ΝΟΜΟΙ ΚΙΝΗΗ ΠΛΑΝΗΣΩΝ ΣΟΤ ΚΕΠΛΕΡ

Transcript

1 ΝΟΜΟΙ ΚΙΝΗΗ ΠΛΑΝΗΣΩΝ ΣΟΤ ΚΕΠΛΕΡ 1. Νόμοσ των ελλειπτικών τροχιών Η τροχιζσ των πλανθτϊν είναι ελλείψεισ, των οποίων τθ μία εςτία κατζχει ο Ήλιοσ. Προφανϊσ όλοι οι πλανιτεσ του ίδιου πλανθτικοφ ςυςτιματοσ ζχουν κοινι εςτία το άςτρο. Η απόςταςθ r του πλανιτθ από τον ιλιο λζγεται επιβατικι ακτίνα του πλανιτθ και το μικοσ τθσ εκφράηεται ωσ ςυνάρτθςθ τθσ γωνίασ θ που ςχθματίηει με το μεγάλο άξονα τθσ ζλλειψθσ, μετρθμζνθσ από τθν πλευρά τθσ μικρότερθσ απόςταςθσ από τον ιλιο (περιιλιο): όπου θ εκκεντρότθτα τθσ ζλλειψθσ, α ο μεγάλοσ θμιάξονασ και p θ εςτιακτομι (εςτιακι χορδι κάκετθ ςτο μεγάλο άξονα). Τα r και θ είναι οι παραμετρικζσ ςυντεταγμζνεσ τθσ ζλλειψθσ. Το ςθμείο ςτο οποίο ο πλανιτθσ βρίςκεται πλθςιζςτερα ςτον Ήλιο ονομάηεται περιήλιο και το ςθμείο ςτο οποίο βρίςκεται μακρφτερα από αυτόν ονομάηεται αφήλιο. Τα δφο ςθμεία είναι αντιδιαμετρικά ςθμεία του μεγάλου άξονα τθσ ζλλειψθσ. Ο μεγάλοσ θμιάξονασ ονομάηεται μζςη απόςταςη του πλανιτθ από τον Ήλιο. Ο μεγάλοσ άξονασ τθσ τροχιάσ ονομάηεται γραμμή των αψίδων, επειδι "φζρονται" επϋ αυτόν ι άνω και θ κάτω "αψίδα" τθσ ελλειπτικισ. Ο μεγάλοσ θμιάξονασ a είναι ο αρμονικόσ μζςοσ των r min και r max : Ο μικρόσ θμιάξονασ b είναι ο γεωμετρικόσ μζςοσ των r min και r max : Η εςτιακι τομι p είναι ο αρμονικόσ μζςοσ των r min και r max :

2 Η εκκεντρότθτα ε είναι ο ςυντελεςτισ μεταβλθτότθτασ μεταξφ των r min και r max : Το εμβαδό τθσ ζλλειψθσ είναι Στθν ειδικι περίπτωςθ τθσ κυκλικισ τροχιάσ, είναι, οπότε 2. Ο Νόμοσ των εμβαδών Η επιβατικι ακτίνα που ςυνδζει τον Ήλιο με ζναν πλανιτθ, κατά τθν κίνθςι του γφρω από αυτόν, διαγράφει ίςα εμβαδά ςε ίςουσ χρόνουσ (εμβαδό ανάλογο του χρόνου): Σε μικρό χρόνο dt θ επιβατικι ακτίνα καλφπτει τρίγωνο με βάςθ r, φψοσ rdθ κι εμβαδό: Η ταχφτθτα με τθν οποία διαγράφει το τρίγωνο θ ακτίνα είναι: Κακϊσ ο πλανιτθσ κινείται ςε ζλλειψθ, βρίςκεται ςε διαφορετικι απόςταςθ από τον ιλιο ςε κάκε ςθμείο τθσ τροχιάσ του. Συνεπϊσ πρζπει να κινείται γρθγορότερα όταν είναι πλθςιζςτερα ςτον ιλιο και αργότερα όταν είναι μακρφτερα από τον ιλιο, ϊςτε να καλφπτει ίςα εμβαδά ςε ίςουσ χρόνουσ. Έτςι για τθν περίοδο P κα ιςχφει: 3. Ο Νόμοσ αςτρικών περιφορών Για δεδομζνο άςτρο, το τετράγωνο τθσ περιόδου περιφοράσ P κάκε πλανιτθ είναι ανάλογο προσ τον κφβο του μεγάλου θμιάξονα α τθσ τροχιάσ του, και ςυγκεκριμζνα: (ιςχφει για κυκλικζσ ι ελλειπτικζσ τροχιζσ). Ο νόμοσ δίνει τθ ςχζςθ μεταξφ τθσ απόςταςθσ των πλανθτϊν από τον ιλιο και τθσ περιόδου περιφοράσ των. Είναι γνωςτόσ ωσ ο αρμονικόσ νόμοσ, επειδι ο Κζπλερ τον διατφπωςε ςε μια προςπάκεια να περιγράψει τθ «μουςικι των ςφαιρϊν» με ακριβείσ νόμουσ και να τθν εκφράςει με μουςικι ςθμειογραφία.

