Μάθηµα 5 ο NΟΡΜΑ ΠΙΝΑΚΑ

Αάλυση Πιάκω και Εφαρµογές Σελίδα από 3 Μάθηµα 5 ο NΟΡΜΑ ΠΙΝΑΚΑ Για κάθε αριθµό, η -όρµα του διαύσµατος [ ] = συµβολίζεται και ισούται µε το θετικό αριθµό = = (5) Αποδεικύοται για τη -όρµα οι παρακάτω ιδιότητες: 0 και = 0 =0 λ = λ, για κάθε λ + y + y (τριγωική αισότητα) Η (5) δε είαι όρµα ότα 0 <, διότι δε ικαοποιεί τη τριγωική αισότητα Η αισότητα Cauchy-Schwarz γεικεύεται για τις -όρµες µε τη αισότητα Hölder y y, q όπου,q > και + = Ειδικότερα, οι τρεις παρακάτω όρµες έχου q ιδιαίτερο εδιαφέρο : = = = (Ευκλείδεια όρµα) = ma = Σηµειώστε, ότι α k ma{,,, } = τότε

Αάλυση Πιάκω και Εφαρµογές Σελίδα από 3 = = k + + + = k = k k lm lm lm =, διότι < k Για κάθε διάυσµα, αποδεικύεται για τις όρµες, και η σχέση α j, όπου α είαι το (, j ) στοιχείο στο πίακα Οι σχέσεις αυτές καθιστού ισοδύαµες τις όρµες ως προς τη σύγκλιση τω ακολουθιώ διαυσµάτω Επειδή ο διαυσµατικός χώρος τω πιάκω µ είαι ισόµορφος µε το χώρο τω διαυσµάτω µ, στο χώρο µ µ µπορεί α ορισθεί οποιαδήποτε από τις παραπάω όρµες Α, συγκρίοτας τα µέτρα µ και επί τω χώρω και ατίστοιχα, ορίζεται η όρµα του πίακα ως = ma = ma (5) 0 = Σηµειώσατε ότι στη (5) υπάρχει διάυσµα 0 στη µοαδιαία σφαίρα, ώστε = 0 Επιπλέο, από τη (5) είαι προφαής η αισότητα και κατά συέπεια ο ισοδύαµος ορισµός (53) { } = m k : k, Πρόταση 5 Για τη όρµα, ισχύου οι ιδιότητες: Ι 0 και = 0 = O ΙΙ λ = λ

Αάλυση Πιάκω και Εφαρµογές Σελίδα 3 από 3 ΙΙΙ + Β + Β ΙV B B (54) Απόδειξη : I Από το ορισµό (5) της όρµας πίακα, 0 Θα είαι = 0 ακριβώς ότα ma = 0, ισοδύαµα = 0, για κάθε = µοαδιαίο διάυσµα Επειδή για τη όρµα διαυσµάτω, = 0 = 0, για κάθε II O, συµπεραίουµε = λ = ma λ = ma λ = λ ma = λ = = = + B = ma + B ma + ma B = + B III = = = IV Έχοτας υπόψη τη (53) 0 0 0 B B B B = ma ma = ma = B Η ιδιότητα (IV) δε ισχύει για όλες τις όρµες πίακα Για παράδειγµα, α για το πίακα H = h j ορίσουµε τη όρµα, όπως στο διαυσµατικό χώρο µ, δηλ H = ma h, j j, τότε ειδικά για τους πίακες έχουµε B = 0, 0 0 = 0 και B = 0 = B =, αλλά B = Επιπλέο, για το δε ισχύει η (53), καθόσο για = [ ] T έχουµε =, = Πρόταση 5 Για τη στη (5) ισχύου επιπλέο οι σχέσεις: Ι Ι = ΙΙ

Αάλυση Πιάκω και Εφαρµογές Σελίδα 4 από 3 ΙΙΙ =, m = = m = Απόδειξη : I Ι = ma Ι = = II πό τη (54) έχουµε III m = y 0 y 0 = y y = ma = ma = ma = y y Από τη ισότητα (III) της Πρότασης 5 παρατηρούµε ότι = = m m = = Από το ορισµό (5) είαι προφαής η δυσκολία υπολογισµού της όρµας Ειδικότερα για =, = και =, έχουµε: Πρόταση 53 Α είαι πίακας τύπου µ, τότε η όρµα j { } = ma α j ; α στήλη του (55) µ { } j = ma α ; α γραµµή του (56) και Απόδειξη : Έστω { } { } = ma λ : λ σ Α Α (57) ma α = α Για κάθε, έχουµε k µ µ µ = α α = α j j j j j j = j= = j= j= = α = α k j k j= Συεπώς

