Ασκήσεις Επανάληψης. 2εφφ. γ..

Transcript

1 1. Σαιρίδιο μάηασ m διαγράει οριηόντιο κκλο ακτίνασ 0 πάνω ςε οριηόντιο τραπζηι με κινθτικι ενζργεια Κ, μζςω νιματοσ που περνάει από τρπα που υπάρχει ςτο κζντρο τθσ κυκλικισ τροχιάσ. Στο άλλο άκρο του νιματοσ αςκομε κατάλλθλθ δναμθ F ζτςι ϊςτε να ελαττωκεί θ ακτίνα τθ κυκλικισ τροχιάσ του ςαιριδίου ςε =. Το ζργο που δαπανικθκε για να ελαττωκεί θ 0 ακτίνα του ςαιριδίου είναι ίςο με: α. Κ. β. Κ. γ. Κ.. Δο ςϊματα με μάηεσ m 1 και m είναι δεμζνα ςτα άκρα δο κατακόρυων ελατθρίων με ςτακερζσ k 1 και k αντίςτοιχα και ιςορροπον. Δίνεται k = k 1 και m 1 = m. Απομακρνουμε τα ςϊματα κατά x και x αντίςτοιχα και τα αινουμε ελεκερα να κινθκον. Αν t 1 και t οι αντίςτοιχοι χρόνοι που περνάνε για t1 πρϊτθ ορά από τθ κζςθ ιςορροπίασ, ο λόγοσ είναι : t α. 1. β.. γ. 4.. Κοίλθ ςαίρα μάηασ m και ακτίνασ r ζχει ροπι αδράνειασ I = m. Η ςαίρα αινεται να κινθκεί κατά μικοσ κεκλιμζνου επιπζδου γωνίασ κλίςθσ. Για κλιςθ χωρίσ ολίςκθςθ θ ελάχιςτθ τιμι του ςυντελεςτι τριβισ ολίςκθςθσ μ s,min είναι : α. ε. β. ε ε. γ Δο ςϊματα με μάηεσ m 1 και m κινονται ςε οριηόντιο επίπεδο χωρίσ τριβζσ και ζχουν ταχτθτεσ υ και υ 4 αντίςτοιχα. Τα ςϊματα ςυγκροονται κεντρικά και ελαςτικά. Μετά τθν κροςθ τα δο ςϊματα ζχουν ταχτθτεσ ίςου μζτρου και αντίκετθσ κατεκυνςθσ. Ο λόγοσ των μαηϊν m /m 1 είναι : α. 5. β. 7. γ Ομογενισ ράβδοσ ΑΓ μάηασ m και μικουσ l ςυγκρατείται ςε οριηόντια κζςθ και μπορεί να περιςτρζεται χωρίσ τριβζσ, γρω από άξονα που περνάει από το άκρο τθσ Α. Η ροπι αδράνειασ τθσ ράβδου ωσ προσ τον άξονα περιςτροισ τθσ είναι I = m. Αινουμε τθ ράβδο να κινθκεί. Πταν θ ράβδοσ είναι A κατακόρυθ, θ δναμθ αντίδραςθσ ςτον άξονα περιςτροισ ζχει μζτρο : mg α. mg. β.. γ. 5mg. υ 6. Ρεριπολικό κινείται προσ τθν είςοδο τονελ με ταχτθτα υ =, όπου υ θ ταχτθτα του ιχου. Η ςειρινα s 9 του περιπολικο εκπζμπει ιχο με ςυχνότθτα f s. Ο οδθγόσ του περιπολικο ακοει ιχο από ανάκλαςθ ςτον fa τοίχο τθσ ειςόδου του τονελ, με ςυχνότθτα f A. Ο λόγοσ των ςυχνοτιτων είναι : f s α β γ Δο ςγχρονεσ πθγζσ με περίοδο ταλάντωςθσ Τ = 10 - s αρχίηουν ταυτόχρονα ΑΑΤ πλάτουσ Α. Σε ςθμείο Σ του μζςου τα κματα από τισ δο πθγζσ τάνουν με χρονικι διαορά Δt = 10 - s. Για το πλάτοσ τθσ ΑΑΤ που εκτελεί το Σ ιςχει : α. Α Σ = 0. β. 0 < Α Σ < Α. γ. Α Σ = Α. 8. Δο ςϊματα με μάηεσ m και 4m κινονται ςε οριηόντιο επίπεδο χωρίσ τριβζσ και ζχουν τθν ίδια κινθτικι ενζργεια Κ. Τα ςϊματα ςυγκροονται κεντρικά και πλαςτικά. Η απϊλεια ενζργειασ ςτθν κροςθ είναι : α. K 5. β. K 5. γ. K Σε ζνα τόπο Α που απζχει από τθν κεραία ραδιοωνικο ςτακμο απόςταςθ r, θ εξίςωςθ μεταβολισ του Σελίδα 1

2 θλεκτρικο πεδίου ςε ςυνάρτθςθ με το χρόνο είναι - 8 E = 10 θμ π 10 t - 6π 10 (S.I.). Δίνεται c = 10 8 m/s και π = 10. A. H απόςταςθ του τόπου Α από τθν κεραία του ςτακμο είναι: α. 1 Km. β. Km. γ. 9 Km. B. Για τθ λιψθ του προγράμματοσ του ςτακμο το κκλωμα LC του δζκτθ ζχει πθνίο με ςυντελεςτι αυτεπαγωγισ L = 5 mh. H χωρθτικότθτα του μεταβλθτο πυκνωτι για να ςυντονίηεται ο δζκτθσ είναι; α F. β F. γ F. 10. Η ςαίρα του ςχιματοσ, ακτίνασ, αινεται ςτο κεκλιμζνο επίπεδο γωνίασ κλίςθσ, ςε επαι με το εμπόδιο ψουσ h. Για να μθν υπερπθδιςει το εμπόδιο θ ςαίρα, αν = 5 h πρζπει : α. 1 ε. β. ε 4. γ. ε Στάςιμο κμα με 5 ςυνολικά κοιλίεσ δθμιουργείται ςε χορδι μικουσ L. Στθ κζςθ x = 0 υπάρχει κοιλία και ςτθ κζςθ x = L δεςμόσ. Για το ςθμείο O ςτθ κζςθ x = 0 τθ χρονικι ςτιγμι t 0 = 0 είναι y = 0 και υ > 0. Η απόςταςθ των ακραίων κζςεων του Ο είναι d = 0, m και το Ο περνάει από τθ κζςθ ιςορροπίασ για 9θ ορά ςε χρονικι διάρκεια 1 s από τθν ζναρξθ τθσ ΑΑΤ. Το Ο απζχει από τον πιο κοντινό δεςμό 0,1 m. α. Να υπολογίςετε τθ ςυχνότθτα τθσ ταλάντωςθσ των μορίων του μζςου. β. Να υπολογίςετε το μικοσ L. γ. Να γραεί θ εξίςωςθ του ςτάςιμου κματοσ και θ εξιςϊςεισ των τρεχόντων που το δθμιοργθςαν. δ. Να υπολογιςτεί θ ταχτθτα του υλικο ςθμείου Ο όταν θ απομάκρυνςι του είναι y = - 0,06 m και κινείται προσ τθ κζςθ ιςορροπίασ. ε. Με ποια ςυχνότθτα f 1 πρζπει να δονείται θ χορδι ϊςτε να ζχουμε ςυνολικά 10 δεςμοσ ς αυτι. στ. Ροια είναι θ ελάχιςτθ ςυχνότθτα δόνθςθσ τθσ χορδισ, ϊςτε να δθμιουργείται ςτάςιμο κμα. 1. Ομογενισ ςαίρα μάηασ m = 0,7 Kg και ακτίνασ, ιςορροπεί πάνω ςε κεκλιμζνο επίπεδο γωνίασ κλίςθσ : θμ = 0,8 και ςυν = 0,6, με τθ βοικεια νιματοσ που είναι οριηόντιο, όπωσ ςτο ςχιμα. α. Να δείξετε ότι μεταξ δαπζδου και ςαίρασ υπάρχει τριβι. β. Να υπολογίςετε τθν δναμθ που τείνεται το νιμα. Ξανικά το νιμα ςπάει ςτο ςθμείο που ςυγκρατεί τθ ςαίρα και θ ςαίρα κυλίεται χωρίσ ολίςκθςθ ςτο κεκλιμζνο επίπεδο. Πταν ζχει υψομετρικι διαορά h = 7 m από τθν αρχικι κζςθ, να υπολογίςετε: γ. Τθν ταχτθτα του κζντρου μάηασ τθσ ςαίρασ. δ. Τθν επιτάχυνςθ του κζντρου μάηασ τθσ ςαίρασ. ε. Το μζτρο τθσ ςτατικισ τριβισ. στ. Τθν ελάχιςτθ τιμι του ςυντελεςτι τριβισ ολίςκθςθσ για κλιςθ χωρίσ ολίςκθςθ τθσ ςαίρασ. Δίνεται θ ροπι τθσ ςαίρασ I = m και το g = 10 m/s Δο ςγχρονεσ πθγζσ Ρ 1 και Ρ αρχίηουν ΑΑΤ τθν t 0 = 0 χωρίσ αρχικι άςθ. Τα κματα που παράγονται διαδίδονται ςτθν επιάνεια υγρο με ταχτθτα υ = 0,8 m/s. Σε ςθμείο Κ, εκτόσ τθσ ευκείασ που περνάει από τα Ρ 1 και Ρ, βρίςκεται μικρόσ ελλόσ, που απζχει από τισ πθγζσ αποςτάςεισ r 1 και r για τισ οποίεσ ιςχει r 1 r = λ. Ο ελλόσ εκτελεί ΑΑΤ λόγω ςυμβολισ με εξίςωςθ y = 0,05θμ 16πt - 8π (SI). α. Να βρεκον οι αποςτάςεισ r 1 και r. 11 β. Να υπολογιςτεί θ επιτάχυνςθ του ελλο τθ χρονικι ςτιγμι t = 1 Κ s 16. γ. Να υπολογιςτεί θ ταχτθτα του ελλο, όταν βρίςκεται ςε απομάκρυνςθ y 1 = + 0,0 m από τθ κζςθ ιςορροπίασ και κινείται προσ αυτι. δ. Αν θ απόςταςθ Ρ 1 Ρ είναι d = 0,4 m να βρείτε πόςα ςθμεία ανάμεςα ςτα Ρ 1 και Ρ ςτο ευκ. τμιμα Ρ 1 Ρ παραμζνουν ςυνεχϊσ ακίνθτα. ε. Να υπολογιςτεί θ απόςταςθ από τθν πθγι Ρ 1 του ςθμείου τομισ τθσ υπερβολισ που περνάει από το ςθμείο Κ με το ευκγραμμο τμιμα Ρ 1 Ρ. h Σελίδα

3 14. Ομογενισ δοκόσ ΑΓ μικουσ L = m και μάηασ m = Kg ιςορροπεί όπωσ ςτο ςχιμα. Α. Να υπολογιςτον: Γ Α1. Η δναμθ που τείνεται το νιμα. Α. Η δναμθ από τθν άρκρωςθ ςτο ςθμείο Α. Β. Αν ξανικά κοπεί το νιμα θ ράβδοσ κινείται γρω από τθν άρκρωςθ Α. Πταν θ ράβδοσ διζρχεται από τθν κατακόρυο κζςθ ωσ προσ το Α να υπολογιςτον: Α Β1. Η γωνιακι ταχτθτα τθσ ράβδου και θ γραμμικι ταχτθτα του κζντρου μάηασ τθσ ράβδου. Β. Η δναμθ από τθν άρκρωςθ Α. Δίνονται γωνία : θμ = 0,8 και ςυν = 0,6, θ ροπι αδράνειασ ράβδου I = ml και το g = 10 m/s Η άςθ κματοσ που διαδίδεται προσ τα κετικά του άξονα x ςε ςυνάρτθςθ με τθ κζςθ x, δίνεται ςτο διπλανό διάγραμμα για τισ χρονικζσ ςτιγμζσ t 1 και t. (rad) Η πθγι εκτελεί ΑΑΤ με εξίςωςθ y = 0,04θμωt (SI). Να υπολογιςτον : 1π α. Η περίοδοσ Τ και θ ταχτθτα διάδοςθσ του κματοσ. 