ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης

Κομβικά Δίκτυα Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Διαφάνεια 2

Εισαγωγή Στα κομβικά δίκτυα οι κόμβοι παρουσιάζουν τις δραστηριότητες ενώ τα βέλη αντιπροσωπεύουν την σχέση αλληλουχίας (αλληλεξάρτησης) μεταξύ τους. Μία δραστηριότητα i απεικονίζεται με ένα ορθογώνιο το οποίο έχει χωριστεί σε τμήματα (8), και σε κάθε τμήμα αναγράφονται οι πλέον σημαντικές πληροφορίες της δραστηριότητας, δηλαδή οι αριθμοί : i, d, ΕΧΕ, ΕΧΠ, ΒΧΕ, ΒΧΠ, ΣΠ όπου : i: Ο κωδικός αριθμός της δραστηριότητας d: Η χρονική διάρκεια της δραστηριότητας EXE : Ο ενωρίτερος χρόνος έναρξης της δραστηριότητας i ΕΧΠ : Ο ενωρίτερος χρόνος πέρατος της δραστηριότητας i ΒΧΕ : Ο βραδύτερος χρόνος έναρξης της δραστηριότητας i ΒΧΠ : Ο βραδύτερος χρόνος πέρατος της δραστηριότητας i ΣΠ : Το συνολικό περιθώριο της δραστηριότητας i Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Διαφάνεια 3

Εισαγωγή Τα βέλη δείχνουν τη συναρτησιακή σχέση αλληλεξάρτησης των δραστηριοτήτων Η τεχνική επίλυσης των κομβικών δικτύων είναι σχεδόν ίδια με αυτή των τοξωτών : προς τα εμπρός σάρωση του δικτύου για τον υπολογισμό των ενωρίτερων χρόνων, προς τα πίσω σάρωση για τον υπολογισμό των βραδύτερων χρόνων Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Διαφάνεια 4

Τα πλεονεκτήματα της κομβικής μορφής των δικτύων Τα βέλη οι χρόνοι αναμονής ή προέναρξης δεν εμφανίζονται σαν ξεχωριστές δραστηριότητες (όπως στα τοξωτά) αλλά ως σύνδεσμοι μεταξύ των δραστηριοτήτων. Δεν απαιτείτε η έννοια της πλασματικής δραστηριότητας αφού οι σχέσεις χρονικής ιεραρχίας των δραστηριοτήτων ορίζονται διαφορετικά m 102 101 Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Διαφάνεια 5

Τα πλεονεκτήματα της κομβικής μορφής των δικτύων Στατοξωτάχρησιμοποιούνταιδύοαριθμοί( αφετηρίας και πέρατος) για να παρασταθεί μια δραστηριότητα, στα κομβικά δίκτυα απαιτείται μόνο ένας, ο κωδικός της δραστηριότητας Όλα τα βασικά στοιχεία εμφανίζονται στους κόμβους και αναφέρονται στο ίδιο πάντα αντικείμενο (δραστηριότητα) Παρέχει την δυνατότητα απεικόνισης διαφορετικών σχέσεων αλληλουχίας μεταξύ δραστηριοτήτων. (δηλαδή στα κομβικά δίκτυα για να αρχίσει μια δραστηριότητα δεν είναι απαραίτητο να έχει τελειώσει η προηγούμενη της, μπορεί να αρχίσει ταυτόχρονα ή να υπάρχει χρόνος αναμονής ή προέναρξης) Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Διαφάνεια 6

Συναρτησιακέςμορφέςαλληλεξάρτησης Σχέση Πέρατος Αρχής (Finish Start) FS(i,j)= m : η σχέση αυτή σημαίνει ότι για να ξεκινήσει η δραστηριότητα j πρέπει να περάσουν m χρονικές μονάδες μετά την ολοκλήρωση της δραστηριότητας i Παράδειγμα : η σχέση μεταξύ της σύνταξης ενός προγράμματος (δραστηριότητα i) και του ελέγχου αυτού (δραστηριότητα j) Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Διαφάνεια 7

