Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΥΣΙΚΗ

Transcript

1 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΥΣΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως είαι γωσό, η Μουσική είαι Μαθημαικά και (σο βάθος) υπάρχει, μία «αδιόραη αρμοία» μεαξύ αυώ ω δύο. Έα μουσικό έργο, διέπεαι από μαθημαικούς όμους, σε ό,ι αφορά ις σχέσεις μεαξύ: α) Της διάαξης ω μουσικώ φθόγγω, και β) Της αίσοιχης συχόηας και χροικής αξίας ω φθόγγω αυώ. Σκοπός λοιπό ης μελέης μας αυής, είαι η δημιουργία μουσικώ συθέσεω (συμφωιώ, ραγουδιώ, κ.λπ.), χρησιμοποιώας α Μαθημαικά. Συγκεκριμέα, ση μελέη μας αυή (όπως θα ααλύσουμε αμέσως παρακάω) θα ααπύξουμε, διάφορες μαθημαικές μεθόδους με βάση ις οποίες, μπορούμε α δημιουργήσουμε μουσικές συθέσεις διάφορω μουσικώ έργω (συμφωιώ, ραγουδιώ, κ.λπ.), χρησιμοποιώας α Μαθημαικά. Τέλος, θα πρέπει α οίσουμε, όι: Η «Μαθημαική Μουσική» δε είαι έα «εγκεφαλικό καασκεύασμα» και σε καμία περίπωση δε μπορεί α υποκαασήσει ο «αθρώπιο παράγοα», δηλαδή η διαίσθηση, η φαασία και ο πηγαίο αλέο εός χαρισμαικού Μουσικοσυθέη. Αίθεα, η «Μαθημαική Μουσική» βοηθά και συμπληρώει σε μεγάλο βαθμό έα αλαούχο Μουσικοσυθέη και αποελεί, έα πολύ εδιαφέροα ομέα έρευας για έα Μαθημαικό μουσικό.. Η συγκεκραμέη μουσική κλίμακα Όπως γωρίζουμε από η Φυσική ση συγκεκραμέη μουσική κλίμακα οι συχόηες v ω μουσικώ φθόγγω, είαι οι εξής: η η κ.λπ.... Οκάβα... la 0,0 Hz si 6,9 Hz do 6,6 Hz re 9,7 Hz mi 9,6 Hz Οκάβαfa 9, Hz sol 0,0 Hz la 0,0 Hz si 9,9 Hz

2 η do 5, Hz re 587, Hz... Οκάβα... κ.λπ. Πίακας. Η Μαθημαική Μουσική Σύθεση (Γεικές αρχές) Ας υποθέσουμε σχ., όι έχουμε έα άξοα Ox. σχ. Ση περίπωση αυή, εργαζόμασε ως εξής: Βήμα ο : Επί ου άξοος Ox λαμβάουμε Ν ίσα ευθύγραμμα μήμαα, μήκους Τ, (Ν =,,, ). Το κάθε μήκος Τ αισοιχεί σο μουσικό μέρο ης μαθημαικής μουσικής σύθεσης ου μουσικού έργου (π.χ. συμφωία, ραγούδι, κ.λπ.) που θέλουμε α δημιουργήσουμε. Σο παράδειγμά μας ου σχ., επιλέγουμε ως μουσικό μέρο Τ π.χ. ο T. Προφαώς, σο σχ. μπορούμε για ο μήκος Τ α επιλέξουμε οποιοδήποε μουσικό μέρο π.χ. T, T 9, κ.λπ. Αυό είαι 8 καθαρά θέμα επιλογής μας.