8π t β. Η χρονικι ςτιγμι t, θ κζςθ x και θ εξίςωςθ του κματοσ. γ. Η ταχτθτα v ενόσ μικρο ελλο ςτθ κζςθ x = 10 m τθ χρονικι ςτιγμι t. t 1 =0,4s x(m) δ. Να γίνει θ γραικι παράςταςθ ςε ςυνάρτθςθ με το χρόνο τθσ ΑΑΤ που εκτελεί ο ελλόσ από t 0 = 0 ζωσ τθ χρονικι ςτιγμι t. 0 8 x 16. Ομογενισ ράβδοσ ΑΓ μάηασ m = 6 Kg και μικουσ l = m βρίςκεται ςε κατακόρυθ κζςθ και μπορεί να περιςτρζεται χωρίσ τριβζσ, γρω από άξονα που περνάει από το πάνω άκρο τθσ Α. Η ροπι αδράνειασ τθσ 1 ράβδου είναι I = Μ. 1 Α. Το μζτρο τθσ ελάχιςτθσ γωνιακισ ταχτθτασ που πρζπει να δϊςουμε ςτθ ράβδο ϊςτε να εκτελζςει ανακκλωςθ. Β. Αν δϊςουμε ςτθ ράβδο γωνιακι ταχτθτα ω = 4 rad/s, B1. ποια γωνία κα ςχθματίηει με τθν κατακόρυο όταν ςταματιςει ςτιγμιαία. B. όταν θ ράβδοσ είναι οριηόντια να βρεκεί θ ςτιγμιαία ιςχσ του βάρουσ. 17. Κατά μικοσ γραμμικο ελαςτικο μζςου διαδίδονται ταυτόχρονα δο εγκάρςια αρμονικά κματα με εξιςϊςεισ y 1 = 4 10 θμπ(50t x) (S.I.) και y = 4 10 θμπ(50t + x) (S.I.). α. Να γράψετε τθν εξίςωςθ του ςτάςιμου κματοσ που προκπτει από τθ ςυμβολι των δο κυμάτων. β. Να προςδιορίςετε τισ κζςεισ των τριϊν πρϊτων κοιλιϊν και των τριϊν πρϊτων δεςμϊν ςτο κετικό θμιάξονα Οx με αρχι το ςθμείο Ο(x = 0). γ. Να προςδιορίςετε το πλάτοσ τθσ ΑΑΤ του ςθμείου Κ που βρίςκεται ςτθ κζςθ x = 1/8 m. δ. Για το ςθμείο Κ να κάνετε τθ γραικι παράςταςθ τθσ δναμθσ επαναοράσ ςε ςυνάρτθςθ με τθν απομάκρυνςθ y αν D = 100 N/m. 18. Η τροχαλία του ςχιματοσ ζχει ακτίνα = 0, m, μάηα M = 14 Kg και θ ροπι αδρανείασ ωσ προσ τον άξονά τθσ δίνεται από τθ ςχζςθ I = M. Δο ςϊματα Σ 1 και Σ με μάηεσ m 1 = 1 Kg και m = Kg είναι ςυνδεδεμζνα με ζνα αβαρζσ και μθ εκτατό νιμα, το οποίο είναι περαςμζνο γρω από τθν τροχαλία. Το ςςτθμα αρχικά είναι ακίνθτο. Τθν χρονικι ςτιγμι t 0 = 0 αινεται ελεκερο να κινθκεί. Αν δίνεται g = 10 m/s και το νιμα δεν ολιςκαίνει ςτθν τροχαλία, τθ χρονικι ςτιγμι t = s να υπολογίςετε : α. Τθ γωνιακι ταχτθτα περιςτροισ τθσ τροχαλίασ και τισ ταχτθτεσ των δο ςωμάτων. β. Το μζτρο τθσ ςτροορμισ τθσ τροχαλίασ και το μζτρο τθσ ςτροορμισ του Σ Σ m 1 m1 ςυςτιματοσ τροχαλία- ςϊμα. γ. Τουσ ρυκμοσ μεταβολισ τθσ ςτροορμισ τθσ τροχαλίασ και του ςυςτιματοσ. δ. Η κινθτικι ενζργεια τθσ τροχαλίασ και του ςυςτιματοσ όταν τα ςϊματα Σ 1 και Σ απζχουν μεταξ τουσ κατακόρυθ απόςταςθ h = 1 m. Σελίδα

4 ε. Τθ δναμθ ςτιριξθσ που δζχεται θ τροχαλία. 19. Σϊμα Σ 1 μάηασ m 1 = 1 Kg είναι ςυνδεμζνο ςτο ζνα άκρο οριηόντιου ιδανικο ελατθρίου ςτακεράσ k = 100 N/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι ςτερεωμζνο ςε ακλόνθτο ςθμείο. Το ςςτθμα εκτελεί ΑΑΤ πάνω ςε λείο οριηόντιο επίπεδο, πλάτουσ Α = 0,4 m. Πταν το ςϊμα διζρχεται από τθ κζςθ x = 0, m, κινομενο προσ τθ κετικι κατεκυνςθ, ςυγκροεται μετωπικά και πλαςτικά με ςϊμα Σ μάηασ m = Kg το οποίο κινείται ςτθν αρνθτικι κατεκυνςθ με ταχτθτα μζτρου υ = m / s. α. Να υπολογίςετε το πλάτοσ τθσ ΑΑΤ του ςυςςωματϊματοσ. β. Να γράψετε τθν εξίςωςθ τθσ απομάκρυνςθσ του ςυςςωματϊματοσ από τθ κζςθ ιςορροπίασ του ςε ςυνάρτθςθ με το χρόνο κεωρϊντασ t 0 = 0 αμζςωσ μετά τθν κροςθ. γ. Ροια χρονικι ςτιγμι μετά τθν κροςθ θ δυναμικι ενζργεια τθσ ΑΑΤ γίνεται ίςθ με τθν κινθτικι για δετερθ ορά; 0. Σϊμα μάηασ m είναι δεμζνο ςτθν μία άκρθ ελατιριου ςτακεράσ k και εκτελεί Α.