Συναρτησιακέςμορφέςαλληλεξάρτησης Σχέση Αρχής Αρχής (Start Start) SS(i,j)= m : ησχέσηαυτήσημαίνειότιαπαραίτητηπροϋπόθεσηγιανα αρχίσει η δραστηριότητα j είναι η έναρξη της δραστηριότητας i πριν από m χρονικές μονάδες Παράδειγμα : Η έναρξη προμήθειας προσωπικών υπολογιστών σε μια υπηρεσία (δραστηριότητα j) μπορεί να συσχετιστεί με την έναρξη πρόσληψηςνέουπροσωπικού( δραστηριότητα i) Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Διαφάνεια 8

Συναρτησιακέςμορφέςαλληλεξάρτησης Σχέση Αρχής Πέρατος (Start Finish) SF(i,j)= t : η σχέση αυτή σημαίνει ότι η έναρξη της δραστηριότητας i πρέπει να προηγηθεί του πέρατος της δραστηριότητας j κατά t χρονικές μονάδες Παράδειγμα : Το κέντρο πληροφορικής μιας επιχείρησης λειτουργεί σε δύο βάρδιες, την πρωινή βάρδια ( δραστηριότητα i) και την βραδινή βάρδια (δραστηριότητα j). Με βάση το γεγονός ότι η επιχείρηση λειτουργεί κάθε μέρα για ορισμένες ώρες, συνολικά 12 τότε πρέπει SF(i,j)=4 Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Διαφάνεια 9

Συναρτησιακέςμορφέςαλληλεξάρτησης Σχέση Πέρατος Πέρατος (Finish Finish) FF(i,j) ) = κ : η σχέση αυτή σημαίνει ότι η δραστηριότητα j τελειώνει τουλάχιστον κ χρονικές μονάδες πριν το πέρας της δραστηριότητας i Παράδειγμα : Ο πλήρης έλεγχος ενός πληροφοριακού συστήματος (δραστηριότητα i) τελειώνει κ μέρες μετά το πέρας της παραλαβής των επιμέρους υποπρογραμμάτων από τα οποία αποτελείται (δραστηριότητα j) Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Διαφάνεια 10

Προσδιορισμός των Συν. μορφών αλληλεξάρτησης Δραστηριότητες που προηγούνται Ποιες δραστηριότητες ( i ) θα πρέπει να ολοκληρωθούν πριν από την έναρξη μιας δραστηριότητας ( j ); Ποιος είναι κάθε φορά ο χρόνος αναμονής; Σχέση FS(i,j) Ποιες δραστηριότητες ( i ) πρέπει να ξεκινήσουν πριν από τη έναρξη μιας συγκεκριμένης δραστηριότητας ( j ); Ποιος είναι κάθε φορά ο χρόνος προέναρξης; Σχέση SS(i,j) Ποιες δραστηριότητες ( i ) πρέπει να ολοκληρωθούν πριν από το πέρας μιας συγκεκριμένης δραστηριότητας ( j ); Ποιος είναι ο χρόνος αναμονής; Σχέση FF(i,j) Ποιες δραστηριότητες ( i ) πρέπει να ξεκινήσουν πριν από τη ολοκλήρωση μιας συγκεκριμένης δραστηριότητας ( j ); Ποιος είναι ο χρόνος προέναρξης; Σχέση SF(i,j) Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Διαφάνεια 11

Προσδιορισμός των Συν. μορφών αλληλεξάρτησης Δραστηριότητες που έπονται Ποιες δραστηριότητες ( j ) πρέπει να ξεκινήσουν μετά το πέρας μιας συγκεκριμένης δραστηριότητας ( i ); Ποιος είναι ο χρόνος αναμονής; Σχέση FS(i,j) Ποιες δραστηριότητες ( j ) πρέπει να ξεκινήσουν μετά τη έναρξη μιας συγκεκριμένης δραστηριότητας ( i ); Ποιος είναι ο χρόνος προέναρξης; Σχέση SS(i,j) Ποιες δραστηριότητες ( j ) πρέπει να ολοκληρωθούν μετά τη ολοκλήρωση μιας συγκεκριμένης δραστηριότητας ( i ); Ποιος είναι ο χρόνος αναμονής; Σχέση FF(i,j) Ποιες δραστηριότητες ( j ) πρέπει να ολοκληρωθούν μετά τη έναρξη μιας συγκεκριμένης δραστηριότητας ( i ); Ποιος είναι ο χρόνος προέναρξης; Σχέση SF(i,j) Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Διαφάνεια 12