3 Βήμα ο : Ση συέχεια, διαιρούμε ο κάθε μέρο Τ ( ο, ο, ο,, Ν ο, μέρο) με διάφορες υχαίες χροικές αξίες (,,,,,, ) αριθμημέες καά σειρά ( =,,, ), όπως φαίοαι σο σχ.. Σημείωση: Προφαώς ο άθροισμα ω χροικώ αξιώ, οι οποίες περιέχοαι μέσα σο κάθε μέρο Τ θα πρέπει α ισούαι με ο μέρο Τ, σχ.. Έσι λοιπό, σο σχ. ο μουσικός φθόγγος π.χ. = (ο οποίος βρίσκεαι σο ο μέρο) έχει χροική αξία. Επίσης, ο μουσικός φθόγγος = 5 (ο οποίος βρίσκεαι σο ο μέρο) έχει χροική αξία 5, κ.ο.κ. για ους διάφορους άλλους μουσικούς φθόγγους ου σχ.. Σημείωση: Η διάαξη ω χροικώ αξιώ (,,,,,, ) ω αισοίχω μουσικώ φθόγγω ( =,,, ) επάω σο άξοα Ox, μπορεί α είαι εελώς υχαία όπως, φαίεαι σο σχ. ή α ακολουθεί έα συγκεκριμέο «μαθημαικό όμο» ο οποίο εμείς προεπιλέγουμε ή α είαι, η διάαξη ω χροικώ αξιώ Τ η εός γωσού ραγουδιού κλπ, ο οποίο αυό ραγούδι ) θα ο οομάζουμε, μουσικό γεήορα. Σημείωση: Εφεξής ο άξοα Ox ου σχ. θα ο οομάζουμε, άξοα μαθημαικώ μουσικώ συθέσεω. Βήμα ο : Εξ ορισμού σο πρώο μουσικό φθόγγο ( = ), θέουμε αυθαίρεα μία (γωσή) ιμή ης συχόηας, π.χ. επιλέγουμε η συχόηα = 0 Hz (la ) () όπως φαίεαι σο παραπάω Πίακα ω συχοήω ης συγκεκραμέης μουσικής κλίμακας. Το πρόβλημα Το πρόβλημα λοιπό, ο οποίο προκύπει ώρα, είαι ο εξής: Σο σχ. με βάση:. Μία (εκ ω προέρω) δεδομέη διάαξη Α ω χροικώ αξιώ ω αίσοιχω μουσικώ φθόγγω ( =,,, ) επάω σο άξοα Ox, και. Με όσα ααφέροαι σο Βήμα ο, Το ερώημα που γειέαι είαι: Μπορούμε α υπολογίσουμε ις συχόηες ω αίσοιχω μουσικώ φθόγγω ( =,,,, ), προκειμέου α δημιουργήσουμε ελικά, μια μουσική σύθεση, χρησιμοποιώας αποκλεισικά και μόο α Μαθημαικά; Η απάηση σο παραπάω αυό ερώημα είαι κααφαική και έχει, ως εξής: Ορισμός: Ορίζουμε, ως προθύσερο (γωιακό) μουσικό λόγο k εός μουσικού φθόγγου ( =,,, ) ο αριθμό:

4 k () όπου, ση σχέση () ο είαι η συχόηα ου μουσικού φθόγγου, - είαι η αίσοιχη χροική αξία ου μουσικού αυού φθόγγου και είαι η χροική αξία ου μουσικού φθόγγου. Ο προθύσερος (γωιακός) μουσικός λόγος k ης σχέσης () είαι, θεμελιώδους σημασίας ση «Μαθημαική Μουσική» και παίζει βασικόαο ρόλο σε μία μαθημαική μουσική σύθεση, που θέλουμε α δημιουργήσουμε.. Οι βασικοί αλγόριθμοι μιας μαθημαικής μουσικής σύθεσης. Αλγόριθμος ακολουθίας Ορισμός: Ορίζουμε, ως αλγόριθμο ακολουθίας μιας μαθημαικής μουσικής σύθεσης η σχέση: Πk,f() () όπου, ση σχέση (), είαι: = η συχόηα ου μουσικού φθόγγου f() = μία οποιαδήποε ακολουθία (φυσικώ αριθμώ), και Π k,f() = μία αλγεβρική παράσαση ω k και f() όπου, =,,, και >0. Παράδειγμα: Η αλγεβρική παράσαση: () σύμφωα με ο παραπάω ορισμό, παρισάει έα αλγόριθμο ακολουθίας μιας μαθημαικής μουσικής σύθεσης που θέλουμε α δημιουργήσουμε, όπου ση σχέση (), (βλέπε παρεθέσεις), είαι: k (προθύσερος (γωιακός) μουσικός λόγος) και f() (ακολουθία). Αλγόριθμος συάρησης Ορισμός: Ορίζουμε ως αλγόριθμο συάρησης μιας μαθημαικής μουσικής σύθεσης η σχέση: Π k (5) όπου, ση σχέση (5), είαι: = η συχόηα ου μουσικού φθόγγου, και Π k = είαι μία αλγεβρική παράαση ου προθύσερου (γωιακού) μουσικού λόγου k, ήοι με βάση η σχέση ():