Α.Τ. ςε λείο οριηόντιο επίπεδο. Η εξίςωςθ τθσ απομάκρυνςθσ είναι x = 0,8 θμ10πt (S.I.). Κάποια χρονικι ςτιγμι που περνά από το κζντρο τθσ ταλάντωςθσ κινομενο προσ τα κετικά, πζτει πάνω του κατακόρυα ζνα κομμάτι πλαςτελίνθσ μάηασ m. Η πλαςτελίνθ κολλάει πάνω ςτο ςϊμα. Να βρεκον : α. Η περίοδοσ τθσ ταλάντωςθσ του ςυςςωματϊματοσ μετά τθν κροςθ. β. Το πλάτοσ τθσ ταλάντωςθσ του ςυςςωματϊματοσ μετά τθν κροςθ. γ. Να γραεί θ εξίςωςθ τθσ απομάκρυνςθσ. δ. Να γίνει θ γραικι παράςταςθ τθσ δναμθσ επαναοράσ ςε ςυνάρτθςθ με τθν απομάκρυνςθ x. 1. Σε ζνα ςθμείο μιασ λίμνθσ, μια μζρα χωρίσ αζρα, ζνα ςκάοσ ρίχνει άγκυρα. Από το ςθμείο τθσ επιάνειασ τθσ λίμνθσ που πζτει θ άγκυρα ξεκινά εγκάρςιο κμα. Ζνασ άνκρωποσ που βρίςκεται ςε βάρκα παρατθρεί ότι το κμα τάνει ς αυτόν 50 s μετά τθν πτϊςθ τθσ άγκυρασ. Το κμα ζχει ψοσ 10 πάνω από τθν επιάνεια τθσ λίμνθσ, θ απόςταςθ ανάμεςα ςε δο διαδοχικζσ κορυζσ του κματοσ είναι 1 m. Μζςα ςε χρόνο 5 s περνον από τθ βάρκα 10 κματα. Να υπολογίςετε: α. Τθν περίοδο του κματοσ που τάνει ςτθ βάρκα. β. Τθν ταχτθτα διάδοςθσ του κματοσ. γ. Τθν απόςταςθ τθσ βάρκασ από το ςθμείο πτϊςθσ τθσ άγκυρασ. δ. Τθ μζγιςτθ ταχτθτα ταλάντωςθσ του ανκρϊπου ςτθ βάρκα.. Κοίλοσ κλινδροσ μάηασ m = 0,4 kg και ακτίνασ r = 0,1 m ζχει ροπι αδράνειασ I = mr. Ο κλινδροσ αινεται από το ςθμείο Α ςε ψοσ h να κινθκεί ςτθν καμπλθ τροχιά του ςχιματοσ. Ο κλινδροσ ςυνεχίηει τθν κίνθςι του ςτον κυκλικό δρόμο ακτίνασ = 0,9 m. Σε όλθ τθ διάρκεια τθσ κίνθςθσ ο κλινδροσ κυλίεται χωρίσ να ολιςκαίνει. α. Να υπολογιςτεί το ελάχιςτο ψοσ h ϊςτε ο κλινδροσ να εκτελζςει ανακκλωςθ ςτο ςθμείο Γ. β. Να υπολογιςτεί θ ταχτθτα του κζντρου μάηασ και θ ςτροορμι του κυλίνδρου, ςτο κατϊτερο ςθμείο τθσ τροχιάσ. γ. Να υπολογιςτεί θ επιτάχυνςθ του κζντρου μάηασ και θ ςτατικι τριβι, όταν ο κλινδροσ βρίςκεται ςτο ςθμείο Δ. δ. Να υπολογιςτεί θ ταχτθτα του κζντρου μάηασ και θ ςτροορμι του κυλίνδρου, ςτο ςθμείο Γ τθσ τροχιάσ αν αιςουμε τον κλινδρο από ψοσ h = 7, m. Δίνεται g = 10 m/s και ότι θ ακτίνα r κεωρείται αμελθτζα ςχετικά με τθν ακτίνα.. Σαίρα μάηασ m = Kg αινεται να κυλιςει χωρίσ να ολιςκαίνει ςε κεκλιμζνο επίπεδο γωνίασ = 0 0 και αο διατρζξει ς αυτό απόςταςθ d =,5 m ςυναντά οριηόντιο επίπεδο. Κατά τθν κίνθςι τθσ ςτο οριηόντιο επίπεδο ζχει ςτροορμι L = Kg m /s, ενϊ ο λόγοσ τθσ κινθτικισ ενζργειασ λόγω μεταορικισ κίνθςθσ προσ τθν κινθτικι ενζργεια λόγω περιςτροισ είναι 5 :. Αν δίνεται g = 10 m/s, να υπολογίςετε : α. Τθν ταχτθτα του κζντρου μάηασ τθσ ςαίρασ ςτο οριηόντιο επίπεδο. β. Τθν ροπι αδράνειασ τθσ ςαίρασ. γ. Τθν ακτίνα τθσ ςαίρασ. Σελίδα 4 h Α Γ Β Δ

