κζςθ. γ. Ο ρυκμόσ μεταβολισ τθσ ςτροφορμισ και θ ςτροφορμι όταν θ ράβδοσ είναι οριηόντια. δ. Η ταχφτθτα υ 0 του βλιματοσ πριν τθν κροφςθ. 4.6. Δφο όμοιοι δίςκοι Α και Β με μάηα m = Kg και ακτίνα R = m περιςτρζφονται με γωνιακζσ ταχφτθτεσ ω = 0 rad/s και ω = 4 rad/s αντίςτοιχα χωρίσ τριβζσ προσ αντίκετεσ κατευκφνςεισ γφρω από κατακόρυφο άξονα που περνάει από τα κζντρα τουσ όπωσ φαίνεται ςτο ςχιμα. Ο δίςκοσ Β αφινεται να πζςει και ςυγκροφεται πλαςτικά με τον Α. Αν θ ροπι ω αδράνειασ δίςκου είναι I = mr, να υπολογιςτοφν : Β α. Οι ςτροφορμζσ των δίςκων πριν τθν κροφςθ και να ςχεδιαςτοφν. Α β. Η γωνιακι ταχφτθτα του ςυςςωματϊματοσ. γ. Η κερμότθτα Q που παράχκθκε κατά τθν κροφςθ. 4.6. Η ράβδοσ ΟΑ του ςχιματοσ ζχει μάηα Μ = 6 kg, μικοσ L = m, είναι οριηόντια και περιςτρζφεται υπό τθν επίδραςθ οριηόντιασ δφναμθσ που ζχει ςτακερό μζτρο και είναι διαρκϊσ κάκετθ ςτθ ράβδο, ςτο άκρο τθσ Α. Η περιςτροφι γίνεται γφρω από ςτακερό κατακόρυφο άξονα που διζρχεται από το Ο. Αρχικά θ ράβδοσ είναι ακίνθτθ. Η ροπι αδράνειασ τθσ ράβδου ωσ προσ άξονα που διζρχεται από το κζντρο μάηασ τθσ και είναι κάκετοσ ςτθ ράβδο I = ΜL. Οι τριβζσ κεωροφνται αμελθτζεσ. Να υπολογιςτοφν: α. Η τιμι τθσ δφναμθσ, αν γνωρίηουμε ότι το ζργο που ζχει προςφζρει θ δφναμθ ςτθ διάρκεια τθσ πρϊτθσ περιςτροφισ είναι W = 6π J. β. Η γωνιακι επιτάχυνςθ τθσ ράβδου. γ. Ο ρυκμόσ με τον οποίο θ δφναμθ μεταφζρει ενζργεια ςτθ ράβδο ςτο τζλοσ τθσ πρϊτθσ περιςτροφισ. ω