5 όπου, =,,, και 0. Παράδειγμα: Η αλγεβρική παράσαση: Π (6) 5 (7) σύμφωα με ο παραπάω ορισμό, παρισάει έα αλγόριθμο συάρησης. Με απλά λόγια, έας «πρακικός καόας» για α δημιουργήσουμε, έα αλγόριθμο συάρησης είαι, ο εξής: Όα ση πραγμαική συάρηση: y = f(x) αικαασήσουμε ο y με ο και ο x με ο προθύσερο (γωιακό) μουσικό λόγο k όε, προκύπει αμέσως έας αλγόριθμος συάρησης, όπως π.χ. είαι αυός ης σχέσης (7), ο οποίος προκύπει από η πραγμαική συάρηση: y x x 5 Επίσης, αξιοσημείωοι αλγόριθμοι είαι αυοί οι όποιοι, προκύπου από η συάρηση y fx, a όα η συάρηση a, είαι ο άθροισμα λ ω περιοδικώ συαρήσεω με αίσοιχες περιόδους Τ, Τ, Τ.λΤ όπου, Τ είαι η θεμελιώδης περίοδος και Τ είαι ο μουσικό μερό ης μαθημαικής μουσικής σύδεσης που θέλουμε α δημιουργήσουμε (όπου, Τ= Τ). οι παραπάω λ περιοδικές συαρήσεις, μπορεί α είαι ( όλες ή μερικές από αυές ) ομοφασικές ή α παρουσιάζου μεαξύ ους, διαφορά φάσης. Προφαώς, η απλούσερη μορφή ω παραπάω αυώ λ περιοδικώ συαρήσεω είαι αυή ης ημιοοειδούς κ.λ.π μορφής. ΣΗΜΕΙΩΣΗ Οι σχέσεις () και (5), αποελού ις βασικές σχέσεις ης «Αρχής ης Μουσικής Συέχειας» ης Μαθημαικής Μουσικής.. Παραδείγμαα αλγορίθμω ακολουθίας και αλγορίθμω συάρησης Μεά από αυά που ααφέραμε σα προηγούμεα, παρακάω θα ααφέρουμε (εδεικικά), μερικά παραδείγμαα αλγορίθμω ακολουθίας και αλγορίθμω συάρησης.. Αλγόριθμοι ακολουθίας a) : Παραδείγμαα

6 b) c) π cos d) e.... κ.λπ.. Αλγόριθμοι συάρησης a) 0 5 b) 8 c) si d) 5 cos cos.... κ.λπ. Σημείωση: Οι αλγόριθμοι ακολουθίας και οι αλγόριθμοι συάρησης που ααφέραμε σο παραπάω παράδειγμα έχου καθαρά εδεικικό χαρακήρα γεγοός που σημαίει, όι μπορεί α ΜΗΝ ΕΙΝΑΙ και οι καάλληλοι αλγόριθμοι για μια ποιοικά αποδεκή (από μουσικής άποψης), μαθημαική μουσική σύθεση που θέλουμε α δημιουργήσουμε. Συεπώς, εκείο ο οποίο έχει βασική σημασία είαι, όι: Ο Μαθημαικο-μουσικός θα πρέπει α βρει ο καάλληλο εκείο αλγόριθμο (αλγόριθμο ακολουθίας ή αλγόριθμο συάρησης), καθώς επίσης και η καάλληλη εκείη διάαξη ω χροικώ αξιώ, προκειμέου α δημιουργήσει (από μουσικής άποψης) μία ποιοικά αποδεκή, μαθημαική μουσική σύθεση. Αυός είαι, ο βασικός ρόλος ου Μαθημαικο-συθέη. 5. Υπολογισμός ω συχοήω ω μουσικώ φθόγγω ( =,,, ) μιας μαθημαικής μουσικής σύθεσης (χρησιμοποιώας έα αλγόριθμο ακολουθίας ή έα αλγόριθμο συάρησης). ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

7 Ας υποθέσουμε σχ., όι θέλουμε α δημιουργήσουμε μία μαθημαική μουσική σύθεση με βάση π.χ. ο αλγόριθμο ακολουθίας: (8) Ση συέχεια, επιλέγουμε επί ου άξοα Οx μία διάαξη Α ω χροικώ αξιώ (=,,, ) ω μουσικώ φθόγγω ης μαθημαικής μουσικής σύθεσης που θέλουμε α δημιουργήσουμε. Σημείωση: Η επιλογή ου αλγόριθμου (8) και ης διάαξης Α ω χροικώ αξιώ επάω σο άξοα Ox είαι καθαρά θέμα προσωπικής μας επιλογής. Ως γωσό και σύμφωα με ο ορισμό ση σχέση (8), είαι: k (προθύσερος (γωιακός) μουσικός λόγος) και f() (ακολουθία) όπου, ση σχέση (8) είαι =,,, και > 0. Σύμφωα λοιπό, με αυά που ααφέραμε σα προηγούμεα και με βάση ο σχ., έχουμε:. Ο πρώος μουσικός φθόγγος ( = ) εξ ορισμού (σύμφωα με η επιλογή μας) ου δίδουμε π.χ. συχόηα: συχόηα 0 Hz (la ), βλέπε Βήμα ο και χροική αξία (βλέπε, σχ. ). Άρα: Ο πρώος μουσικός φθόγγος ( = ) είαι: Ο la με χροική αξία (Α ). Ο δεύερος μουσικός φθόγγος ( = ) με βάση ο αλγόριθμο ακολουθίας (8), έχει συχόηα, η οποία είαι: 0 do, ήοι: 58 Hz 5, Hz, βλέπε Πίακας Άρα: Ο δεύερος μουσικός φθόγγος ( = ) είαι: Ο do με χροική αξία (Α )