5 δ. Τθν ιςχ του βάρουσ ςτθ βάςθ του κεκλιμζνου επιπζδου και τθ μζςθ ιςχ του βάρουσ για τθν κίνθςθ ςτο κεκλιμζνο επίπεδο. 4. άβδοσ ζχει μάηα Μ = 1, Kg, μικοσ l = 1 m και ροπι αδράνειασ ωσ προσ m 1 1 το κζντρο μάηασ I = Μ. Στα άκρα τθσ ράβδου είναι ςτερεωμζνεσ οι Ο 1 ςτοιχειϊδεισ μάηεσ m 1 =,8 Kg και m = 0,8 Kg. Το ςςτθμα μπορεί να 4 4 περιςτρζεται γρω από άξονα που περνάει από το ςθμείο Ο όπωσ ςτο L(Kg m /s) ςχιμα και είναι αρχικά ακίνθτο. Τθ χρονικι ςτιγμι t 0 = 0 αςκονται ςτο ςςτθμα δο δυνάμεισ F 1 και F με ςτακερζσ ροπζσ τ 1 και τ για τισ οποίεσ 1 ιςχει τ 1 = 4τ. Τθν t 1 = 4 s καταργείται θ μια δναμθ. Το διάγραμμα τθσ ςτροορμισ του ςυςτιματοσ ςε ςυνάρτθςθ με το χρόνο αίνεται ςτο διπλανό διάγραμμα. t(s) α. Ροια δναμθ καταργικθκε ; 0 4 t β. Να βρεκεί θ κινθτικι ενζργεια του ςυςτιματοσ τθ χρονικι ςτιγμι t 1. γ. Να βρεκεί θ χρονικι ςτιγμι t κατά τθν οποία ακινθτοποιικθκε το ςςτθμα για πρϊτθ ορά. δ. Να υπολογιςτεί το ζργο τθσ δναμθσ που δεν καταργικθκε από t 0 = 0 ζωσ τθ χρονικι ςτιγμι t. ε. Να βρεκεί για τθ δναμθ αυτι θ ιςχσ τθ χρονικι ςτιγμι t 1 = 4 s και θ μζςθ ιςχσ από t 0 = 0 ζωσ τθ χρονικι ςτιγμι t 1 = 4 s. 5. Ιδανικό πθνίο με ςυντελεςτι αυτεπαγωγισ L = 0,01 H ςυνδζεται τθ V(V) χρονικι ςτιγμι t 0 = 0 ςε ορτιςμζνο πυκνωτι. Το κκλωμα εκτελεί 10 αμείωτεσ θλεκτρικζσ ταλαντϊςεισ και θ τάςθ ςτουσ οπλιςμοσ του πυκνωτι ςε ςυνάρτθςθ με το ορτίο του περιγράεται από τθ γραικι -40 παράςταςθ του διπλανο ςχιματοσ Q(μC) α. Να υπολογίςετε τθν περίοδο των θλεκτρικϊν ταλαντϊςεων β. Να γράψετε τισ εξιςϊςεισ του ορτίου του πυκνωτι και τθσ ζνταςθσ -10 του ρεματοσ ςτο κκλωμα ςε ςυνάρτθςθ με το χρόνο. 6. Ομογενισ δίςκοσ μάηασ m = 4 kg και ακτίνασ = 0,1 m, είναι αρχικά ακίνθτοσ, ζχει ροπι αδράνειασ ωσ προσ τον άξονα περιςτροισ του I = m και μπορεί να περιςτρζεται χωρίσ τριβζσ γρω από κατακόρυο άξονα που διζρχεται από τα κζντρο του. Τθ χρονικι ςτιγμι t 0 = 0 αςκομε εαπτομενικά ςτο δίςκο ςτακερι δναμθ F θ οποία του δίνει ςτακερι γωνιακι επιτάχυνςθ α γων = 4 rad/s. Να υπολογίςετε: α. το μζτρο τθσ δναμθσ F. β. τθ ςτροορμι του δίςκου τθ χρονικι ςτιγμι t 1 = 5 s. γ. το ζργο τθσ ροπισ τθσ δναμθσ F για το χρονικό διάςτθμα Δt = t 1 t 0. δ. τθν ιςχ τθσ δναμθσ F τθ χρονικι ςτιγμι t 1. ε. τθ μζςθ ιςχ τθσ δναμθσ F για το χρονικό διάςτθμα Δt = t 1 t 0. στ. τθ χρονικι ςτιγμι t 1 καταργείται θ F και ταυτόχρονα πζτει πάνω ςτο δίςκο όμοιοσ δίςκοσ που ςτρζεται αντίκετα με γωνιακι ταχτθτα ω = 40 rad/s. Η κροςθ είναι ακαριαία και πλαςτικι. Να υπολογιςτεί θ γωνιακι ταχτθτα περιςτροισ του δίςκου που προκπτει από τθν κροςθ. 7. Δο ςαίρεσ με μάηα m = 1 Kg θ κάκε μία είναι ςτερεωμζνεσ ςτα άκρα ομογενοσ ράβδου μάηασ M = 1 Kg. Το ςςτθμα μπορεί να περιςτρζεται ςε οριηόντιο επίπεδο γρω από κατακόρυο άξονα που διζρχεται από το ςθμείο Κ όπωσ αίνεται ςτο διπλανό ςχιμα με d = 1 m. Στο ςθμείο Γ 17 ( όπου βρίςκεται θ μία μάηα m ) αςκείται δναμθ ςτακερο μζτρου F = N π που είναι ςυνεχϊσ κάκετθ ςτθ ράβδο, οπότε το ςςτθμα αρχίηει να περιςτρζεται γρω από το ςθμείο Κ. Η ροπι αδρανείασ τθσ ράβδου είναι I = Μ 1 και g = 10 m/s. Να υπολογιςτον : α. Η ροπι αδρανείασ του ςυςτιματοσ. Σελίδα 5 ω m A d F Κ K m d F m Γ m

