εδάφιο 3, σελ. 181 υπερβολή ή παραβολή. Η ταξινόµηση αυτή παρουσιάζεται στον 1 ο πίνακα, T

Transcript

1 Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα από 8 Μάθηµα 9 ο ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο, σελ 7, εδάφιο, σελ 75, εδάφιο 3, σελ 8 Ασκήσεις :,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, σελ 75,, 4, 8, σελ 8, II, IV, σελ 85 Α στη τετραγωική µορφή q( x) = x x ο συµµετρικός πίακας είαι τύπου, η αλγεβρική παράσταση q( x) = c παριστάει έλλειψη ή υπερβολή ή παραβολή Η ταξιόµηση αυτή παρουσιάζεται στο ο πίακα, σε σχέση µε τις ιδιοτιµές του πίακα, από δε τη διαγώια µορφή της q x = x x=λ y +λ y, καταλήγουµε άµεσα στις γωστές µορφές τω εξισώσεω αυτώ λλ > λλ < λλ = έλλειψη υπερβολή παραβολή Α ο συµµετρικός πίακας είαι τύπου 3 3, η τετραγωική µορφή xx= c παριστάει επιφάειες, οι οποίες ταξιοµούται στο ο πίακα Στο πίακα αυτό χρησιµοποιείται ο συµβολισµός In ( ) που ααφέρεται στη διατεταγµέη τριάδα σχετικά µε το πλήθος τω ιδιοτιµώ του είαι: In ( ) = ( θετικές, αρητικές, µηδεικές ιδιοτιµές ) που

2 Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα από 8 In ( ) = ( 3,, ) : ελλειψοειδές In ( ) = (,, ) : µοόχωο υπερβολοειδές ή κώος, ότα c= In ( ) = (,, ) : δίχωο υπερβολοειδές In ( ) = (,, ) : ελλειπτικό παραβολοειδές In ( ) = (,, ) : παραβολικός κύλιδρος In ( ) = (,, ) : υπερβολικό παραβολοειδές Λυµέες Ασκήσεις Άσκηση 9 Αποδείξατε ότι η τετραγωική µορφή q( x) ότα τα διαγώια στοιχεία α =, =,,, = x x είαι αόριστη, Λύση : Η τετραγωική µορφή θα είαι της µορφής q x = x x= α xx,j= j j Για x = [ ], έχουµε q( x) = x x= α και για [ ] έχουµε q ω = α Συεπώς, q( x ) είαι αόριστη ω =, Άσκηση 9 Α ο πίακας είαι θετικά ορισµέος, αποδείξατε ότι tr ( ) > Λύση : Επειδή ο πίακας είαι θετικά ορισµέος, για x = ε έχουµε ( ε ) q = ε ε =α > Συεπώς, tr = α > =

3 Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα 3 από 8 Άσκηση 93 Έστω τα διαύσµατα ω, ω,, ω πίακας Αποδείξατε ότι ο είαι θετικά ορισµέος και είαι (=,,, ) ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω G = ω ω ω ω ω ω G > είαι γραµµικά αεξάρτητα ακριβώς ότα τα διαύσµατα ω Λύση : Για κάθε x, έχουµε ωω ωω ωω ωω ωω ωω xgx x = x ωω ωω ωω ω όπου [ ] ω x [ ω ω ω ] x y y y = = ω y = ω ω ω x Συεπώς, γραµµικά εξαρτηµέα =, xgx y = =, και θα υπάρχει x, ώστε xgx= ακριβώς ότα τα διαύσµατα ω, ω,, ω είαι Άσκηση 94 Έστω Να αποδειχθεί : Ι ο πίακας B = είαι αόριστος ΙΙ συµµετρικός, θετικά ηµιορισµέος ΙΙΙ ατισυµµετρικός, θετικά ηµιορισµέος ΙV θετικά ηµιορισµέος E= ( max λ ) I, θετικά ηµιορισµέος

4 Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα 4 από 8 Λύση : Ι Ο πίακας B είαι συµµετρικός, οι δε ιδιοτιµές του λ Επειδή λ B = tr B = tr tr = είαι προφαές ότι οι ιδιοτιµές του είαι θετικές και αρητικές, δηλαδή ο πίακας B είαι αόριστος B ΙΙ, = = x x x = x ΙΙΙ = = ΙV Έστω = Pdag ( λ, λ,, λ ) P και λ = max { λ, λ,, λ } Τότε ( max ) dag (,,, ) = ( λ λ λ λ ) E= λ I =λ I P λ λ λ P P P = E dag,,, Ο πίακας E είαι θετικά ηµιορισµέος, διότι έχει ιδιοτιµές µ =, µ =λ λ >, για =,3,, Άσκηση 95 Α ο θετικά ηµιορισµέος πίακας έχει έα διαγώιο στοιχείο α = αποδείξατε ότι όλα τα στοιχεία της k -γραµµής και της k -στήλης είαι kk µηδέ Λύση : Έστω στο πίακα είαι α = και α Σηµειώοτας α α = [ ] έχουµε q x = x x= α x x+ xx, όπου x= x x x = x x Επιπλέο για τα υπόλοιπα διαγώια στοιχεία είαι α > Έτσι για έχουµε x = [ ] και ω = [ ] q( x ) = α +α και q( ω ) = α +α Επειδή έχου σταθερό πρόσηµο για κάθε q x και q ( ω) δε α, α, συµπεραίουµε ότι q x είαι αόριστη, άτοπο Καταλήξαµε σε άτοπο επειδή υποθέσαµε ότι α