Προσδιορισμός των Συν. μορφών αλληλεξάρτησης Συντρέχουσες δραστηριότητες Ποιες δραστηριότητες μπορούν να γίνουν ταυτόχρονα; Σχέση SS(i,j)=0 Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Διαφάνεια 13

Προσδιορισμός χρόνων Όταν ξεκινά μια δραστηριότητα δεν επιτρέπεται να διακοπεί Βήμα 1 : Ξεκίνα από αριστερά προς τα δεξιά και εφ όσον υπάρχουν δραστηριότητες j προσδιόρισε το EXE j αφού λάβεις υπόψη σου : Πιθανή ύπαρξη περιορισμών πάνω στον ενωρίτερο χρόνο έναρξης της δραστηριότητας Τον ενωρίτερο χρόνο έναρξης όλου του έργου Τον χρόνο έναρξης, που προκύπτει από κάθε περιορισμό πάνω στην έναρξη της j εξαιτίας σχέσεων αλληλουχίας Αρχικός Χρόνος έναρξης Τεχν. Περι. Tj ΕΧΕ ι + SS(i, j) αν υπάρχει σχέση SS EXE j = MAX ( i) EXΠ i + FS(i, j) αν υπάρχει σχέση FS EXE i + SF(i, j) - d j αν υπάρχει σχέση SF ΕΧΠ i + FF(i, j) - d j αν υπάρχει σχέση FF Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Διαφάνεια 14

Προσδιορισμός χρόνων Βήμα 2 : Προσδιόρισε τον ενωρίτερο χρόνο Πέρατος της δραστηριότητας j από την σχέση : ΕΧΠ = EXE j j + d j Βήμα 3: Προσδιορισμός των βραδύτερων χρόνων σαρώνοντας το δίκτυο από τα δεξιά προς τα αριστερά εφ όσον υπάρχουν δραστηριότητες i λαμβάνοντας υπόψη : Πιθανή ύπαρξη περιορισμού επάνω στο βραδύτερο χρόνο λήξης της δραστηριότητας Τον βραδύτερο χρόνο λήξης όλου του έργου Τον χρόνο πέρατος της δραστηριότητας ο οποίος προκύπτει από κάθε περιορισμό πάνω στον χρόνο λήξης της δραστηριότητας j ΒΧΠ i = ΜΙΝ ( j) Βραδύτερος χρόνος ππέρατο Έργου Τεχν. Περι. Tj ΒΧΕ j FS (i, j) αν υυπάρχεισχέση FS BΧΠ j FF(i, j) αν υυπάρχεισχέση FF BΧE j SS(i, j) + d i αν υυπάρχεισχέση SS BΧΠ j SF(i, j) + d i αν υυπάρχεισχέση SF Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Διαφάνεια 15

Προσδιορισμός χρόνων Βήμα 4: Προσδιορίστε τον βραδύτερο χρόνο έναρξης από την σχέση : ΒΧΕ j = ΒΧΠ j - d j Βήμα 5: Προσδιορίστε το συνολικό περιθώριο κάθε δραστηριότητας από την σχέση ΣΠi = ΒΧΠi - EXΠi = BXEi - ΕΧΕi Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Διαφάνεια 16

Παράδειγμα Σχέσης FS Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Διαφάνεια 17

Παράδειγμα Σχέσης FS Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Διαφάνεια 18

Παράδειγμα Σχέσης FF Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Διαφάνεια 19

Παράδειγμα Σχέσης FF Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Διαφάνεια 20

Παράδειγμα Σχέσης SS Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Διαφάνεια 21

Παράδειγμα Σχέσης SS Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Διαφάνεια 22

Παράδειγμα Σχέσης SF SF=(101,107)=10 101 6 5 SF=(102,107)=15 102 8 12 103 15 SF=(103,107)=12 107 20 100 13 1 2 3 4 5 6 Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Διαφάνεια 23

Παράδειγμα Σχέσης SF 101 6 SF=(101,107)=10 5 11 96 90 SF=(102,107)=15 102 8 12 20 85 93 103 15 SF=(103,107)=12 107 20 7 27 80 100 13 28 88 103 1 2 3 4 5 6 Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Διαφάνεια 24