6 β. Η ροπι και το ζργο τθσ δναμθσ και θ γωνιακι ταχτθτα του ςυςτιματοσ μετά από δο περιςτροζσ. γ. Ο ρυκμόσ με τον οποίο προςζρεται ενζργεια τότε. δ. Ο χρόνοσ που χρειάςτθκε για τισ δο περιςτροζσ και θ μζςθ ιςχσ. 8. Φωτεινι πθγι βρίςκεται ςε βάκοσ h = 1 m, μζςα ςε πιςίνα γεμάτθ με νερό. Η πθγι εκπζμπει ωσ με εξίςωςθ θλεκτρικο πεδίου : x E = 6 10 θμπ( 5 10 t - ) νερ ςτο S.I. 6 Α. α. Να βρεκεί θ ταχτθτα υ του ωτόσ ςτο μζςο αυτό. β. Να γραεί θ αντίςτοιχθ εξίςωςθ του μαγνθτικο πεδίου. γ. Να βρεκεί ο δείκτθσ διάκλαςθσ του νερο. δ. Να βρεκεί το μικοσ κματοσ του ωτόσ που εκπζμπει θ πθγι ςτο κενό, ςε ποιο τμιμα του άςματοσ ανικει το ωσ τθσ πθγισ ; Β. Μια ωτεινι ακτίνα προςπίπτει κάκετα ςτθν επιάνεια του νερο και περνάει ςτον αζρα. Αν το πλάτοσ τθσ ζνταςθσ του θλεκτρικο πεδίου ςτον αζρα είναι - Ε = V / m, να γραον οι max,αερα εξιςϊςεισ του θλεκτρικο και του μαγνθτικο πεδίου για το ωσ αυτό, που διαδίδεται ςτον αζρα. π Γ. Μια ωτεινι ακτίνα από τθν πθγι προςπίπτει ςτθν επιάνεια του νερο με γωνία κ = rad. Να βρεκεί a 6 θ γωνία διάκλαςθσ για τθν ακτίνα αυτι. Δ. α. Να βρεκεί θ οριακι γωνία ( κ crit ) ςτθ διαχωριςτικι επιάνεια νερο αζρα. β. Ζνασ παρατθρθτισ ζξω από τθν πιςίνα βλζπει ζνα ωτεινό κκλο ακτίνασ r. Να υπολογίςετε τθν ακτίνα αυτι. Θεωρείςτε ότι οι διαςτάςεισ τθσ πιςίνασ είναι αρκετά μεγαλτερεσ από τον ωτεινό κκλο που ςχθματίηεται. Η ταχτθτα του ωτόσ ςτον αζρα είναι c = 10 8 π 1 m/s, θμ = 6, π θμ = Δίςκοσ με μάηα m 1 = 1 Kg είναι ςτερεωμζνοσ ςτθν μια άκρθ κατακόρυου ελατθρίου ςτακεράσ k = 100 N/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι ςτερεωμζνο ςτο ζδαοσ. Ράνω ςτο δίςκο ακουμπάει ςϊμα μάηασ m = 1 Kg. Το ςςτθμα ιςορροπεί. Από ψοσ h = 7, m πάνω από το ςϊμα m, ςτθν κατακόρυθ του ελατθρίου, αινεται να πζςει ελεκερα ςϊμα μάηασ m = 1 Kg. Το ςϊμα αυτό ςυγκροεται πλαςτικά με το ςϊμα m. Το ςυςςωμάτωμα που προκπτει ςυγκροεται με το δίςκο m 1 χωρίσ τθ δθμιουργία νζου ςυςςωματϊματοσ, και το ςςτθμα κινείται ςαν ενιαίο ςϊμα με το ςυςςωμάτωμα των m, m ςε επαι με το δίςκο m 1. Το ςςτθμα εκτελεί ΑΑΤ πλάτουσ Α. α. Να βρεκεί το πλάτοσ τθσ παραπάνω ταλάντωςθσ. β. Να υπολογιςτεί το ποςοςτό απϊλειασ ενζργειασ του ςυςτιματοσ κατά τθν κροςθ του ςυςςωματϊματοσ των m, m με το δίςκο m 1. γ. Σε ποια κζςθ το ςυςςωμάτωμα των m, m χάνει τθν επαι με το δίςκο m 1 ; δ. Ροια είναι θ μζγιςτθ τιμι τθσ ςτακεράσ k του ελατθρίου, ϊςτε το ςυςςωμάτωμα των m, m να μθν χάνει τθν επαι με το δίςκο m 1. Δίνεται g = 10 m/s. Θεωριςτε x = 0 τθν τελικι κζςθ ιςορροπίασ του ςυςτιματοσ των m 1, m και m. Πλεσ οι κροςεισ γίνονται ακαριαία. 0. Τα ιδανικά ελατιρια του ςχιματοσ βρίςκονται ςτο υςικό τουσ μικοσ και ζχουν το ζνα άκρο τουσ δεμζνο d k ςε ςτακερό ςθμείο, όπωσ ςτο ςχιμα. Στο ελατιριο 1 m 1 m k ςτακεράσ k 1 = 100 N/m είναι δεμζνο ςϊμα μάηασ m 1 = 1 Kg και ςτο ελατιριο ςτακεράσ k = 00 N/m x είναι δεμζνο ςϊμα μάηασ m = Kg. Αρχικά τα δο ςϊματα απζχουν απόςταςθ d. Απομακρνω το m 1 κατά Α 1 = 0, m προσ τα αριςτερά Α 1 Θ.Ι. 1 Θ.Ι. Α και το m κατά Α = 0,6 m προσ τα δεξιά. Αινω τα x δο ςϊματα ελεκερα να κινθκον τθν ίδια χρονικι ςτιγμι. Τα δο ςϊματα μζχρι να ςυγκρουςτον d Α Α 1 Σελίδα 6