3 Σιμερα χρθςιμοποιείται για να υπολογιςκεί θ απόςταςθ εξωπλανθτϊν από τα αςτζρια τουσ και να εκτιμθκεί αν βρίςκονται ςτθν κατοικιςιμθ ηϊνθ του αςτεριοφ. Σε πολλζσ περιπτϊςεισ, ζνα από τα ςϊματα ζχει πολφ μεγαλφτερθ μάηα από το άλλο, π.χ.. Τότε θ ςχζςθ μπορεί να εκφραςτεί κατά προςζγγιςθ ωσ: Στο δικό μασ θλιακό ςφςτθμα οι μάηεσ των πλανθτϊν είναι αμελθτζεσ ςε ςφγκριςθ με αυτιν του Ήλιου. Έτςι, ο λόγοσ αυτόσ είναι περίπου ςτακερόσ για όλα τα ςϊματα που περιφζρονται γφρω από τον Ήλιο ςε ελλειπτικι ι κυκλικι τροχιά. Η ςτακερά αναλογίασ: ΝΕΤΣΩΝΕΙΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΩΜΑΣΩΝ ΠΟΤ ΚΙΝΟΤΝΣΑΙ ΤΠΟ ΣΗΝ ΕΠΙΔΡΑΗ ΠΕΔΙΩΝ ΒΑΡΤΣΗΣΑ Νόμοσ τησ παγκόςμιασ ζλξησ Ανάμεςα ςε δφο ςϊματα με μάηεσ m 1 & m 2 οπουδιποτε ςτο χϊρο αςκείται ελκτικι δφναμθ ανάλογθ του γινομζνου των μαηϊν των και αντιςτρόφωσ ανάλογθ του τετραγϊνου τθσ απόςταςθσ r των κζντρων βάρουσ των: Νόμοσ τροχιάσ Η τροχιά ςϊματοσ που κινείται υπό τθν επίδραςθ πεδίου βαρφτθτασ ενόσ άλλου είναι κωνικι τομι. Έτςι: Τα ςϊματα που εγκλωβίηονται ςτο πεδίο βαρφτθτασ (τίκενται ςε τροχιά) κινοφνται ςε ζλλειψθ: Οι πλανιτεσ, οι δορυφόροι, οι κομιτεσ και οι αςτεροειδείσ. Τα ςϊματα που δεν εγκλωβίηονται ςτο πεδίο βαρφτθτασ κινοφνται ςε παραβολι ι υπερβολι (όπωσ μια ακτίνα φωτόσ παρεκκλίνει όταν περνά δίπλα από μεγάλθ μάηα). Νόμοσ εμβαδών Όταν ζνα ςϊμα κινείται υπό τθν επίδραςθ πεδίου βαρφτθτασ άλλου, το ευκφγραμμο τμιμα που ςυνδζει τα δφο ςϊματα διαγράφει εμβαδό ανάλογο του χρόνου: όπου ο μεγάλοσ θμιάξονασ και ο μικρόσ θμιάξονασ. Αρμονικόσ νόμοσ Αν ςϊμα μάηασ περιφζρεται γφρω από ςϊμα μάηασ ςε ελλειπτικι ι κυκλικι τροχιά, θ περίοδοσ περιφοράσ P και θ μζςθ απόςταςι τουσ α ςυνδζονται με τθ ςχζςθ:

4 ΣΑΧΤΣΗΣΑ ΔΙΑΦΤΓΗ ΑΠΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΤΣΗΣΑ *Για ευκολία, θα θεωρήςουμε τη Γη ακίνητη και θα αγνοήςουμε τη βαρυτική ζλξη από άλλα ουράνια ςϊματα, καθϊσ και την αντίςταςη του αζρα. Σϊμα μάηασ m βρίςκεται ςτο βαρυτικό πεδίο ςφαιρικοφ ςϊματοσ μάηασ M και ακτίνασ R και ςε απόςταςθ d από τθν επιφάνειά του. Στο m προςδίδεται αρχικι κατακόρυφθ ταχφτθτα u 0. Έτςι, ζχει δυναμικι ενζργεια λόγω του πεδίου και κινθτικι ενζργεια. Η μθχανικι του ενζργεια είναι: Η δυναμικι και θ κινθτικι ενζργεια είναι αντίρροπεσ. Θεωροφμε αυκαίρετα ωσ κετικι τθν κατεφκυνςθ τθσ κινθτικισ ενζργειασ. Συνεπϊσ, για τα μζτρα των ενεργειϊν κα ιςχφει: Για να ξεφφγει το ςϊμα από τθ βαρυτικι ζλξθ χρειάηεται θ μθχανικι του ενζργεια να ζχει τθν κατεφκυνςθ τθσ κίνθςθσ, δθλαδι να είναι κετικι: Στθν επιφάνεια του ςϊματοσ Μ, είναι. Συνεπϊσ θ ταχφτθτα διαφυγισ είναι: Εξίςωςη Drake Πόςοι πολιτιςμοί με τουσ οποίουσ μποροφμε να επικοινωνήςουμε, μπορεί να υπάρχουν ςτο Γαλαξία; πλικοσ πολιτιςμϊν με δυνατότθτα ραδιο-επικοινωνίασ ρυκμόσ γζννθςθσ κατάλλθλων άςτρων 1-10 / ζτοσ ποςοςτό κατάλλθλων άςτρων που ζχουν πλανθτικά ςυςτιματα 0,1-0,5 πλικοσ «γιινων» πλανθτϊν ανά πλανθτικό ςφςτθμα 1-3 ποςοςτό των «γιινων» πλανθτϊν που κατοικοφνται 0,1-1 ποςοςτό κατοικθμζνων πλανθτϊν όπου υπάρχουν ευφυι όντα 0,01-1 ποςοςτό ευφυϊν όντων με τεχνολογία ραδιο-επικοινωνίασ 0,1-1 ελάχιςτθ διάρκεια ηωισ πολιτιςμοφ με τεχνολογία ραδιο-επικοινωνίασ ζτθ

5 Ε ΣΡΟΧΙΑ 1 η Κοςμική ταχφτητα (κυκλική Γησ) Για να τεκεί ζνα ςϊμα ςε κυκλικι τροχιά γφρω από τθ Γθ, ςε φψοσ h από τθν επιφάνειά τθσ, χρειάηεται να αναπτφξει οριηόντια ταχφτθτα: 2 η Κοςμική ταχφτητα (παραβολική Γησ) Για να ξεφφγει από το πεδίο βαρφτθτασ τθσ Γθσ, χρειάηεται οριηόντια ταχφτθτα: Τότε θ τροχιά του ωσ προσ τθ Γθ κα είναι παραβολικι και κα τεκεί ςε ελλειπτικι τροχιά γφρω από τον Ήλιο. Κυκλική ταχφτητα Ήλιου Για να τεκεί ςε κυκλικι τροχιά γφρω από τον Ήλιο ςε απόςταςθ d από τθν επιφάνειά του, χρειάηεται να αναπτφξει εφαπτομζνθ ταχφτθτα: Στθν απόςταςθ τθσ Γθσ, είναι: 3 η Κοςμική ταχφτητα (παραβολική Ήλιου) Για να ξεφφγει από το πεδίο βαρφτθτασ του Ήλιου, χρειάηεται εφαπτομζνθ ταχφτθτα: Στθν απόςταςθ τθσ Γθσ, είναι: ΤΜΠΕΡΑΜΑΣΙΚΑ: θ τροχιά του κα ςυναντιςει τθ Γθ (κα πζςει) θ τροχιά του κα είναι ελλειπτικι, εςωτερικι τθσ κυκλικισ θ τροχιά του κα είναι κυκλικι θ τροχιά του κα είναι ελλειπτικι, εξωτερικι τθσ κυκλικισ θ τροχιά του κα είναι παραβολικι ωσ προσ τθ Γθ κι ελλειπτικι ωσ προσ τον Ήλιο θ τροχιά του κα είναι υπερβολικι ωσ προσ τθ Γθ κι ελλειπτικι ωσ προσ τον Ήλιο θ τροχιά του κα είναι υπερβολικι ωσ προσ τθ Γθ και κυκλικι γφρω από τον Ήλιο θ τροχιά του κα είναι υπερβολικι ωσ προσ τθ Γθ κι ελλειπτικι ωσ προσ τον Ήλιο θ τροχιά του κα είναι υπερβολικι ωσ προσ τθ Γθ και παραβολικι ωσ προσ τον Ήλιο θ τροχιά του κα είναι υπερβολικι ωσ προσ τθ Γθ και ωσ προσ τον Ήλιο θ τροχιά του κα είναι ευκεία Η περίοδοσ περιφοράσ του είναι: ( )