Προσδιορισμός χρόνων Όταν ξεκινά μια δραστηριότητα και επιτρέπεται να διακοπεί Βήμα 1 : Προσδιορισμός Ενωρίτερων χρόνων : Ξεκίνα από αριστερά προς τα δεξιά. Ο ενωρίτερος χρόνος έναρξης της δραστηριότητας j προσδιορίζεται αυτόνομα εξετάζοντας μόνο αν υπάρχει περιορισμός πάνω στην έναρξη της, που να προκύπτει άμεσα από την συναρτησιακή σχέση με την προηγούμενη δραστηριότητα ( από σχέση FS ή SS): ΕΧΕ { ΕΧΕ + SS( i, j), ΕΧΠ FS( i j) } j = max i i +, Αν δεν υπάρχει σχέση εξάρτησης των μορφών FS, SS και η δραστηριότητα j μπορεί να διακόπτεται τότε μπορούμε να θεωρήσουμε ότι ΕΧΕ j = Ενωρίτερος χρόνος Έναρξης του Έργου Αν δεν διακόπτεται τότε : ΕΧΕ j = ΕΧΠ j - d j Συνέχεια Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Διαφάνεια 25

Προσδιορισμός χρόνων Ο ενωρίτερος χρόνος πέρατος της δραστηριότητας j προσδιορίζεται από την σχέση : ΕΧΠ j = max { ΕΧΠ + FF ( i, j ), ΕΧΕ + SF ( i, j ), ΕΧΕ + d } i Βήμα 2 : Προσδιορισμός Βραδύτερων χρόνων : Ξεκίνα από δεξιά προς τα αριστερά. Ο βραδύτερος χρόνος πέρατος προσδιορίζεται αυτόνομα, εξετάζοντας μόνο αν υπάρχει περιορισμός πάνω στην λήξη της j που να προέρχεται από σχέση της μορφής FF ή FS με προηγούμενη δραστηριότητα Αν δεν υπάρχει σχέση εξάρτησης των μορφών FF, SF και η δραστηριότητα j μπορεί να διακόπτεται τότε μπορούμε να θεωρήσουμε ότι ΒΧΠ j = Βραδύτερος χρόνος Πέρατος του Έργου Αν δεν διακόπτεται τότε : ΒΧΠ j = ΒΧΕ j + d j i j j Συνέχεια Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Διαφάνεια 26

Προσδιορισμός χρόνων Ο βραδύτερος χρόνος πέρατος της δραστηριότητας j προσδιορίζεται από την σχέση : j { ΒΧΕ SS( j, i), ΒΧΠ SF( j, i) ΒΧΠ d } ΒΧΕ = min, i Βήμα 3 : Προσδιορισμός Συνολικών περιθωρίων Το Συνολικό περιθώριο δίνεται από την σχέση για δραστηριότητες που διακόπτονται i j j ΣΠ i = ΒΧΠ i ΕΧΕ i d i Για δραστηριότητες που δεν διακόπτονται έχουμε : ΣΠ i = ΒΧΠ ΒΧΕi i ΕΧΠ ΕΧΕ i i Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Διαφάνεια 27

Παράδειγμα Ι Κωδικός Δραστηριότητας Χρονική διάρκεια Συνδέεται με Σχέση 101 4 102 FS(101,102)=0 102 8 103,104,105 103 12 104 7 105 7 FF(102,103)=6, FF(102,104)=6, SS(102,104)=5, SS(102,105)=5 Περίπτωση 1 Έστω ΕΧΕ 101 =0 & Βραδύτερο Πέρας έργου = 18 Περίπτωση 2 Έστω ΕΧΕ 101 =0 & Βραδύτερο Πέρας έργου = 18 & η δραστηριότητα 104 μπορεί να διακοπεί Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Διαφάνεια 28

Παράδειγμα Ι Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Διαφάνεια 29

Παράδειγμα ΙΙ Κωδικός Δραστηριότητας Χρονική διάρκεια Συνδέεται με 101 24 102,105 Σχέση SS(101,102)=6, FF(101,102)=10, SS(101,105)=6 102 20 103,107 SF(102,103)=24, FS(102,107)=14 103 24 104,105,106 104 18 106 FF(104,106)=14 FS(103,104)=0, SF(103,105)=42, FS(103,106)=0 105 36 106,107 FF(105,106)=10, FF(105,107)=6 106 22 108,109 SS(106,108)=16, FF(106,109)=16 107 22 109 FF(107,109)=6 108 20 109 14 Έστω ΕΧΕ 101 =0 & Βραδύτερο Πέρας έργου = 84 Δρ. Βασίλης Π. Αγγελίδης Διαφάνεια 32