7 εκτελον τμιμα ΑΑΤ με περιόδουσ Τ 1 και Τ αντίςτοιχα. Τθ χρονικι ςτιγμι t 1 = T 1 / μετά τθν ζναρξθ των ταλαντϊςεων τα δο ςϊματα ςυγκροονται. Δ1. Να γραον οι εξιςϊςεισ για τισ ταλαντϊςεισ των m 1 και m και να υπολογιςτεί θ αρχικι απόςταςθ d των δο ςωμάτων. Να κεωριςετε κετικι ορά προσ τα δεξιά. Δ. Να υπολογιςτον οι ταχτθτεσ των δο ςωμάτων ακριβϊσ πριν τθν κροςθ. Η κροςθ είναι πλαςτικι και δθμιουργείται ςυςςωμάτωμα, το οποίο είναι ςυνδεδεμζνο και με τα δο ελατιρια. Δ. Να υπολογιςτεί θ κζςθ ιςορροπίασ του ςυςςωματϊματοσ. Δ4. Να αποδείξετε ότι το ςυςςωμάτωμα εκτελεί ΑΑΤ και να υπολογιςτεί θ περίοδοσ και θ ςτακερά επαναοράσ. Δ5. Να υπολογιςτεί θ ταχτθτα του ςυςςωματϊματοσ αμζςωσ μετά τθν κροςθ. Δ6. Να γραεί θ εξίςωςθ ταλάντωςθσ του ςυςςωματϊματοσ μετά τθν κροςθ. Για τθν εξίςωςθ αυτι να κεωριςετε x = 0 τθ κζςθ ιςορροπίασ του ςυςςωματϊματοσ και t 0 = 0 αμζςωσ μετά τθν κροςθ. Δίνεται g = 10 m/s και δεν υπάρχουν τριβζσ. 1. Δο ομογενείσ ράβδοι (Ι) και (ΙΙ), με ίςα μικθ l = 1,5 m και ίςεσ μάηεσ M = 1 kg, είναι κολλθμζνεσ ςτο ζνα άκρο τουσ Ο, όπωσ αίνεται ςτο ςχιμα. Για τθ γωνία που ςχθματίηουν οι διευκνςεισ τουσ δίνεται ότι θμ = 0,8 και ςυν = 0,6. Στο άκρο Γ τθσ ράβδου (ΙΙ) είναι κολλθμζνθ μια ςθμειακι μάηα m. Το ςςτθμα των δο ράβδων μπορεί να περιςτρζεται ςε κατακόρυο επίπεδο χωρίσ τριβζσ γρω από οριηόντιο άξονα που διζρχεται από το κοινό τουσ άκρο Ο. Αρχικά το ςςτθμα ςυγκρατείται ακίνθτο με τθ ράβδο (Ι) ςε οριηόντια κζςθ. Αινουμε το ςςτθμα ελεκερο. Α. Να υπολογίςετε τθ μάηα m, ϊςτε το ςςτθμα να παραμείνει ακίνθτο. Τθ χρονικι ςτιγμι t 0 = 0 ααιρομε τθ μάηα m, οπότε το ςςτθμα των δο ράβδων αρχίηει να ςτρζεται γρω από τον άξονα Ο. Τθ χρονικι ςτιγμι t 1 θ ράβδοσ (ΙΙ) τάνει ςτθν αρχικι κζςθ τθσ ράβδου (Ι) για πρϊτθ ορά. Β. Τθ χρονικι ςτιγμι t 1 να υπολογίςετε τθ ςτροορμι του ςυςτιματοσ των δο ράβδων κατά τον άξονα περιςτροισ. Τθ ςτιγμι αυτι, αςκομε ςτο ελεκερο άκρο τθσ ράβδου (Ι) και ςυνεχϊσ κάκετα ςε αυτιν, μια δναμθ ςτακερο μζτρου F = 18 N, τθσ οποίασ θ ροπι ωσ προσ τον άξονα περιςτροισ ζχει ορά από τθ ςελίδα προσ τον αναγνϊςτθ (τθσ ςελίδασ). Να υπολογίςετε Γ. τθ γωνιακι επιτάχυνςθ του ςυςτιματοσ των δο ράβδων τθ χρονικι ςτιγμι t 1 (μζτρο και κατεκυνςθ). Δ. τθν κινθτικι ενζργεια του ςυςτιματοσ των δο ράβδων, τθ χρονικι ςτιγμι που το ςςτθμα ζχει ολοκλθρϊςει μια περιςτροι μετά τθ χρονικι ςτιγμι t 1. Δίνεται θ επιτάχυνςθ τθσ βαρτθτασ g = 10 m/s, θ ροπι αδράνειασ κάκε ράβδου ωσ προσ τον άξονα περιςτροισ τθσ I = M και π =,14. O. Στθν κορυι θμιςαιρίου ακτίνασ, αινεται κοίλοσ κλινδροσ ακτίνασ r, μάηασ m και ροπισ αδράνειασ I = m r. Με μικρι ϊκθςθ ο κλινδροσ κινείται πάνω ςτο θμιςαίριο. Α. Να υπολογιςτεί θ γωνία με τθν κατακόρυο ςτθν οποία κα χακεί θ επαι με το θμιςαίριο. Β. Να υπολογιςτον θ ταχτθτα του κζντρου μάηασ, θ γωνιακι ταχτθτα και θ ςτροορμι του κυλίνδρου τότε, αν m = 1 Kg, r = 0,5 m, = 5,5 m και g = 10 m/s. Γ. Πταν θ ακτίνα που ςυνδζει τον κλινδρο με το κζντρο του θμιςαιρίου, ςχθματίηει γωνία κ με τθν κατακόρυο (θμκ = 0,6 και ςυνκ = 0,8) να υπολογιςτον : Γ1. Η γραμμικι και θ γωνιακι ταχτθτα του κυλίνδρου. Γ. θ επιτάχυνςθ του κζντρου μάηασ και θ γωνιακι επιτάχυνςθ του κυλίνδρου. A m Σελίδα 7 (Ι) Μ, l O O Μ, l (ΙΙ) m Γ