8 . Ο ρίος μουσικός φθόγγος ( = ) με βάση ο αλγόριθμο ακολουθίας (8), έχει συχόηα, η οποία είαι: 58 la, ήοι:, Hz 0 Hz, βλέπε Πίακας Άρα: Ο ρίος μουσικός φθόγγος ( = ) είαι: Ο la με χροική αξία (Α ). Ο έαρος μουσικός φθόγγος ( = ) με βάση ο αλγόριθμο ακολουθίας (8), έχει συχόηα η οποία είαι:, re, ήοι: 559,05 Hz 587, Hz, βλέπε Πίακας Άρα: Ο έαρος μουσικός φθόγγος ( = ) είαι: Ο re με χροική αξία (Α ).. κ.ο.κ. Με ο ίδιο ακριβώς ρόπο που ααφέραμε παραπάω, υπολογίζουμε (ση συέχεια) ις συχόηες 5, 6, 7 αισοίχως, ου πέμπου, έκου, εβδόμου και οσού μουσικού φθόγγου, σχ.. Συεπώς, με βάση α παραπάω συμπεράσμαα Α, Α, Α, Α,. Α που προέκυψα η μαθημαική μας σύθεση είαι ολοκληρωμέη. Έσι λοιπό, εύκολα ώρα μπορούμε α αιγράψουμε η μαθημαική μουσική σύθεση που προέκυψε, σε μια μουσική παριούρα και α «παίξουμε» (η μουσική αυή σύθεση) σε έα μουσικό όργαο π.χ. πιάο, μπουζούκι, κ.λπ. Σημείωση: Το παραπάω παράδειγμα που ααφέραμε (από μουσικής άποψης) είαι, καθαρά εδεικικό και έχει ως σκοπό (κυρίως, παιδαγωγικό) α γωρίσουμε ο ρόπο με ο οποίο: Πώς μπορούμε α δημιουργήσουμε μία μουσική σύθεση εός μουσικού έργου (συμφωίας, ραγουδιού, κ.λπ.) χρησιμοποιώας, αποκλεισικά και μόο α μαθημαικά, με η μαθημαική μέθοδο ου αλγόριθμου ακολουθίας, που ααφέραμε παραπάω.