Παράδειγμα

Παράδειγμα Κόμβος 101 ΕΧE= 0 ΕΧΠ=ΕΧΕ+d= 24

Παράδειγμα Κόμβος 102 Σχέση SS = 6 EXE+SS 0+6=6 Σχέση FF = 10 ΕΧΠ+FF-d 24+10-16=18 ΕΧE=18 ΕΧΠ=ΕΧΕ+d=34

Παράδειγμα Κόμβος 103 Σχέση SF = 24 EXE +SF-D=18+24-24 ΕΧE=18 ΕΧΠ=ΕΧΕ+d=42

Παράδειγμα Κόμβος 104 Σχέση FS = 0 EXΠ +FS 42+0 ΕΧE=42 ΕΧΠ=ΕΧΕ+d=60

Παράδειγμα Κόμβος 105 Σχέση SF = 42 EXE+SF-d=18+42-36=24 Σχέση SS = 6 EXE+SS=6 ΕΧE=24 ΕΧΠ=ΕΧΕ+d=60

Παράδειγμα Κόμβος 106 Σχέση FF = 14 EXΠ+FF-d=60+14-22=52 Σχέση FS = 0 EXΠ+FS=42+0=42 Σχέση FF = 10 EXΠ+FF-d=60+10-22=48 ΕΧE=52 ΕΧΠ=ΕΧΕ+d=74

Παράδειγμα Κόμβος 107 Σχέση FF = 6 EXΠ+FF-d=60+6-22=44 Σχέση FS = 14 EXΠ+FS=34+14=48 ΕΧE=48 ΕΧΠ=ΕΧΕ+d=70

Παράδειγμα Κόμβος 108 Σχέση SS = 16 EXE+SS=52+16=68 ΕΧE=68 ΕΧΠ=ΕΧΕ+d=88

Παράδειγμα Κόμβος 109 Σχέση FF = 8 EXΠ+FF-d=74+8-14=68 Σχέση FF = 6 EXΠ+FF-d=70+6-14=62 ΕΧE=68 ΕΧΠ=ΕΧΕ+d=82

Παράδειγμα Κόμβοι 108-109 ΒΧΕ=ΒΧΠ-d

Παράδειγμα Κόμβος 107 Σχέση FF = 6 ΒΧΠ-FF=88-6=82 ΒΧΠ=82 ΒΧΕ=ΒΧΠ-d=60

Παράδειγμα Κόμβος 106 Σχέση FF = 8 ΒΧΠ-FF=88-8=80 Σχέση SS = 16 ΒΧE - SS + d=68-16+22=74 ΒΧΠ=74 ΒΧΕ=ΒΧΠ-d=52

Παράδειγμα Κόμβος 105 Σχέση FF = 10 ΒΧΠ-FF=74-10=64 Σχέση FF = 6 ΒΧΠ-FF=82-6=76 ΒΧΠ=64 ΒΧΕ=ΒΧΠ-d=28

Παράδειγμα Κόμβος 104 Σχέση FF = 14 ΒΧΠ-FF=74-14=60 ΒΧΠ=60 ΒΧΕ=ΒΧΠ-d=42

Παράδειγμα Κόμβος 103 Σχέση FS = 0 ΒΧE-FS=42-0=42 Σχέση FS = 0 ΒΧE-FS=52-0=52 Σχέση SF = 42 ΒΧΠ-SF + d=64-42+24=46 ΒΧΠ=42 ΒΧΕ=ΒΧΠ-d=18

Παράδειγμα Κόμβος 102 Σχέση FS = 0 ΒΧE-FS=60-14=46 Σχέση SF = 42 ΒΧΠ-SF + d=42-24+16=34 ΒΧΠ=34 ΒΧΕ=ΒΧΠ-d=18

Παράδειγμα Κόμβος 101 Σχέση FF = 10 ΒΧΠ-FF=34-10=24 Σχέση SS = 6 ΒΧE- SS + d=28-6+24=46 Σχέση SS = 6 ΒΧE- SS + d=34-6+24=52 ΒΧΠ=24 ΒΧΕ=ΒΧΠ-d=0

Παράδειγμα Συνολικά Περιθώρια

Παράδειγμα Κρίσιμες Διαδρομές