Αάλυση Πιάκω και Εφαρµογές Σελίδα 5 από 3 α = ma α k k Επιπλέο, για = [ ] T ε k 0 0 0 είαι και κατά συέπεια = αk Για τη (56), έστω { } ώστε =, έχουµε και επιπλέο αk = εk εk =, ma α = α Τότε, για κάθε διάυσµα, τέτοιο µ j j r = ma α,, α ma α,, α µ µ µ j µ j = = = = ma α,, α = µ j α µ r = = = ma α = Α όµως θεωρήσουµε το διάυσµα ε = [ ] T, είαι ε = και α r = ε Από τις σχέσεις αυτές συµπεραίουµε αr r = Για τη (57), θεωρούµε το διάυσµα και διαπιστώουµε = = = Ο πίακας είαι ερµιτιαός και έχει κάθετα ιδιοδιαύσµατα υ, υ,, υ Έστω = cυ+ cυ + + c υ και υ = λ υ, τότε = = c υ = λcυ λ κ =λκ = =, { } όπου ma ( κ ) λ = σ Έτσι, είαι λ λ κ κ Επειδή κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ κ υ =λ υ υ υ =λ υ υ υ =λ υ = λ κ

Αάλυση Πιάκω και Εφαρµογές Σελίδα 6 από 3 Σχόλια : Από τις (55) και (56) παρατηρούµε ότι για τους ερµιτιαούς πίακες = Α ο πίακας είαι ατιστρέψιµος, τότε { } = m λ : λ σ (58) Πράγµατι, από τη (57) και επειδή οι πίακες και έχου τις ίδιες µη µηδεικές ιδιοτιµές, έχουµε { ( ) } ( ) = ma λ : λ σ { } { ( ) } = ma λ : λ σ = m λ : λ σ Παράδειγµα Για το πίακα έχουµε 3 4 = 5 3 6 α = 0, α = 5, α3 = 3 = 3 και Επιπλέο για το πίακα α = 9, α = 0, α 3 = 9 = 0 T 38 39 = 9 8 39 8 6 έχουµε ( T ) { 5,3, 376, 90495} σ = και = 90495

Αάλυση Πιάκω και Εφαρµογές Σελίδα 7 από 3 Α θεωρήσουµε τους πίακες του µ µ ως διαύσµατα του και στο πίακα = α µ, j ατιστοιχίσουµε το διάυσµα, j= = α α α α α α α µ, α µ T η Ευκλείδεια όρµα του α ορίζει τη robeus όρµα και έχουµε του πίακα Από τη ισότητα (59) θα είαι µ, j tr( ) (59), j= = α = µ j (50) j= = = α = α = όπου α, α είαι ατίστοιχα οι στήλες και οι γραµµές του Σηµειώστε j ότι στο προηγούµεο παράδειγµα = 08 Πρόταση 54 Για τη robeus όρµα ισχύει : Ι ΙΙ B B Απόδειξη : I Για κάθε έχουµε = α α α j j j j µ j j j = j = j = T ΙΙ Α µ T * = α α α µ = α = µ µ * α α = = = = β, β,, β k είαι οι στήλες του Β, έχουµε k B = [ β β βk] = β = k k β β B = = = =

Αάλυση Πιάκω και Εφαρµογές Σελίδα 8 από 3 Λυµέες Ασκήσεις Άσκηση 5 Α λ 0 είαι ιδιοτιµή του πίακα, αποδείξατε λ Λύση : Επειδή, από τη εξίσωση =λ έχουµε =λ Συδυάζοτας τις δύο σχέσεις έχουµε λ Ο αριθµός λ είαι ιδιοτιµή του και από τη αισότητα λ λ Άσκηση 5 Α <, τότε lm 0 = Λύση : Το συµπέρασµα είαι άµεσο από τη αισότητα καθόσο 0 lm lm 0 = <, Άσκηση 53 Για κάθε πίακα όπου H είαι ερµιτιαός πίακας Λύση : Έχουµε, αποδείξατε + H, + H H = = + H + H = H, διότι από τη (50), H ( H ) H = =