9 ΣΗΜΕΙΩΣΗ Με ο ίδιο ρόπο που εργασθήκαμε σο προηγούμεο παράδειγμα και δημιουργήσαμε μια μαθημαική μουσική σύθεση με βάση έα αλγόριθμο ακολουθίας, με ο ίδιο ακριβώς ρόπο εργαζόμασε και για η δημιουργία μιας μαθημαικής μουσικής σύθεσης με βάση έα αλγόριθμο συάρησης. Ο ρόπος εργασίας και σις δύο αυές παραπάω περιπώσεις είαι, ακριβώς ο ίδιος. ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Όπως παραηρούμε (και μεά από όλα αυά που ααφέραμε παραπάω ση μελέη μας αυή) ο αισθηικό αποέλεσμα (ευχάρισο ή όχι) μιας μαθημαικής μουσικής σύθεσης η οποία δημιουργήσαμε, εξαράαι: ) Από ο ρόπο διάαξης ω χροικώ αξιώ ( =,,, ) επάω σο άξοα Ox, και ) Από ο ύπο ου αλγόριθμου (αλγόριθμος ακολουθίας ή αλγόριθμος συάρησης) ο οποίο χρησιμοποιήσαμε. Σημείωση: Τα παραπάω ααφερόμεα σις παραγράφους () και () είαι (όπως ααφέραμε σα προηγούμεα), καθαρά θέμα προσωπικής μας επιλογής. Δοκιμάζοας λοιπό ώρα, διάφορες διαάξεις ω χροικώ αξιώ επί ου άξοος Ox σχ., με ους αίσοιχους ύπους αλγορίθμω, δημιουργούμε έα αριθμό Κ μαθημαικώ μουσικώ συθέσεω. Ση συέχεια, όλες αυές ις Κ μαθημαικές μουσικές συθέσεις που δημιουργήσαμε ις παίζουμε (δοκιμασικά) σε έα μουσικό όργαο π.χ. σε έα πιάο. Όα λοιπό, μεά ο «παίξιμο» ω Κ αυώ μαθημαικώ μουσικώ συθέσεω σο πιάο, κααλήξουμε ελικά σε μία μαθημαική μουσική σύθεση, η οποία (καά η γώμη μας) μας ικαοποιεί αισθηικώς από μουσικής άποψης, όε: Με η βοήθεια ου «αθρώπιου παράγοα» (μουσικό συθέη, εορχησρωή, κ.λπ.), ολοκληρώουμε η μαθημαική μουσική σύθεση η οποία επιλέξαμε, χρησιμοποιώας π.χ. περισσόερα μουσικά όργαα και βελιώοας ις διάφορες «μουσικές λεπομέρειες» ης παραπάω αυής μαθημαικής μουσικής σύθεσης που έχουμε επιλέξει. Έσι λοιπό, με ο ρόπο αυό που ααφέραμε παραπάω η μαθημαική μουσική σύθεση η οποία εμείς ελικά επιλέξαμε, παίρει μουσικώς η ελική και ολοκληρωμέη μορφή ης και ση συέχεια η αιγράφουμε σε μια μουσική παριούρα. Σημείωση: Τεχικώς υπάρχει ο ρόπος ώσε, κάθε μια από ις παραπάω Κ δοκιμές ω μαθημαικώ μουσικώ συθέσεω που δημιουργήσαμε, α μας δίδει αμέσως ο «άκουσμα» ης, σε έα μουσικό όργαο π.χ. σε έα πιάο. Αυό αποελεί συόμευση χρόου και πολύ μεγάλη διευκόλυση για έα Μαθημαικο-συθέη. Τέλος και σύμφωα με αυά που ααφέραμε ση μελέη μας αυή, κααλήγουμε σο παρακάω βασικό συμπέρασμα. Συμπέρασμα Με βάση ις αρχές ης «Μαθημαικής Μουσικής» ις οποίες ααπύξαμε ση μελέη μας αυή, προκύπει όι:

10 Έα άομο με βασικές γώσεις μαθημαικώ και μουσικής χρησιμοποιώας έα υπολογισή και κάποια απλά προγράμμαα (υπολογισή), μπορεί πολύ εύκολα α γίει έας αξιόλογος μουσικοσυθέης. ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΜΟΥΣΙΚΕΣ ΣΥΝΘΕΣΕΙΣ. «Ααλογικού ύπου», μαθημαικές μουσικές συθέσεις Ας υποθέσουμε σχ., όι μας δίδεαι μια διάαξη Α ω μουσικώ φθόγγω ( =,,,.), μιας μαθημαικής μουσικής σύθεσης που θέλουμε α δημιουργήσουμε. Με βάση λοιπό, ο προθύσερο (γωιακό) μουσικό λόγο k ης σχέσης (), θεωρούμε η σχέση: k k k... k ήοι, η σχέση:... (9) Επίσης, ση σχέση (9) για η συχόηα θέουμε μία αυθαίρεη ιμή (ης επιλογής μας) π.χ. = 0 Hz (la ). Συεπώς, σο πρώο όρο: (0) επειδή, α και είαι γωσά, καθώς και ο είαι γωσό (ήοι, = 0 Hz) όε, ο πρώος όρος (σχέση (0)) ση σχέση (9) έχει γωσή ιμή C, ήοι είαι: C () Έσι λοιπό, με βάση η σχέση (), η σχέση (9) μας δίδει: C... () Συεπώς, από η σχέση (), έχουμε:

11 C C C () Σις σχέσεις (), επειδή α δεύερα μέλη ους είαι γωσοί αριθμοί θα είαι γωσές και οι συχόηες:,,,., - () Συεπώς, επειδή ση μαθημαική μουσική σύθεση που θέλουμε α δημιουργήσουμε είαι γωσές οι συχόηες,,,, -, καθώς και οι αίσοιχες χροικές αξίες ους,,,, - (διόι η διάαξη Α ω μουσικώ φθόγγω σο σχ. είαι, εκ ω προέρω δεδομέη) αυό σημαίει, όι η μαθημαική μουσική σύθεσή μας είαι ολοκληρωμέη. Σημείωση: Σε ό,ι αφορά η συχόηα ου ελευαίου μουσικού φθόγγου ( =,,, ) εξ ορισμού, η συχόηα αυή η θεωρούμε, ίση με η συχόηα ου πρώου μουσικού φθόγγου ( = ), ήοι είαι =. Έσι λοιπό, όα ολοκληρωθεί η παραπάω αυή υπολογισική εργασία, όε μεαφέρουμε (αιγράφουμε) η μαθημαική αυή μουσική σύθεση που προέκυψε, σε μία μουσική παριούρα και η παίζουμε σε έα μουσικό όργαο π.χ. πιάο, βιολί, μπουζούκι, κ.λπ.. «Διοφαικού ύπου», μαθημαικές μουσικές συθέσεις Σις μαθημαικές μουσικές συθέσεις «Διοφαικού ύπου», εργαζόμασε, ως εξής: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Ορισμός: Ορίζουμε, ως προθύσερο (εμβαδικό) μουσικό λόγο k εός μουσικού φθόγγου ( =,,, ) ο αριθμό: k (5) Ας υποθέσουμε σχ., όι θέλουμε α δημιουργήσουμε μια μαθημαική μουσική σύθεση Α («Διοφαικού ύπου») ης οποίας ο μουσικό μέρο ης α είαι π.χ. T. ) Ας υποθέσουμε επίσης, όι ο ο μέρο θέλουμε α έχει π.χ. () μουσικές όες ω οποίω οι συχόηες α είαι,,, και οι αίσοιχες χροικές αξίες ους α είαι,,,.