8 Γ. θ ςτατικι τριβι και ο ρυκμόσ μεταβολισ τθσ ςτροορμισ τότε. Γ4. Η ελάχιςτθ τιμι του ςυντελεςτι τριβισ, ϊςτε ο κλινδροσ να κυλίεται χωρίσ να ολιςκαίνει. Δ. Τθ χρονικι ςτιγμι που ο κλινδροσ τάνει ςτο ζδαοσ να υπολογιςτον θ ταχτθτα του κζντρου μάηασ και θ γωνιακι ταχτθτα του κυλίνδρου.. Ο ομογενισ κλινδροσ του ςχιματοσ ζχει μάηα m, ακτίνα, ροπι αδράνειασ I = m και θρεμεί ςε οριηόντιο επίπεδο. Αςκομε ςτον κλινδρο οριηόντια δναμθ F, τθσ οποίασ θ διεκυνςθ απζχει x από το κζντρο του κυλίνδρου. Δίνεται το g. F Α. Αν x= να υπολογιςτον : x Α1. Η επιτάχυνςθ του κζντρου μάηασ και θ γωνιακι επιτάχυνςθ του κυλίνδρου. Α. Η ςτατικι τριβι. A. Η ιςχσ τθσ δναμθσ F, όταν ο κλινδροσ ζχει μετατοπιςτεί κατά l = m. Α4. Η μζςθ ιςχσ τθσ δναμθσ F, ωσ τθ χρονικι ςτιγμι που ο κλινδροσ ζχει μετατοπιςτεί κατά l = m. Β. Για ποια τιμι τθσ απόςταςθσ x θ ςτατικι τριβι είναι ίςθ με μθδζν; Γ. Για τισ διάορεσ τιμζσ τθσ απόςταςθσ x με - x να γίνει το διάγραμμα τθσ ελάχιςτθσ τιμισ του ςυντελεςτι τριβισ μ s,min για κλιςθ χωρίσ ολίςκθςθ, ςε ςυνάρτθςθ με τθν απόςταςθ x. Να γίνει αρικμθτικι εαρμογι για F = 0,9 N, m = 1 Kg, = 0, m και g = 10 m/s. 4. Κοίλθ ςαίρα μάηασ m = Kg, ακτίνασ = 0,1 m και ροπισ αδράνειασ k I = m είναι δεμζνθ ςτο άκρο οριηόντιου ιδανικο ελατθρίου με x ςτακερά k = 15 N/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνθτα ςτερεωμζνο. Η ςαίρα είναι ςυνδεδεμζνθ με το ελατιριο με κατάλλθλο τρόπο ϊςτε να μπορεί να κυλίεται χωρίσ τριβζσ ςτον άξονα περιςτροισ τθσ, ο οποίοσ περνάει από το κζντρο μάηασ τθσ. Δίνεται g = 10 m/s. Απομακρνω τθ ςαίρα κατά d = 0,5 m από τθ κζςθ ιςορροπίασ τθσ και τθν αινω ελεκερθ να κινθκεί. Α. Να αποδείξετε ότι θ ςαίρα εκτελεί ΑΑΤ και να υπολογίςετε τθν περίοδό τθσ. Β. Να γραεί θ εξίςωςθ τθσ ΑΑΤ τθσ ςαίρασ αν κεωριςουμε t 0 = 0 τθ ςτιγμι που αιςαμε τθ ςαίρα. Γ. Να γίνει θ γραικι παράςταςθ τθσ ελάχιςτθσ τιμισ του ςυντελεςτι τριβισ ολίςκθςθσ μ s,min για κλιςθ χωρίσ ολίςκθςθ, ςε ςυνάρτθςθ με τθν απομάκρυνςθ x. Δ. Πταν θ ςαίρα βρίςκεται ςτθ κζςθ x = 0, m να υπολογιςτεί θ ταχτθτα του κζντρου μάηασ, θ γωνιακι ταχτθτα, θ επιτάχυνςθ του κζντρου μάηασ, θ δυναμικι ενζργεια, θ μεταορικι κινθτικι ενζργεια, θ ςτροικι κινθτικι ενζργεια και θ ςυνολικι ενζργεια του ςυςτιματοσ. 5. Οι άξονεσ δο όμοιων κυλίνδρων Κ 1 και Κ είναι παράλλθλοι, βρίςκονται ςτο ίδιο οριηόντιο επίπεδο και ςε απόςταςθ d = 0,64 m. Αινουμε μια ιςοπαχι ομογενι ςανίδα μάηασ Μ πάνω ςτουσ κυλίνδρουσ ζτςι ϊςτε το μζςον τθσ να βρίςκεται πάνω από το μζςον τθσ απόςταςθσ Κ 1 Κ και με κατάλλθλο μθχανιςμό βάηουμε τουσ κυλίνδρουσ ςε περιςτροι, όπωσ ςτο ςχιμα. Ράνω ςτθ ςανίδα ςτο μζςον τθσ, υπάρχει ςϊμα μάηασ m, το οποίο παρουςιάηει ςυντελεςτι τριβισ ολίςκθςθσ με τθ ςανίδα μ ς. Μετατοπίηουμε λίγο τθ ςανίδα από τθ κζςθ ιςορροπίασ τθσ και τθν αινουμε ελεκερθ. Ο ςυντελεςτισ τριβισ ολίςκθςθσ τθσ ςανίδασ με τουσ κυλίνδρουσ είναι μ = 0,8. Δίνεται g = 10 m/s. Α. Να αποδείξετε ότι θ ςανίδα κα εκτελζςει ΑΑΤ και να υπολογίςετε τθν περίοδό τθσ. Β. Αν m = 1 Kg και M = Kg να υπολογίςετε τισ ςτακερζσ επαναοράσ του ςϊματοσ και τθσ ςανίδασ. Γ. Αν μ ς = 0, ποιο είναι το μζγιςτο πλάτοσ ταλάντωςθσ Α max για το οποίο το ςϊμα δεν χάνει τθ επαι με τθ ςανίδα. Δ. Αν οι ακτίνεσ των κυλίνδρων είναι = 0, m και ω Κ = 10 rad/s, να υπολογιςτεί ο ρυκμόσ που δίνει ενζργεια ςτο ςςτθμα ο κάκε κλινδροσ, όταν θ απομάκρυνςθ τθσ ςανίδασ από τθ κζςθ ιςορροπίασ είναι x = 0,0 m. Είναι x < A < A max, όπου Α το πλάτοσ ταλάντωςθσ τθσ ςανίδασ. ω Κ Κ 1 O d m Κ 0 M ω Κ Σελίδα 8