Αάλυση Πιάκω και Εφαρµογές Σελίδα 9 από 3 Άσκηση 54 Α = y µ, όπου, y, α αποδειχθού οι ισότητες = y, = y, = = y Λύση : Από τη (55) έχουµε και από τη (56) { } = ma y j = ma y j = y j µ j µ = µ = ma y j = y ma { } = j= y Επειδή yy yy = = rak = ο πίακας έχει µόο µία µη µηδεική ιδιοτιµή, τη λ= y, διότι Συεπώς, = ma { λ } = y και tr y = y y = = y Άσκηση 55 Για τη Ευκλείδεια όρµα ισχύει η ισότητα = ma y = y = Λύση : Από τη αισότητα Cauchy-Schwarz και τη (53) έχουµε y= y< y y και εποµέως ma = y = = y = { } y ma y = Αρκεί πλέο αποδείξουµε ότι πράγµατι ισχύει η ισότητα για συγκεκριµέα µοαδιαία διαύσµατα Α για το µοαδιαίο διάυσµα είαι 0

Αάλυση Πιάκω και Εφαρµογές Σελίδα 0 από 3 = ma = 0, θεωρούµε το µοαδιαίο διάυσµα y 0 0 = = 0 και τότε ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 y = = = = Άσκηση 56 Αποδείξατε τις σχέσεις: Ι = ΙΙ = ma λ, ότα είαι ερµιτιαός πίακας ΙΙΙ = και =, ότα είαι ορθοµοαδιαίος ΙV Λύση : Ι Από τη άσκηση 55 έχουµε = y = = y = = y = = y = = ma y = ma y = ma y = ma y = ΙI Για = έχουµε ( ) { : } σ =σ = λ λ σ και από τη (57) συµπεραίουµε = ma λ = ma λ, όπου λ σ III Σύµφωα µε τη άσκηση 55, τη αισότητα Cauchy-Schwarz και τη (53) έχουµε = y = = y = = ma y = ma y y y = = y = = y = ma ma Α για το µοαδιαίο διάυσµα είαι 0 = 0, τότε για y = 0 0 0 0 = =,

Αάλυση Πιάκω και Εφαρµογές Σελίδα από 3 και αποδεικύεται ότι υπάρχει διάυσµα 0 ώστε 0 0 = = Ειδικά, α είαι ορθοµοαδιαίος, = = ΙV Από τη (57) και τη άσκηση 5 έχουµε ma =λ = Άσκηση 57 Αποδείξατε UV =, ότα UU = I και VV= I Λύση : Επειδή έχουµε = = = U UU = ma = ma U = U = = Επίσης, λόγω της ισότητας V = V V = = είαι V = ma V = ma V = = = και κατά συέπεια U V = U = Άσκηση 58 Αποδείξατε τις σχέσεις : Ι α = dag (, ), τότε ma {, } =, O H ΙΙ α B = H O, τότε B = H Λύση : Ι Οι ιδιοτιµές του πίακα = dag (, ) είαι οι ιδιοτιµές τω διαγωίω υποπιάκω, µε συέπεια

Αάλυση Πιάκω και Εφαρµογές Σελίδα από 3 { } ή = ma λ : λ σ σ ΙΙ Επειδή { } { } = ma λ : λ σ λ σ = ma, HH και = dag (, ) BB HH HH HH ταυτίζοται, είαι B ma : ( H H) και οι µη µηδεικές ιδιοτιµές τω πιάκω { } = λ λ σ = H Για το τετραγωικό πίακα ο αριθµός cod = οοµάζεται δείκτης κατάστασης και από τη άσκηση 5 συµπεραίουµε Για =, από τις (57) και (58) είαι cod( ) ma λ cod( ) = m λ Κατά τη επίλυση του γραµµικού συστήµατος = β, η διαταραχή του διαύσµατος β κατά δβ διαταράσσει τη λύση του κατά δ και από τη εξίσωση ( +δ ) = β+δβ έχουµε ( δ ) =δβ Βασιζόµεοι στις ιδιότητες της όρµας πίακα, θα βρούµε άω και κάτω φράγµατα για το σχετικό σφάλµα ατιστρέψιµος δ, ότα ο πίακας είαι

Αάλυση Πιάκω και Εφαρµογές Σελίδα 3 από 3 Πράγµατι, ( δ ) δ β δβ δβ β = cod δβ β (5) διότι β = και απ αυτή β Επιπλέο δ δβ β β δ (5) διότι = β β και τότε β Έτσι, από τις (5) και (5) προκύπτει η αισότητα δβ δ δβ cod cod β β Παράδειγµα Α = 00 cod, β =, δ β = 0, από τη προηγούµεη σχέση έχουµε το διάστηµα του σχετικού σφάλµατος δ 0, 00 = 0, 00 0, = 0 00