5 Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα 5 από 8 Στο ίδιο συµπέρασµα καταλήγουµε α θεωρήσουµε τη ορίζουσα α = = α α α Από τη Πρόταση 79, σελ 78, θα πρέπει α = Άσκηση 96 Έστω είαι πίακας µε όλα τα στοιχεία α = j Αποδείξατε ότι ο πίακας k + I είαι θετικά ορισµέος ακριβώς ότα k > Λύση : Έστω [ ] ε =, τότε = εε και ε= ε Ο πίακας έχει ιδιοτιµές λ = και τη λ = µε πολλαπλότητα, διότι dm = rank = Έτσι έχουµε ( k I) { k } σ + = +, και θα είαι k+ I> k+ > k > Άσκηση 97 Για ποιες τιµές του α, ο πίακας είαι θετικά ηµιορισµέος Λύση : Έστω [ ] α α α M = α α α ε =, τότε εε Επειδή = {, } ( ) M= α + α I, {, } ο πίακας M έχει ιδιοτιµές ( M) σ = α α + Τότε, + M σ( M) α σ = και

6 Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα 6 από 8 Άσκηση 98 Έστω ο πίακας και λ, λ,, λ είαι ιδιοτιµές του πίακα Τότε λ +λ + +λ = ακριβώς ότα = O Λύση : Ο πίακας θετικά ηµιορισµέος, διότι για κάθε x Συεπώς, οι ιδιοτιµές του είαι συµµετρικός = = και x x = x x = x x = x λ δε είαι αρητικές και θα είαι λ +λ + +λ = λ = =λ = = Mdag λ, λ,, λ M = O,, x x x = x = x x = = O Άσκηση 99 Α ο πίακας είαι συµµετρικός, τότε για κάθε µοαδιαίο διάυσµα x Λύση : Ο πίακας = PDP, όπου PP I και x x max mn σ σ, όπου [ ] y = y y y = διαγωοποιείται µε ορθογώιο πίακα και έστω = dag (,,, ) D = λ λ λ Τότε xx= xpdpx= ydy=λ y+λ y+ +λ y P x Επειδή x = y = και κατά συέπεια mn σ =λ y + + y λ y + +λ y λ y + + y = max σ mn max Άσκηση 9 Έστω ο πίακας Ι οι πίακες και ad j είαι θετικά ορισµέοι είαι θετικά ορισµέος Αποδείξατε: ΙΙ x, x x x x οι πίακες I και ηµιορισµέοι ΙΙΙ max{ } max α σ I είαι θετικά

7 Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα 7 από 8 Λύση : Ι Εφόσο >, ο πίακας είαι ατιστρέψιµος, οι δε ιδιοτιµές του λ (=,,, ) είαι θετικές Επειδή, λ ( =,,, ) είαι θετικές ιδιοτιµές του, ο είαι θετικά ορισµέος Επίσης, det = λ > και οι αριθµοί adj > det µ = > λ είαι ιδιοτιµές του ΙΙ Από τη σχέση = adj, (άσκηση 5) Συεπώς, xx xx x Ix, δηλαδή ο πίακας I είαι θετικά ηµιορισµέος Έτσι, για λ σ λ σ( I) και λ λ λ και λ σ( I ), συµπεραίοτας ότι I είαι θετικά ηµιορισµέος ΙΙΙ Έστω σ = { λ, λ,, λ } { } k είαι οι ιδιοτιµές του και B= max λ I =λ I Επειδή >, έχουµε λ > και για τις ιδιοτιµές µ του B είαι µ =λk λ Συεπώς, ο πίακας B είαι θετικά ηµιορισµέος και για x = ε έχουµε ε Bε =λk ε ε =λk α Έτσι έχω τη σχέση max{ } α λ α λ k k Άσκηση 9 Αποδείξατε ότι ο συµµετρικός πίακας = α j µε θετικά διαγώια στοιχεία είαι θετικά ορισµέος, ότα α >α + +α +α + +α (*),,+ για κάθε =,,, Λύση : Έστω ο πίακας είαι αρητικά ηµιορισµέος, τότε υπάρχει διάυσµα [ ] {} ω = ω ω ω ker \ Α ω k = max { ω, ω,, ω }, ώστε, από τη εξίσωση ω ω =, j

8 Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα 8 από 8 έχουµε α ω + +α ω + +α ω = k kk k k α α ω + +α ω +α ω + +α ω kk k k,k k k,k k+ k k ωk ω ω ω α + +α +α + +α k k+ k k,k k,k+ k ωk ωk ωk α + +α +α + +α k k,k k,k+ k ω k ω k Η σχέση αυτή ατιφάσκει µε τη υπόθεση (*) για είαι αρητικά ηµιορισµέος, αλλά θετικά ορισµέος = k, άρα ο πίακας δε Άσκηση 9 ιαβάστε το Παράδειγµα 7 στη σελίδα 74