12 Ας πάρουμε ώρα, (με βάση ο προθύσερο (εμβαδικό) μουσικό λόγο ης σχέσης (5)) μία απλή περίπωση «Διοφαικού ύπου» μαθημαικώ μουσικώ συθέσεω, όπου για ο ο μουσικό μέρο α ισχύει η σχέση: k k C (6) k ήοι, με βάση η σχέση (5), έχουμε: όπου, C = θεικός αριθμός. C (7) Όπως παραηρούμε, η σχέση (7) είαι μία Διοφαική εξίσωση με (8) αγώσους, ήοι ους,,, και,,,. Καόπι, ορίζουμε η συθήκη, ήοι α είαι: Τ (8) και οι συχόηες,,, α περιέχοαι όλες, π.χ. εός ης ης Οκάβας (βλέπε, Πίακας ), ήοι α είαι: si,,, 6,6 Hz 9,9 Hz (9) do Λύοας ώρα η Διοφαική εξίσωση (7) ως προς ους αγώσους,,, και,,, και λαμβάοας υπόψη η συθήκη ω σχέσεω (8) και (9) βρίσκουμε ις ιμές ω αγώσω,,, και,,,. Άρα, ο ο μέρο ης μαθημαικής μουσικής σύθεσής μας έχει () μουσικές όες με γωσές ις συχόηες,,, και ις αίσοιχες χροικές αξίες ους,,,. ) Ας υποθέσουμε ώρα, όι ο ο μέρο ης μαθημαικής μουσικής σύθεσής μας, θέλουμε α έχει π.χ. () μουσικές όες ω οποίω οι συχόηες α είαι 5, 6, 7 οι αίσοιχες χροικές αξίες ους α είαι 5, 6, 7 και για ο ο μουσικό μέρο α ισχύει η σχέση: k k C (0) k5 6 7 ήοι: C () και η γωσή συθήκη: Τ 6 () 5 7

13 si,, 6,6 Hz 9,9 Hz () do Λύοας ώρα, η Διοφαική εξίσωση () ως προς ους αγώσους 5, 6, 7 και 5, 6, 7 και λαμβάοας υπόψη η συθήκη ω σχέσεω () και () βρίσκουμε ις ιμές ω αγώσω 5, 6, 7 και 5, 6, 7. Άρα, ο ο μέρο ης μαθημαικής μουσικής σύθεσής μας έχει () μουσικές όες με γωσές ις συχόηες 5, 6, 7 και ις αίσοιχες χροικές αξίες ους 5, 6, 7. ) Επίσης, εά θέλουμε ο ο μουσικό μέρο α έχει π.χ. (5) μουσικές όες με συχόηες 8, 9, 0,, και αίσοιχες χροικές αξίες 8, 9, 0,,, όε για ο ο μουσικό μέρο θα ισχύει η σχέση: k k k k C () k8 9 0 ήοι: με η γωσή συθήκη: Τ C si,,,, 6 Hz 9,9 Hz do Έσι λοιπό, με ο ίδιο ακριβώς ρόπο που εργασθήκαμε για ο ο και ο μέρο (όπως ααφέραμε παραπάω), εργαζόμασε και για ο ο, ο, 5 ο κ.λπ. μουσικό μέρο ης μαθημαικής μουσικής σύθεσής μας. Προφαώς, η επίλυση ω Διοφαικώ εξισώσεω (7), (), κ.λπ. με ις αίσοιχες γωσές συθήκες ους, απαιεί η χρήση Ηλεκροικού Υπολογισού. Επίσης, οι ιμές ω συχοήω,,, που θα προκύψου από η επίλυση ω Διοφαικώ εξισώσεω θα πρέπει α είαι, «σρογγυλοποιημέες» με ις αίσοιχες συχόηες ου Πίακα, καθώς και οι ιμές ω χροικώ αξιώ,,, που θα προκύψου θα πρέπει α είαι, «σρογγυλοποιημέες» με ις αίσοιχες χροικές αξίες (,,,,,, ) Όα λοιπό, ολοκληρωθεί η παραπάω διαδικασία για ο ο, ο, ο, ο, 5 ο, κ.λπ. μουσικό μέρο, όε μεαφέρουμε (αιγράφουμε) η μαθημαική αυή μουσική σύθεση που προέκυψε, σε μια μουσική παριούρα και η παίζουμε σε έα μουσικό όργαο π.χ. σε έα πιάο, κ.λπ. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Τις σχέσεις (6), (0), (), εφεξής θα ους οομάζουμε, Διοφαικούς μουσικούς ύπους ης μαθημαικής μουσικής σύθεσης που θέλουμε α δημιουργήσουμε. Καά καόα, οι Διοφαικοί μουσικοί ύποι, διαηρού ο ίδιο μαθημαικό φορμαισμό ους σε όλα α μουσικά μέρα ( ο, ο, ο, κ.λπ.) ης μαθημαικής μουσικής σύθεσης. Έσι π.χ. οι Διοφαικοί μουσικοί ύποι (6), (0), (), θα μπορούσα (σε μια άλλη μαθημαική μουσική σύθεση Β) α ήα αισοίχως:

14 k k k C, ( ο Μουσικό μέρο) k k k C, ( ο Μουσικό μέρο) k 8 k9 k0 k k C, ( ο Μουσικό μέρο).... κ.λπ. ή επίσης (σε μια άλλη μαθημαική μουσική σύθεση Γ) α ήα, αισοίχως: k a k a k C, ( ο Μουσικό μέρο) a a5k5 a k 6 6 a7k7 C a8k8 a k 9 9 a k 0 0 ak ak, ( ο Μουσικό μέρο) C, ( ο Μουσικό μέρο).... κ.λπ. όπου a, a, a, = πραγμαικοί αριθμοί. Τέλος θα πρέπει α οίσουμε, όι: Σις μαθημαικές μουσικές συθέσεις «Διοφαικού ύπου», όα είαι γωσά, α) Το μουσικό μέρο Τ, β) Ο Διοφαικός ύπος, γ) Ο αριθμός ω μουσικώ φθόγγω μέσα σε κάθε μουσικό μέρο και δ) Η (γωσή) συθήκη, όε: Επειδή, η επίλυση ω Διοφαικώ εξισώσεω ου ου, ου, ου, κ.λπ. μουσικού μέρου μας δίδου (καά καόα) η κάθε μία, περισσόερες από μία λύσεις αυό σημαίει, όι θα έχουμε και έα μεγάλο αριθμό μαθημαικώ μουσικώ συθέσεω με βάση α συγκεκριμέα δεδομέα (α), (β), (γ), (δ). Δηλαδή σο παράδειγμα μας σχ., εά η Διοφαική εξίσωση ου ου μουσικού μέρου έχει s (αποδεκές) λύσεις, η Διοφαική εξίσωση ου ο μουσικού μέρου έχει s (αποδεκές) λύσεις, η Διοφαική εξίσωση ου ου μουσικού μέρου έχει s (αποδεκές) λύσεις και η Διοφαική εξίσωση ου Νου μουσικού μέρου έχει s N (αποδεκές) λύσεις, όε: Ο συολικός αριθμός S ω μαθημαικώ μουσικώ συθέσεω που θα προκύψου θα είαι: S s (5) s s... sn ήοι (καά καόα) θα προκύψει, έας μεγάλος αριθμός S μαθημαικώ μουσικώ συθέσεω. ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ Μεά από όλα αυά (που ααφέραμε ση μελέη μας αυή) κααλήγουμε, όι οι κυριόερες μαθημαικές μουσικές συθέσεις ης Μαθημαικής μουσικής είαι, οι παρακάω:

15 . Μαθημαικές μουσικές συθέσεις, αλγορίθμου ακολουθίας Σις μαθημαικές μουσικές συθέσεις, αλγορίθμου ακολουθίας και σο άξοα Ox ου σχ. είαι, εκ ω προέρω γωσά: α. Το μουσικό μέρο Τ. β. Η διάαξη ω χροικώ αξιώ ω μουσικώ φθόγγω ( =,,, ). γ. Ο αλγόριθμος ακολουθίας.. Μαθημαικές μουσικές συθέσεις, αλγορίθμου συάρησης Σις μαθημαικές μουσικές συθέσεις, αλγορίθμου συάρησης και σο άξοα Ox ου σχ. είαι, εκ ω προέρω γωσά: α. Το μουσικό μέρο Τ. β. Η διάαξη ω χροικώ αξιώ ω μουσικώ φθόγγω ( =,,, ). γ. Ο αλγόριθμος συάρησης.. Μαθημαικές μουσικές συθέσεις, «ααλογικού ύπου» Σις μαθημαικές μουσικές συθέσεις, «ααλογικού ύπου» και σο άξοα Ox ου σχ. είαι, εκ ω προέρω γωσά: α. Το μουσικό μέρο Τ. β. Η διάαξη ω χροικώ αξιώ ω μουσικώ φθόγγω ( =,,, ).. Μαθημαικές μουσικές συθέσεις, «Διοφαικού ύπου» Σις μαθημαικές μουσικές συθέσεις, «Διοφαικού ύπου» και σο άξοα Ox ου σχ. είαι, εκ ω προέρω γωσά: α. Το μουσικό μέρο Τ. β. Ο Διοφαικός μαθημαικός ύπος ης μαθημαικής μουσικής σύθεσης. γ. Ο αριθμός ω μουσικώ φθόγγω, μέσα σο κάθε μουσικό μέρο Τ. δ. Συθήκη: Το εύρος ω συχοήω (ση συγκεκραμέη μουσική κλίμακα) εός ου οποίου θα πρέπει α περιέχοαι όλες οι συχόηες ω μουσικώ φθόγγω (=,,, ) ης μαθημαικής μουσικής σύθεσης που θέλουμε α δημιουργήσουμε. Μια πρόαση Όποιος (Μαθημαικός, Φυσικός, Μηχαικός, Μουσικός, κ.λπ.) εδιαφέρεαι α ασχοληθεί με η Μαθημαική μουσική και ειδικόερα με η μαθημαική μουσική σύθεση θα πρέπει (καά η γώμη μου) α αρχίσει α ασχολείαι πρώα με ις μαθημαικές μουσικές συθέσεις «ααλογικού ύπου» (οι οποίες είαι, οι πιο απλούσερες), καόπι α προχωρήσει σις μαθημαικές μουσικές συθέσεις αλγορίθμου ακολουθίας ή συάρησης και ελικώς, α ασχοληθεί με ις μαθημαικές μουσικές συθέσεις «Διοφαικού ύπου». Αυός (ομίζω) όι, είαι έας πολύ καλός (παιδαγωγικός) ρόπος για η εκμάθηση και εμπέδωση ω βασικώ αρχώ ης Μαθημαικής μουσικής που ααπύξαμε ση εργασία μας αυή. ΕΠΙΛΟΓΟΣ Η «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΥΣΙΚΗ» είαι, έας έος κλάδος ω Μαθημαικώ, και είαι η «γέφυρα», η οποία συδέει η Επισήμη ω Μαθημαικώ με η Τέχη ης Μουσικής.

16 Όπως διαπισώουμε, ο πεδίο έρευας ης Μαθημαικής Μουσικής είαι αεξάληο και πολύ εδιαφέρο. Ααμφισβήηα, η Μαθημαική μουσική αοίγει «έους ορίζοες» έρευας σο χώρο ης Μουσικής (όπως η γωρίζουμε, μέχρι σήμερα). Έσι λοιπό (μεά από αυά που ααφέραμε ση μελέη μας αυή): Ο «ολοκληρωμέος» Μουσικοσυθέης ου μέλλοος θα πρέπει α έχει απαραιήως και βασικές γώσεις Μαθημαικώ. Διόι, οι Μαθημαικοί είαι «Μουσικοσυθέες», χωρίς α ο συειδηοποιού και α μπορού μουσικώς α ο εκφράσου αλλά και οι Μουσικοσυθέες είαι και αυοί «Μαθημαικοί», χωρίς α ο συειδηοποιού και α μπορού μαθημαικώς α ο εκφράσου. Καθόι, η Μουσική δε είαι ίποε άλλο, παρά α Μαθημαικά ου ήχου και ου χρόου, όπου (ο ήχος και ο χρόος) είαι, αρμοικά συδεδεμέα μεαξύ ους. Τέλος, είαι γωσό, όι: Ο πρώος βαθύς γώσης, ο οποίος επισήμαε η άρρηκη σχέση η οποία υπάρχει μεαξύ ω Μαθημαικώ και ης Μουσικής, ήα ο Έλληας Φιλόσοφος και Μύσης, ο Πυθαγόρας. Copyright 0: Christos A. Tsolkas Χρήσος Α. Τσόλκας 7 Μαρίου 0